Qualité des maillages

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Les critères de forme, qui fournissent un moyen quantitatif efficace de
comparaison de la forme des éléments d'un maillage, sont de grande
importance dans beaucoup de domaines liés à l'analyse éléments finis, et en
particulier, dans l'adaptation de maillage. Alors que les travaux les plus
sérieux dans le domaine de l'adaptation de maillage se servent directement
des critères de forme, très peu de travaux ont été consacrés à la
comparaison réelle des critères de forme, à l'exception notable de Liu et de
Joe (1994) qui ont analysé un ensemble choisi de quelques critères.

Tandis que les travaux publiés utilisent des critères de forme couramment
connus, de nouveau critères de forme apparaissent dans la littérature
récente pour lesquels il n'y a pas eu d'analyse. En outre, aucun schéma de
classification n'a été proposé et la validité des nouveaux critères n'est
pas souvent évaluée. Cet exposé vise à examiner un éventail de critères de
forme généralement utilisés, à définir des critères de validité pour ces
critères de forme et ensuite à les classifier dans de larges catégories, en
particulier, les critères de forme valides versus les non valides. L'exposé
aborde également des questions concernant l'utilisation des critères de
forme dans des espaces non-euclidiens, telles que l'utilisation des critères
de forme dans les espaces Riemanniens pour l'adaptation anisotrope de
maillages.

L'exposé récapitule les propriétés importantes des simplexes et introduit
une classification des dégénérescences en deux et trois dimensions. L'exposé
présente une revue des critères de forme, des critères sur la validité des
différents critères de forme ainsi qu'une méthode de visualisation des
critères de forme qui aide la comparaison entre eux. Les critères de forme
sont alors classifiés, et des conclusions sont tirées sur la pertinence de
développer de nouveaux critères de forme ou d'en choisir un parmi ceux
actuellement existants.


L'adaptation de maillage est un processus qui produit des maillages et des
solutions numériques sur ces maillages tels que maillages et solutions
convergent ensemble vers un certain but, qui est habituellement
l'équirépartition de l'erreur. Pour les maillages non structurés, le
processus d'adaptation de maillage peut être décomposé en deux étapes:
d'abord, une carte de taille est spécifiée en analysant la solution
numérique; en second lieu, on construit un maillage qui satisfait cette
carte de de taille.

Le sujet de cet exposé est une méthode pour quantifier combien un maillage
satisfait une carte de taille spécifiée.

Il y a plus de dix ans, Marie-Gabrielle Vallet (1990, 1991, 1992) a montré
qu'une carte de taille représentée par un champ de tenseurs métriques
facilite la génération des maillages adaptés et anisotropes en combinant la
taille et l'étirement désirés dans un seul concept mathématique simple. Les
tenseurs métriques modifient la manière dont les distances sont mesurées.
Le maillage adapté et anisotrope dans l'espace euclidien est construit en
établissant un maillage régulier, isotrope et unitaire dans l'espace
métrique du tenseur.

L'utilisation d'un champ de tenseurs métriques pour la carte de taille est
maintenant un outil largement répandu pour la génération et l'adaptation de
maillages anisotropes. Elle a été employée en deux et trois dimensions, pour
différentes simulations d'équations aux dérivées partielles avec les
méthodes d'éléments finis et de volumes finis, pour la discrétisation
extérieure (?), la représentation graphique, etc... Les références les plus
complètes sont George et Borouchaki (1997), Frey et George (1999), et les
références incluses.

Cependant, la question de la conformité d'un maillage à un champ de tenseurs
métriques n'est toujours pas claire. Il n'y a pas de méthode pour mesurer le
degré auquel un maillage satisfait une carte de

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Qualité des maillages

  1. 1. Qualité des maillages Julien Dompierre julien@cerca.umontreal.ca ´Centre de Recherche en Calcul Applique (CERCA) ´ ´ Ecole Polytechnique de Montreal ´ Qualite des maillages – p.1/329
  2. 2. Auteurs Professionnels de recherche Julien Dompierre Paul Labbé Marie-Gabrielle Vallet Professeurs François Guibault Jean-Yves Trépanier Ricardo Camarero ´ Qualite des maillages – p.2/329
  3. 3. Références – 1 J. D OMPIERRE , P. L ABBÉ , M.-G. VALLET, F. G UIBAULT ET R. C AMARERO, Critères de qualité pour les maillages simpliciaux. Dans Maillage et adaptation, Hermès, octobre 2001, Paris, pages 311–348. ´ Qualite des maillages – p.3/329
