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TÍTULTÍTULTÍTULTÍTULTÍTULO DE LO DE LO DE LO DE LO DE LA OBRA OBRA OBRA OBRA OBRA:A:A:A:A: FÍSICA
Octava Edición: 2 002
JORJORJORJORJORGE MENDOZA DUEÑASGE MENDOZA DUEÑASGE MENDOZA DUEÑASGE MENDOZA DUEÑASGE MENDOZA DUEÑAS
©©©©© Reservado todos los derechos.
Prohibidalareproduccióntotalopar-
cial de esta obra, por cualquier me-
dio,sinautorizaciónexpresadelautor.
FFFFFotototototooooogrgrgrgrgrafías:afías:afías:afías:afías: Guillermo Pacheco Q.
DDDDDiagriagriagriagriagramación y Camación y Camación y Camación y Camación y Compompompompomposición:osición:osición:osición:osición:
Juan Carlos Gonzales P.
Fernando Gonzales P.
481-0554 / 382-3251
DISTRIBDISTRIBDISTRIBDISTRIBDISTRIBUCIÓNUCIÓNUCIÓNUCIÓNUCIÓN;;;;; TTTTTelefax:elefax:elefax:elefax:elefax: 431-5031 / 522-3161431-5031 / 522-3161431-5031 / 522-3161431-5031 / 522-3161431-5031 / 522-3161
E-mail: fisica-jmd@terra.com.pe
Impreso en Lima - Perú, 2 002

n la última década la enseñanza del curso de física en los centros
educativos ha evolucionado notablemente respecto a la anterior, es
más; está latente la inclusión en años posteriores del cálculo
infinitesimal;estoobligaymotivaanosotroslosautoresalarenovación cons-
tante de nuestro material.
Esta octava edición ha sido diseñada y elaborada teniendo como base la
edición anterior, no obstante la novedad se manifiesta en la inclusión de
“fotografías”, el test de evaluación y el cambio casi total de los problemas
resueltos y propuestos.
El curso de física, merece una enseñanza cuidadosa y extremadamente me-
tódica, es en tal sentido (a criterio propio) que lo primero que debemos apun-
tar como maestros, es conseguir que nuestros nuevos alumnos empiecen a
estimar nuestro curso; una manera de lograrlo es mediante la explicación
audiovisual de los fenómenos físicos relacionados a nuestra vida diaria, en
este texto se presentan las fotografías y esquemas que intentan complementar
dicha función.
La física es parte de la ciencia, y como tal su explicación tendrá que expo-
nerse de manera cualitativa y cuantitativa.
La explicación cualitativa en este libro se plasma en la exposición detallada
de la teoría de cada tema, ilustrada con ejemplos, esquema, fotos, etc.
La explicación cuantitativa está conformada por los llamados problemas; en
nuestro material, estos han sido divididos en dos partes:
Los problemas de aplicación, donde el estudiante podrá aplicar las fórmulas
físicas previo raciocinio.
Y los problemas complementarios, donde el alumno podrá familiarizarse con
los “problemas pre-universitario” consiguiendo con ello elevar el nivel aca-
démico del mismo.
Por otro lado, la evaluación de raciocinio rápido es otro ente que deberá
tenerse presente; ello lo representamos en el llamado”TEST”, donde el es-
tudiante tendrá la oportunidad de recordar y razonar lo que el profesor y el
libro le han enseñado en un determinado tema sin necesidad de realizar
operaciones matemáticas extensas.
Quiero terminar este prólogo agradeciendo a todos los colegas que me hicie-
ron llegar sus críticas y sugerencias para mejorar el contenido del libro,
quiero agradecer también el apoyo de mis familiares y amigos que me apo-
yaron en la elaboración de este texto.
Prólogo
E
EL AUTOR.

CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 1O 1O 1O 1O 1::::: GGGGGenerenerenerenereneralidadesalidadesalidadesalidadesalidades 77777
Concepto de Física 7
El método científico 9
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 2:O 2:O 2:O 2:O 2: MMMMMagnitudes Físicagnitudes Físicagnitudes Físicagnitudes Físicagnitudes Físicasasasasas 1111111111
Magnitud física 11
Sistema de unidades - Notación exponencial 13
Análisis dimensional 21
Medición - Teoría de errores 31
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 3:O 3:O 3:O 3:O 3: VVVVVececececectttttorororororeseseseses 4141414141
Vector 41
Operaciones vectoriales 43
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 4:O 4:O 4:O 4:O 4: EEEEEstáticstáticstáticstáticstáticaaaaa 5757575757
Equilibrio 57
Rozamiento 59
Leyes de Newton - 1era
condición de equilibrio 61
Momento de una fuerza - 2da
condición de equilibrio 79
Centro de gravedad 83
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 5:O 5:O 5:O 5:O 5: CCCCCinemáticinemáticinemáticinemáticinemáticaaaaa 9797979797
Movimiento 98
Movimiento rectilíneo uniforme 99
Movimiento rectilíneo uniformemente variado 110
Caída libre 118
Gráficos relacionados al movimiento 127
Movimiento compuesto 139
Movimiento circular 148
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 6:O 6:O 6:O 6:O 6: DDDDDinámicinámicinámicinámicinámicaaaaa 159159159159159
2da
ley de Newton 159
Dinámica circular 174
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 7:O 7:O 7:O 7:O 7: TTTTTrrrrrabajo - Pabajo - Pabajo - Pabajo - Pabajo - Potototototencia - Enerencia - Enerencia - Enerencia - Enerencia - Energíagíagíagíagía 187187187187187
Trabajo mecánico 187
Potencia 188
Energía mecánica 190
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 8:O 8:O 8:O 8:O 8: MMMMMooooovimienvimienvimienvimienvimienttttto planetaro planetaro planetaro planetaro planetario - Gio - Gio - Gio - Gio - Grrrrraaaaavitación univvitación univvitación univvitación univvitación universalersalersalersalersal 201201201201201
Movimiento planetario 201
Gravitación universal 204
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 9:O 9:O 9:O 9:O 9: Oscilaciones y Ondas mecánicOscilaciones y Ondas mecánicOscilaciones y Ondas mecánicOscilaciones y Ondas mecánicOscilaciones y Ondas mecánicasasasasas 213213213213213
Movimiento oscilatorio 213
Movimiento armónico simple 213
Péndulo simple 215
Movimiento ondulatorio 216
Indice

CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 10:O 10:O 10:O 10:O 10: EEEEEstáticstáticstáticstáticstática de los fluidosa de los fluidosa de los fluidosa de los fluidosa de los fluidos 229229229229229
Presión 229
Principio de Pascal 230
Presión hidrostática 231
Vasos comunicantes 232
Empuje 232
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 11:O 11:O 11:O 11:O 11: CCCCCaloraloraloraloralor 243243243243243
Termometría 243
Dilatación 245
Calorimetría 247
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 12:O 12:O 12:O 12:O 12: GGGGGasesasesasesasesases 261261261261261
Comportamiento de los gases 261
Termodinámica 263
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 13:O 13:O 13:O 13:O 13: EEEEElecleclecleclectrtrtrtrtricidadicidadicidadicidadicidad 275275275275275
Teoría electrónica 275
Introducción a la electrostática 277
Carga - Campo eléctrico 280
Potencial eléctrico 293
Capacitancia 295
Electrodinámica 307
Corriente eléctrica 307
Circuitos eléctricos 323
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 14:O 14:O 14:O 14:O 14: MMMMMagnetismoagnetismoagnetismoagnetismoagnetismo 339339339339339
Imán 340
Electromagnetismo 344
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 15:O 15:O 15:O 15:O 15: ÓpticÓpticÓpticÓpticÓpticaaaaa 363363363363363
Naturaleza de la luz 363
Fotometría 365
Reflexión de la luz 366
Refracción de la luz 381
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 16:O 16:O 16:O 16:O 16: Ondas elecOndas elecOndas elecOndas elecOndas electrtrtrtrtromagnéticomagnéticomagnéticomagnéticomagnéticasasasasas 397397397397397
Espectro electromagnético 398
Estudio experimental del espectro visible 400
CAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULCAPÍTULO 17:O 17:O 17:O 17:O 17: FísicFísicFísicFísicFísica moa moa moa moa moderderderderdernanananana 409409409409409
Teoría cuántica 409
Efecto fotoeléctrico 409
Modelo atómico 411
El rayo láser 412
Teoría de la relatividad 413

GENERALIDADES
Capítulo 1
Los fenómenos naturales son intrínsecos a la naturaleza, nacen con
ella,es imposible que el hombre pueda regirlas o alterarlas,como ejem-
plos tenemos:la caída de los cuerpos,los fenómenos ópticos,la atrac-
ción magnética, la transformación de la energía, entre otros; por otro
lado es obvio afirmar que siempre existió una interacción mutua en-
tre el hombre y la naturaleza.
El ser humano mediante su inteligencia trató de encontrar la solución
al porqué de los fenómenos naturales, surgió entonces la ciencia que
no es más que el conocimiento y estudio de las leyes de la naturaleza.
Sería absurdo dar una fecha al nacimiento de la ciencia,pues ésta apa-
rece tras una evolución contínua del hombre en el espacio y en el
tiempo.Entiéndase que la ciencia encierra un conocimiento cualitati-
vo y cuantitativo de las leyes naturales; pues si no se puede medir y
expresar en números las leyes de un fenómeno,por más que su expli-
cación cualitativa sea contundente, ésta será pobre e insatisfactoria;
de ahí que las matemáticas se convierten en una herramienta impres-
cindible en la formulación de una Ley.
¿P¿P¿P¿P¿Pararararara qué sira qué sira qué sira qué sira qué sirvvvvve la ciencia?e la ciencia?e la ciencia?e la ciencia?e la ciencia?
Realmente esta pregunta es muy amplia, pero de manera general se
puede afirmar que sirve para:
- Prevenir el acontecimiento futuro de un fenómeno natural (te-
rremoto, lluvia, huracán, etc.)
- Poder usarlas de acuerdo a nuestros intereses.Usamos el vien-
to para trasladarnos en avión; usamos la caída del agua para
generar energía eléctrica; usamos los diferentes tipos de on-
das para comunicarnos.
- Modernizarnos,pues la ciencia tiene su aplicación directa, por
ejemplo: La Ingeniería, La Medicina, La Astronomía, etc.
La manzana cae hacia la tierra, por la atracción
gravitatoria.
EXPLICEXPLICEXPLICEXPLICEXPLICAAAAACIÓN CUCIÓN CUCIÓN CUCIÓN CUCIÓN CUALITALITALITALITALITAAAAATIVTIVTIVTIVTIVAAAAA
Es posible calcular la fuerza gravitatoria.
EXPLICEXPLICEXPLICEXPLICEXPLICAAAAACIÓN CUCIÓN CUCIÓN CUCIÓN CUCIÓN CUANTITANTITANTITANTITANTITAAAAATIVTIVTIVTIVTIVAAAAA
F
GmM
H
= 2
F

Jorge Mendoza Dueñas
El hombre, para facilitar el estudio de la ciencia ha
creído convenientedividirlas en varias ramas,y esto
esenteramenteconvencional. LapalabraFísicapro-
viene del término griego“physis”que significa“NNNNNa-a-a-a-a-
turturturturturalealealealealezazazazaza”,por lo tanto,la Física podría ser la ciencia
que se dedica a estudiar los fenómenos naturales;
este fue el enfoque de la Física hasta principios del
siglo XIX con el nombre de ese entonces“Filosofía
Natural”. A partir del siglo XIX se redujo al campo
de la Física, limitándola al estudio de los llamados
“FFFFFenómenos Físicenómenos Físicenómenos Físicenómenos Físicenómenos Físicososososos”, los demás se separaron de
ella y pasaron a formar parte de otras ciencias na-
turales. Es innegable que el estudio de la Física
involucra la experimentación del fenómeno y la
cuantificación del mismo, por eso es importante
combinar la teoría, con ayuda de las clases dicta-
das por los profesores o la bibliografía de los diver-
sos libros del curso y la práctica o experimento del
fenómeno en estudio;pues así lo hicieron los gran-
des científicos como Arquímides, Galileo, Newton,
Einstein entre otros.
CONCEPTO DE FÍSICA
Es una rama de la ciencia de tipo experimental,que
observa,estudia y gobierna mediante leyes los lla-
mados fenómenos físicos.
FENÓMENO
Es el cambio o modificación que sufren los cuerpos
de la naturaleza,bajo la influencia de diversas formas
deenergía;existenmuchosfenómenos. Enestaopor-
tunidad nos ocuparemos solo de tres fenómenos.
A)A)A)A)A) FFFFFenómeno Físicenómeno Físicenómeno Físicenómeno Físicenómeno Físicooooo
Es el cambio que sufre la materia sin alterar su estructura íntima. Se caracteriza por ser reversible
IIIIIlustrlustrlustrlustrlustracionesacionesacionesacionesaciones
B)B)B)B)B) FFFFFenómeno Qenómeno Qenómeno Qenómeno Qenómeno Químicuímicuímicuímicuímicooooo
Es el cambio que sufre la materia experimentando una alteración en su estructura química. Se carac-
teriza por ser irreversible, es decir el cuerpo no vuelve a ser jamás lo que inicialmente era.
IIIIIlustrlustrlustrlustrlustracionesacionesacionesacionesaciones
La piedra cambió de posición ,pero no cambió su estructura química.Ini-
cialmente era piedra,finalmente también lo es;por lo tanto se produjo un
fenómenofísico.
Laevaporacióndelaguaesunfenómenofísico.Inicialmenteeraagua,final-
mente también es agua.
Sisequemaunamadera,éstecambia.Elfenómenoesquímico;inicialmente
el cuerpo era madera ,finalmente no lo es.
Cuandosesometealazúcaralaaccióndelcalor,elazúcarsetransformaenun
cuerponegro(carbóndeazúcar);yanovuelveaserelazúcarprimitivo.
C)C)C)C)C) FFFFFenómeno Físicenómeno Físicenómeno Físicenómeno Físicenómeno Físico-Qo-Qo-Qo-Qo-Químicuímicuímicuímicuímicooooo
Este fenómeno tiene algunas características del fenómeno físico y otras del químico.
azúcar
fuego

