1. 7.9 Ejercicios.
7.9.1 Ejercicios resueltos.
1.- Interpolar la función
que pase por los puntos:
de
por un polinomio de segundo grado
. Calcular el valor interpolado
.
Solución:
Luego:
¡ EN RADIANES!
Luego

2. =
=
Para obtener el valor interpolado de f(2,1) se calcularía mediante el proceso de
Ruffini:
-0.769
-0.769
Luego
0
-1.6149
2.1
2.448
1.7495
0.8331
1.7495
.
Nota 1.- En este caso concreto conocemos la función
cual se tiene que
error relativo producido es:
con lo
mientras que
. Por tanto, el
,
es decir, se ha producido un error relativo de un 3.4%.
2.- La tabla siguiente muestra los valores de la función (la función de Bessel de
primera clase de orden cero) en varios puntos.
x
f(x)
1.0
0.7651977
1.3
0.6200860
1.6
0.4554022

3. 1.9
0.2818186
2.2
0.1103623
a. Construir la tabla de diferencias divididas hasta orden tres.
b. Utilizar la información del apartado anterior para construir el polinomio
interpolador de Newton de la función de Bessel que pasa por los puntos
anteriores.
c. Obtener el valor aproximado de la función de Bessel en el punto 1.5.
Solución:
En la tabla siguiente presentamos las diferencias divididas obtenidas:
i
0 1.0
0.7651977
-0.4837057
1 1.3 0.62200860
-0.1087339
-0.5489460
2 1.6
0.4554022
0.0658784
-0.0494433
-0.5786120
3 1.9
0.2818186
0.0018251
0.0680685
0.0118183
-0.5715210
4 2.2 0.1103623
Los coeficientes del polinomio interpolador de Newton se encuentran en la
diagonal de la tabla, por tanto el polinomio buscado es:

4. Y el valor de
, que es una buena aproximación
a
.
3.- Construye el polinomio de interpolación de Newton de tercer grado para la
función
en los puntos
=1, =1.25,
=1.5, =1.75, y obtén
una aproximación de ln 1.4. Calcula el error relativo cometido.
Solución:
Calculemos las diferencias divididas:
x
f(x)
1
f[x,x]
f[x,x,x]
f[x,x,x,x]
0
0.89256
1.25
0.22314
-0.32648
0.72932
1.5
0.40547
0.13472
-0.22544
0.61660
1.75
0.55962
Con lo que el polinomio de Newton será:
P(x) = 0.89256(x-1) – 0.32648(x-1)(x-1.25) + 0.13472(x-1)(x-1.25)(x-1.5)
y
ln 1.4
el error relativo vendrá dado por:
P(1.4) = 0.33662

5. er =
7.9.2 Ejercicios propuestos.
1.- Calcular el polinomio de Lagrange de segundo grado que pasa por los
nodos
e interpola a la función
.
Calcular la aproximación a f(3) y estimar una cota del error producido en dicha
aproximación. Comparar el resultado con el error relativo producido. (
Nota:
).
2.- Usar el polinomio de interpolación de Lagrange de grado tres o menor, y
aritmética con truncamiento a cuatro dígitos, para aproximar
utilizando los siguientes valores. Determinar una cota del error para la
aproximación.
3.- Construir los polinomios de interpolación de Lagrange para las siguientes
funciones y obtén una cota del error absoluto en el intervalo
a.
b.
:
.

6. 4.- Calcular el polinomio interpolador de Newton de grado uno, dos, tres y cuatro
para los siguientes datos. Aproximar los valores especificados usando cada uno
de los polinomios.
a. Aproximar f(8.4)
si f(8)=16.63553, f(8.1)=17.61549, f(8.3)=17.56492, f(8.6)=18.50515, f(8.7
)=18.82091.
b. Aproximar f( ) si f(2.9)=-4.827866, f(3.0)= -4.240058, f(3.1)=3.496909, f(3.2)=-2.5998792, f(3.4)=-0.3330587.
5.- Resuelve las siguientes cuestiones utilizando el Matlab
a) Construye el spline cúbico libres (naturales) para la tabla de datos siguiente:
x
f(x)
1.0
1.684370
1.1
1.949477
1.2
2.199796
1.3
2.439189
1.4
2.670324
b) Los datos anteriores se generaron a partir de la función
aproxima f(1.15) y f’(1.15), utilizando el spline construido en el apartado a).
c) Construye el spline cúbico sujeto tomando
y
.
d) Repite el apartado b) para el spline cúbico obtenido en el apartado anterior.
,

7. 6.- Calcular el polinomio de Lagrange de segundo grado que pasa por los
nodos
e interpola la función
. Calcular
la aproximación a f(3) y calcula el error relativo producido. ( Nota: Utiliza cinco
dígitos con redondeo).
7.- Construye el polinomio de interpolación de Lagrange de tercer grado para la
función
en los puntos x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, y obtén una
aproximación de ln 1.4. Calcula el error relativo cometido.