  4. 4. Références – 2A. L IU et B. J OE, Relationship betweenTetrahedron Shape Measures, Bit, Vol. 34,pages 268–287, (1994). ´ Qualite des maillages – p.4/329
  5. 5. Références – 3P. L ABBÉ, J. D OMPIERRE, M.-G. VALLET, F.G UIBAULT et J.-Y. T RÉPANIER, A UniversalMeasure of the Conformity of a Mesh withRespect to an Anisotropic Metric Field,Submitted to Int. J. for Numer. Meth. in Engng,(2003). ´ Qualite des maillages – p.5/329
  6. 6. Références – 4P. L ABBÉ, J. D OMPIERRE, M.-G. VALLET, F.G UIBAULT et J.-Y. T RÉPANIER, A Measure ofthe Conformity of a Mesh to an AnisotropicMetric, Tenth International Meshing Roundtable,Newport Beach, CA, pages 319–326, (2001). ´ Qualite des maillages – p.6/329
  7. 7. Références – 5 P.-L. G EORGE ET H. B OROU - CHAKI, Triangulation de De- launay et maillage, applica- tions aux éléments finis. Her- mès, 1997, Paris. ´ Qualite des maillages – p.7/329
  8. 8. Références – 6 P. J. F REY AND P.-L. G EORGE, Maillages. Ap- plications aux éléments finis. Hermès, 1999, Paris. ´ Qualite des maillages – p.8/329
  9. 9. Table des matières1. Introduction 8. Éléments non simpli2. Définition d’un sim- ciaux plexe 9. Représentation des3. Dégénérescence des critères de forme simplexes 10. Équivalence des cri4. Qualité de forme des tères de forme simplexes 11. Qualité globale e5. Formules pour les optimisation simplexes 12. Qualité en taille des6. Voronoï, Delaunay et simplexes Riemann 13. Qualité universelle7. Critères de formes et 14. Conclusions – p.9/329 ´ Qualite des maillages
  10. 10. Introduction et justificationsOn travaille sur la génération, l’adaptation etl’optimisation de maillages.Comment choisir la configuration qui donne lesplus beaux triangles ? Il faut un critère de qualitédes triangles. ´ Qualite des maillages – p.10/329
  11. 11. Retournement d’une faceComment choisir la configuration qui donne lesplus beaux tétraèdres ? Il faut un critère dequalité des tétraèdres. ´ Qualite des maillages – p.11/329
  12. 12. Retournement d’une arête S4 S3 S4 S3 S5 S5 A A B B S2 S2 S1 S1Comment choisir la configuration qui donne lesplus beaux tétraèdres ? Il faut un critère dequalité des tétraèdres. ´ Qualite des maillages – p.12/329
  13. 13. Optimisation de maillages Soit et , deux ptimiseurs de maillages tridimensionnels tétraédriques non structurés. ´ Qualite des maillages – p.13/329
  14. 14. Optimisation de maillages Soit et , deux ptimiseurs de maillages tridimensionnels tétraédriques non structurés. Quelle est la norme d’un optimiseur de maillage ? ´ Qualite des maillages – p.13/329
  15. 15. Optimisation de maillages Soit et , deux ptimiseurs de maillages tridimensionnels tétraédriques non structurés. Quelle est la norme d’un optimiseur de maillage ? Comment peut-on affirmer que ? ´ Qualite des maillages – p.13/329
  16. 16. Mais c’est très simple ! Soit , un banc d’essai (un benchmark). ´ Qualite des maillages – p.14/329
  17. 17. Mais c’est très simple ! Soit , un banc d’essai (un benchmark). Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . ´ Qualite des maillages – p.14/329
  18. 18. Mais c’est très simple ! Soit , un banc d’essai (un benchmark). Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . ´ Qualite des maillages – p.14/329
  19. 19. Mais c’est très simple ! Soit , un banc d’essai (un benchmark). Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . La sagesse populaire dit : “On juge un arbre à ses fruits”. ´ Qualite des maillages – p.14/329
  20. 20. Mais c’est très simple ! Soit , un banc d’essai (un benchmark). Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . La sagesse populaire dit : “On juge un arbre à ses fruits”. Si alors . ´ Qualite des maillages – p.14/329
  21. 21. Bancs d’essais d’optimisation de maillJ. D OMPIERRE, P. L ABBÉ, F. G UIBAULT etR. C AMARERO.Proposal of Benchmarks for 3D UnstructuredTetrahedral Mesh Optimization.7th International Meshing Roundtable, Dearborn,MI, octobre 1998, pages 459–478. ´ Qualite des maillages – p.15/329
  22. 22. Le piège... Parce qu’on ne connaît pas la norme d’un optimiseur, on a remplacé la comparaison de deux optimiseurs par la comparaison de deux maillages. ´ Qualite des maillages – p.16/329
  23. 23. Le piège... Parce qu’on ne connaît pas la norme d’un optimiseur, on a remplacé la comparaison de deux optimiseurs par la comparaison de deux maillages. Quelle est la norme d’un maillage ? ´ Qualite des maillages – p.16/329
  24. 24. Le piège... Parce qu’on ne connaît pas la norme d’un optimiseur, on a remplacé la comparaison de deux optimiseurs par la comparaison de deux maillages. Quelle est la norme d’un maillage ? Comment peut-on affirmer que ? ´ Qualite des maillages – p.16/329