Generalidades '
PARTES DE LA FÍSICA
A)A)A)A)A) MMMMMecánicecánicecánicecánicecánica.-a.-a.-a.-a.- Estudia los fenómenos relacio-
nados con los movimientos de los cuerpos así
como las fuerzas que actúan en ellos.
Se divide en:
- MMMMMecánicecánicecánicecánicecánica de los Sólidos Rígidos:a de los Sólidos Rígidos:a de los Sólidos Rígidos:a de los Sólidos Rígidos:a de los Sólidos Rígidos:
- Cinemática
- Estática
- Dinámica
- MMMMMecánicecánicecánicecánicecánica de los Sólidos Da de los Sólidos Da de los Sólidos Da de los Sólidos Da de los Sólidos Defefefefefororororormablesmablesmablesmablesmables
- MMMMMecánicecánicecánicecánicecánica de los Fa de los Fa de los Fa de los Fa de los Fluídosluídosluídosluídosluídos
B)B)B)B)B) CCCCCaloraloraloraloralor.-.-.-.-.- Estudia las interacciones en el inte-
rior de la materia.
C)C)C)C)C) AAAAAcústiccústiccústiccústiccústica.-a.-a.-a.-a.- Estudia los fenómenos referentes
al sonido.
D)D)D)D)D) EEEEElecleclecleclectrtrtrtrtricidadicidadicidadicidadicidad.-.-.-.-.- Estudia los fenómenos rela-
cionados con la carga eléctrica.
E)E)E)E)E) OpticOpticOpticOpticOptica.-a.-a.-a.-a.- Estudia la interacción de la luz con
la materia.
F)F)F)F)F) MMMMMagnetismoagnetismoagnetismoagnetismoagnetismo.-.-.-.-.- Estudia los fenómenos rela-
cionados con los campos magnéticos.
G)G)G)G)G) FísicFísicFísicFísicFísica Ma Ma Ma Ma Moooooderderderderderna.-na.-na.-na.-na.- Cubre los desarrollos al-
canzados en el siglo XX.
EL MÉTODO CIENTÍFICO
Es un método de la Física, dirigido a las personas de ciencias y contempla los pasos a seguir para formular
una ley física.
En la práctica nosotros podemos comprobar la veracidad de una ley utilizando este método.
El método científico es esencialmente un método experimental y tiene como gestor a Galileo Galilei.
A continuación se dará a conocer cada uno de los pasos utilizando como ejemplo ilustrativo, la ley de la
Gravitación Universal, formulada por Isaac Newton.
Cuenta la historia que Newton observó que la manzana caía hacia la tierra .También descubrió que la luna cae eternamente hacia nuestro planeta.
1.- LA OBSERVACIÓN.- Consisteenrealizarunexamenvisual-mentaldelfenómeno,notandosu
estadoactualysustransformacionesasícomolosdiferentesfactoresquepareceninfluenciarlos.
Muchas veces las condiciones y circunstancias en que se realiza el fenómeno no es el óptimo,
motivo por el cual la observación debe realizarse minuciosa y reiteradamente.
2.- MEDIDA Y REGISTROS DE DATOS.- Para describir un fenómeno físico existen dos tipos: la
descripción cualitativa y cuantitativa.
Se dice que una descripción es cualitativa, cuando se describe con palabras y no con números, por
ejemplo: el edificio es alto, la temperatura del horno es alta, el caudal de las aguas del río es grande.
Obviamente que esta clase de descripción deja muchas preguntas sin respuesta,se necesitará enton-
ces de los números y estos se basan en una medición.

Jorge Mendoza Dueñas
El método científico exige comparación y estas se efectúan mejor en forma cuantitativa,es decir,con
números.
Esto no significa que el científico necesariamente tenga que partir de una medición inédita, muchas
veces él aprovecha las mediciones de sus colegas antecesores, las cuales le sirven como base para
describir cuantitativamente el fenómeno en estudio.
3.- FORMULACIÓN DE UNA HIPÓTESIS.- A partir de hechos y leyes conocidas, un científico
puede descubrir nuevos conocimientos en una forma teórica.Se entiende por teoría al hecho que el
Físico proponga un modelo de la situación física que está estudiando, utilizando relaciones previa-
mente, establecidas; ordinariamente expresa su razonamiento mediante técnicas matemáticas.
Newton aprovechó los estu-
dios realizados por los cientí-
ficos que le antecedieron
como los de Nicolás
Copérnico, Galileo quien in-
ventó el telescopio, Tycho
Brahe que se ocupó por 20
años de hacer mediciones de
los cuerpos celestes con ayu-
dadeltelescopio,asícomode
Johanes Kepler (amigo de
Galileo) quien formulara sus
famosas“Leyes de Kepler”.
Con ayuda de
las leyes de
Kepler,así como
de su segunda
Ley,Newton lle-
vó a cabo su
modelo mate-
mático hasta
llegar a una hi-
pótesis.
Hipótesis:
Donde:G = cte.de gravitación universal.
Henry Cavendish
fue quien determi-
nó experimental-
menteelvalordela
constante G, 70
años después de la
muerte de Newton
;conlocualsecom-
probó la veracidad
de la hipótesis de
Newton(ley).
4.- EXPERIMENTACIÓN.- Consiste en la observación del fenómeno bajo condiciones preparadas
con anterioridad y cuidadosamente controladas. De esta manera el científico puede variar las condi-
ciones a voluntad,haciendo más
fácildescubrircomoellasafectan
el proceso.
Si esta última se llena satisfac-
toriamente, la hipótesis pasa a
ser un hecho comprobado y
puede ser una Ley de la Física
que se enuncia mediante fór-
mulas matemáticas.
De todo lo expuesto es fácil deducir que todo científico tiene como meta descubrir las leyes de la
naturaleza y ello empieza con la “curiosidad” que es lo que lleva a la observación del fenómeno
(inicio del método científico).
T
r
T
r
cte1
2
1
3
2
2
2
3
= =
F
mR
T
=
4 2
2
π
T
R
K cte
2
3
= =
F
GmM
R
= 2
LeydeNewton:
Ley de Kepler:

MAGNITUDES FÍSICASMAGNITUDES FÍSICASMAGNITUDES FÍSICASMAGNITUDES FÍSICASMAGNITUDES FÍSICAS
Estodoaquelloquesepuedeexpresarcuantitativamente,dichoenotras
palabras es susceptible a ser medido.
¿Para qué sirven las magnitudes físicas? sirven para traducir en núme-
ros los resultados de las observaciones;así el lenguaje que se utiliza en
la Física será claro, preciso y terminante.
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICASCLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICASCLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICASCLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICASCLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS
1.- POR SU ORIGEN
A) Magnitudes Fundamentales
Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes.
En mecánica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: La
longitud,la masa y el tiempo.
Las magnitudes fundamentales son:
B) Magnitudes Derivadas
Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las
magnitudes fundamentales; Ejemplos:
Longitud (L) , Intensidad de corriente eléctrica (I)
Masa (M) , Temperatura termodinámica (θ)
Tiempo (T) , Intensidad luminosa (J)
Cantidad de sustancia (µ)
Velocidad , Trabajo , Presión
Aceleración , Superficie (área) , Potencia, etc.
Fuerza , Densidad
MAGNITUDES
FÍSICAS
Capítulo 2
C) Magnitudes Suplementarias
(Son dos), realmente no son magnitudes fundamentales ni deriva-
das;sinembargoselesconsideracomomagnitudesfundamentales:
Ángulo plano (φ) , Ángulo sólido (Ω)

Jorge Mendoza Dueñas12
2.- POR SU NATURALEZA
A) Magnitudes Escalares
Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numéri-
co y su respectiva unidad.
Ejemplos:
VOLUMEN TEMPERATURA TIEMPO
Como se verá en todos estos casos,sólo se necesita el valor numérico y su respectiva
unidad para que la magnitud quede perfectamente determinada.
El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orienta-
ción N 60º E (tiene dirección y sentido) con lo cual es fácil llegar
del punto“o”a la casa.
Sabemos que la fuerza que se está aplicando al bloque es de
5 Newton; pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica que
la fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendríamos idea
si se aplica hacia arriba o hacia abajo.La fuerza es una magnitud
vectorial.
FUERZA DESPLAZAMIENTO
B) Magnitudes Vectoriales
Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y unidad,se necesita la dirección
y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada.
Ejemplos:
Tengofiebre
de40°C
¡Quefatal!
Sonlas
12:15P.M.
¡Yaestarde!
F N= 5
Sólonecesito
100mm3
yestará
terminado

Magnitudes Físicas 13
SISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADES
Lanecesidaddetenerunaunidadhomogéneapara
determinada magnitud, obliga al hombre a definir
unidades convencionales.
Origen del Sistema de Unidades:
SISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADES - NOTNOTNOTNOTNOTACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIAL
Convencionalmente:
1 pulgada = 2,54 cm
1 pie = 30,48 cm
1 yarda = 91,14 cm
El 14 de octubre de 1 960, la Conferencia General
de Pesas y Medidas, estableció el Sistema Interna-
cional de Unidades (S.I.), que tiene vigencia en la
actualidad y que en el Perú se reglamentó según la
ley N° 23560.
Existe 3 tipos de unidades en el Sistema Interna-
cional (S.I), estas son:
1. UNIDADES DE BASE
Son las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales.
2. UNIDADES SUPLEMENTARIAS
Son las unidades correspondientes a las mag-
nitudes suplementarias, sin embargo se les
considera como unidades de base.
MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO PATRON PRIMARIO
Longitud metro m
Basado en la longitud de onda de la luz emitida por una lámpara de
criptónespecial.
Un cilindro de aleación de platino que se conserva en el laboratorio
NacionaldePatronesenFrancia.
Basado en la frecuencia de la radiación de un oscilador de cesio
especial.
Conbaseenladefuerzamagnéticaentredosalambresquetranspor-
tanlamismacorriente.
Definidoporlatemperaturaalaquehierveelaguaysecongelasimul-
táneamentesilapresiónesadecuada.
Basadoenlaradiacióndeunamuestradeplatinofundidopreparada
especialmente.
Conbaseenlaspropiedadesdelcarbono12.
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Ampere A
Intensidadde
CorrienteEléctrica
Kelvin K
Temperatura
Termodinámica
Candela cd
Intensidad
Luminosa
mol mol
Cantidad
deSustancia
MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO
AnguloPlano radián rad
AnguloSólido estereorradián sr
1 pulgada 1 yarda
1 pie

3. UNIDADES DERIVADAS
Son las unidades correspondientes a las mag-
nitudesderivadas. Acontinuaciónsólosepre-
sentarán algunas de ellas.
NOTNOTNOTNOTNOTACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIAL
En la física, es muy frecuente usar números muy
grandes, pero también números muy pequeños;
para su simplificación se hace uso de los múltiplos
y submúltiplos.
OBSERVACIONES
− El símbolo de una unidad no admite punto
al final.
− Cada unidad tiene nombre y símbolo; estos
se escriben con letra minúscula,a no ser que
provenga del nombre de una persona, en
cuyo caso se escribirán con letra mayúscula.
1. MÚLTIPLOS
2. SUBMÚLTIPLOS
OBSERVACIONES
− Lossímbolosdelosmúltiplososubmúltiplos
se escriben en singular.
− Todos los nombres de los prefijos se escribi-
rán en minúscula.
− Los símbolos de los prefijos para formar los
múltiplos se escriben en mayúsculas, excep-
to el prefijo de kilo que por convención será
con la letra k minúscula. En el caso de los
submúltiplos se escriben con minúsculas.
− Al unir un múltiplo o submúltiplo con una
unidad del S.I. se forma otra nueva unidad.
Ejemplo:
− La escritura, al unir múltiplo o submúltiplo
con una unidad del S.I.es la siguiente:
Primero: El número (valor de la magnitud).
Segundo: El múltiplo o submúltiplo (dejan-
do un espacio)
Tercero: La unidad del S.I.(sin dejar espacio).
Ejemplo:
20×10
3
m = 20 km (20 kilómetros)
36,4×10
-6
f= 36,4µf(36,4microfaradios)
MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO
Fuerza Newton N
Superficie(Area) metrocuadrado m2
Velocidad metroporsegundo m/s
Volumen metrocúbico m3
Trabajo Joule J
Presión Pascal Pa
Potencia Watt W
Frecuencia Hertz Hz
CapacidadEléctrica faradio f
ResistenciaEléctrica Ohm Ω
Deca D 101
= 10
Hecto H 102
= 100
Kilo k 103
= 1 000
Mega M 106
= 1 000 000
Giga G 109
= 1 000 000 000
Tera T 1012
= 1 000 000 000 000
Peta P 1015
= 1 000 000 000 000 000
Exa E 1018
=1000000000000000000
PREFIJO SÍMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIÓN
deci d 10
-1
= 0,1
centi c 10
-2
= 0,01
mili m 10
-3
=0,001
micro µ 10
-6
=0,000001
nano n 10
-9
=0,000000001
pico p 10
-12
=0,000000000001
femto f 10
-15
=0,000000000000001
atto a 10
-18
=0,000000000000000001
PREFIJO SÍMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIÓN
Unidad del S.I. m (metro)
NuevasUnidades km (kilómetro)
cm (centímetro)

CIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICATIVTIVTIVTIVTIVASASASASAS
Cuando un observador realiza una medición, nota
siemprequeelinstrumentodemediciónposeeuna
graduación mínima:
Ilustración
Se podrá afirmar entonces que el largo del libro
mide 33 centímetros más una fracción estimada o
determinada“al ojo”, así por ejemplo, nosotros po-
demos estimar: L = 33,5 cm.
La regla graduada tiene como graduación mínima el centímetro.
CONCEPTO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Las cifras significativas de un valor medido, están
determinados por todos los dígitos que pueden
leerse directamente en la escala del instrumento
de medición más un dígito estimado.
l El dígito distinto de cero que se halle más a
la izquierda es el más significativo.
l El dígito que se halle más a la derecha es el
menos significativo, incluso si es cero.
l El cero que se coloca a la izquierda del punto
de una fracción decimal no es significativo.
20 ; tiene una cifra significativa.
140 ; tiene dos cifras significativas.
140,0 ; tiene cuatro cifras significativas.
1 400 ; tiene dos cifras significativas.
l Todos los dígitos que se hallen entre los
dígitos menos y más significativos son signi-
ficativos.
Ejemplo; determinar el número de cifras significa-
tivas:
4,356 m ; tiene cuatro cifras significativas.
0,23 m ; tiene dos cifras significativas.
0,032 m ; tiene dos cifras significativas
36,471 2 m; tiene seis cifras significativas
6,70 m ; tiene tres cifras significativas
321,2 m ; tiene cuatro cifras significativas
2,706 m ; tiene cuatro cifras significativas
En el ejemplo del libro, la longitud del mismo se
puede expresar así:
33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 m
Es notorio que el número de cifras significativas en
el presente ejemplo es tres.
El número de cifras significativas en un valor me-
dido, generalmente se determina como sigue:
Almedirellargodellibroseobservaquesumedidaestáentre33y34cm.

