PA e PG 2015 termo geral e soma

Confia no SENHOR de todo o teu
coração, e não se apoie na sua
própria inteligência.
Lembre de Deus em tudo o que
fizer, e ele lhe mostrará o caminho
certo.
Provérbios 3: 5-6

Progressão aritmética é um tipo de sequência numérica
em que a partir do segundo termo (elemento), cada termo
(elemento) é a soma do seu antecessor com uma
constante.
Essa constante é chamada de razão
e representada por r
Dependendo do valor de r, a progressão aritmética pode
ser crescente, constante ou decrescente.
COLÉGIO CONTEC – UNIDADE VILA VELHA MATEMÁTICA – ENSINO MÉDIO 2º ANO Prof. Junior Barreto

 PA crescente: (r > 0), então os elementos estarão em
ordem crescente.
PA (2,5,8,11,...)
 PA constate: (r = 0), então os elementos serão todos
iguais.
PA (2,2,2,2,...)
 PA decrescente: (r < 0), então os elementos estarão em
ordem decrescente.
PA (18, 16, 14, 12, ...)

Elementos:
a1 : 1o termo
an : termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo)
r : razão
n : número de termos
Sn : soma dos termos
TM : termo médio

Termo Geral de uma PA:
Considere uma PA finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an)
de razão igual a r :
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – (a1 + r) = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – (a1 + 2r) = r → a4 = a1 + 3r
…
a n = a1 + (n – 1) . r

Termo Médio de uma PA:
Representação de 3 termos na PA:
(x - r , x , x + r)

Soma dos termos de uma PA:
10 termos: 5 somas de valor igual a 20
(o valor da soma entre o 1º e o último termo da sequência)

Problematizando
Um atleta se prepara para a disputa da MARATONA na próxima Olimpíada. Para isso, ele
estabeleceu um cronograma de treinamentos:
 No 1º dia, ele correrá 5. 295m
 No 2º dia, ele correrá 6.195m
 No 3º dia, ele correrá 7.095m
E assim, sucessivamente, sempre aumentando 900m por dia., até que, no último dia de
treinamento, ele corra o percurso oficial da prova, que é de 42.195m
a) Quantos dias durará o treinamento?
b) Que distância ele correrá no 23º dia de treinamento?
c) Em que dia ele correrá 17.895m?
d) Que distância ele percorrerá, no total, considerando todo o período de treinamento?

Problematizando
Toda sequência numérica que apresenta razão constante de crescimento ou
decrescimento através da soma de um valor constante é denominada Progressão
Aritmética (PA). A sequência apresentada a seguir é uma PA. Através da condição de
existência de uma PA, determine o valor de b e o oitavo termo da PA.
(5b , 8b – 7 , 10b – 10 , ...)

Problematizando
a) Quantas laranjas ele colherá no 9º dia?
b) Quantas dúzias de laranjas ele colherá no total?
c) Qual a média das laranjas colhidas por dia?
No 10 dia, são colhidas 4 dúzias; no 20 dia, 11 dúzias;
no 30 dia, 18 dúzias e assim por diante.
Um agricultor colhe laranjas durante 9 dias da
seguinte maneira:

Progressão geométrica é um tipo de sequência numérica
em que a partir do segundo termo (elemento), cada termo
(elemento) é a multiplicação do seu antecessor com uma
constante.
Essa constante é chamada de razão
e representada por q
Dependendo do valor de q, a progressão geométrica pode
ser crescente, constante, oscilante ou decrescente.

 PG crescente: (q > 1), então os elementos estarão em ordem
crescente.
PG (2,6,18,54,...)
 PG constate: (q = 1), então os elementos serão todos iguais.
PG (2,2,2,2,...)
 PG oscilante: (q < 0), então os elementos serão alternados ( + e - ).
PG (2,-10,50,-250,...)
 PG decrescente: (0 < q < 1), então os elementos estarão em ordem
decrescente.
PG (200,100,50,25, ...)

Elementos:
a1 : 1o termo
an : termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo)
q : razão
n : número de termos
Sn : soma dos termos
TM : termo médio

Termo Geral de uma PG:
Considere uma PG finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an)
de razão igual a q :
a2 : a1 = q → a2 = a1 . q
a3 : a2 = q → a3 : (a1 . q) = q → a3 = a1 . q2
a4 : a3 = q → a4 : (a1 . q2) = q → a4 = a1 . q3
…
a n = a1 . q n - 1

Termo Médio de uma PG:
Representação de 3 termos na PG:
(x/q , x , x .q)

Soma dos termos de uma PG:
PG limitada (ou finita):
PG ilimitada (ou infinita)
e decrescente:

Problematizando
a) Essa sequência é uma PA ou uma PG?
b) Quantos termos ela tem?
c) Qual a soma de todos eles?
Dada a sequência
(4 , 16 , 64 , ... , 4 096),
responda:

Problematizando
Uma colônia de bactérias cresce, minuto a minuto, de forma geométrica.
Considere uma colônia de bactérias onde o número inicial de indivíduos é 1
200 e a população da colônia quadruplica a cada minuto.
42 = 16 47 = 16 384
43 = 64 48 = 65 536
44 = 256 49 = 262 144
45 = 1 024 410 = 1 048 576
46 = 4 096 411 = 4 194 304
Qual a população dessa colônia de bactérias
após 10 minutos?

Problematizando
Cecília jogou na loteria esportiva durante cinco semanas
consecutivas, de tal forma que, a partir da segunda semana, o valor
apostado era o dobro do valor da semana anterior. Se o total
apostado, nas cinco semanas, foi R$ 2.325,00, o valor pago por
Cecília, no jogo da primeira semana, foi:
a) R$ 75,00
b) R$ 85,00
c) R$ 100,00
d) R$ 95,00

Problematizando
Seja a progressão geométrica FINITA onde o quinto termo
vale 81 e a razão vale 3.
Sabe-se que a soma de todos os seus termos é 9 841.
Determine:
a) o valor do 1º termo da progressão.
b) o número de termos da progressão.

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