1. Presentación #1 Integrantes del grupo:
MATH 5400 Probabilidad Wadi Adames Román
Dr. Balbino García Julia Crespo Rodríguez
24 de septiembre de 2009 Joane De Jesús Dátiz
Capítulo 8: Teoría de Colas
Libro: “Introduction to Probability Models”
Autor: Sheldon M. Ross
PRELIMINARES
La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de las líneas de
espera. Una línea de espera o cola se presenta cuando los clientes llegan a un lugar
demandando un servicio a un servidor o dependiente.
Dentro de la teoría de colas se presentan varios elementos identificados por:
 L, el promedio de clientes en el sistema
 LQ, el promedio de clientes esperando en la cola
 W, el tiempo promedio que el cliente permanece en el sistema
 WQ, el tiempo promedio que el cliente permanece esperando en la cola
Dado los elementos antes mencionados, debemos definir la terminología estándar
utilizada para presentar la teoría de colas. Definimos λ a como el promedio de llegada de
nuevos clientes, cuando hay a clientes en el sistema. Formalmente,
N (t )
λ a = lim
t →∞ t
donde N(t) es el número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t. Es de notar que
si suponemos que los clientes nuevos tuvieran que pagar dinero al sistema, entonces
tendríamos la siguiente regla o identidad básica de costo
La razón promedio a la cual
= λa × cantidad promedio que un cliente nuevo paga
el sistema gana

2. Ahora, supongamos que cada cliente paga $1 por unidad de tiempo. Entonces, el
promedio de clientes en el sistema (L), está dado por:
L = λ aW
lo que se conoce como la fórmula de Little. Similarmente, se obtiene que
LQ = λ aWQ
Definamos E[S] como el tiempo promedio que un cliente espera en servicio, entonces
El promedio de clientes en servicio = λ a E[S ] .
Como dato importante las ecuaciones anteriores son válidas para todos los modelos de
colas, independientemente el proceso de llegada, el número de servidores o la disciplina
de colas.
Probabilidades de la condición en estado estable
Sea X(t) el número de clientes en el sistema en el tiempo t y sea n ≥ 0. Definimos,
Pn = lim P{ X (t ) = n}
t →∞
O sea, Pn es la probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema. En general,
Pn es la proporción de tiempo a largo plazo durante el cual el sistema contiene
exactamente n clientes. Ejemplo, si P0 = 0.3, el sistema tendrá 0 clientes durante el 30%
del tiempo.
MODELOS EXPONENCIALES
Sistema de colas exponencial de servidor sencillo
Consideremos un sistema de colas de un solo servidor en acorde con un proceso
de Poisson de razón λ , donde λ es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo,
1
y es el tiempo promedio entre llegadas. Los tiempos de servicios sucesivos se
λ
distribuirán exponencialmente, de tal manera que µ es el número medio de clientes que el

3. 1
servidor es capaz de atender por unidad de tiempo, y es el tiempo medio de servicio. A
µ
esto se le conoce como la cola M/M/1. Las dos M se refieren a que tanto la distribución
entre servicio y la distribución entre llegadas son exponenciales, y el 1 se refiere a la
cantidad de servidores.
Pasemos a analizar las probabilidades limitantes Pn para este modelo, asumiendo
λ
que < 1 y que λ ≤ µ (si λ ≥ µ el sistema se satura):
µ
n
λ  λ
Pn =  
µ 1 − , n ≥ 1
 µ
   
Como Pn es la probabilidad a largo plazo de que el sistema contenga exactamente n
clientes, y ya que λ a = λ obtenemos que:
λ
λ µ
L= =
µ − λ 1− λ
µ
1
1 µ
W= =
µ − λ 1− λ
µ
λ
WQ =
µ ( µ − λ )'
λ2
LQ =
µ (µ − λ )
Sistema de colas exponencial de servidor sencillo con capacidad finita
Un sistema de colas exponencial de servidor sencillo con capacidad finita es aquel
sistema con una capacidad máxima N, o sea 0 ≤ n ≤ N. En este caso:
n
 λ  1 − λ 
 µ  µ
Pn =   
N +1
 , n = 0.1,...., N
1−  λ 
 µ
 