1.- Entre las alternativas, una de las unidades no corres-
ponde a las magnitudes fundamentales del sistema
internacional:
a) metro (m)
b) Pascal (Pa)
c) Amperio (A)
d) candela (cd)
e) segundo (s)
2.- ¿Qué magnitud está mal asociada a su unidad base
en el S.I.?
a) Cantidad de sustancia - kilogramo
b) Tiempo - segundo
c) Intensidad de corriente - Amperio
d) Masa - kilogramo
e) Temperatura termodinámica - kelvin
3.- ¿Cuál de las unidades no corresponde a una unidad
fundamental en el S.I.?
a) A – Amperio
b) mol - mol
c) C - Coulomb
d) kg - kilogramo
e) m - metro
4.- Entre las unidades mencionadas,señala la que perte-
nece a una unidad base en el S.I.
a) N – Newton
b) Pa - Pascal
c) C - Coulomb
d) A - Amperio
e) g - gramo
5.- ¿Qué relación no corresponde?
a) 1 GN = 10
9
N
b) 2 TJ = 2×10
12
J
c) 1 nHz = 10
−9
Hz
d) 3 MC = 3×10
9
C
e) 5 pA = 5×10−12 A
6.- Alconvertirunaseñaldecaminoalsistemamétrico,sólo
se ha cambiado parcialmente. Se indica que una po-
blaciónestáa60kmdedistancia,ylaotraa50millasde
distancia (1 milla = 1,61 km).¿Cuál población está más
distante y en cuántos kilómetros?
a) 50 millas y por 2,05 × 10
4
m
b) 20 millas y por 2,1 × 10
4
m
c) 30 millas y por 2,1 × 10
5
m
d) 40 millas y por 10
4
m
e) N.A.
7.- Un estudiante determinado medía 20 pulg de largo
cuandonació.Ahoratiene5pies,4pulgytiene18años
de edad. ¿Cuántos centímetros creció, en promedio,
por año?
a) 6,2 cm
b) 5,3 cm
c) 5,4 cm
d) 6,7 cm
e) 4,3 cm
8.- ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene mayor nú-
mero de cifras significativas?
a) 0,254 cm
b) 0,002 54 × 10
2
cm
c) 254 × 10
−3
cm
d) 2,54 ×10
−3
m
e) Todos tienen el mismo número
9.- Determine el número de cifras significativas en las si-
guientes cantidades medidas:
(a) 1,007 m,(b) 8,03 cm,(c) 16,722 kg,(d) 22 m
a b c d
a) 4 3 5 3
b) 2 2 5 2
c) 4 3 5 2
d) 1 1 3 2
e) 2 1 3 2
10.- ¿Cuál de las cantidades siguientes tiene tres cifras sig-
nificativas?
a) 305 cm
b) 0,050 0mm
c) 1,000 81 kg
d) 2 m
e) N.A.
TESTTESTTESTTESTTEST

6780 6780
1
102
m m
Hm
m
= ×
1.- Efectuar: E = 5 000 0×0,01
Solución:
E = 500
E = 5
400 320 m = 400,320 km
4.- Convertir:
Solución:
E = × × −
5 10 1 104 2
e je j
E = × = ×−
5 10 5 104 2 2
E = × ×−
0 005 10 30 000 0004
,
E = × ×− −
5 10 10 3 103 4 7
e je je j
360
km
h
a
m
s
2230 2 23 103 9
m Gm= × −
,
2230 2 23 10 6
m Gm= × −
,
5.- ¿Cuántos Gm tendrás en 2 230 m?
Solución:
A problemas de aplicación
1.- Dar la expresión reducida:
Solución:
3.- Hallar la altura del nevado Huascarán en hectóme-
tros si expresado en metros mide 6 780 m.
Solución:
E =
( ) ( , )
( , )
9 000 0 000 81
0 000 000 243
3 2
2
E =
× ×
×
=
× ×
×
−
−
−
−
( ) ( )
( )
( )
( )
3 10 81 10
243 10
3 10 3 10
3 10
2 3 3 5 2
9 2
6 9 4 5 2
5 9 2
E = ×3 104 17
E = ×81 1017
R =
25000 0 000125
0 006 25 0 05
5 3
2 4
b g b g
b g b g
,
, ,
R =
25 000 0 000125
0 006 25 0 05
5 3
2 4
b g b g
b g b g
,
, ,
R =
× ×
× ×
−
− −
25 10 125 10
625 10 5 10
3
5
6
3
5
2
2
4
e j e j
e j e j
2.- Dar el valor simplificado de:
Solución:
R =
× × ×
× × ×
−
− −
5 10 5 10
5 10 5 10
10 15 9 18
8 10 4 8
R = ×
+ − − − + +
5 10
10 9 8 4 15 18 10 8b g b g
R = ×5 107 15
2.- Efectuar:
Solución:
3.- Convertir: 400 320 m a km
Solución:
PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS
B problemas complementarios
E = × = ×− − +
5 10 5 103 4 7 0
400 320 400 320
1
1000
m m
km
m
= ×
360 360
1000
1
1
3600
km
h
km
h
m
km
h
s
= × ×
360
360 1000
3600
km
h
m s=
( )( )
/
360
36 10
36 10
10
4
2
4 2km
h
m s=
×
×
= −
/
360 100
km
h
m s= /
2230 2 23 10
1
10
3
9
m m
Gm
m
= × ×,
E =
× × ×
×
= ×
−
−
+ − − +3 10 3 10
3 10
3 10
6 9 8 10
10 18
6 8 10 9 10 18( ) ( )
R =
× ×
× ×
−
− −
5 10 5 10
5 10 5 10
2 3
5
3 6
3
4 5
2
2
4
e j e j
e j e j
E = ×+ − − +
3 106 8 10 9 10 18( ) ( )
6780 67 80m Hm= ,

e mm= ×26 2
1 946 080 10 8
año luz Em= × −
1 946 080 10 10 107 3 18
añoluz Em= × × × −
1234
1234
1234
1234
1234
1234
1234
1234
12345
12345
1234512345
12345
12345
1234512345
1234
1234
1234
1234
1234
1234
1234
1234
123
123
123
123123
123
123
123
123
4.- Dar el espesor que forman 26 monedas en lo que cada
una de ellas tiene un espesor de 2 mm; expresar di-
cho resultado en nm.
Solución:
6.- Expresar en potencias de 10.
Solución:
7.- Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra a
una estrella,siendo esta distancia equivalente a 2 años
luz. (1 año luz = distancia que recorre la luz en un año
de 365 días).Considere que la luz recorre 300 000 km
en 1 segundo.
Solución:
8.- Convertir: 30 m/s a milla/h
1 milla = 1 609, 347 m
Solución:
5.- Un cabello humano crece a razón de 1,08 mm por día.
Expresar este cálculo en Mm / s.
Solución:
d = 2 año luz
1 año luz = 300 000 365
km
s
× días
e m= × −
52 10 3
e nm= × ×− +
52 10 103 9
e nm= ×52 106
V
m
s
=
×
× × ×
−
108 10
24 10 36 10
2
3 2
V
m
s
= × −
0 125 10 7
,
V
m
s
M
m
s
m
s
= × ×−
0 125 10
1
10
7
6
,
V
Mm
s
= × −
0 125 10 13
,
Q =
× ×
× ×
− −
− −
625 10 64 10
5 10 16 10
6
1 2
6
1 3
2
2
3
4
e j e j
e j e j
/ /
Q =
× ×
× ×
− −
− −
5 10 2 10
5 10 2 10
4 6
1 2
6 6
1 3
2 4 4 3
4
e j e j
e je j
/ /
Q =
× × ×
× × ×
= ×
− −
− −
− − − + +5 10 2 10
5 10 2 10
2 10
2 3 2 2
2 4 16 12
14 3 2 4 12b g
Q = ×−
2 1014 11
1 300 000 365 24 3600año luz km= × × ×
1 3 10 365 24 36 105 2
añoluz km= × × × × ×
Finalmente:
d Em= × −
2 946 080 10 8
e j
d Em≈ × −
19 10 3
e mm
m
mm
= × ×26 2
1
1000
e m
nm
m
= × ×−
−
52 10
1
10
3
9
V
mm
día
mm
h
= =
1 08
1
1 08
24
, ,
Q =
0 000 625 0 000 064
0 05 0 016
3
2 4
, ,
, ,b g b g
1 300 000 365
24
1
3600
1
añoluz
km
s
ia
h
dia
s
h
= × × ×d
1 946 080 10
1000
1
1
10
7
18
añoluz km
m
km
Em
m
= × × ×
30 30
3600
1
1
1609 347
m
s
m
s
s
h
milla
m
= ×
,
d Em= × −
1892160 10 8
V
mm
h
m
mm
h
s
= × ×
1 08
24
1
1000
1
3 600
,

9.- Convertir: 1kw-h a Joule (J) ; 1 kw = 1 kilowatt
watt
Newton
s
=
Solución:
10. Convertir:
1 litro = 1 3
dm ; 1 kg = 2,2 lb ; 1 pulg = 0,254 dm
30 67 108
m
s
milla
h
= ,
lb
pu
a
gramo
mililitro
g
mllg3
F
HG I
KJ
Solución:
1.- Efectuar: E = 0,002×2 000
Rpta. E = 4
2.- Efectuar: E = 2 250×0,02×0,000 004×106
Rpta. E = 180
3.- Efectuar:
Rpta. E = 30,000 03
4.- ¿Cuál es el resultado de efectuar:
Rpta. E = 26,35×104
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
E =
× ×
×
−
4 000 004 10 0 003
0 000 004 10
4
4
,
,
E =
×2 635 26 35
0 000 263 5
, ,
,
E =
× × ×
× ×
0 003 49 000 0 9 0 081
8100 270 0 7
2
, , ,
,b g
5.- Expresar el resultado en notación científica.
Rpta. E = 103
6.- Dar el resultado de efectuar:
Rpta. E = 10−5
7.- ¿Qué distancia en Mm recorrió un móvil que marcha
a 36 km/h en 2 Es?
Rpta. 2×10
13
30
30 3600
1609 347
m
s
milla
h
=
×
,
kw h= ×1 kw-h
36 105
w s= × ×1 kw-h
36 10
1
5
w s
Joule
s
w
= × × ×1 kw-h
36 105
Joule= ×1 kw-h
1 kw-h = × × ×kw h
w
kw
s
h
1000
1
3600
1
* ,1 2 2kg lb=
1000 2 2g lb= ,
1 2 2 10 3
g lb= × −
,
* 1 1 3
litro dm=
1
1000
1
1000
3litro
dm=
1 10 3 3
ml dm= −
*
lg lg ,
lg
,
1 1 1
2 2 10
1
0 254
3 3 3
3
3
lb
pu
lb
pu
g
lb
pu
dm
= ×
×
×−
b g
1 1
2 2 10 0 254
3 3 3 3
lb
pu
g
dmlg , ,
=
×
×
−
e jb g
1
27738 13 3
lb
pu
g
dmlg
,=
1
27 738 1
10
13 3
3 3
lb
pu
g
dm
dm
mllg
,= ×
−
1
27 73813
lb
pu
g
mllg
,=
E =
27 000 000
0 0081
3
4
,
?

1.- Efectuar:
Rpta. E = 3,44×10
-4
2.- Efectuar:
Rpta. E = 0,001
3.- Efectuar:
Rpta. E = 5,223 x 10
–8
4.- Halla la expresión reducida en (pN)
Rpta. 32 pN
E = × ×
0 000 020123
146 234
25 105,
E = ×
0 000 000 000 004
0 000 006
45 000 000
30 000
,
,
E= ×
×0 000 000 004 002
45000
10 22
0 006
3 19,
,
b g
M
J J
J N
J N
m
s
= = ⋅
0 000 008 128 000
0 025 6 400
1
2 3
4 2
,
,
;
b g b g
b g b g
8.- En un cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 go-
tas,en 6 m3 ¿Cuántas gotas tendremos?
Rpta. 18 × 106 gotas
9.- ¿A cuántos kPa equivalen 25 GN distribuidos en
5 Mm
2
? (Pa = N/m
2
)
Rpta. 5 kPa
10.- Si 1J = N⋅m, expresar en pJ el producto de 6 GN por
12 am.
Rpta. 72 x 10
3
pJ
5.- Halla la expresión reducida en:
Rpta. M = 2-7
×1011
m/s2
6.- En un cultivo bacterial se observa que se reproducen
en progresión geométrica cada hora, en razón de
2 000 bacterias. Si inicialmente se tuvo 8 bacterias.
¿Cuántas habrían en 3 horas? Expresar este resulta-
dos en Gbacterias?
Rpta. 64 Gbacterias
7.- Una pelota de 0,064 5 m de diámetro está sobre un
bloque que tiene 0,010 9 m de alto. ¿A qué distancia
está la parte superior de la pelota por sobre la base
del bloque? (Dar su respuesta en metros)
Rpta. 7,54×10−2
m
8.- Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene
6,023 ×1023
granos de arena. ¿Cuántos ng habrá
en 18,069 × 1028
granos de arena?
Rpta. 3×1017
ng
9.- Una bomba atómica libera 40 GJ de energía. ¿Cuán-
tas bombas se destruyeron si se obtuvo 64×1036
J de
energía?
Rpta. 16×1026
bombas
10.- Un cuerpo tiene una masa de 1 500 Mg y un volumen
de 4 500 km3
.Hallar su densidad en µg/m3
.
Rpta.
E
GN fN kN
TN N
=
⋅ ⋅
⋅
6 4 0 000 32 1600
12 8 8
, ,
,
b g b g b g
b g b gµ
1
3
103
3
×
µg
m

Estudia la forma como se relacionan las magni-
tudes derivadas con las fundamentales.
ANÁLISIS DIMENSIONALANÁLISIS DIMENSIONALANÁLISIS DIMENSIONALANÁLISIS DIMENSIONALANÁLISIS DIMENSIONAL
Todaunidad física,estáasociadaconunadimensión
física.
Así, el metro es una medida de la dimensión
“longitud”(L), el kilogramo lo es de la“masa”(M),
el segundo pertenece a la dimensión del“tiem-
po” (T).
Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s
que es unidad de la velocidad que puede expre-
sarse como la combinación de las antes mencio-
nadas.
Dimensióndevelocidad =
Así también, la aceleración, la fuerza, la potencia,
etc, pueden expresarse en términos de las dimen-
siones (L), (M),y/o (T).
El análisis de las Dimensiones en una ecuación, mu-
chas veces nos muestra la veracidad o la falsedad
de nuestro proceso de operación; esto es fácil de
demostrar ya que el signo “=”de una ecuación in-
dica que los miembros que los separa deben de
tener las mismas dimensiones.
Mostraremos como ejemplo:
A×B×C = D×E×F
Es una ecuación que puede provenir de un desa-
rrollo extenso,una forma de verificar si nuestro pro-
ceso operativo es correcto, es analizándolo
dimensionalmente, así:
(dimensióndelongitud)
2
=(dimensióndelongitud)
2
En el presente caso comprobamos que ambos
miembros poseen las mismas dimensiones, luego
la ecuación es correcta.
En la aplicación del Método Científico, ya sea para
la formulación de una hipótesis,o en la experimen-
tación también es recomendable usar el Análisis
Dimensional.
Dimensióndelongitud
Dimensióndeltiempo
Fines del análisis dimensional
1.- El análisis dimensional sirve para expresar las
magnitudes derivadas en términos de las fun-
damentales.
2.- Sirven para comprobar la veracidad de las fór-
mulas físicas,haciendo uso del principio de ho-
mogeneidad dimensional.
3.- Sirven para deducir las fórmulas a partir de da-
tos experimentales.
ECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALES
Son expresiones matemáticas que colocan a las
magnitudesderivadasenfuncióndelasfundamen-
tales; utilizando para ello las reglas básicas del
algebra, menos las de suma y resta.
Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas
porque sólo operan en las magnitudes.
NOTACIÓN
A :Se lee letra“A”
[A] :Se lee ecuación dimensional de A
Ejemplos: Hallar la Ecuación Dimensional de:
Velocidad (v)
v
e
t
v
e
t
L
T
= ⇒ = =
v LT= −1
Aceleración (a)
a a= ⇒ = =
−
v
t
v
t
LT
T
1
a = −
LT 2