  25. 25. Le piège... Parce qu’on ne connaît pas la norme d’un optimiseur, on a remplacé la comparaison de deux optimiseurs par la comparaison de deux maillages. Quelle est la norme d’un maillage ? Comment peut-on affirmer que ? C’est ce que vous saurez bientôt, ou vous serez remboursés ! ´ Qualite des maillages – p.16/329
  26. 26. Ce qu’il faut retenir Cet exposé portera sur les notions de qualité des éléments d’un maillage et sur la qualité de tout un maillage. ´ Qualite des maillages – p.17/329
  27. 27. Ce qu’il faut retenir Cet exposé portera sur les notions de qualité des éléments d’un maillage et sur la qualité de tout un maillage. La notion de qualité des éléments est nécessaire pour les algorithmes de retournement d’arêtes et de faces. ´ Qualite des maillages – p.17/329
  28. 28. Ce qu’il faut retenir Cet exposé portera sur les notions de qualité des éléments d’un maillage et sur la qualité de tout un maillage. La notion de qualité des éléments est nécessaire pour les algorithmes de retournement d’arêtes et de faces. La notion de qualité de tout un maillage est nécessaire dans la recherche sur l’optimisation des maillages. ´ Qualite des maillages – p.17/329
  29. 29. Table des matières1. Introduction 8. Éléments non simpliciaux2. Définition d’un simplexe 9. Représentation des cri-3. Dégénérescence des sim- tères de forme plexes 10. Équivalence des critères4. Qualité de forme des sim- de forme plexes 11. Qualité globale et optimi-5. Formules pour les sim- sation plexes 12. Qualité en taille des sim-6. Voronoï, Delaunay et Rie- plexes mann 13. Qualité universelle7. Critères de formes et de 14. Conclusions Delaunay ´ Qualite des maillages – p.18/329
  30. 30. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sontconstitués de polygones ou de polyèdres appeléséléments. ´ Qualite des maillages – p.19/329
  31. 31. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sontconstitués de polygones ou de polyèdres appeléséléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceuxqui ont le nombre minimal de sommets. ´ Qualite des maillages – p.19/329
  32. 32. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sontconstitués de polygones ou de polyèdres appeléséléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceuxqui ont le nombre minimal de sommets. Le segment en une dimension. ´ Qualite des maillages – p.19/329
  33. 33. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sontconstitués de polygones ou de polyèdres appeléséléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceuxqui ont le nombre minimal de sommets. Le segment en une dimension. Le triangle en deux dimensions. ´ Qualite des maillages – p.19/329
  34. 34. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sontconstitués de polygones ou de polyèdres appeléséléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceuxqui ont le nombre minimal de sommets. Le segment en une dimension. Le triangle en deux dimensions. Le tétraèdre en trois dimensions. ´ Qualite des maillages – p.19/329
  35. 35. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sontconstitués de polygones ou de polyèdres appeléséléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceuxqui ont le nombre minimal de sommets. Le segment en une dimension. Le triangle en deux dimensions. Le tétraèdre en trois dimensions. Le hypertétraèdre en quatre dimensions. ´ Qualite des maillages – p.19/329
  36. 36. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sontconstitués de polygones ou de polyèdres appeléséléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceuxqui ont le nombre minimal de sommets. Le segment en une dimension. Le triangle en deux dimensions. Le tétraèdre en trois dimensions. Le hypertétraèdre en quatre dimensions. Les quadrilatères, les pyramides, les prismes, leshexaèdres et autres bizarreries sont des éléments nonsimpliciaux. ´ Qualite des maillages – p.19/329
  37. 37. Définition d’un -simplexe dans £Soient points ,   ¡  ¢  £  , non situés dans le même hyperplan,c’est-à-dire tel que la matrice d’ordre , ¡¡ ¡¢ ¥¡ £ ¦¡ ¤ ¢¡ ¢¢ ¤ ¢ £ ¦¡ . . . . ... . . . . . £¡ £¢ ¤ £ £ ¦¡soit inversible. On appelle -simplexe des points ,  l’enveloppe convexe des points .   ´ Qualite des maillages – p.20/329
  38. 38. Un simplexe engendre £ ©§ £Tout point , de coordonnées cartésiennes § ¡ ¨est caractérisé par la donnée des scalaires définis comme solution du système linéaire    £ ¦¡ §  pour   § £ ¨  ¡ ¦¡   ¨  ¡dont la matrice est . ´ Qualite des maillages – p.21/329
  39. 39. Ce qu’il faut retenirEn deux dimensions, le simplexe est le triangle. ´ Qualite des maillages – p.22/329
  40. 40. Ce qu’il faut retenirEn deux dimensions, le simplexe est le triangle.En trois dimensions, le simplexe est le tétraèdre. ´ Qualite des maillages – p.22/329