4. Como Pn es la probabilidad a largo plazo de que el sistema contenga exactamente n
clientes, obtenemos que:
 N +1 N

λ 1 + N  λ µ  − ( N + 1)  λ µ  
   
    
L= 
 N +1

( µ − λ ) 1 −  λ µ  
    
  
L
W =
λa
RED DE COLAS
Sistemas Abiertos
Consideremos un sistema de dos servidores en el cual los clientes llegan al
servidor 1 de acuerdo a una razón de Poisson λ . Luego de ser atendidos por el servidor
1 se unen a la cola del servidor 2. Asumamos que se tiene una cantidad infinita de
espacio de espera en ambos servidores. Cada servidor atiende un cliente a la vez con el
servidor i tomándose un tiempo exponencial con razón µ i por servicio, donde i = 1, 2.
Tal sistema se conoce como sistema tandem o secuencial. Se les llama sistemas abiertos
ya que los clientes pueden entrar y salir del sistema. La figura a continuación ilustra el
sistema.
Servidor 1 Servidor 2
abandona el
sistema
Para comprender este sistema necesitamos llevar la cuenta del número de clientes
en el servidor 1 y el número de clientes en el servidor 2, para lo cual definimos el estado
mediante el par ordenado (n,m), que significa que hay n clientes en el servidor 1 y m en el
servidor 2. Notemos que la situación en el servidor 1 es justamente la de un modelo
M/M/1. Además, el proceso de salida en un modelo M/M/1 es un proceso de Poisson con

5. razón λ y por tanto, el servidor 2 se enfrenta igualmente a un modelo M/M/1. De todo
esto se sigue que la probabilidad de que haya n clientes en el servidor 1 es
n
λ   λ
P{ n clientes en servidor 1} =  
µ  1 − 
 µ 
 1  1 
y de la misma forma la probabilidad de que haya m clientes en el servidor 2 es
m
 λ   λ 
P{ n clientes en servidor 2} =  
µ  1 −
 µ  
 2  2 
Ahora, como un proceso de llegadas de Poisson trabaja con promedios de tiempo,
se sigue que en un sistema tandem, la cantidad de clientes en el servidor 1 y en el
servidor 2 que un cliente nuevo (que irá al servidor 1) se encuentra al llegar son variables
aleatorias independientes.
Por lo tanto
n m
λ   λ  λ   λ 
Pn ,m = 
µ  1 −  
 µ  µ  1 −  .
 µ 
 1  1  2   2 
Luego, resulta que las ecuació que describen a L es
λ λ
L= +
µ1 − λ µ 2 − λ
de donde se tiene que
L 1 1
W= = + .
λ µ1 − λ µ 2 − λ
Es razonable preguntarse qué pasa si el sistema tiene más de dos servidores.
Asumamos que el sistema es uno con k servidores y los clientes llegan al servidor i de
acuerdo a procesos independientes de Poisson a razón ri, donde i = 1, 2,…, k. Una vez el
cliente es atendido por el servidor i, pasa a la cola del servidor j, con probabilidad Pij,
donde j = 1, 2,…, k.
Sea λ j la razón total de llegadas de clientes al servidor j. Entonces
k
λ j = r j + ∑ λi Pij , j = 1, 2,…, k.
i =1
Resulta que el número de clientes frente a cada uno de los servidores es independiente.
Siguiendo el mismo razonamiento de antes tenemos que

6. n1 n2 nk
λ   λ1  λ2   λ2   λk   λk 
P{ n1 , n2 ,..., nk } =  1 
µ  1 −  
 µ  µ  1 −   
 µ  µ 
 1 −
 µ 

 1  1  2   2   k   k 
nj
λ 
k  λj 
= ∏ j  1 − 
 
j =1  µ j 
 µ 
 j 
Luego el promedio de clientes en este sistema viene dado por
λ1 λ2 λk
L= + ++
µ1 − λ1 µ 2 − λ2 µ k − λk
k λj
=∑
j =1 µ j − λ j
El tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema, W, se puede obtener de la ecuación
inicial para L (es decir, L = λW ) y del hecho que λ = ∑ j =1 rj . Entonces
k
k λj
∑µ
j =1 j − λj
W= k .
∑r j =1
j
Nota: La ecuación antes obtenida,
nj
λ  k  λj 
P(n1n2 ,..., nk ) = ∏  j  1 − 
 
j =1  µ j 
 µ 
 j 
es un resultado interesante pues nos indica que la distribución del número de
clientes en el servidor i es la misma que se obtendría en un modelo M/M/1 con
razones µ i y λi . Sin embargo en los modelos de redes el proceso de llegadas en
el servidor i no tiene que ser necesariamente un proceso de Poisson. Esto se
debe a que si permitimos la posibilidad de que un cliente visite un servidor más de
una vez (a esto le llamamos “feedback” o retroalimentación), entonces el proceso
de llegadas no será de Poisson.
Entonces podemos apreciar que aún cuando permitimos el “feedback”, las
probabilidades de condición estado-estable del número de clientes en cualquier