Fuerza (F)
Trabajo (W)
Potencia (P)
Area (A)
Volumen (V)
Presión (P)
Densidad (D)
F MLT= −2
W F d= .
W F d W F d MLT L= ⇒ = = −
. 2
W ML T= −2 2
P
W
t
P
W
t
ML T
T
= ⇒ = =
−2 2
P ML T= −2 3
⇒ = ⋅A L LA = (Longitud)×(Longitud)
A L= 2
V = (Longitud)×(Longitud)×(Longitud)
V L= 3
P
Fuerza
Area
P
F
A
MLT
L
= ⇒ = =
−2
2
P ML T= − −1 2
D
Masa
Volumen
D
M
V
M
L
= ⇒ = = 3
D ML= −3
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD
Siunaexpresiónescorrectaenunafórmula,sedebe
cumplir que todos sus miembros deben ser
dimensionalmente homogéneos. Así:
E A B C D= = = =
E – A + B + C = D
¬
¬
¬
¬
¬
V = V = V = V = V
Porlotantosetendrá:
OBSERVACIÓN
Los números, los ángulos, los logaritmos y las
funciones trigonométricas,no tienen dimensio-
nes, pero para los efectos del cálculo se asume
que es la unidad.
F m= .a
F m= . a
; siendo a = aceleración

1.- Siendo“a”una magnitud física,que proposición o que
proposiciones siempre se cumplen:
I. [a] + [a] + [a] = [a]
II. [a] - [a] = [a]
III. [a] - [a] = 0
a) I d) III
b) II e) N.A.
c) I y II
2.- ¿Cuál será las dimensiones de Q kg m s= 3 2
/ . ?
a) M L
−1
T
−1
d) M LT
−1
b) M L
−1
T
−2
e) M LT
c) M L T
2
3.- ¿Qué relación no es correcta dimensionalmente?
a) [fuerza] = M LT
−2
d) [trabajo] = M L
2
T
−2
b) [frecuencia] = T
−1
e) [cargaeléctrica]=I.T
c) [velocidad angular] = T
−1
4.- Precisar verdadero o falso dimensionalmente:
I) L + L + L – L = L ( )
II) En sec( ) ( )P P+ ⇒ =12 1
III) En a
x
m
kg
x ML
⋅
−
⇒ = 1
( )
a) VVF d) FVV
b) FFF e) FFV
c) VVV
5.- ¿Qué proposición o proposiciones son falsas respec-
to al Análisis Dimensional?
I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos.
II.- Se emplea para verificar fórmulas propuestas.
III.- Se usa para deducir fórmulas.
a) I d) I y II
b) II e) III y II
c) III
6.- Respecto al análisis dimensional señalar verdadero o
falso:
I.- Pueden existir dos magnitudes físicas diferentes
con igual fórmula dimensional.
II.- Losarcosenlacircunferenciasonadimensionales.
III.- Dimensionalmente todos los ángulos y funciones
trigonométricas representan lo mismo.
a) VVV d) FFV
b) VVF e) VFV
c) FFF
7.- Respecto a una fórmula o ecuación dimensional, se-
ñalar verdadero o falso:
I.- Todos los términos en el primer y segundo miem-
bro tienen las mismas dimensiones.
II.- Todos los números y funciones trigonometricas
que figuran como coeficientes tienen las mismas
dimensiones,e igual a 1.
III.- La ecuación dimensional de los términos del pri-
mer miembro,difieren de las dimensiones del se-
gundo miembro.
a) VVF d) VFV
b) VVV e) FVF
c) FVV
8.- El S.I.considera ................fundamentales y ........................
con carácter geométrico.
a) Tres magnitudes – dos auxiliares
b) Siete magnitudes – dos auxiliares
c) Seis magnitudes – una auxiliar
d) Tres magnitudes – una auxiliar
e) N.A.
9.- ¿Qué magnitud no está asociada a sus correctas di-
mensiones?
a) Velocidad - LT
−1
b) Fuerza - ML T
−2
c) Volumen - L
3
d) Densidad - ML
−3
e) Aceleración - L T
2
10.- ¿Quéunidadvaasociadaincorrectamentealasdimen-
siones dadas?
a)
kg s
m
⋅
b) kg
m
s
⋅ 2
c) A
m
s
⋅
d)
kg m
A s
⋅
⋅
2
2
e) kg
m
s
⋅
3
4
− −
MTL 1
− ILT
− −
ML T3 4
− − −
ML A T2 1 2
− −
MLT 2

1.- Halle la dimensión de“K”en la siguiente fórmula física:
Donde; m: masa
F : fuerza
v : velocidad
Solución:
t Analizando cada elemento:
t Luego tendremos:
3.- Hallar la dimensión de“α”y“β”en la siguiente fórmula:
V = α.A + β.D
Donde; V : volumen
A :área
D : densidad
Solución:
t Aplicando el principio de homogeneidad.
t Determinando: α
t Determinando: β
K
m v
F
=
⋅ 2
2.- Halle la dimensión de“S”en la siguiente fórmula física:
Donde; F : fuerza
m : masa
d : distancia
v : velocidad
Solución:
t Analizando cada elemento:
t Luego tendremos:
K
m v
F
M LT
MLT
ML T
MLT
=
⋅
= =
−
−
−
−
2 1
2
2
2 2
2
b ge j
S
F d
m c
=
⋅
⋅ 2
F MLT
d L
m M
c LT
=
=
=
=
−
−
2
1
S =1
V A D= =α β
V A= α
4.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homo-
génea,determinar la ecuación dimensional de“x”e“y”.
Siendo; A : fuerza
B : trabajo
C : densidad
Ax + By = C
Solución:
t Silaexpresiónesdimensionalmentehomogénea,
entonces:
t Con lo cual se tiene:
V D= β
L ML M L3 3 1 6
= ⇒ =− − +
β β
L L L3 2
= ⇒ =α α
Ax By C+ =
A x B y C= =
r r A MLT= −2
B ML T= −2 2
C ML= −3
MLT x ML− −
=2 3
x
ML
MLT
x L T= ⇒ =
−
−
−
3
2
4 2
K L=
m M
v LT
F MLT
=
=
=
−
−
1
2
S
F d
m c
MLT L
M LT
ML T
ML T
= = =
−
−
−
−2
2
1
2
2 2
2 2
e jb g
b ge j A x C=

5.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente homo-
génea: P = q
z
R
−y
s
x
Donde; P : presión q :fuerza
R :volumen s : longitud
Hallar: x – 3y
Solución:
t Nos piden: x – 3y
x – 3y = −2
P ML T= − −1 2
R L= 3
q MLT= −2
t
t P q R sz y x
= −
P q R s
z y x
=
−
M M zz1
1= ⇒ =
L L z y xz y x− − +
= ⇒ − = − +1 3
1 3
− = − +1 1 3y x
ML T M L T L Lz z z y x− − − −
=1 2 2 3
ML T M L Tz z y x z− − − + −
=1 2 3 2
NOTA
Las ecuaciones dimensionales sólo afectan a
las bases,más no a los exponentes,pues estos
siempre son números y por lo tanto estos ex-
ponentes se conservan siempre como tales
(números).
De lo expuesto, queda claro que la ecuación
dimensional de todo exponente es la unidad.
1.- Halle la dimensión de“A”y“B”en la siguiente fórmula
física.
Donde; W: trabajo
v : volumen
F : fuerza
Solución:
t Aplicando el principio de homogeneidad:
t Determinando A
t Determinando B
W
A
v
B
F= +
W
A
v
B
F
L
NM O
QP=
L
NM O
QP =
1 2/
W
A
F=
ML T
A
MLT A L
2 2
2
−
−
= ⇒ =
2.- Halle la dimensión de “A”,“B” y “C” en la siguiente fór-
mula física.
E = A.F + B.v
2
+ C⋅a
Donde; E :trabajo
F : fuerza
v :velocidad
a : aceleración
Solución:
t Determinando A :
v
B
F B
v
F
1 2
1 2
1 2
1 2/
/
/
/
= ⇒ =
B M LT= −2 4
B y C=t
ML T y ML2 2 3− −
=
y
ML
ML T
y L T= ⇒ =
−
−
−
3
2 2
5 2
s L=
B
v
F
L
MLT
= =
−
2
3
2
2
e j
E AF Bv C= = = ⋅2
a
E A F=
ML T A MLT A L2 2 2− −
= ⇒ =
ML T MLT L L
z y x− − −
−
=1 2 2 3
e j e j b g

B
W
t
W B t⋅ = ⇒ =
L L x x
x2 3 1
3 2 5= ⇒ − = ⇒ =
− b g
t Determinando B :
t Determinando C :
3.- Halle la dimensión de ”R”en la siguiente fórmula física:
R = (x + t)(x
2
– y)(y
2
+ z)
Donde ; t: tiempo
Solución:
t Observamos por el principio de homogeneidad:
t Luego tendremos:
E B v=
2
ML T B LT B M2 2 1
2
− −
= ⇒ =e j
ML T C LT C ML2 2 2− −
= ⇒ =
x T
y x T
z y T T
=
= =
= = =
2 2
2 2
2
4
e j
R x y z
R T T T
=
= × ×2 4
4.- La potencia que requiere la hélice de un helicóptero
viene dada por la siguiente fórmula:
P = K.R
x
.W
y
.D
z
Donde; W : velocidad angular (en rad/s)
R : radio de la hélice (en m)
D : densidad del aire (en kg/m3
)
K : número
Calcular x,y,z.
Solución:
5.- DeterminarlasdimensionesquedebetenerQparaque
la expresión W sea dimensionalmente homogénea.
W = 0,5 mcx
+ Agh + BP
Siendo: Q A Bx x
= ⋅ ;
Además; W: trabajo h : altura
m: masa P : potencia
c : velocidad
A,B : constantes dimensionales
g : aceleración
Solución:
M M zz1
1= ⇒ =
T T yy− −
= ⇒ =3
3
W m c A g h B P
x
= = =
W A g h=
B P W=
W m c
x
=
ML T A LT L2 2 2− −
= =
ML T M LT
x
2 2 1− −
= e j
ML T ML Tx x2 2− −
=
Q A B
x
=
1 2/
Q M T= 2 1 2/
6.- Suponga que la velocidad de cierto móvil,que se des-
plaza con movimiento bidimensional,puede determi-
narse con la fórmula empírica:
Donde: T, es tiempo; a, b, c, son constantes
dimensionales.Determine las dimensiones de a,b,y c,
para que la fórmula sea homogénea dimensio-
nalmente.
Solución:
Por el principio de homogeneidad:
V aT
b
T c
= +
−
3
2
t
t
t
x = 2
t Finalmente:
A M=
P K R W D
x y z
=
ML T L T ML
x y z
2 3 1 3
1− − −
= b gb g e j e j
ML T L T M Lx y z z2 3 3− − −
=
ML T M L Tz x z y2 3 3− − −
=
⇒ =R T7 B T=
E C= a

MLT ML LT M M M
x y z
− − −
=2 3 1
1e j e j e j b gb gb gb g
x y= − ⇒ = −1 1
7.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente ho-
mogénea.
Hallar: ”x – 2y”
Siendo; a: aceleración
v: velocidad
t : tiempo
Solución:
Dimensionalmente se tiene:
t Luego tendremos:
t Dimensionalmente:
Con lo cual:
Nos piden: “x – 2y” x – 2y = –1 – 2(–1)
x – 2y = 1
V a T
LT a T
=
=−
3
1 3
V
b
T
LT
b
T
=
=−
2
1
2
:de T c2
− ⇒ =c T2
⇒ = −
a LT 4
⇒ =b LT
a vt kx y x
= + −
1e j
1 =
−
k
y x
1 0° = ⇒ − = ⇒ =
−
k y x y x
y x
a vt kx y y
= + −
1e j
a vt kx
= +1 0
e j
a vtx
= +1 1b g
a v t
LT LT T
LT LT T
LT LT
T T x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
= ⇒ − = −
− −
− −
− −
− −
2
1
1 2
2 1
2 1
2 1
2 1
b ge jb g
8.- En la expresión mostrada.Hallar“z”
F
x
D
y
v
z
= (n + tan θ) m1
m2
m3
Donde; F :fuerza
D:densidad
v :velocidad
m1, m2,m3 : masas
Solución:
Dimensionalmente;paraque(n+tanθ)seahomogénea:
[n] = [tan θ ] = 1
Con lo cual: n + tan θ = número
[n + tan θ ] = 1
t Con todo el sistema:
Resolviendo: z = -9
tanθ = número
F D v n m m m
x y z
= + tanθ 1 2 3
M L T M L L T Mx x x y y z z− − −
=2 3 3
M L T M L Tx y x y z x z+ − + − −
=3 2 3 0 0
M M x y
L L x y z
T T x z
x y
x y z
x z
+
− +
− −
= ⇒ + =
= ⇒ − + =
= ⇒ − − =
3
3 0
2 0
3
3 0
2 0
r
r
r
E Mvx Mvx Mvx= + + + ∞........
E Mvx Mvx Mvx= + + + ∞........
E
1 24444 34444
E Mvx E E Mvx E= + ⇒ = +2
E M v x E
2
= =
E E E
2
1= ⇒ =
9.- En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta.
Determinar la ecuación dimensional de“x”.
Donde; M :masa ; v :velocidad
Solución:
t Dimensionalmente:
Además:
t
t
t
t
a vtx
= 2
M v x E
M v x
M LT x
x
MLT
x M L T
=
=
=
= ⇒ =
−
−
− −
1
1
1
1
1
1 1
b ge j

génea. Determinar la ecuación dimensional de“K”
Solución:
t Dimensionalmente:
De donde:
K GM L T M L T
x y z x y z x y z
= +
+ + + − − −b g b g b g b g b g b g2
6 2 6 2 6 2
T
z6 2−b g
x y z= = =
3
2
1.- Halle la dimensión de“H”en la siguiente fórmula física.
Donde; D : densidad
A : aceleración
V : volumen
F : fuerza
Rpta. [H] = 1
2.- La medida de cierta propiedad (t) en un líquido se de-
termina por la expresión:
Siendo: h medida en m;d,peso específico.¿Cuál será la
ecuación dimensional de t para que r se mida en m?
Rpta.
3.- Halle la dimensión de“α”y“β”en la siguiente fórmula
física.
K M L T
K M L T
x y z
=
=
− − −
F
H
I
K
F
HG I
KJ F
H
I
K
F
HG I
KJ F
H
I
K
F
HG I
KJ− − −
2
1
6 2 6 2 6 2
6 2
3
2
6 2
3
2
6 2
3
2
b g b g b g
b g
K M L T= 3 3 3
Resolviendo:
t Luego:
Donde; E :trabajo ; v :velocidad ; F :fuerza.
Rpta.
4.- Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula:
Donde; v :velocidad ; t : tiempo ; x :distancia
Rpta.
5.- Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula:
Donde; v :velocidad ; x : distancia ; g :aceleración
Rpta.
H
D A V
F
=
⋅ ⋅
h
t
rd
=
2
E
v F
= +
2
α β
α
β
=
=
−
−
M
L
1
1
v A t B x= ⋅ + ⋅
A LT
B T
=
=
−
−
2
1
V
x
A
g
B
= +
2
A LT
B T
=
= −1
t MT= −2
G M L T M L
x y z x y x x y+ + + − −
=
b g b g b g b g b g2
6 2 6 2
G
M M x y x
L L z x y
T T y x z
x y x
z x y
y x z
=
= ⇒ + = −
= ⇒ + = −
= ⇒ + = −
+ −
+ −
+ −
2
6 2
6 2
6 2
6 2
6 2
6 2
b g b g
b g b g
b g b g