  41. 41. Ce qu’il faut retenir En deux dimensions, le simplexe est le triangle. En trois dimensions, le simplexe est le tétraèdre. £ Les sommets d’un simplexe dans engendrent £vecteurs qui forment une base de . ´ Qualite des maillages – p.22/329
  42. 42. Ce qu’il faut retenir En deux dimensions, le simplexe est le triangle. En trois dimensions, le simplexe est le tétraèdre. £ Les sommets d’un simplexe dans engendrent £vecteurs qui forment une base de . £ Les coordonnées d’un point dans la base  engendrée par le simplexe sont les coordonnéesbarycentriques. ´ Qualite des maillages – p.22/329
  43. 43. Table des matières1. Introduction 8. Éléments non simpliciaux2. Définition d’un simplexe 9. Représentation des cri-3. Dégénérescence des sim- tères de forme plexes 10. Équivalence des critères4. Qualité de forme des sim- de forme plexes 11. Qualité globale et optimi-5. Formules pour les sim- sation plexes 12. Qualité en taille des sim-6. Voronoï, Delaunay et Rie- plexes mann 13. Qualité universelle7. Critères de formes et de 14. Conclusions Delaunay ´ Qualite des maillages – p.23/329
  44. 44. Dégénérescence des simplexesUn -simplexe formé de sommets est dégénéré si  ses sommets sont situés dans le même hyperplan,c’est-à-dire, si la matrice est non inversible. ´ Qualite des maillages – p.24/329
  45. 45. Dégénérescence des simplexes Un -simplexe est dégénéré si ses sommets £n’engendrent pas l’espace . ´ Qualite des maillages – p.25/329
  46. 46. Dégénérescence des simplexes Un -simplexe est dégénéré si ses sommets £n’engendrent pas l’espace . C’est le cas si les sommets sont contenus dansun espace de dimension inférieure à . ´ Qualite des maillages – p.25/329
  47. 47. Dégénérescence des simplexes Un -simplexe est dégénéré si ses sommets £n’engendrent pas l’espace . C’est le cas si les sommets sont contenus dansun espace de dimension inférieure à . Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus. ´ Qualite des maillages – p.25/329
  48. 48. Dégénérescence des simplexes Un -simplexe est dégénéré si ses sommets £n’engendrent pas l’espace . C’est le cas si les sommets sont contenus dansun espace de dimension inférieure à . Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus. Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sontcoplanaires, colinéaires ou confondus. ´ Qualite des maillages – p.25/329
  49. 49. Dégénérescence des simplexes Un -simplexe est dégénéré si ses sommets £n’engendrent pas l’espace . C’est le cas si les sommets sont contenus dansun espace de dimension inférieure à . Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus. Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sontcoplanaires, colinéaires ou confondus. Notez qu’à strictement parler, un simplexe dégénérén’est plus un simplexe au sens de la définition. ´ Qualite des maillages – p.25/329
  50. 50. Critère de dégénérescence Un -simplexe est dégénéré si la matrice est noninversible. Une matrice est non inversible si sondéterminant est nul. ´ Qualite des maillages – p.26/329
  51. 51. Critère de dégénérescence Un -simplexe est dégénéré si la matrice est noninversible. Une matrice est non inversible si sondéterminant est nul. La mesure d’un simplexe est son aire en deuxdimensions et son volume en trois dimensions. ´ Qualite des maillages – p.26/329
  52. 52. Critère de dégénérescence Un -simplexe est dégénéré si la matrice est noninversible. Une matrice est non inversible si sondéterminant est nul. La mesure d’un simplexe est son aire en deuxdimensions et son volume en trois dimensions. La mesure d’un -simplexe formé desommets est donnée par   ´ Qualite des maillages – p.26/329
  53. 53. Critère de dégénérescence Un -simplexe est dégénéré si la matrice est noninversible. Une matrice est non inversible si sondéterminant est nul. La mesure d’un simplexe est son aire en deuxdimensions et son volume en trois dimensions. La mesure d’un -simplexe formé desommets est donnée par  Un triangle est dégénéré si son aire est nulle. ´ Qualite des maillages – p.26/329
  54. 54. Critère de dégénérescence Un -simplexe est dégénéré si la matrice est noninversible. Une matrice est non inversible si sondéterminant est nul. La mesure d’un simplexe est son aire en deuxdimensions et son volume en trois dimensions. La mesure d’un -simplexe formé desommets est donnée par  Un triangle est dégénéré si son aire est nulle.Un tétraèdre est dégénéré si son volume est nul. ´ Qualite des maillages – p.26/329
  55. 55. Taxonomie des simplexes dégénérés Cette taxonomique repose sur les différents étatsdégénérés possibles des simplexes. ´ Qualite des maillages – p.27/329
  56. 56. Taxonomie des simplexes dégénérés Cette taxonomique repose sur les différents étatsdégénérés possibles des simplexes. Il y a trois cas de triangles dégénérés. ´ Qualite des maillages – p.27/329
