Matemáticas Financieras. Ley Financiera de Descuento Simple Comercial. Teoría

1. LEY FINANCIERA DE
DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL
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Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz

2. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
Si para el sistema de capitalización simple utilizamos la tasa o tipo de interés “i” para valorar el
aplazamiento en la disponibilidad del capital, para el descuento utilizaremos la tasa de descuento “d” para
valorar el adelantamiento de la disponibilidad del capital y representa el decrecimiento que sufre una
unidad monetaria valorada un período antes de su vencimiento.
En la Ley Financiera de Descuento Comercial Simple se considera que el decrecimiento que se produce es
constante en cada período y proporcional al capital financiero a descontar.
( ) ( ) ptcondptptA >⋅−−= 1;
LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
C
p t
(C,t)
(V,p)
V= Proy p(C,t)
p t
C0 CnDescuento
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3. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
( )dnCC n ⋅−⋅= 10
VALOR DESCONTADO
(VALOR ACTUAL)
Donde:
C0 = Valor Efectivo, Valor Descontado, Valor Actual
Cn = Valor Nominal del Capital a descontar
n = nº de años desde el vencimiento del capital Cn y el momento de su valoración
d = tanto de descuento anual simple que representa el decremento que experimenta una unidad
monetaria durante 1 año
Siendo “d” el Tipo o Tanto
de Descuento Anual Simple
( ) ( )[ ]
( ) ( )
0
1;;
1;;
0
==
=
⋅−==
⋅−−=
pnt
descontaraCapitalC
dnCCptCA
dptCptCA
n
nn
LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
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4. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
Cálculo del Valor efectivo o descontado
En el sistema clásico de descuento simple se considera que el importe sobre el que se aplica el
descuento es siempre el nominal del capital a descontar. Así, un capital Cn descontado un periodo de
tiempo supone Cn* d u.m. en concepto de descuento y así cada año (o unidad temporal considerada).
Al nominal del capital menos los descuentos lo denominaremos Valor Descontado y lo representamos por:
C0 = Cn (1 - n d)
0 1 2 n -1 n
Cn
Cn-Cn d=
=Cn(1-d)
Cn – (n-1) Cn d=
=Cn (1- (n-1) d)
Cn - n Cn d=
=Cn (1- n d)
Cn dCn dCn dCn d n - 2
Cn- 2 Cn d=
=Cn(1-2d)
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5. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
Gráficamente
La característica de esta operación es que la variación del capital financiero para
dos momentos de valoración consecutivos es constante y proporcional al valor nominal Cn,
es decir el decremento en cada período se mantiene constante.
n
C0
Cn
Valor Efectivo: Es la proyección financiera de un capital al inicio del periodo “0” aplicando una ley
financiera de descuento simple.
Cálculo del Valor efectivo o descontado
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6. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
Interpretación económica de la tasa de descuento (d)
Para estudiar la interpretación económica de la tasa de descuento (d), vamos a estudiar el efectivo de 1
u.m. al adelantar su disponibilidad en una unidad de tiempo.
t-1 t
1 u.m.
( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( ) dddttttA
dptCptCA nn
−=−⋅=⋅−−−=−
⋅−+=
1111111;;1
1;;
Podremos decir por tanto que (d) es el precio que se debe pagar por descontar una unidad
monetaria en una unidad de tiempo, es decir, lo que habría que descontarle a 1 u.m. para
adelantar su disponibilidad 1 año.
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7. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
Importante
- Hay que diferenciar entre el año natural (365 días) y el año comercial (360 días). En principio en las
operaciones financieras simples utilizaremos el año comercial.
- El tiempo (n) y la tasa de descuento (d) deben estar referenciados a la misma unidad temporal. Si
trabajamos con años, la tasa de descuento tiene que ser anual, si trabajamos con semestres, la tasa de
descuento tiene que ser semestral, etc.
Cálculo del DESCUENTO COMERCIAL
Definimos el DESCUENTO COMERCIAL (Dc) como la diferencia entre el Nominal del Capital Financiero
(Cn) y el Valor Descontado (C0).
( )
dnCD
dnC
dnCCCdnCCCCD
nC
n
nnnnnnC
⋅⋅=
⋅⋅=
=⋅⋅+−=⋅−−=−= 10
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8. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
Ley de Descuento Comercial Simple Fraccionado
Aunque el año es la medida más utilizada, el descuento simple se aplica en la práctica a operaciones a corto
plazo como trimestres, meses… Para mantener la uniformidad, si se cambia la unidad de medida del tiempo
se debe valorar la operación a una tasa de descuento equivalente que tenga la misma periodicidad.