G
L L b
T a
=
−
⋅
4 2 2
2
π θb gcos
6.- Halle la dimensión de“A”, “B”y“C”en la siguiente fór-
mula física:
Donde; e :distancia (m) ; t :tiempo (s)
Rpta.
7.- Halle la dimensión de“G”, “H”e“I” en la siguiente fór-
mula física:
F = Ga + Hv + I
Donde; F : fuerza ; a :aceleración ; v :velocidad
Rpta.
8.- En la siguiente expresión, calcular x + y
K: constante numérica
S: espacio
a: aceleración
t : tiempo
Rpta. 3
génea. Determinar:
a : aceleración
t : tiempo
Rpta. T
2
10.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente ho-
mogénea;determinar la ecuación dimensional de“C”.
R : longitud
y : aceleración
Rpta. L
3
T
-4
A L
B LT
C LT
=
=
=
−
−
2
3
G M
H MT
I MLT
=
=
=
−
−
1
2
a
b
L
NM O
QP= ?
C
Ry N
N
x
x
=
−
3
2
2
2
e j
1.- Determinar la dimensión de “x”, si la ecuación es
dimensionalmente correcta.
v : velocidad a : aceleración
M: masa W : trabajo
Rpta. M2
LT-2
2.- Hallarlaecuacióndimensionaldez,silaecuaciónmos-
trada, es dimensionalmente correcta:
w : peso ; g : aceleración
Rpta. MLT-2
3.- Determinar las dimensiones de“a”,sabiendo que la si-
guiente ecuación es dimensionalmente correcta:
donde; G: aceleración de la gravedad
T : tiempo
b y L : longitud
Rpta. L2
4.- La fracción mostrada es dimensionalmente correcta
y homogénea:
, determinar las dimensiones de“x”.
Rpta. L-14
T28/3
5.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homo-
génea, hallar las dimensiones de“b”.
W: trabajo
v : velocidad
F : fuerza
Rpta. L1/2
T-1/2
6.- En la ecuación:
Hallar: (x.y.z)
xv
WMa
sen
bt2 2
30
=
°
+ ; donde:
π α
φ
tan
log
=
+ +
+
w w z
g gsen x
2 3b g
b g
Ax Bx Cx D
A B C D
3 2
8 6 4
+ + +
+ + +
y A L T= −6 4
W
F a
x
F C
b v
= −
+
5 8 2
2
log
P Kg d hy x z
=
e A Bt Ct= + +2 3
S K tx y
= a
20 + + =
+
−
t k
a p
b q

donde; P: presión
g: aceleración de la gravedad
h: altura
K: constante numérica
d: densidad
Rpta. 1
7.- En la expresión:
Hallar las dimensiones de A, B y C para que sea
dimensionalmente homogénea, donde:
α : ángulo en radianes
L : longitud
F : fuerza
e : base de los logaritmos neperianos
m y n : números
Rpta. A = adimensional
B = L
-1/2
C = M
-3/2
L
-3/2
T
3
8.- Hallar las dimensiones de “x” e “y”, sabiendo que la
igualdad mostrada es dimensionalmente correcta.
tan
( )tan cos
A
e C FmBL
sen
n
+
F
HG I
KJ =
±
°
° °
−
πα
2 10
30 2 60 60
1
W
e
ba b c= + 2
x sen
vy
t
emB= + +π αb gd i2
9.- Determinar la dimensión de“b” para que la ecuación
sea homogénea.
Donde; W: trabajo
e : espacio
a : aceleración
Rpta. M
10.- Hallar [x][y]:
Donde; v : velocidad
e : espacio
m: masa
t : tiempo
B : número real
h : altura
m: masa
A
1
,A
2
: areas
Rpta. x = L
y = M−1
2
0 85
2
1 2
−
F
HG I
KJ
=
−
x
h
m
xy
A A,
Rpta. M LT2 2

MEDICIÓNMEDICIÓNMEDICIÓNMEDICIÓNMEDICIÓN - TEORÍA DE ERRORESTEORÍA DE ERRORESTEORÍA DE ERRORESTEORÍA DE ERRORESTEORÍA DE ERRORES
MEDICIÓNMEDICIÓNMEDICIÓNMEDICIÓNMEDICIÓN
Medición, es el proceso por el cual se compara
una magnitud determinada con la unidad patrón
correspondiente.
Todos los días una persona utiliza la actividad“me-
dición”; ya sea en nuestras actividades personales,
como estudiante o como trabajador.
Cuando estamos en el colegio, por ejemplo; al to-
mar la asistencia,estamos midiendo la cantidad de
alumnos que llegaron a clase; en este caso la uni-
dad patrón será“un alumno”.
Cuando jugamos fútbol,el resultado final lo define
la diferencia de goles a favor;la unidad patrón será
“un gol”. En ocasiones cuando nos tomamos la tem-
peratura, nos referimos siempre respecto a una
unidad patrón“1°C”.
Esto significa que toda medición quedará perfec-
tamente definida cuando la magnitud al que nos
referimos termine por ser cuantificada respecto a
la unidad patrón correspondiente. Ahora para rea-
lizar la medición, generalmente se hace uso de he-
rramientasy/oequiposespecialesasícomotambién
en algunos casos de los cálculos matemáticos.
El resultado de la medición nos mostrará cuantitati-
vamenteelvalordelamagnitud; yconellopodemos
saber o predecir las consecuencias que conllevan di-
choresultado.Así;simedimoslavelocidaddeun“atle-
ta” y obtenemos como resultado“1 m/s”; sabremos
entoncesqueéstenuncaserácampeónenunacom-
petenciade100metrosplanos;estosignificaquegra-
cias a la medición (actividad cuantitativa) podremos
saber o predecir los resultados cualitativos.
Ejemplo ilustrativo
CLASES DE MEDICIÓN
A) Medición directa
Es aquella en la cual se obtiene la medida
“exacta”mediante un proceso visual, a partir
de una simple comparación con la unidad
patrón.
B) Medición Indirecta
Es aquella medida que se obtiene mediante
ciertos aparatos o cálculos matemáticos, ya
que se hace imposible medirla mediante un
proceso visual simple.
Ilustración
Ejemplo Ilustrativo:
Magnitud: Longitud
Unidad patrón: 1 metro±
Enlafigura,esfácilentenderquelalongitudABmide3veces1metro:3metros
(medicióndirecta).
9vecesun
cuadrito,
dichode
otraforma:
9cuadritos
±
1metro
Area = largo × ancho ⇒ A = (3 m)(2 m)
A = 6 m2
Serecurrióalusodeunafórmulamatemática
Fórmula:
Se quiere
medir el área
del rectángulo
UnidadPatrón(uncuadrito)

ERRORES EN LA MEDICIÓNERRORES EN LA MEDICIÓNERRORES EN LA MEDICIÓNERRORES EN LA MEDICIÓNERRORES EN LA MEDICIÓN
Lamediciónesunaactividadqueloejecutaelhom-
bre provisto o no de un instrumento especializado
para dicho efecto.
En toda medición hay que admitir, que por más
calibrado que se encuentre el instrumento a usar,
siempre el resultado obtenido estará afectado de
cierto error; ahora, en el supuesto de que existien-
do un aparato perfecto cuyos resultados cifrados
coincidieran matemáticamente con la realidad fí-
sica, nunca llegaríamos a dicho valor, debido a la
imposibilidad humana de apuntar al punto preci-
so o de leer exactamente una escala.
A) Exactitud
Es el grado de aproximación a la verdad o
grado de perfección a la que hay que procu-
rar llegar.
B) Precisión
Es el grado de perfección de los instrumen-
tos y/o procedimientos aplicados.
C) Error
Podría afirmarse que es la cuantificación de la
incertidumbre de una medición experimental
respecto al resultado ideal.
CAUSAS DE ERRORES
A) Naturales
Son aquellos errores ocasionados por las va-
riaciones meteorológicas (lluvia,viento,tem-
peratura, humedad, etc).
B) Instrumentales
Sonaquellosquesepresentandebidoalaim-
perfección de los instrumentos de medición.
C) Personales
Son aquellos, ocasionados debido a las limi-
taciones de los sentidos humanos en las ob-
servaciones (vista,tacto,etc.)
Almedirlalongitudentredospuntos,endíascalurosos,lacintamétricasedi-
latadebidoalafuertetemperatura,luegosecometeráunerrordemedición.
La vista de una persona
puedenopermitirobser-
var correctamente las
agujas de un reloj,se co-
meteráentoncesunerror
personal en la medida
deltiempo.
CLASES DE ERRORES
A) Propios
Son aquellos que provienen del descuido,
torpeza o distracción del observador,estas no
entran en el análisis de la teoría de errores.
Es posible que el operador
lea en la cinta métrica
15,40myalanotar,escriba
pordescuidoL=154m;éste
es un error propio,tan gra-
ve que no se debe conside-
rarenloscálculosdeTeoría
de Errores.
15 16
Lasagujasdeuncronó-
metrossonsusceptibles
al retraso o adelanto
debido al mecanismo
delmismoinstrumento,
luego se cometerá un
errordemedición.
L =
154

B) Sistemáticos
Son aquellos que aparecen debido a una im-
perfección de los aparatos utilizados, así
como también a la influencia de agentes ex-
ternos como: viento, calor, humedad, etc. Es-
tos errores obedecen siempre a una Ley Ma-
temática o Física, por lo cual es posible su
corrección.
C) Accidentales o Fortuitos
Son aquellos que se presentan debido a cau-
sas ajenas a la pericia del observador,y al que
nopuedeaplicarsecorrección alguna,sinem-
bargo estos errores suelen obedecer a las Le-
yes de las Probabilidades.
Portalmotivoserecomiendatomarvariaslec-
turas de una misma medición, pues general-
mente estas suelen ser diferentes.
NOTA
Esta clase de error no se tomará en cuenta en
este libro.
TEORÍA DE ERRORESTEORÍA DE ERRORESTEORÍA DE ERRORESTEORÍA DE ERRORESTEORÍA DE ERRORES
Es imposible encontrar el verdadero valor del error
accidental; si así fuese, podríamos entonces calcu-
lar el valor exacto de la magnitud en medición su-
mando algebraicamente el valor observado.
No obstante es posible definir ciertos límites de
error, impuestos por la finalidad u objetivo de la
medición.
Así pues, queda claro que los errores accidentales
tienen un rango establecido, cuyo cálculo irán de
acuerdo con los principios y métodos de la teoría
matemática de errores con aplicación del cálculo
de probabilidades.
Estableceremos convencionalmente dos casos:
I.- CUANDO SE REALIZA UNA SOLA
MEDICIÓN
Hay casos en las que se toma una sola medición u
observación respecto a un patrón establecido, así
por ejemplo:
Cuando medimos el lar-
go de un libro,cada vez
que se mida, la lectura
será diferente.
Es importante establecer entonces bajo que error
se está trabajando.
A) Valor verdadero (A)
Es el valor “exacto” o patrón que se establece
en una medición,en realidad,tal valor“exacto”
PATRON VALOR APROXIMADO
π = 3,141 592 654 3,141 6
g = 9,8 m/s2
10 m/s2
tan 37º = 0,753 554 05 0,75
L=0,305m
L=0,306m
L=0,304m
L
L’
SupongamosquesequieremedirlalongitudAB,peroalusarlacintamétrica,
éstasepandeacomomuestralafigura,lalecturaquesetomaenestascondi-
cionesnoserálaverdadera,habráquecorregir.
L = L’− corrección
Lacorrecciónsedeterminamediantelasiguientefórmula:
Donde:W,LyFsonparámetrosconocidos.
corrección =
W L
F
2
24
A
B

no existe, pero se suele establecer de acuer-
do al tipo de trabajo a realizar; así por ejem-
plo, el valor verdadero de la constante (π) se
puede considerar como 3,141 6.
B) Error Absoluto(EA)
Es la diferencia entre el valor verdadero y el
aproximado.
Donde; EA : error absoluto
A : valor verdadero
A’ : valor aproximado
C) Error Relativo (ER)
Llamado también error porcentual y nos de-
termina según parámetros establecidos si la
equivocación puede ser aceptable o no.
Donde; ER : error relativo
E
A
: error absoluto
A : valor verdadero
2.- CUANDO SE REALIZA DOS O MÁS
MEDICIONES
Generalmente cuando se lleva a cabo una medi-
ción, no se conoce el valor verdadero; es por esto
que se recomienda tomar varias mediciones, no
obstante, jamás se podrá conocer el valor exacto.
A) Media (X)
Es el valor que tiende a situarse en el centro
del conjunto de datos ordenados según su
magnitud. Es la media aritmética de un con-
junto de datos.
E
E
A
R
A
= 100%
E A AA = ′ −
X =
+ + + +x x x x
n
n1 2 3 ...
Ejemplo: 10,20 ;10,22; 10,18
X =
+ +10 20 10 22 10 18
3
, , ,
X = 10 20,
B) Desviación (V)
Selellamatambiénerroraparentedeuname-
dición.Es la diferencia entre la media y el va-
lor correspondiente a una medición.
Ejemplo:
10,20 ⇒ V = 10,20 – 10,20 = 0
10,22 ⇒ V = 10,20 – 10,22 = -0,02
10,18 ⇒ V = 10,20 – 10,18 = +0,02
C) Desviación típica ó stándar (σσσσσ)
Viene a ser el promedio de todas las desvia-
ciones de las mediciones realizadas.
Donde;
σ : desviación típica o stándar
V : desviación de cada medición
n : número de mediciones
Para la explicación de la presente expresión,parti-
remos diciendo que el número mínimo de medi-
ciones tendrá que ser dos, de lo contrario no ten-
dría sentido hablar de promedio y por ende de
desviación. Por otro lado no es difícil deducir que
el promedio de todas las desviaciones sería:
Sin embargo, en la práctica, el resultado de di-
cha expresión siempre será cero; es por ello que
se utiliza la suma de los cuadrados, la cual nunca
se anulará.
D) Error probable de una observación (E0 )
Es aquel intervalo [-E0 ,+ E0],dentro de cuyos
límites puede caer o no el verdadero error acci-
dental con una probabilidad del 50%.
Donde;
E0 :error probable de una observación
σ :desviación típica o stándar.
σ = ± ≤ ≤
Σ
−
V
n 1
2 n 30
2
ΣV
n
E0 0 674 5= ± , σ