7. servidor tienen la misma distribución que en un modelo M/M/1 incluso cuando el
modelo no es M/M/1.
Sistemas Cerrados
Un sistema es cerrado cuando no entran clientes nuevos y aquellos ya existentes
nunca salen del mismo. Vamos a suponer que hay m clientes moviéndose en un sistema
de k servidores, donde los tiempos de servicio en el servidor i son exponenciales con
una razón µ i , i = 1,…, k. Cuando un cliente termina de ser atendido en el servidor i, se
une a la cola frente al servidor j, j = 1,…, k, con probabilidad Pij, donde asumimos que
∑
k
P = 1 para toda i = 1,…, k. O sea, P = [Pij] es una matriz de probabilidades de
j =1 ij
transición de Markov, que asumiremos irreducible. Denotemos las probabilidades
estacionarias para esta cadena de Markov mediante π = (π 1 , π 2 ,..., π k ) . Es decir π es la
solución única de
k
π j = ∑ π i Pij (*)
i =1
k
∑π
i =1
j =1 (**)
Sea λm ( j ) la razón promedio de llegadas al servidor j, donde j = 1, 2,…, k. Luego,
λm ( j ) satisface que
k
λm ( j ) = ∑ λm (i ) Pij .
i =1
k
Sea λm = ∑ λm ( j ) . Podemos ver que λm es la razón promedio en la cual el sistema
j =1
entero termina el servicio. Entonces, de (*) y (*) se obtiene que
λm ( j ) = λmπ j , j = 1, 2,..., k . (***)

8. Consideremos las probabilidades limitantes
Pm (n1 , n, 2 ,..., nk ) = P{ n j clientes en el servidor j}
donde j = 1, 2,…, k. Se puede demostrar que

Cm ∏ (π j µ j ) j ,
k k
∑n
n
 si j =m
 j =1 j =1
Pm (n1 , n, 2 ,..., nk ) =  k
0,

si ∑n j ≠m
 j =1
donde hemos aplicado la ecuación (***) y donde Cm viene dado por
−1
 
 n 
C m =  ∑ ∏ (π j µ j ) j  .
k
 n1 ,..., n k j =1 
∑ n j = m 
Ahora, esta ecuación para Pm (n1 , n, 2 ,..., nk ) es útil para valores pequeños de m y
k, pues la constante Cm trabaja sobre todos los posibles vectores (n1 , n, 2 ,..., nk ) para los
 m + k − 1
∑
k
cuales se cumple que j =1
n j = m y hay 
 m  vectores que verificar.

 
Por lo antes expuesto necesitamos de una forma más eficiente para hallar estas
probabilidades limitantes. Expondremos a continuación un acercamiento que nos
permitirá determinar de modo recursivo muchas de las cantidades de interés sin tener que
calcular Cm. Pensemos en un cliente que acaba de abandonar el servidor i y se dirige al
servidor j. Considérese la probabilidad de que este cliente observe, en ese momento, nl
∑
k
clientes en el servidor l, donde l = 1,…, k y n = m − 1 . Tal probabilidad viene dada
l =1 l
por
(π i µi ) ∏ j =1 (π j µ j ) n j
k
P{cliente observa nl clientes en serv. l , l = 1,2,..., k : cliente va de i a j} =
K
Esta ecuación la reescribimos
P{cliente observa nl clientes en serv. l , l = 1,2,..., k : cliente va de i a j} = C ∏ (π j µ j ) j .
k
n
j =1

9. Ahora, C no depende de n1,…nk. Sin embargo esta ecuación es una densidad de
∑
k
probabilidad sobre el conjunto de vectores (n1 , n, 2 ,..., nk ) que satisfacen j =1
nj = m −1.
Por tanto
P{cliente observa nl clientes en serv. l , l = 1,2,..., k : cliente va de i a j} = Pm −1 (n1 , n2 ,..., nk ) ,
∑
k
donde n = m −1 .
i =1 i
Esto se satisface para toda i. Tenemos así el Teorema de Llegadas.
Teorema de Llegadas
En un sistema de redes cerrado con m clientes, el sistema como visto por clientes
que se dirigen al servidor j se distribuye como la distribución estacionaria en el
mismo sistema de redes cuando hay solamente m – 1 clientes.
Sea Lm(j) y Wm(j) el promedio de clientes y el tiempo promedio que un cliente pasa en
el servidor j cuando hay m clientes en la red. El Teorema de Llegadas implica que
1 + Lm−1 ( j )
Wm ( j ) = .
µj
Ahora, cuando hay m – 1 clientes en el sistema, de la ecuación (***) obtenemos que
λm−1 ( j ) = λm−1π j
y entonces tenemos que
Lm−1 ( j ) = λm−1π jWm−1 ( j ) .
Luego,
1 + λm−1π jWm−1 ( j )
Wm ( j ) = .
µj
∑
k
Ahora como j =1
Lm−1 ( j ) = m − 1 , obtenemos que