Por ejemplo: Meses …………………………..d12
Cuatrimestres ……………d3
Días ………………………………d360
Bienio …………………………..d1/2
“Es decir, para denotar la periodicidad del descuento indicamos con subíndices el número de subperiodos
incluidos en el año”.
La tasa de descuento estará referida por tanto al período “k” y la denotaremos por “dk”.
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9. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
0 1 n-1 n años
1 k kk 1 2 ……………….2 ……………….
C0 Cn
( ) ( ) ( )
( )
( )kn
kk
dnkCC
EfectivoValorCañospyntSi
dptkdpktkpktkA
⋅⋅−=
===
⋅−−=⋅−−=
1
0
11;
0
0
El parámetro dk recibe el nombre de tanto de descuento
comercial simple k-ésimal, siendo k el número de periodos a
considerar en un año. Este tanto k-ésimal representa el
decremento que sufre un euro en un k-ésimo de año.
Ley de Descuento Comercial Simple Fraccionado
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10. 0 2
1.000.C0
LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
C0 = Cn (1- n d)
C0 = 1.000 * (1 – 2 * 0,06) = 880 Euros
d = 6%.
0 6 m
1.000.C0
d = 6%.
C0 = Cn (1- n d)
C0 = 1.000 * (1 – 6 * 0,06) = 640 Euros
C0 = Cn (1- n d)
C0 = 1.000 * (1 – 6/12 * 0,06) = 970 Euros
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11. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
Equivalencia entre tantos de descuento comercial
Diremos que dos tantos de descuento son equivalentes cuando aplicados al mismo capital durante el mismo
tiempo dan lugar a efectivos iguales.
( )
( )kn
n
dnkCC
dnCC
⋅⋅−=
⋅−=
1
1
0
0
( ) ( )
k
d
ddkd
dnkCCdnCC
dnkCdnC
kk
knnnn
knn
=⋅=
⋅⋅⋅−=⋅⋅−
⋅⋅−=⋅− 11
Se denomina por tanto “dk” al tanto de descuento simple
correspondiente a un k-ésimo de año.
Equivalencia entre diferentes tantos de descuentos k-ésimales
Referiremos cada uno de esos tantos a su tasa de descuento anual equivalente.
Luego igualaremos entre ellos.
k
k
dkdkPeríodo
dkdkPeríodo
⋅=
⋅= '''
kk dkdk ⋅=⋅ ''
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12. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
La ley Financiera de Descuento Comercial Simple no es escindible.
Una ley financiera de descuento es escindible si al fraccionar el periodo de descuento el efectivo
obtenido es el mismo.
La ley financiera de descuento comercial simple no es escindible, es decir, el efectivo de la operación
de descuento varía al escindir la misma en varios descuentos sucesivos redescontando cada vez el
efectivo precedente.
Esta propiedad tiene una implicación inmediata, y es que, dos capitales que pueden ser
equivalentes en un momento concreto no lo serán en otro momento distinto.
Propiedades de la Ley Financiera de Descuento Comercial Simple
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13. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
1) Sin escindir el descuento el efectivo sería: C0 = Cn (1- n d)
> 0
C0 Ch Cn
0 h n
2) Escindiendo la inversión en dos:
Ch = Cn (1- (n-h) d)
C0 = Ch (1- h d) = Cn (1- (n -h) d) (1- h d) = Cn (1- n d + h d) (1-h d) =
= Cn (1 – h d – n d + n h d2+ h d -h2 d2] = Cn (1- n d) + Cn (n d2 –h d2) h > Cn (1- n d)
Por tanto, no es escindible ¡¡¡¡ OJO!!!!!
Propiedades de la Ley Financiera de Descuento Comercial Simple
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14. LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE
Ejemplo de NO ESCINDIBILIDAD DE LA LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE:
C = 1.000 €
n = 2 años
d = 8% simple anual
0 1 2
C0 C1 C2
a) Si no dividimos el descuento: C0 = 1.000 * (1 - 2 * 0,08) = 840 €
b) Si escindimos el descuento en otros dos sucesivos:
Año 1: C1 = 1.000 * (1 - 1 * 0,08) = 920 €
Año 0: C0 = 920 * (1 - 1 * 0,08) = 846,40 € ≠ 840 €
La ley financiera de descuento comercial simple no es escindible.
Propiedades de la Ley Financiera de Descuento Comercial Simple
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