E) Error relativo (ER)
Es la relación entre E0 y la media X; y viene a
ser el parámetro que califica la calidad del
trabajo.
Donde;
ER : error relativo
X : media
E0 : error probable de una observación
Ejemplo:
Supongamos que se desea realizar un traba-
jo de laboratorio,donde es requisito para ob-
tener las metas deseadas un error relativo
menor que
1
3000
; si el trabajo de laborato-
rio arrojó un ER = ±
1
4 000
Tendremos:
Dedondesededucequeeltrabajorealizadoesacep-
table;de lo contrario habrá que volver a empezar.
E
E
X
R = ± 0
E
X
E
R = ±
F
HG
I
KJ
1
0
ó
1
4 000
1
3000

F) Error probable de la media (E)
Está visto que la media,también está sujeto a
error.
El error probable de la media al 50% de pro-
babilidad se puede determinar así:
Donde;
E : error probable de la media
V : desviación de cada medición
n : número de mediciones
G) Valor más probable (V.M.P.)
Es aquel que se acerca más al verdadero va-
lor pero que no lo es.
Comúnmente se considera a la media como
el valor más probable de varias mediciones.
Donde;
V.M.P. :valor más probable
X : media
Como quiera que el V.M.P.nunca será el valor
verdadero, se deduce que existirá un error y
que dicho valor exacto estará ubicado den-
tro del rango de ciertos límites; este será:
Donde;
E : error probable de la media
E
n
= ± 0 674 5,
Σ
−
V
n 1
2
b g
V M P X. . . =
V M P E V M P E. . . , . . .− +

1.- .............,es el proceso por el cual se compara una mag-
nitud determinada con la unidad ............ previamente
establecida.
a) Estimación – base
b) Medición – patrón
c) Estimación – de comparación
d) Medición – base
e) Marcación – estelar
2.- Señalar verdadero o falso en las siguientes proposi-
ciones:
I.- Exactitud,es el grado de aproximación a la verdad
o perfección a la que se procura llegar.
II.- Precisión instrumental o procedimental,es el gra-
do de perfección alcanzado.
III.- Error, es la cuantificación de la incertidumbre de
una medición experimental respecto al resultado
ideal.
a) VFF d) VVV
b) VFV e) FVF
c) FFV
3.- ¿Cuál de las alternativas no puede ser una causa de
error en las mediciones?
a) Naturales.
b) Instrumentales.
c) Personales.
d) Temperamentales.
e) N.A.
4.- Errores...................provienendeldescuido,torpezaodis-
tracción del observador,estas no entran en el análisis
de................
a) Sistemáticos – teoría de errores.
b) Propios – la teoría de errores.
c) Accidentales – métodos científicos.
d) Fortuitos – métodos científicos.
e) N.A.
5.- ¿Cuál es la media o promedio ponderado de las me-
diciones de cierta varilla cuyas medidas obtenidas
fueron:
12 cm ; 14 cm ; 11 cm ; 13 cm ; 12 cm
a) 12 cm d) 11,8 cm
b) 12,2 cm e) 12,8 cm
c) 12,4 cm
6.- La media de un grupo de medidas de cierto peso es
28,5 g,siendo una de las medidas obtenidas 27,8 g;la
desviación sería:
a) +1,3 g
b) –1,3 g
c) –0,7 g
d) +0,7 g
e) +0,9 g
7.- En la medición de la longitud de un terreno, el valor
más probable obtenido:100,212 ± 0,000 8;esto signi-
fica que:
a) El valor real está comprendido entre 100,211 2
y 100,212 8.
b) El valor que más se acerca es 100,22
c) El valor más probable es 100,212 8
d) El valor menos probable es 100,212 6
e) N.A.
8.- La media de 5 mediciones a sido 12,6, si una de es-
tas mediciones fue 12,7,hallar la desviación aparen-
te obtenida.
a) 0,1
b) –0,1
c) 25,3
d) –25,3
e) N.A.
9.- ¿Cuánto pague por 0,5 Mg, 300 kg, 50 Hg de arroz a
S/. 2,00 el kilo?
a) S/. 10 000
b) S/. 5 000
c) S/. 1 610
d) S/. 9 050
e) N.A.
10.- La suma de los cuadrados desviaciones de cierto gru-
po de medidas (cinco mediciones) fue 81. Hallar su
desviación típica o stándar.
a) 6,5
b) 5,5
c) 3,5
d) 8,5
e) 4,5

ER =
−
×
3 14 3 14159
3 141 59
100
, ,
,
%
ER =
−
×
0 0016
3 1416
100
,
,
%
EA = −3 14 3 1416, ,
5.- ¿Con cuántas cifras decimales debemos tomar el nú-
mero π = 3,141 59 para que su error relativo sea me-
nor del 0,1%?
Solución:
Rpta. Dos cifras decimales
Verificando:
Tomando valor absoluto:
1.- Se ha obtenido los siguientes valores al determinar la
masa de un cuerpo:2,350 g;2,352 g;2,348 g y 2,350 g.
¿Cuál es el valor más probable?
Solución:
V.M.P.= X
Calculando la media: X
Luego:
2.- Consideremos la longitud de una mesa 112,8 cm; al
medirla hemos obtenido 113,4 cm; hallar el error ab-
soluto y el error relativo.
Solución:
t Calculando el error absoluto
t Calculado el error relativo
3.- ¿Qué error relativo, se comete al dar a π = 3,141 6 el
valor 3,14?
Solución:
t Calculando el error absoluto
t Calculado el error relativo
4.- Un alumno A mide la longitud de un hilo de 5 m y
halla un valor de 6 m,otro alumno B mide la longitud
de un paseo de 500 m y halla un valor de 501 m.¿Qué
error absoluto se cometió en cada caso?, ¿qué medi-
da fué más precisa?
Solución:
En el cuadro mostrado notamos que ambos alumnos
cometieron el mismo error absoluto: 1 metro por ex-
ceso, y la medida más precisa fue la del alumno B, ya
que cometió un error relativo menor.
X =
+ + +2 350 2 352 2 348 2 350
4
, , , ,
X = 2 350,
EA = −113 4 112 8, ,
E
E
A
R
A
= ×100%
ER = 0 53, %
E
E
A
R
A
= ×100%
ER = − 0 051, %
ALUMNO ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO
A 1 m (exceso)
1
5
100 20× = %
B 1 m (exceso)
1
500
100 0 2× = , %
ER = + 0 05 0 1, % , %
V M P. . . ,= 2 350
E A AA = −'
ER = ×
0 6
112 8
100
,
,
%
E A AA = −'
E
A
E
E
A
A
A
×
×

100 0 1
3 141 59
100 0 1
0 00314
% , %
,
% , %
,
ER 0 1, %
E cm por excesoA = + 0 6, ( )
E por defectoA = − 0 0016, ( )

ER = ×
1
1000
100%
1.- En la medida de 1 metro, se ha cometido un error de
1 mm y en 300 km un error de 300 m.¿Qué error rela-
tivo es mayor?
Solución:
t Cuando L = 1 m
A = 1 000 mm
t Cuando L = 300 km
A = 300 000 m
Rpta. Los dos tienen igual error relativo
2.- ¿Qué medida es más precisa: La de un químico que
pesa200mgconunabalanzaqueapreciaelmiligramo
o la de un tendero que pesa 2 kg de arroz con una
balanza que aprecia el gramo?
Solución:
Será más precisa aquella pesada cuyo error relativo
sea menor.
t Con el químico:
t Con el tendero
Rpta. Es más precisa la medida del tendero
3.- Consideremos la siguiente serie de mediciones reali-
zadas con un esferómetro:
¿Cómo se debe expresar el resultado final de las me-
diciones?
Solución:
t Calculando el error probable de la media (E)
t El valor más probable: V.M.P.= X = 4,557
Luego el resultado final podrá ser expresado.
4,557 ± 0,000 7
Del concepto de teoría de errores,se deduce que hay
un 50% de probabilidades de que el verdadero valor
del resultado final esté comprendido entre 4,556 3 m
y 4,557 7 m.
4.- Se ha medido la longitud de un terreno,los datos ob-
tenidos en metros son:
1° Medición : 100,212
2° Medición : 100,210
3° Medición : 100,214
Se pide: A) Calcular la media.
B) Calcular la desviación típica o stándar (σ).
Solución:
A) Son tres mediciones n = 3
E
E
A
R
A
= ×100%
ER = 0 1, %
E
E
A
E
R
A
R
= ×
= ×
100
300
300 000
100
%
%
ER = 0 1, %
E
E
A
R
A
= ×100%
ER = 0 5, %
ER = 0 05, %
MEDICIONES ERRORES (V) V2
4,556 mm +0,001 0,000 001
4,559 mm -0,002 0,000 004
4,553 mm +0,004 0,000 016
4,561 mm -0,004 0,000 016
4,562 mm -0,005 0,000 025
4,555 mm +0,002 0,000 004
4,557 mm 0,000 0,000 000
4,553 mm +0,004 0,000 016
4,556 mm +0,001 0,000 001
4,558 mm -0,001 0,000 001
X = 4,557 mm ΣV = 0,000 ΣV2
= 0,000 084
E
n
= ± 0 674 5,
Σ
−
V
n 1
2
b g
E = ± 0 674 5
0 000 084
10 9
,
,
b g
E = ± 0 000 7,
E
mg
mg
R = ×
1
200
100%
E
g
g
R = ×
1
2 000
100%

ER = ± =
1
100 212
0 001349
1
74 286,
,
E0 0 001349= ± ,
B) Tabulando
5.- En el problema anterior calcular:
A) El error relativo
B) El resultado final
Solución:
A)
B)
El V.M.P.= X = 100,212
Luego el resultado final podrá ser expresado:
100,212 ± 0,000 8
Esto significa que hay un 50% de probabilidades de
que el verdadero valor del resultado final esté com-
prendido entre 100,211 2 y 100,212 8.
X =
+ +
=
100 212 100 210 100 214
3
300 636
3
, , , ,
X =100 212,
σ = ± = ±
×
−
−
Σ
−
V
n 1
2
8 10
3 1
6
σ = ± 0 002,
E
E
X X
E
R = ± = ±0
0
1
E0 0 674 5 0 674 5 0 002= ± = ±, , ,σ b g
ER =
1
74 286
E
n
= ± 0 674 5,
Σ
−
V
n 1
2
b g
E = ±
× −
0 674 5
8 10
3 2
6
,
b g
E = ± 0 000 8,
6.- Con ayuda de un teodolito se midió un ángulo, reali-
zando una observación angular en ocasiones diferen-
tes y por diferentes observadores.Calcular la media.
Los datos de campo son:
θ
1
= 40° 20‘ 10“ 1 medida
θ
2
= 40° 20‘ 30“ 4 medidas
θ
3
= 40° 20‘ 50“ 3 medidas
Calcular la media.
Solución:
7.- Se ha efectuado la medición de una distancia y los re-
sultados obtenidos son:
1° Medición : 800,213 m
2° Medición : 800,220 m
3° Medición : 800,603 m
4° Medición : 800,218 m
Se pide: Calcular el error relativo
Solución:
Enprimerlugar,sianalizamoselvalordecadamedición,
respecto a los demás, será fácil detectar que la tercera
medición tiene un valor muy lejano a las otras medicio-
nes,lo cual hace deducir que en el proceso de medición
sedebiócometerunerrorpropio(enla3°medición),por
tal motivo no se tomará en cuenta en los cálculos.
Luego; 1° Medición : 800,213 m
2° Medición : 800,220 m
3° Medición : 800,218 m
n = 3
n observaciones= + + =1 4 3 8
θ
θ θ θ
=
+ +1 4 3
8
1 2 3b g b g b g
θ =
8
40° 20‘ 10“ + 4(40° 20‘ 30“) + 3(40° 20‘ 50“)
322° 44‘ 40“θ =
8
⇒ θ = 40° 24‘ 35“
X =
+ +
=
800 213 800 220 800 218
3
2 400 651
3
, , , ,
X m= 800 217,
MEDIDA V = X - Xi
V
2
100,212 0 0
100,210 +0,002 4×10-6
100,214 -0,002 4×10
-6
Sumatoria 8×10
-6

E = ± 0 001 4,
t Tabulando
8.- En el problema anterior,determinar el resultado final.
Solución:
V.M.P.= X = 800,217
Luego el resultado final podrá ser expresado:
800,217 ± 0,001 4
9.- Se ha pesado varias veces un saco de papas y los da-
tos obtenidos son:
100,44 N ; 100,46 N ;100,50 N ; 100,10 N
Calcular el error relativo, si la tolerancia máxima per-
mitida es 0,20 N.
Solución:
t n = 4
MEDIDA V = X - X
i
V2
800,213 +0,004 16×10
-6
800,220 -0,003 9×10
-6
800,218 -0,001 1×10-6
Sumatoria 26×10-6
σ = ± = ±
×
−
−
Σ
−
V
n 1
2
26 10
3 1
6
σ = ± 0 003 6,
E0 0 674 5 0 674 5 0 003 6= ± = ±, , ,σ b g
E0 0 002 428 2= ± ,
E
E
X X
E
R = ± = ±0
0
1
E ER R= ± ⇒ = ±
1
800 217
0 002 428 2
1
329 552,
,
t Tabulando:
E
n
= ± = ±
× −
0 674 5 0 674 5
26 10
2 3
6
, ,
Σ
−
V
n 1
2
b g b g
X =
+ + +100 44 100 46 100 50 100 10
4
, , , ,
X N=100 375,
Observamos que la desviación V correspondiente a
100,10 es mayor que el permitido; si analizamos ini-
cialmenteelproblema,esfácildarsecuentaque100,10
esta muy lejos a los demás datos,seguramente se co-
metió algún error propio.
Por lo tanto no se tomará en cuenta en los cálculos.
t Ahora tendremos: n = 3
10.- En el problema anterior, expresar el resultado final.
Solución:
t Calculando el error probable de la media.
t El valor más probable: V.M.P.= X = 100,467 N
Luego el resultado final podrá ser expresado.
100,467 N ± 0,012 N
100,44 -0,065
100,46 -0,085
100,50 -0,125
100,10 +0,275
MEDIDA V = X - Xi
valor mayor
que 0,20
(tolerancia)
®
t Tabulando:
MEDIDA V = X − Xi V2
100,44 +0,027 72,9×10
−5
100,46 +0,007 4,90×10
−5
100,50 -0,033 108,90×10−5
Sumatoria 186,7×10−5
E0 0 674 5 0 674 5= ± = ±, ,σ
Σ
−
V
n 1
2
E0 0 020 608= ± ,
t
t E
X
E
R = ±
F
HG
I
KJ
= ±
1 1
100 467
0 020 608
0
,
,
E
n
= ± = ±
× −
0 674 5 0 674 5
186 7 10
3 2
5
, ,
,Σ
−
V
n 1
2
b g b g
E = ± 0 012,
t
t
t
ER = ±
1
4 875
X X N=
+ +
⇒ =
100 44 100 46 100 50
3
100 467
, , ,
,