10. m −1
λm−1 = .
∑
k
i =1
πiWm−1 (i )
La fórmula recursiva para Wm(j) viene entonces dada por
1 ( m −1)π jWm−1 ( j )
Wm ( j ) = + .
µj µ j ∑i =1πiWm−1 (i )
k
1
Nótese que W1 ( j ) = .
µj
Utilizando este último dato, las probabilidades estacionarias π j , con j = 1,…, k, y las
ecuaciones
1 (m −1)π jWm−1 ( j )
(i) Wm ( j ) = +
µj µ j ∑i =1πiWm−1 (i )
k
(ii) Lm−1 ( j ) = λm−1π jWm−1 ( j )
m −1
(iii) λm−1 =
∑
k
i =1
πiWm−1 (i )
que acabamos de describir podemos determinar recursivamente W2(j),…,Wm(j), luego λm
y finalmente Lm(j).
EL SISTEMA M/G/1
Preliminares: Trabajo y Otra Identidad de Costo
Consideremos un sistema de colas arbitrario. Definimos el trabajo en el sistema
en cualquier tiempo t como la suma de los tiempos de servicio restantes de todos los
clientes en el sistema en el tiempo t. Denotemos por V el promedio de tiempo en el
sistema. Ahora, en la sección de Preliminares discutimos la ecuación de costo

11. La razón promedio a la cual
= λa × cantidad promedio que un cliente nuevo paga .
el sistema gana
Para comprender lo que obtener V significa considérese la siguiente regla de costo
“Cada cliente paga a una razón de y unidad de tiempo cuando su tiempo de
servicio restante es y, sea que esté en cola o que esté en servicio”.
Entonces la razón a la que el sistema gana es justamente el trabajo en el sistema, o sea
que
V = λa E [ cantidad que paga un cliente] .
Para determinar E [ cantidad que paga un cliente] definimos S como el tiempo de
*
servicio y WQ como el tiempo que un cliente dado espera en cola. Ahora, si x es el
tiempo que el cliente está siento atendido, entonces el cliente paga a una razón de S por
unidad de tiempo mientras espera en la cola y a una razón de S – x luego de pasar un
tiempo x siendo atendido. Luego
E [ cantidad que paga un cliente] = E SWQ + ∫ ( S − x) dx 
S
*

 0 

y obtenemos así que
λa E [ S 2 ]
[
V = λa E SWQ +
*
] 2
Esta ecuación es una identidad básica de la teoría de colas y es válida en prácticamente en
todos los modelos.
Si el tiempo de servicio de un cliente ies independiente de sue espera en cola
entonces
λa E [ S 2 ]
V = λa E [ S ] WQ +
2
Aplicación de Trabajo al modelo M/G/1
Las premisas que indican que estamos trabajando con un modelo M/G/1 son:
(1) Las llegadas siguen un proceso de Poisson a razón λ .

12. (2) La distribución de servicio es general y no específica.
(3) Se tiene un solo servidor.
Asumiremos que los clientes son servidos según el orden de llegada (se atienden primero
aquellos que llegaron primero). Ahora queremos ver las ecuaciones que gobiernan este
sistema. Considérese un cliente arbitrario en el modelo M/G/1. Entonces como hay solo
un servidor
Tiempo que el cliente esperan en la cola = trabajo en el sistema cuando el cliente llega
Tomando el valor esperado a ambos lados de esta ecuación se obtiene
WQ = trabajo promedio como lo ve un cliente al llegar
Por la condición (1), resulta que WQ = V y obtenemos así la fórmula de Pollaczek-
Khintchine, esto es
λE [ S 2 ]
WQ =
2(1 − λE[ S ])
con E[S] y E[S2] siendo los primeros dos momentos del servicio de distribución. De esta
ecuación obtenemos
λ2 E [ S 2 ]
LQ = λWQ =
2(1 − λE[ S ])
λE [ S 2 ]
W = WQ + E[ S ] = + E[ S ]
2(1 − λE[ S ])
λ2 E [ S 2 ]
L = λW = + λE[ S ]
2(1 − λE[ S ])
Nota: Para que estas cantidades sean finitas, necesitamos que λE[ S ] < 1 .
Periodos Ocupados