  57. 57. Taxonomie des simplexes dégénérés Cette taxonomique repose sur les différents étatsdégénérés possibles des simplexes. Il y a trois cas de triangles dégénérés. Il y a dix cas de tétraèdres dégénérés. ´ Qualite des maillages – p.27/329
  58. 58. Taxonomie des simplexes dégénérés Cette taxonomique repose sur les différents étatsdégénérés possibles des simplexes. Il y a trois cas de triangles dégénérés. Il y a dix cas de tétraèdres dégénérés. Dans ce catalogue, les quatre symboles , , et représentent des sommets demultiplicité simple, double, triple et quadruplerespectivement. ´ Qualite des maillages – p.27/329
  59. 59. 1 – Le chapeau Nom Chapeau (cap)Arêtes dégénérées : AucuneRayon du plus petit cercle circonscrit : ´ Qualite des maillages – p.28/329
  60. 60. 2 – L’aiguille Nom Aiguille , (needle)Arêtes dégénérées :Rayon du plus petit cercle circonscrit : ´ Qualite des maillages – p.29/329
  61. 61. 3 – Le Big Crunch Nom Big , , CrunchArêtes dégénérées : ToutesRayon du plus petit cercle circonscrit :Le Big Crunch est la théorie inverse du Big Bang. ´ Qualite des maillages – p.30/329
  62. 62. Dégénérescence des tétraèdres Il y a un cas de dégénérescence en quatre sommetsconfondus. Il y a cinq cas de dégénérescence en quatre sommetscolinéaires. Il y a quatre cas de dégénérescence en quatresommets coplanaires. d a b c ´ Qualite des maillages – p.31/329
  63. 63. 1 – L’aileron Nom AileronArêtes dégénérées : AucuneFaces dégénérées : Un chapeauRayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.32/329
  64. 64. 2 – Le chapeau Nom Chapeau (Cap)Arêtes dégénérées : AucuneFaces dégénérées : AucuneRayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.33/329
  65. 65. 3 – Le cerf-volant NomCerf-volant (sliver)Arêtes dégénérées : AucuneFaces dégénérées : AucuneRayon de la plus petite sphère circonscrite : ou ´ Qualite des maillages – p.34/329
  66. 66. 4 – Le coin Nom Coin (Wedge)Arêtes dégénérées :Faces dégénérées : Deux aiguillesRayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.35/329
  67. 67. 5 – La paillette Nom PailletteArêtes dégénérées : AucuneFaces dégénérées : Quatre chapeauxRayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.36/329
  68. 68. 6 – Le fuseau Nom FuseauArêtes dégénérées :Faces dégénérées : Deux chapeaux et deux aiguillesRayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.37/329
  69. 69. 7 – Le ciseau Nom CiseauArêtes dégénérées :Faces dégénérées : Deux chapeaux et deux aiguillesRayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.38/329
  70. 70. 8 – Le berlingot NomBerlingotArêtes dégénérées : etFaces dégénérées : Quatre aiguillesRayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.39/329
  71. 71. 9 – L’aiguille Nom Aiguille (needle)Arêtes dégénérées : , etFaces dégénérées : Trois aiguilles et un Big CrunchRayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.40/329
  72. 72. 10 – Le Big Crunch Nom Big CrunchArêtes dégénérées : ToutesFaces dégénérées : Quatre Big CrunchsRayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.41/329
  73. 73. Ce qu’il faut retenir Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle. ´ Qualite des maillages – p.42/329
  74. 74. Ce qu’il faut retenir Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle. Il y a trois cas de dégénérescence des triangles. ´ Qualite des maillages – p.42/329
  75. 75. Ce qu’il faut retenir Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle. Il y a trois cas de dégénérescence des triangles. Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sontcoplanaires, colinéaires ou confondus, et donc si sonvolume est nul. ´ Qualite des maillages – p.42/329
  76. 76. Ce qu’il faut retenir Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle. Il y a trois cas de dégénérescence des triangles. Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sontcoplanaires, colinéaires ou confondus, et donc si sonvolume est nul. Il y a dix cas de dégénérescence des tétraèdres. ´ Qualite des maillages – p.42/329
  77. 77. Table des matières1. Introduction 8. Éléments non simpliciaux2. Définition d’un simplexe 9. Représentation des cri-3. Dégénérescence des sim- tères de forme plexes 10. Équivalence des critères4. Qualité de forme des sim- de forme plexes 11. Qualité globale et optimi-5. Formules pour les sim- sation plexes 12. Qualité en taille des sim-6. Voronoï, Delaunay et Rie- plexes mann 13. Qualité universelle7. Critères de formes et de 14. Conclusions Delaunay ´ Qualite des maillages – p.43/329
  78. 78. Qualité en forme des simplexes Une façon habituelle de quantifier la qualité d’unmaillage est faite par le biais de la qualité des élémentsqui le composent. ´ Qualite des maillages – p.44/329