VECTORES
Capítulo 3
MAGNITUD VECTORIALMAGNITUD VECTORIALMAGNITUD VECTORIALMAGNITUD VECTORIALMAGNITUD VECTORIAL
Es aquella magnitud que aparte de conocer su valor numérico y su uni-
dad respectiva,es necesario conocer también la dirección y sentido para
que así dicha magnitud logre estar perfectamente determinada.
Veamos un ejemplo sencillo:
VECTORVECTORVECTORVECTORVECTOR
Es un segmento de línea recta
orientadaquesirvepararepresen-
tar a las magnitudes vectoriales.
Si una persona desea disparar una flecha al blanco,ella debe conocer la
fuerza (módulo) mínima que debe aplicar a la flecha para que ésta se
incruste en el tablero; pero supongamos que a dicha persona después
de conocer la distancia de ella al blanco,le tapan los ojos.¿Sabrá a don-
de apuntar?, la respuesta es no, pues conocerá cuanto debe tirar de la
cuerda pero no sabrá hacia donde. ¿Qué falta? le falta la ubicación del
blanco (dirección y sentido). Queda demostrado entonces que la fuer-
za es una magnitud vectorial, pues a parte del valor y unidad respecti-
va, se necesita la dirección y sentido.
A A A= =
r
; se lee: Módulo
del vector A
; se lee vector AA A=
r

ELEMENTOS DE UN VECTOR:
A) Punto de aplicación.- Está dado por el ori-
gen del vector.
B) Intensidad, módulo o magnitud.- Es el
valor del vector,y generalmente,está dado en
escala. ejm. 5 unidades de longitud equiva-
le a 5 N (si se tratáse de fuerza).
C) Sentido.- Es la orientación del vector.
D) Dirección.- Está dada por la línea de acción
del vector o por todas las líneas rectas para-
lelas a él.
ALGUNOS TIPOS DE VECTORES:ALGUNOS TIPOS DE VECTORES:ALGUNOS TIPOS DE VECTORES:ALGUNOS TIPOS DE VECTORES:ALGUNOS TIPOS DE VECTORES:
A) Vectores colineales
Son aquellos vectores que están contenidos
en una misma línea de acción.
B) Vectores concurrentes
Son aquellos vectores cuyas líneas de acción,
se cortan en un solo punto.
C) Vectores coplanares
Son aquellos vectores que están contenidos
en un mismo plano.
D) Vectores iguales
Son aquellos vectores que tienen la misma
intensidad, dirección y sentido.
E) Vector opuesto (−A)
Se llama vector opuesto (−A) de un vector A
cuando tienen el mismo módulo,la misma di-
rección, pero sentido contrario.
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UNPRODUCTO DE UN VECTOR POR UNPRODUCTO DE UN VECTOR POR UNPRODUCTO DE UN VECTOR POR UNPRODUCTO DE UN VECTOR POR UN
ESCALARESCALARESCALARESCALARESCALAR
Cuando un vector se multiplica por un escalar, re-
sulta otro vector en la misma dirección y de módu-
lo igual a tantas veces el escalar por el módulo del
vector dado.
Ejemplos.
A B y C soncolineales,
A B y C sonconcurrentes,
A B y C soncoplanares,
A yB soniguales
A y A sonvectores opuestos entre sí−
4 unidades 2 unidades 8 unidades

Vectores 43
ADICIÓN DE VECTORESADICIÓN DE VECTORESADICIÓN DE VECTORESADICIÓN DE VECTORESADICIÓN DE VECTORES
Sumar dos o más vectores, es representarlos por
uno sólo llamado resultante. Este vector resultan-
te produce los mismos efectos que todos juntos.
Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no
es lo mismo que la suma aritmética
OPERACIONES VECTORIALESOPERACIONES VECTORIALESOPERACIONES VECTORIALESOPERACIONES VECTORIALESOPERACIONES VECTORIALES
ADICIÓN DE VECTORES - MÉTODO GRÁFICO
A) Método del Paralelogramo
Este método es válido sólo para dos vectores
coplanares y concurrentes, para hallar la re-
sultante se une a los vectores por el origen
(deslizándolos) para luego formar un
paralelogramo,el vector resultante se encon-
trará en una de las diagonales, y su punto de
aplicación coincidirá con el origen común de
los dos vectores.
R A B C D= + + +
C) Método del Polígono
Válido sólo para dos o más vectores concu-
rrentes y coplanares. El método es el siguien-
te. Se unen los dos vectores uno a continua-
ción del otro para luego formar un polígono,
el vector resultante se encontrará en la línea
que forma el polígono y su punto de aplica-
cióncoincidiráconelorigendelprimervector.
En el caso de que el origen del primer vector coin-
cida con el extremo del último,el vector resultante
es nulo; y al sistema se le llama“polígono cerrado”.
R A B= +
R A B C= + +
R A B C D E= + + + + = 0R A B= +
B) Método del Triángulo
Válido sólo para dos vectores concurrentes y
coplanares. Elmétodoeselsiguiente. Seunen
los dos vectores uno a continuación del otro
para luego formar un triángulo, el vector re-
sultante se encontrará en la línea que forma
eltriánguloysupuntodeaplicaciónconcidirá
con el origen del primer vector.

ADICION DE VECTORES - MÉTODO ANALÍTICO
A) Suma de Vectores Colineales
En este caso la resultante se determina me-
diante la suma algebraica de los módulos de
los vectores, teniendo en cuenta la siguiente
regla de signos.
OBSERVACIONES
En la adición de vectores se cumplen varias pro-
piedades, éstas son:
Propiedad Conmutativa
Propiedad Asociativa
A B B A+ = +
A B C A B C A B C+ + = + + = + +d i d i
Ejemplo: Determinar la resultante de los si-
guientes vectores:
El signo negativo indica que el vector está di-
rigido hacia la izquierda.
Sabiendo:
Solución:
Teniendo en cuenta la regla de signos:
B) Suma de Vectores Concurrentes
y Coplanares
En este caso el módulo de la resultante se
halla mediante la siguiente fórmula.
A B C D= = = =4 3 3 1; ; ;
R A B C D= + + +
R R= − − + ⇒ = −4 3 3 1 1
La dirección del vector resultante se halla me-
diante la ley de senos.
RESULTANTE MÁXIMA Y MÍNIMA
DE DOS VECTORES
Resultante Máxima
Dos vectores tendrán una resultante máxima cuan-
do éstos se encuentren en la misma dirección y
sentido (θ = 0°).
CASO PARTICULAR
Si: θ = °90
R A B= +2 2
R A Bmax = +
R A B AB= + +2 2
2 cosθ
R
sen
A
sen
B
senθ α β
= =

Vectores 45
Resultante Mínima
Dos vectores tendrán una resultante mínima cuan-
do éstos se encuentren en la misma dirección;pero
en sentidos contrarios (θ = 180°).
SUSTRACCIÓN DE VECTORESSUSTRACCIÓN DE VECTORESSUSTRACCIÓN DE VECTORESSUSTRACCIÓN DE VECTORESSUSTRACCIÓN DE VECTORES
A) Método del Triángulo
En este caso se unen los dos vectores por sus
orígenes y luego se unen sus extremos, el
vector“D”será el vector diferencia.
B) Método del Paralelogramo
En este caso se invierte el sentido del vector
que está acompañado del signo negativo; y
luego se sigue el mismo procedimiento para
adición de vectores por el método del
paralelogramo.
COMPONENTES DE UN VECTORCOMPONENTES DE UN VECTORCOMPONENTES DE UN VECTORCOMPONENTES DE UN VECTORCOMPONENTES DE UN VECTOR
Se denominan componentes de un vector a todos
aquellos vectores que sumados por el método del
polígono, dan como resultado un determinado
vector. Hay que tomar en cuenta que un vector
puede tener infinitas componentes.
R A Bmín = −
D B A= −
D A B= −
COMPONENTES RECTANGULARES DE
UN VECTOR
Son aquellos vectores componentes de un vector
que forman entre sí un ángulo de 90°.
A B C D R+ + + =
A B C yD, ,
son componentes
del vector R
VECTOR UNITVECTOR UNITVECTOR UNITVECTOR UNITVECTOR UNITARIOARIOARIOARIOARIO
Es un vector cuyo módulo es la unidad y tiene por
misión indicar la dirección y sentido de un deter-
minado vector. A dicho vector se le llama también
versor.
A A Ax y= +
A
A
=
u = vector unitario
de A
D A B= −
D A B AB= + + ° −2 2
2 180cos θb g
D A B AB= + −2 2
2 cosθ
A Ax = cos θ
A Aseny = θ
u

VERSORES RECTANGULARES
Son aquellos vectores unitarios que se encuentran
en los ejes coordenados rectangulares.
Ahora tendremos:
i : Vector unitario en el eje x (positivo).
- i : Vector unitario en el eje x (negativo).
j : Vector unitario en el eje y (positivo).
- j : Vector unitario en el eje y (negativo).
Ejemplo de aplicación:
Enelsistemamostradoenlafigura,expresarelvector
“A” en términos de los vectores unitarios rectangu-
lares,sabiendo que su módulo es de 30 unidades.
SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODOSUMA DE VECTORES POR EL MÉTODOSUMA DE VECTORES POR EL MÉTODOSUMA DE VECTORES POR EL MÉTODOSUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO
DE COMPONENTES RECTDE COMPONENTES RECTDE COMPONENTES RECTDE COMPONENTES RECTDE COMPONENTES RECTANGULARESANGULARESANGULARESANGULARESANGULARES
Para hallar la resultante por este método, se sigue
los siguientes pasos:
1.- Se descomponen los vectores en sus compo-
nentes rectangulares.
2.- Se halla la resultante en el eje x e y (Rx , Ry ),
por el método de vectores colineales.
3.- El módulo del vector resultante se halla apli-
cando el teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
En el sistema de vectores mostrado en la figura.
Hallar el vector resultante y su módulo.
A A Ax y= +
A A i A jx y= +
ó
A i j= +18 24
t
t
A A A A A i A jx y x y= + ⇒ = + Rx = − 6
Ry = 23
(hacia la izquierda)
(hacia arriba)
R = 23 77,
Solución:
Por motivos didácticos,trabajaremos con números.
A A Ax x= ° =
F
HG I
KJ ⇒ =cos 53 30
3
5
18
A Asen Ay y= ° =
F
HG I
KJ ⇒ =53 30
4
5
24
Rx = ° − ° =
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ15 37 30 53 15
4
5
30
3
5
cos cos
R sen seny = ° + ° − =
F
HG I
KJ+
F
HG I
KJ−30 53 15 37 10 30
4
5
15
3
5
10
R i j Ahora R= − + = +6 23 6 232 2
; :
A = 30
B =15
C =10
R R Rx y= +2 2

Vectores 47
El vector desplazamientoEl vector desplazamientoEl vector desplazamientoEl vector desplazamientoEl vector desplazamiento
El desplazamiento es un vector: Si el ob-
jetivo fuese darle a la bola amarilla con la
roja, esta última tendría que recorrer la
distancia d; sin embargo podría elegirse
también otros caminos convenientes en
cuyos casos los vectores formados se-
rían componentes del vector d (d1 y d2
son componentes del vector d).
El tiempo - escalarEl tiempo - escalarEl tiempo - escalarEl tiempo - escalarEl tiempo - escalar
El tiempo, es considerado como magnitud escalar, pues sólo
necesitamos el valor y la unidad respectiva para tener la infor-
mación completa.
En realidad la investigación sobre el tiempo es muy compleja y
falta mucho por estudiarlo.
Entonces: ¿Tendrá dirección y sentido el tiempo?
LLLLLa fuerza: un vectora fuerza: un vectora fuerza: un vectora fuerza: un vectora fuerza: un vector
La fuerza es una magnitud vectorial, por tanto se representa mediante un vector.
Ahora; sumar dos o más vectores no implica necesariamente sumar sus módulos, ello depen-
derá de la posición en que se encuentren.
En el presente caso, los vectores fuerzas son colineales por tal razón habrá que aplicar el
método de vectores colineales para la determinación del vector resultante.
Ciencia y Tecnología 47

La velocidad - un vectorLa velocidad - un vectorLa velocidad - un vectorLa velocidad - un vectorLa velocidad - un vector
Para que el avión pueda desplazarse
desde el punto A hasta el B, el piloto
deberá conocer las coordenadas de di-
chos puntos ya sea vía radio o vía sa-
télite, lo cierto es que la obtención de
dichos datos no es problema.
Conocidas las coordenadas de A y B,
es fácil determinar el vector desplaza-
miento por donde deberá recorrer el
avión (d).
Si el piloto dirige la velocidad del avión
en la dirección del desplazamiento cal-
culado, el viento se encargará de des-
viarlo.
En realidad la dirección del viento puede cambiar, para lo cual el piloto deberá estar alerta a ello
y cambiar también la dirección de la velocidad del avión para así conservar la dirección de la
velocidad resultante en la línea del desplazamiento d.
Este mismo principio se utiliza también en los barcos para la navegación marítima.
Para evitar que el avión se desvíe, será
necesario conocer la dirección del
viento y mediante el método del
paralelogramo determinar la dirección
que hay que imprimir al aparato para
que su velocidad resultante se dirija
en la dirección del desplazamiento
deseado.
d
Ciencia y Tecnología48