13. Todo sistema alterna entre periodos lentos, cuando no hay clientes en el sistema,
y periodos ocupados, en los que hay al menos 1 cliente. Sean In y Bn, r espectivamente,
los largos del n-ésimo periodo lento y el n-ésimo periodo ocupado, donde n > 1. Se
puede demostrar que
I1 +  I n
P0 = proporción de tiempo lento = lim
n→∞ I +  I + B +  + B
1 n 1 n
Ahora, resulta que las I1,…, In, son independientes y están idénticamente distribuidas
como lo están las B1,…, Bn. Por lo tanto, dividiendo el numerador y el denominador de
esta ecuación por n y aplicando la ley fuerte de los grandes números, se obtiene que
E[ I ]
P0 =
E[ I ] + E[ B ]
donde I y B son variables aleatorias de tiempo lento y tiempo ocupado. En particular I
se refiere al tiempo desde que un cliente abandona el sistema y el sistema queda vacío
hasta llegar un cliente nuevo. Por las llegadas de Poisson, se observa que I es
exponencial con razón λ y por lo tanto
1
E[1] =
λ
Para calcular P0 utilizamos la siguiente fórmula
P0 = 1 − λE[ S ] .
Luego tenemos que
1λ
P0 = 1 − λE[ S ] = .
1 λ + E[ B ]
La otra fórmula que nos interesa es una que nos determine el número de clientes servidos
en un periodo ocupado, cantidad que denotamos por C. Más aún, nos interesa el valor
esperado de C. Ahora, por cada E[C] llegadas exactamente un cliente encontrará el
sistema vacío, el primer cliente del periodo ocupado. Luego
1
a0 = .
E[C ]
Por las llegadas de Poisson, a0 = P0 = 1 − λE[ S ] , lo cual implica que
1
E[C ] =
1 − λE[ S ]

14. VARIACIONES EN EL SISTEMA M/G/1
MODELO M/G/1
“RANDOM –SIZED BATCH ARRIVALS”
Supongamos que, como en un sistema M/G/1, las llegadas ocurren en acuerdo con
el proceso de Poisson con una razón de λ, con la diferencia de que cada llegada consiste
de una cantidad “random” de clientes. Por tanto ahora denotaremos por α j , j ≥ 1 la
probabilidad con un puesto o lote arbitrario de j clientes y dado N una variable que
representa el tamaño del puesto entonces P{ N = j} = α j . Entonces , λa = λE (N )
como la fórmula básica para trabajar y hallar
 E (S 2 
V = λE [ N ] E ( S )Wq + 
 2 
Para obtener una segunda ecuación relativa de V a Wq consideramos un promedio
de clientes expresado de la siguientes manera:
Cliente espera en la cola = el trabajo del sistema cuando el cliente llega + el
tiempo de espera por el cliente cuando este pasa a su
puesto
Utilizando el proceso de Poisson, podemos resumir lo anterior de la siguiente manera:
Wq = V + E [WB ]
donde WB es el tiempo de espera del cliente para llegar al puesto.
Para determinar la probabilidad del promedio de clientes que pueden llegar de un
puesto con tamaño j debemos definir lo siguiente: Sea L un número mayor entonces el
primer M puestos aproximadamente M α j , de tamaño j, j ≥ 1 , y de los cuales el número
aproximado de clientes legando al puesto esta dado por de jM α j en un puesto de tamaño
j, la proporción de llegadas en el primer puesto M esta dada por

15. jM α j / ∑ j jM α j
Esta proporción es exactamente para M → ∞ , por lo que podemos observar que
jα j
La proporción de clientes de un puesto de tamaño j = . Dado esto, se puede
E[N ]
calcular E (WB ) , la espera en la cola de los otros clientes mientras que otros permanecen
en el puesto de la siguiente manera:
jα j
E[WB ] = ∑E[WB ] ,
j E[ N ]
tomando en cuenta que el puesto es de tamaño j.
Colas de prioridad
Uno sistema de colas de prioridad es uno en el cual los clientes son clasificados y
según sean clasificados reciben un servicio de prioridad de acuerdo a su clasificación.
Considerando una situación en la que lleguen dos clientes con sus respectivas razones λ1
y λ2 y tiene una distribución de servicio G1 y G2 . Dentro de un sistema sin un servicio
de prioridad conocido por FIFO (first come, first served) donde λ = λ1 + λ2 tenemos que
λ1 λ
G ( x) = G1 ( x) + 2 G2 ( x)
λ λ
En el sistema donde existe el servicio de prioridad, suponemos que el primer
cliente mencionado tiene prioridad por tanto se dice que el promedio del trabajo esta dado
por
λ1 E[ S12 ] + λ2 E[ S 2 ]
2
V =
2(1 − λ1 E[ S1 ] − λ2 E[ S 2 ])
donde S i es la distribución de Gi , i = 1,2. Queriendo llegar a calcular el promedio de
i
espera de un cliente de clasificación i denota do como WQ , necesitamos definir las
siguientes fórmulas:
λi E[ S i2 ]
(i) V i = λi E[ S i ]WQ +
i
donde V i es la cantidad promedio del cliente de
2
clasificación i en el trabajo