  79. 79. Qualité en forme des simplexes Une façon habituelle de quantifier la qualité d’unmaillage est faite par le biais de la qualité des élémentsqui le composent. Un critère de qualité couramment utilisé pour quantifierla qualité d’un élément est le critère de forme. ´ Qualite des maillages – p.44/329
  80. 80. Qualité en forme des simplexes Une façon habituelle de quantifier la qualité d’unmaillage est faite par le biais de la qualité des élémentsqui le composent. Un critère de qualité couramment utilisé pour quantifierla qualité d’un élément est le critère de forme. Cette section fait le tour des différents critères de formeutilisés pour les simplexes. ´ Qualite des maillages – p.44/329
  81. 81. Le simplex régulierDéfinition : Un élément simplicial est régulier s’il maximise sa mesure pour une mesure donnée de sa frontière. ´ Qualite des maillages – p.45/329
  82. 82. Le simplex régulierDéfinition : Un élément simplicial est régulier s’il maximise sa mesure pour une mesure donnée de sa frontière. Le triangle équilatéral est régulier car c’est celui qui a l’aire optimale pour un périmètre donné. ´ Qualite des maillages – p.45/329
  83. 83. Le simplex régulierDéfinition : Un élément simplicial est régulier s’il maximise sa mesure pour une mesure donnée de sa frontière. Le triangle équilatéral est régulier car c’est celui qui a l’aire optimale pour un périmètre donné. Le tétraèdre équilatéral est régulier car c’est celui qui a le volume optimal pour une surface donnée de ses faces. ´ Qualite des maillages – p.45/329
  84. 84. Critère de forme simplicialDéfinition A : Un critère de forme simplicial est unefonction continue qui évalue la forme d’un simplexe, et quiest invariante par translation, rotation, réflexion ethomothétie du simplexe. Il est dit valide s’il est maximaluniquement pour le simplexe régulier et s’il est minimalpour tous les simplexes dégénérés. Les critères de formesimpliciaux sont normalisés dans l’intervalle , avecpour le simplexe régulier et pour tous les simplexesdégénérés. ´ Qualite des maillages – p.46/329
  85. 85. Remarques L’invariance par translation, rotation et réflexion signifieque les critères de forme simpliciaux doivent êtreindépendants du système de coordonnées. ´ Qualite des maillages – p.47/329
  86. 86. Remarques L’invariance par translation, rotation et réflexion signifieque les critères de forme simpliciaux doivent êtreindépendants du système de coordonnées. L’invariance par une homothétie valide signifie qu’ilsdoivent être adimensionnels (indépendants du systèmed’unités). ´ Qualite des maillages – p.47/329
  87. 87. Remarques L’invariance par translation, rotation et réflexion signifieque les critères de forme simpliciaux doivent êtreindépendants du système de coordonnées. L’invariance par une homothétie valide signifie qu’ilsdoivent être adimensionnels (indépendants du systèmed’unités). La continuité signifie que les critères de forme varientcontinûment en fonction de la position des sommets dusimplexe. ´ Qualite des maillages – p.47/329
  88. 88. Le rapport des rayonsLe rapport des rayons d’un simplexe est un critère deforme défini par , où et sont les rayons des cercles (sphères en 3D) inscrit et circonscrit à , etest la dimension de l’espace. ´ Qualite des maillages – p.48/329
  89. 89. La rapport des moyennesSoit ¡ , un simplexe équilatéral ayant le ¢ même [aire|volume] que le simplexe . Soit ¡ ¢ , la matrice de la transformation affine de vers , i.e. , , où est un vecteur de§ §translation. ´ Qualite des maillages – p.49/329
  90. 90. La rapport des moyennesAlors, le rapport des moyennes d’un simplexe est lerapport de la moyenne géométrique sur la moyennealgébrique des valeurs propres , [, ] de la matrice ¡ ¢ . ! ¡ ¢ en D £ §  ¢ ¡ ¢ § ¡ §   ©§ ¡ ¨ £ £ ¡ ¢ # # § ¡ ¢ en D ©§ ¡ ¨ §  ¢ ¡ ¢ ¡ §   ´ Qualite des maillages – p.50/329
  91. 91. Le conditionnementF ORMAGGIA et P EROTTO (2000) utilisent l’inverse duconditionnement de la matrice. § ¡ § § £ §si les valeurs propres sont ordonnées en ordre croissant. ´ Qualite des maillages – p.51/329
  92. 92. Le norme de FrobeniusFreitag et Knupp (1999) utilise la norme de Frobenius de la ¡matrice pour définir un critère de forme. ¡ £ £ ¡ § § ©§ ¡ ©§ ¡ ¨ ¨où les sont les valeurs propres du tenseur . § ´ Qualite des maillages – p.52/329
  93. 93. Le minimum des angles solidesLe critère de forme simplicial basé sur le minimum des %§ $angles solides du -simplexe est défini par ¡ %§ § $ ¡ § £ ¦¡Le coefficient est la valeur de chaque angle solide du -simplexe régulier, soit en deux dimensionset en trois dimensions. ´ Qualite des maillages – p.53/329