Vectores 49
R C= 2
R C= 2 R C= 3
|R| = 20
1.- Dados los vectores mostrados:
a) d)
b) e)
c)
2.- Dos vectores tienen de módulos 4 y 8,¿cuál de los va-
lores enteros puede ser resultante de ellos?
a) 3 d) 2
b) 13 e) 14
c) 10
3.- Para dos vectores perpendiculares,señalar verdadero
o falso.
I.- Módulo de su resultante es igual al módulo de su
diferencia.
II.- El módulo de la resultante es mayor que el mó-
dulo de la diferencia.
III.- El módulo de uno de los vectores es mayor que el
de su diferencia.
a) VFF d) FFV
b) VVV e) FVV
c) VFV
4.- Para dos vectores de igual módulo que forman un án-
gulo de 120°,marcar verdadero o falso:
I.- Módulodesuresultanteesigualaldeunodeellos.
III.- Módulodesuresultanteeseldobledeunodeellos.
III.- El módulo de su resultante es cero.
a) VVV d) FFV
b) VFV e) FVF
c) VFF
5.- Dadas las relaciones,¿cuál no corresponde?
a) d)
b) e)
c)
6.- Respecto a los vectores,señalar verdadero o falso:
I.- Al multiplicar un escalar positivo por un vector,
se obtiene otro vector en el mismo sentido que
el primero.
II.- Al multiplicar un escalar negativo por un vector, se
obtiene otro vector en sentido contrario al primero.
III.- Un vector sólo puede ser descompuesto en dos
vectores.
a) VFF d) FFF
b) VVF e) FVV
c) VVV
7.- Respecto a dos vectores señalar la alternativa in-
correcta:
a) La resultante máxima es la suma de sus módulos.
b) La resultante mínima es la diferencia de sus
módulos.
c) La resultante sigue la dirección del mayor.
d) La mayor resultante se da cuando están en el mis-
mo sentido.
e) La menor resultante se da cuando tienen senti-
dos contrarios.
8.- Para dos vectores ortogonales:
a) Su resultante es la suma de sus módulos.
b) Su resultante es la diferencia de sus módulos.
c) Su resultante es mayor que su diferencia.
d) El módulo de su resultante se obtiene por el teo-
rema de Pitágoras.
e) El módulo de su resultante puede ser la suma de
sus módulos.
9.- Respectoalosvectoresmos-
trados, señalar lo correcto
respecto a su resultante.
a) 10 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 0
e) N.A.
10.- ¿Qué podrás decir de la resultante de los vectores
mostrados?
a) 40 N
b) 120 N
c) 80 N
d) 40 3 N
e) 80 3 N
a = 8
b = 3
a b+ =11
a b− =11
a b− =2 2
b a− = 5
a b+ =4 20
R N=10

1.- Se tienen dos fuerzas iguales
a 10 N cada una,como mues-
tra la figura,determinar el va-
lor de su resultante.
Solución:
2.- ¿Cuál es la resultante en N, de dos fuerzas de 10 N de
módulo cada una,si forman entre sí un ángulo de 90°?
Solución:
R = + +
F
HG I
KJ100 100 2 100
1
2
b g
R N=10 3
3.- Encontrarlamagni-
tuddelvector
r r
A B+
sabiendo que A = 5
unidades, B = 8 uni-
dades.
Solución:
Observamos que los vectores
r
A y
r
B son perpendicu-
lares entre si:
R = +10 102 2
R N=10 2
4.- En el sistema mostrado,determinar el vector resultan-
te en términos del vector A.
R A B= +
R = +5 82 2
R A B= +2 2
R = 89
R unidades≈ 9 4,
Solución:
Nos piden:
De la figura:
(2) en (1)
5.- En la figura,“M” es punto medio del vector “A”, obte-
ner el vector“D ”en función de los vectores B y C.
Solución:
t En el triángulo PQR:
t En el triángulo MPQ:
t (1) en (2):
........ (1)
........ (2)
C A B= +
A C B= −
A
B D
2
+ =
D B C= +
1
2
e j
R A B C= + +
A B C= +
R A A R A= + ⇒ = 2
C B
B D
−
+ =
2
......... (1)
......... (2)
R = + + °10 10 2 10 10 602 2
b gb gcos

Vectores 51
1.- El módulo de la resultante de dos vectores perpendi-
culares es 10 y cuando forman 120° es 2 13 . Hallar el
módulo del mayor de ellos.
Solución:
t Primer caso: cuando son perpendiculares
t Segundo caso: cuando forman 120°
t Finalmente: de (1) y (2)
A B
2 2 2
10+ =
A B
2 2
100+ = ........ (1)
A B = 48
2 13 100 2
1
2
2
e j = + −
F
HG I
KJA B
........ (2)
2.- Dos vectores tienen sus módulos en la relación de
5 a 6. La resultante de las dos forma 37° con el me-
nor módulo. ¿Qué ángulo forman los vectores
concurrentes?
Solución:
A = 8 B = 6
En el triángulo ABC
φ φ− ° = ° ⇒ = °37 30 67Luego:
3.- Hallar el módulo del vector resultante,si:
Solución:
Podemos observar que:
Pero piden:
Reemplazando (1) en (2):
Nótese que a y b forman 90°
........ (1)
........ (2)
4.- En el paralelogramo, determinar la resultante del sis-
tema, en términos de los vectores A y B, (m y n son
puntos medios).
Solución:
Aprovechando los puntos medios, adicionamos
vectores A/2 y B/2.
R = 20
R A B C D= + + + ........ (1)
R A B A B
2 2 2
2 120= + + °cos
tan
cos
37
6
5 6
° =
+
senφ
φ
3
4
6
5 6
=
+
senφ
φcos
3 5 6 4 6+ =cos φ φb g b gsen
15 18 24 8 6 5+ = ⇒ − =cos cosφ φ φ φsen sen
8
10
6
10
5
10
senφ φ− =cos
cos cos37 37
1
2
° − ° =sen senφ φ
sen φ − ° =37
1
2
b g
a b= =6 8,
b d e f a c= + + − +
b a d e f c+ = + + +
R a b c d e f= + + + + +
R a b b a a b= + + + = +e j e j2
R a b a b R= + = +
F
HG
I
KJ ⇒ = +2 2 2 6 10
2 2 2 2
R
=2
13

Del triángulo (I):
(2) y (3)en (1):
C A
B
= +
2
D B
A
= +
2
........ (2) ........ (3)
Del triángulo (II):
5.- La figura muestra un
trapecio, de vértices
A, B, C, D, sabiendo
que ”M”es punto me-
dio del segmento AB,
determinar el módu-
lo de la resultante de
los vectores a y b.
BC = 7 ; AD = 13
Solución:
Descomponiendo a:
Descomponiendo b :
(1) + (2):
Como q y n son paralelos:
R A B A
B
B
A
= + + +
F
HG
I
KJ + +
F
HG
I
KJ2 2
R A B= +
5
2
e j
a b+ = ?Nos piden:
........ (1)
........ (2)
6.- Dado el trapecio MNPQ mostrado en la figura, deter-
minar el valor del ángulo“θ”para que la resultante de
a y b sea de 26 unidades. R es punto medio de PQ
(MQ = 10 u; NP = 24 u).
a b q n+ = + = +7 13
a b+ = 20
Solución:
Descomponiendo el vector a:
Descomponiendo el vector b :
(1) + (2):
Entonces:
Según los datos y la figura:
Luego:
Finalmente:
........ (1)
........ (2)
0 (de la figura)®
0 (de la figura)®
a b p m+ = +
p m a b= = + =10 24 26; ;
7.- En el siguiente gráfico se muestra un triángulo con
dos vectores en su interior,siAB = 2 y BC = 4. Determi-
nar el módulo del vector resultante. Además:
AM = MN = NC
64 180° + + = °α θ
64 90 180 26° + ° + = ° ⇒ = °θ θ
a p q= +
b m n= +
a b p m q n+ = + + +
a b q n+ = +
a p q= +
b m n= +
a b p q n m+ = + + +
a b p m+ = +
a b p m p m+ = + +
2 2 2
2 cosα
26 10 24 2 10 242 2 2
= + + b gb gcosα
cos α α= ⇒ = °0 90

Vectores 53
Solución:
Descomponemos los vectores y observamos que el
vector MA y NC se anulan.
Lo cual se reduce a :
Equivalente a:
R = + +4 16 8
R = 2 7
8.- Hallar la medida del ángulo“α”para que la resultante
de los vectores mostrados tenga módulo“L”.
Solución:
Creamos vectores ”q”
y“p”aprovechandolos
puntos medios; y le
damos nombre a los
vectores mostrados
(A y B)
Nos piden:
De la figura:
Con lo cual:
Pero:
Luego:
Con ello la figura correcta es:
A q p A p q
B p q B q p
+ = ⇒ = −
+ = ⇒ = −
2 2
2 2
A B q p+ = +
R p q= +
R L p L q L= = =; ;
9.- En la figura se muestra un hexágono regular,determi-
nar el vector resultante en términos del vector“C”.
R = + + °4 2 2 4 2 602 2
b gb gcos
R p q pq2 2 2
2= + + cos α
L L L L L2 2 2
2= + + b gb gcos α
L L L2 2 2
2 2= + cos α
cosα α= − ⇒ = °
1
2
120
R R A B⇒ = +

Solución:
Aprovechando que el hexágono es regular, traslada-
remos los vectores A y E a la parte inferior.
En el triángulo (I): En el triángulo (II):
Ordenando R:
10.- Expresar el vector
x enfuncióndelos
vectores r1 y r2 .
G: baricentro
M: punto medio
Solución:
R A B C D E= + + + +
C B E= + C D A= +
C A D B E C= + + + +e j e j123 123
C C
R C= 3
1.- Es posible aplicar a un cuerpo simultáneamente una
fuerza de 6 kN y otra de 8 kN de modo que produzcan
el mismo efecto de una sola fuerza. Determinar la
magnitud de dicha fuerza (kN).
Rpta. 10
2.- Dos fuerzas de módulo“F”forman un ángulo de 120°,
determinar su resultante.
Rpta. F
3.- Si el vector C posee un módulo de 5 unidades. Hallar
el módulo de la resultante del sistema mostrado.
Rpta. 10 u
AnalizandoeltriánguloCMA
Ilustrando
r r
x r x r
r r1 2
2 2
1 2
2
3
1
3 2
+
+ = ⇒ = −
+F
HG
I
KJ
x r r= −
1
6
2 1e j
4.- En la figura mostrada
determinar las compo-
nentes del vector
r
F (en
módulo),
r r r
F d e= +
Rpta.
5.- La figura muestra tres vectores
r
A,
r
B y
r
C. El vector re-
sultante de:
r r r
B C A+ − ,es el indicado en la figura por:
F
F
x
y
=
=
9
6

Vectores 55
6.- Determinar la magnitud del vector resultante si cada
cuadrado tiene de lado 10 m.
Rpta.
(A) (B) (C)
(D) (E)
7.- Sea el vector A = (4 ;-3). Determinar un vector unita-
rio en la dirección de A.
Rpta.
8.- Si: A j B j i C i= = − =2 4 3 2$ ; $ $ ; $
Calcular:
Rpta. 37
9.- La magnitud de la resultante de dos fuerzas varía des-
de un valor mínimo de 3 hasta un máximo de 12,a me-
dida que varía el ángulo comprendido entre las fuer-
zas.Determinar el valor de la mayor de las fuerzas.
Rpta. 7,5
10.- Hallar la resultante del sistema vectorial (módulo).
Rpta.
4
5
3
5
$ $i j−
A B C+ +
R = 0
1.- Hallar el módulo de “
r
P”
para que la resultante
del sistema sea una fuer-
za horizontal de 280 N.
Rpta.
2.- Determinar en la figura
que se muestra,el ángu-
lo “α” para que la resul-
tante quede en el eje“x”.
Rpta. α = 30°
3.- Un jugador de fútbol está corriendo a una velocidad
de 3 m/s,hacia el norte. Después de una violenta coli-
sión con otro futbolista, tiene una velocidad de 4 m/s,
hacia el este. ¿Cuál de los vectores representa el cam-
bio de su velocidad? ¿porqué?
P N= 56 10
4.- En el siguiente con-
junto de vectores.
¿Cómodebenserlas
componentes del
vector D, si la resul-
tante del sistema de
vectores es cero?
además:
A = 25; C = 30
y θ = 217°.
Rpta. (5; -4)
5.- Los vectores A y B forman un ángulo“α”. Hallar el án-
gulo entre −A y −B si: A i j B i j= + = +3 4$ $ ; $ $
Rpta. 8°
Rpta. Ae j
10 2 m
k 3

7.- Calcular la expresión vectorial del vector DE para que
la resultante de DB, FG y DE (suma) sea nulo.
9.- Hallar:q – p;sabiendo que en el paralelogramo ABCD
mostrado se cumple: AC AE= 5 ; BC BF= 3 y además:
EF pAD qAB= + .
Rpta. 2/3
6.- Hallarelmódulodelaresultantedelsistemamostrado.
Rpta. 10 u
Rpta. 2b i$
8.- Sea un vector A = (6 ;8) en las coordenadas xy,deter-
mine las nuevas coordenadas del vector A en un siste-
ma de coordenadas x’y’,que resulta de girar el sistema
xy anterior un ángulo θ = 16° en sentido antihorario.
¿Qué ocurre con el módulo?
Rpta. A A= =8 6 10; ;b g
10.- Hallar el módulo de la resultante del sistema.
Rpta: 45,5 u

ESTÁTICA
Capítulo 4
Concepto
La estática es una rama de la mecánica cuyo objetivo es estudiar las
condicionesquedebendecumplirlasfuerzasqueactúansobreuncuer-
po, para que éste se encuentre en equilibrio.
EQUILIBRIOEQUILIBRIOEQUILIBRIOEQUILIBRIOEQUILIBRIO
Un cuerpo cualquiera se encuentra en equilibrio cuando carece de todo
tipo de aceleración (a = 0).
Ilustración
FUERZAFUERZAFUERZAFUERZAFUERZA
Es una magnitud que mide la interacción que existe entre dos o más
cuerpos.
Toda fuerza modifica el estado de reposo o movimiento de un cuer-
po,además de generar deformaciones (por mínima que sea) en dicho
cuerpo.
¿Porqué está en equilibrio el cuerpo?.Está en equilibrio por que las tres fuerzas concurrentes y coplanares se
anulan.

Ilustración
Todafuerzamodificaelestadodereposodeuncuerpo
Todafuerzamodificaelestadodemovimientodeuncuerpo,ademásde
deformarlo.
Unidades de Fuerza en el S.I.
Otras Unidades
kilogramo fuerza (kg-f = kg)
gramo fuerza (g-f = g)
libra fuerza ( lb-f = lb)
TIPOS DE FUERZAS
A) Fuerzas de Contacto
Se produce cuando resulta del contacto físi-
co entre dos o más cuerpos.
Ilustración
Newton (N)
B) Fuerzas de Campo
Es aquella fuerza donde no interviene el con-
tactofísicoentreloscuerpos,pero queactúan
a través del espacio,a dicho espacio se le de-
nomina campo.
Ilustración
CLASIFICACIÓN DE LAS FUERZASCLASIFICACIÓN DE LAS FUERZASCLASIFICACIÓN DE LAS FUERZASCLASIFICACIÓN DE LAS FUERZASCLASIFICACIÓN DE LAS FUERZAS
RESPECTO A SU POSICIÓNRESPECTO A SU POSICIÓNRESPECTO A SU POSICIÓNRESPECTO A SU POSICIÓNRESPECTO A SU POSICIÓN
1.- FUERZAS EXTERNAS
Son aquellas fuerzas que se presentan en la
superficie de los cuerpos que interactúan.
Ilustración
Realmente hay muchas fuerzas externas que
nos son familiares:El peso,la reacción,la fuer-
za de rozamiento, etc.
2.- FUERZAS INTERNAS
Son las que mantienen juntas a las partículas
que forman un sólido rígido. Si el sólido rígi-
do está compuesto estructuralmente de va-
rias partes, las fuerzas que mantienen juntas
a las partes componentes se definen también
como fuerzas internas;entre las fuerzas inter-
nas más conocidas tenemos: La tensión y la
compresión.

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