16. VQ ≡ λi E[ S i ]WQ
i i
i
(ii) Si definimos que λi E[ S i2 ] donde VQ es la cantidad promedio del
V ≡
S
i
2
i
cliente de clasificación i en la cola y VS es la cantidad promedio del cliente
de clasificación i en el servicio, tenemos que
λ1 E[ S12 ] + λ2 E[ S 2 ]
2
WQ =
1
y
2(1 − λ1 E[ S1 ])
λ1 E[ S12 ] + λ2 E[ S 2 ]
2
W = 2
2(1 − λ1 E[ S1 ] − λ2 E[ S 2 ])(1 − λ1 E[ S1 ])
Q
Finalmente obtendríamos que
λ1 E[ S12 ] + ... + λn E[ S n ]
2
W =i
, i = 1,..., n
2Πij =i −1 (1 − λ1 E[ S1 ] − ... − λ j E[ S j ])
Q
EL MODELO DE G/M/1
El Modelo de G/M/1 asume que el tiempo entre llegadas sucesivas tiene una
distribución arbitraria G. El tiempo de servicio es una distribución exponencial con razón
en una servidor simple. La dificultad principal de este sistema es que el número de
clientes no es informado de una forma eficiente como para tener espacios en el servidor.
Para resolver este problema debemos definir que X n , n ≥ 1 donde X n ≡ el numero en el
sistema de acuerdo a la legada n-nésima.
La probabilidad de transición en este sistema esta dada por
∞ ( µt ) j
− µt dG ( t )
Pi ,i +1− j = ∫ e j!
, j = 0,1,..., i
0
donde el nuemero de servidores en cualquier tiempo t es un “random” de Poisson con
significado s t.
El Modelo de G/M/1 ocupado y desocupado

17. Supongamos que surjan llegadas en un momento en que el sistema esta ocupado o
desocupado. Dado que N es el número de clientes atendidos en ese periodo en que el
1
sistema esta ocupado, por las cadenas de Markov tenemos que es la proporción de
E[ N ]
transición e que la cadena de Markov cambia a estado 0que es equivalente a que el
sistema este desocupado. Dado esto
1 1
E[ N ] = =
a0 1 − β
La suma de un sistema ocupado y desocupado puede expresarse como la suma de N
tiempos entre llegadas. Entonces , si Ti es el tiempo de llegadas después de que el
sistema esta ocupado
1
E[Ocupado] + E[ Desocupado] =
λ(1 − β )
VARIACIONES EN EL SISTEMA M/G/1
MODELO G/M/1
MODELO DE FUENTE FINITA
Consideremos un sistema de m máquinas, cuyos tiempos de trabajo son variables
exponenciales aleatorias independientes con razón λ . Tras un fallo, la máquina va
instantáneamente al departamento de reparaciones, el cual tiene un solo operador. Si el
operador esta libre, comienza a reparar la máquina, de lo contrario la máquina se une a la
cola de máquinas dañadas. Cuando una máquina se repara se convierte en una apta para
trabajar, y la reparación comienza con otra máquina de la cola. Los tiempos de
reparaciones siguientes son variables aleatorias independientes que tienen una función
densa g, con media dada por:
∞
µR = ∫ xg ( x ) dx
0
Para analizar este sistema se desarrolla el tiempo de trabajo exponencialmente distribuido
para obtener una cadena de Markov. Dado que el tiempo de reparación de cada máquina

18. es independiente, se obtiene la cadena { X n , n ≥ 1} . Para determinar la probabilidad de
transición Pi,j suponemos que i>0. Para esta cadena obtenemos que,
∞m − j
(1 − e −λr ) (e −λr ) g ( r ) dr
j m −i − j
Pi ,i −1+ j = ∫ 
0  
 j 
Si i=0, porque la siguiente reparación no comienza hasta que otra máquina tenga un fallo,
P0,j=P1,j, j ≤ m −1
Dado que, π j , j = 0,..., m − 1 , representa las probabilidades de esta cadena de Markov, su
única solución es:
m −1
∑π
j =o
j =1
Dado que este sistema se renueva constantemente, supongamos que el sistema
comienza un nuevo ciclo, obtenemos que:
N
B = ∑ Ri
i −1
donde, Ri, i>1, es el número de reparaciones en el momento en que el ciclo comienza, N
es el número de reparaciones en el tiempo ocupado del ciclo, y B es el largo del periodo
en que el sistema esta ocupado. El tiempo de parada de esta secuencia esta dado por la
ecuación de Wald:
E[ B] = E[ N ]µ R
Por otra parte, la media de tiempo en que el sistema esta inactivo esta dado por:
1
E[ I ] =
(mλ )
Por lo tanto, PB, la proporción de tiempo en que el operador esta ocupado, satisface:
E[ N ] µ R
PB =
E[ N ] µ R + 1
( mλ )
Sin embargo, la proporción de reparaciones completas que deja a todas las máquinas
trabajando, esta dada por:
1
π0 =
E[ N ]
Por consiguiente:

19. µR
PB =
µ R + π 0 ( mλ )
Si nos enfocamos en una máquina a la que identificaremos como máquina 1, y
tenemos en cuenta que todas las máquinas se fallan a la misma razón y tienen la misma
distribución de reparación, entonces:
PB µR
P1, R = =
m mµ + π 0
R λ
donde P1,R es la proporción de tiempo en que la máquina 1 esta siendo reparada. Si la
máquina 1 tiene intervalos de tiempo alternados en los cuales la máquina trabaja (W), esta
en cola (Q) o se esta reparando (S). Tenemos entonces que la proporción de tiempo en
que la máquina esta siendo reparada en su prime ciclo n de trabajo-cola-reparación es:
∑
n
i =1
Si
W Qi Si
∑ n +∑ + ∑i =1
n n n
i
i =1 i =1 n n
Si tenemos en cuenta que n → ∞ y la ley de los números grandes podemos concluir que
la media de Wi converge a 1 λ y la de Si a µ R , obtenemos que:
µR
P1, R =
1 + Q + µR
λ
donde Q es la cantidad promedio de tiempo que la máquina 1 esta en cola cuando se
daña. Por lo que podemos definirla de la siguiente manera:
Q = ( m − 1) µ R −
(1 − π 0 )
λ
Si Q es igual a WQ , para determinar la media del tiempo en que la máquina
dañada en la cola, utilizamos:
LQ = λaWQ = λ a Q
donde λ a es la razón promedio en que una máquina se daña. Utilizamos la fórmula
identidad básica de costo:
P1, R = r1 µ R
donde r1 es la razón media en la que la máquina 1 se daña, entonces:

20. 1
r1 =
mµ R +
π0
λ
Entonces λ a es:
m
mµ R +
π0
λ
Por lo tanto, el promedio de máquinas en la cola de espera es:
m(m − 1) µ g − m(1 − π 0 )
LQ = λ
mµ g +
π0
λ
Entonces:
L = LQ + PB
COLAS DE SERVIDOR MÚLTIPLE
Sistemas con múltiples servidores u operadores son más difíciles para analizar
que aquellos que tienen un solo servidor.
Sistema de pérdida de Erlang
Un sistema de perdida es un sistema de colas en el cual las llegadas que
encuentran a todos los servidores ocupados no entran, lo que significa una pérdida para el
sistema. El sistema M/M/k es un sistema de pérdida en el cual los clientes llegan de
acuerdo al proceso de Poisson que tiene razón λ , entre si al menos uno de los k
servidores esta libre, y permanece una cantidad exponencial de tiempo con razón µ para
ser atendido. Las ecuaciones balanceadas para este sistema son:
λ
P1 = P0
µ
2
λ 
 µ
λ
P2 = P =
1
 P
0
2µ 2

21. 3
λ 
 µ
λ
P3 = P21 =   P
0
3µ 3!
k
λ 
 µ
λ
Pk = Pk −1 =  P
0
kµ k!
∑
k
Utilizando 0
Pi = 0 , obtenemos:
i
λ 
 µ
 
P1 = i! , i = 0,1,..., k
j
λ 
 µ
 
∑
k
j =0 j!
Dado que E[ S ] = 1 µ , donde E[S] es la media de tiempo de servicio, lo anterior se puede
escribir como:
( λE[ S ]) i
P1 = i! , i = 0,1,..., k
( λE[ S ]) j
∑
k
j =0 j!
Cola M/M/k
La cola de capacidad infinita M/M/k puede ser analizada por la técnica de
ecuación balanceada. Lo siguiente se deja para que el lector verifique:
P 
   i
  λ 




 µ 



 i! ,i ≤ k

   i   k
  λ   λ 
 k −1 
 µ 
 
 µ 
 kµ
∑

    
i=  + +

 i =0
i! k! kµ − λ



 i

λ  kk
 kµ 

  P0 , i > k


 k!
En la misma se tiene que imponer la condición λ < kµ .