  94. 94. Le sinus deUn critère de forme simplicial moins coûteux du point devue numérique est le sinus minimum. On évite ainsi lecalcul de la fonction dans le calcul de en 2D et §de en 3D. § ¡ %§ § $ ¡ § £ ¦¡où en 2D et en 3D. est la valeur § § § §de pour tous les angles solides du simplexe régulier, §soit en 2D et en3D. ´ Qualite des maillages – p.54/329
  95. 95. Angles des facesOn pourrait définir un critère de forme basé sur le minimumdes douze angles des quatre faces du tétraèdre. Cet angleest de pour le tétraèdre régulier.Mais ce n’est pas un critère de forme valide au sens de laDéfinition A car il ne détecte pas les tétraèdres dégénérésqui n’ont pas de faces dégénérées (le cerf-volant et lechapeau). ´ Qualite des maillages – p.55/329
  96. 96. Angles dièdresL’angle dièdre est l’angle entre l’intersection des deux facesadjacentes à l’arête avec le plan perpendiculaire à l’arête.   §  §Le minimum des six angles dièdres est utilisé comme %§ $critère de forme. ´ Qualite des maillages – p.56/329
  97. 97. Angles dièdres %§ §  §  ¡ §  ¢ $ ¡ §   ¡ §   où et sont les normales aux deux faces adjacentes §  ¡ §  ¢à l’arête , et où est la valeur des §  six angles dièdres du tétraèdre régulier.Ce n’est pas un critère de forme valide au sens de laDéfinition A. Le plus petit angle dièdre de l’aiguille, dufuseau et de la paillette peut être aussi grand que . ´ Qualite des maillages – p.57/329
  98. 98. Le coefficient de l’erreur d’interpolationEn éléments finis, l’erreur d’interpolation d’une fonction surun élément est bornée par un coefficient fois lasemi-norme de la fonction. Ce coefficient est lerapport où est le diamètre de l’élément et est la rondeur de l’élément . en D en D ´ Qualite des maillages – p.58/329
  99. 99. Le rapport des arêtesRapport de la plus petite arête sur la plus grande %§ $ Le rapport des arêtes est un critère de forme non valideselon la Définition A, car il est non-nul pour certainssimplexes dégénérés. En 2D, il peut être aussi grandque pour le chapeau. En 3D, il peut valoir pour lecerf-volant, pour l’aileron, pour le chapeau etpour la paillette. ´ Qualite des maillages – p.59/329
  100. 100. Autres critères de forme – 1 , le rapport du diamètre du tétraèdre sur le rayon de la sphère circonscrite, dans B AKER, (1989). Cecritère de forme est non valide. , le rapport de la plus petite arête du tétraèdre %§ $sur le rayon de la sphère circonscrite, dans M ILLER et al(1996). Ce critère de forme est non valide. , le rapport entre le volume du tétraèdre et le rayon de la sphère circonscrite, dans M ARCUM etW EATHERILL, (1995). ´ Qualite des maillages – p.60/329
  101. 101. Autres critères de forme – 2 § ¢ , le rapport entre le volume du tétraèdre ©§ ¡ ¨et l’aire de ses faces, dans D E C OUGNY et al (1990).L’évaluation de ce critère de forme, ainsi que sa validité,sont assez problématiques pour les tétraèdresdégénérés en quatre sommets colinéaires. , le rapport entre le volume du §  ¡ §   tétraèdre et la moyenne de ses six arêtes, dansDANNELONGUE et TANGUY (1991), Z AVATTIERI et al(1996) et W EATHERILL et al (1993). ´ Qualite des maillages – p.61/329
  102. 102. Autres critères de forme – 3 ¢ §  ¡¢ ¡ ¢ ¢ ¡ §   §  ¢ ¡ ¢ ¡ §   le rapport entre le volume du tétraèdre et une somme, à lapuissance trois demis, de plusieurs termes homogènes àdes carrés de longueurs d’arêtes, dans B ERZINS (1998). ´ Qualite des maillages – p.62/329
  103. 103. Autres critères de forme – 4 §  ¢ , le rapport entre le volume du ¡ §   tétraèdre et la moyenne quadratique de ses six arêtes,dans G RAICHEN et al (1991). Etc... Cette liste n’est pas exhaustive. ´ Qualite des maillages – p.63/329
  104. 104. Il y a une infinité de critères de forme ¦Si et sont deux critères de forme valides, si ,alors , ©( ¡0 ) avec , ) £ avec , £ sont aussi des critères de forme simpliciaux valides. ´ Qualite des maillages – p.64/329
  105. 105. Ce qu’il faut retenir Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie,dont toutes les arêtes sont de même longueur. ´ Qualite des maillages – p.65/329
  106. 106. Ce qu’il faut retenir Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie,dont toutes les arêtes sont de même longueur. Un critère de forme mesure le rapport à l’équilatéralité. ´ Qualite des maillages – p.65/329
  107. 107. Ce qu’il faut retenir Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie,dont toutes les arêtes sont de même longueur. Un critère de forme mesure le rapport à l’équilatéralité. Les critères de forme non valides ne sont pas nuls pourtous les simplexes dégénérés. ´ Qualite des maillages – p.65/329
  108. 108. Ce qu’il faut retenir Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie,dont toutes les arêtes sont de même longueur. Un critère de forme mesure le rapport à l’équilatéralité. Les critères de forme non valides ne sont pas nuls pourtous les simplexes dégénérés. Il existe des zillions de critères de formes valides. ´ Qualite des maillages – p.65/329