22. Cola G/M/k
Supongamos que tenemos k servidores, cada uno de ellos a una razón exponencial
µ . Sin embargo, permitimos que el tiempo entre las llegadas sucesivas tenga una
distribución arbitraria G, donde si la distribución de estado estable existe, se llega a la
condición de que 1 µ < kµ donde µ G la media de G. Para derivar las probabilidades de
G
la cadena de Markov { X n , n ≥ 0} , donde Xn es el número en el sistema en el momento de
la llegada n, utilizamos:
X n +1 = X n + 1 − Yn , n ≥ 0
donde Yn, es el número de salidas durante el tiempo de llegada entre n y (n+1) llegadas.
Las probabilidades de transición Pij se calculan de la siguiente forma:
Caso 1 j > i + 1
Este sigue fácilmente que Pij = 0 .
Caso 2 j ≤ i + 1 ≤ k
En ese caso si una llegada encuentra i en el sistema, luego como i<k la
nueva llegada también entrara inmediatamente a servicio. Si la siguiente llegada
encuentra j si de i+1 servicios i+1-j son completados en el tiempo entre llegadas,
el cual si es condicionado se obtiene:
∞i +1
Pij = ∫ 
0 
(
 1 −e −µt
j 
) i + −j
1
(e µ )
− t j
dG (t )
 
Caso 3 i + 1 ≥ j ≥ k
En ésta caso todos los servidores están ocupados y la salida es un proceso
de Poisson con razón kµ . Condicionando nuevamente el tiempo entre llegada
tenemos:
∞
Pij = ∫ e −kµt ( kµ ) i +1−j dG (t )
t
0 (i +1 − j )!
Caso 4 i + 1 ≥ k ≥ j
En este caso mientras todos los servidores están ocupados, la salida es un
proceso de Poisson, esto sigue que el intervalo de tiempo en el que solo hay k en

23. el sistema tendrá una distribución gama con parámetros i + 1 − k , kµ .
Condicionando primero el tiempo entre llegadas y luego en el tiempo en que solo
hay k en el sistema obtenemos:
Pij = ∫
∞ t k 
 (1 − e −µ( t −s ) ) (e −µ( t −s ) ) kµe −kµs
k−j j ( kµs ) i −k dsdG ( t )
0 ∫0  j 
  ( i − k )!
Si sustituimos directamente en la ecuación π k= ∑i π i Pij o en la cadena de
Markov π k −1+ j = cβ , j = 0,1,... , cuando j > k , obtenemos que:
j
∞
β = ∫ e −kµt ( 1− β ) dG ( t )
0
Por lo tanto si WQ es la cantidad de tiempo que el cliente esta en cola,
entonces: k −1
cβ
 0, Con probabilidad ∑π i =1 −
1− β
 0


WQ =  ∞
cβ
 Exp( kµ (1 − β ) ) Con probabilidad ∑π i =1 −
1− β
 k


Cola M/G/k
En esta cola se considera que los clientes llegan a la razón de Poisson λ y que
son atendidos por cualquier servidor k, cada uno de los cuales tienen una distribución de
servicio G. Comenzamos con la identidad básica:
V = λE [ S ]WQ + λE S [ ] 2
2
luego intentamos derivar una segunda ecuación que relacione V con WQ.
Si consideramos una llegada arbitraria, obtenemos:
Trabajo en el sistema cuando llega un cliente=k × tiempo que el cliente esta en la cola+R
donde R es la suma del tiempo de servicio que falta de todos los clientes en servicio al
momento en que entre nuestra llegada. Tomando en cuanta las expectativas de la primera
ecuación descrita en esta sección y utilizando las llegadas de Poisson, tenemos que:
V = kWQ + E [ R ]

24. Utilizando esto podemos calcular una aproximación para WQ cuando este tiene una
distribución de servicio gama, dado por:
λk E [ S 2 ]( E [ S ] )
k −1
WQ ≈
2
2( k − 1)!( k − λE [ S ] ) ∑
k −1
( λE[ S ] ) n + ( λE[ S ] ) 

 n =0 n! 
EJEMPLO
1. Suponga que los clientes llegan a una razón de Poisson de 1 por cada 12 minutos,
y que el tiempo de servicio es exponencial a una razón de 1 servicio por 8
minutos. Determine L y W.
a. Solución:
1 1
i. Dado que λ = y µ = , tenemos que
12 8
1
λ
L= = 12 = 2
µ −λ 1 − 1
8 12
L 2
W = = = 24
λ 1
12
Por lo tanto la media de clientes en el sistema es 2 y el tiempo
medio que un cliente está en el sistema es de 24 minutos.
Bibliografía
Ross, Sheldon M. (2000). Introduction to Probability Models. Seventh Edition. Academic
Press. Págs. 427-495.
Documentos obtenidos de la Web como referencia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_colas

25. http://www.monografias.com/trabajos18/teoria-colas/teoria-colas.shtml