  109. 109. Ce qu’il faut retenir Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie,dont toutes les arêtes sont de même longueur. Un critère de forme mesure le rapport à l’équilatéralité. Les critères de forme non valides ne sont pas nuls pourtous les simplexes dégénérés. Il existe des zillions de critères de formes valides. Le but de la recherche n’est pas d’en trouver un autrebien meilleur que les autres. ´ Qualite des maillages – p.65/329
  110. 110. Table des matières1. Introduction 8. Éléments non simpliciaux2. Définition d’un simplexe 9. Représentation des cri-3. Dégénérescence des sim- tères de forme plexes 10. Équivalence des critères4. Qualité de forme des sim- de forme plexes 11. Qualité globale et optimi-5. Formules pour les sim- sation plexes 12. Qualité en taille des sim-6. Voronoï, Delaunay et Rie- plexes mann 13. Qualité universelle7. Critères de formes et de 14. Conclusions Delaunay ´ Qualite des maillages – p.66/329
  111. 111. Formules pour le triangleLa donnée de la longueur des trois arêtes d’un triangle ledétermine entièrement.Donc, les grandeurs mesurables telles les rayons descercles inscrit et circonscrit, les angles, la surface, etc,peuvent s’écrire en fonction de la longueur des trois arêtesd’un triangle.Soit un triangle non dégénéré de sommets , et . ¡ ¢ Les longueurs des arêtes de sont §  notées , . §    § ´ Qualite des maillages – p.67/329
  112. 112. Le demi-périmètreLe demi-périmètre est donné par ¡¢ ¡ ¢ ´ Qualite des maillages – p.68/329
  113. 113. Formule de HéronL’aire d’un triangle peut aussi s’exprimer en terme de longueurs d’arête, à l’aide de la formule de Héron : ¢ ¡¢ ¡ ¢ ´ Qualite des maillages – p.69/329
  114. 114. Rayon du cercle inscritLe rayon du cercle inscrit au triangle est donné par ´ Qualite des maillages – p.70/329
  115. 115. Rayon du cercle circonscritLe rayon du cercle circonscrit au triangle est donnépar ¡¢ ¡ ¢ ´ Qualite des maillages – p.71/329
  116. 116. Diamètre de l’élémentLe diamètre d’un élément est la plus grande distanceeuclidienne entre deux points de l’élément. Pour untriangle, c’est aussi la longueur de la plus grandearête ¡¢ ¡ ¢ La longueur de la plus petite arête est notée %§ $ %§ ¡¢ ¡ ¢ $ ´ Qualite des maillages – p.72/329
  117. 117. Angle solideL’angle au sommet du triangle est la longueur de § §l’arc de cercle obtenu en projetant l’arête du triangleopposée à sur un cercle unitaire de centre . Il § §s’exprime en terme de longueurs d’arête comme ¡ § §  §B A 1@ 3762 154 @# 8 4 9 ´ Qualite des maillages – p.73/329
  118. 118. Formules pour le tétraèdreLa donnée de la longueur des six arêtes d’un tétraèdre ledétermine entièrement.Donc, les grandeurs mesurables telles les rayons dessphères inscrite et circonscrite, les angles, le volume, etc,peuvent s’écrire en fonction de la longueur des six arêtesd’un tétraèdre. ´ Qualite des maillages – p.74/329
  119. 119. Formules pour le tétraèdreSoit un tétraèdre non dégénéré de sommets , , ¡ ¢ et . Les longueurs des arêtes de sont notées §   , . Les aires des faces du§    §tétraèdre, , , et , sont ¢ ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ désignées par , , et . Enfin, est le volume du ¡ ¢ tétraèdre . ´ Qualite des maillages – p.75/329
  120. 120. Formule de “Héron” 3DSoit , , , , et , les longueurs des six arêtes dutétraèdre de manière à ce que les arêtes , et soientconnectées à un même sommet, soit l’arête opposée à , l’arête opposée à et l’arête opposée à . Alors levolume est ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ´ Qualite des maillages – p.76/329
  121. 121. Rayon de la sphère inscriteLe rayon de la sphère inscrite au tétraèdre est donnépar ¡ ¢ ´ Qualite des maillages – p.77/329
  122. 122. Rayon de la sphère circonscriteLe rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre estdonné par où , et sont les produits ¡¢ ¡ ¢ ¡ ¢des longueurs des arêtes opposées de (deux arêtessont opposées si elles n’ont pas de sommet commun). ´ Qualite des maillages – p.78/329
  123. 123. Diamètre de l’élémentLe diamètre d’un élément est la plus grande distanceeuclidienne entre deux points de l’élément. Pour untétraèdre, c’est aussi la longueur de la plus grandearête ¡¢ ¡ ¡ ¢ ¢ La longueur de la plus petite arête est notée %§ $ %§ ¡¢ ¡ ¡ ¢ ¢ $ ´ Qualite des maillages – p.79/329
  124. 124. Angle solideL’angle solide au sommet d’un tétraèdre, est l’aire du § §secteur sphérique obtenue en projetant la face opposéeà sur la sphère unitaire centrée en . § § ¡ ¡ ¢ ´ Qualite des maillages – p.80/329
  125. 125. Angle solideL IU et J OE (1994) donnent la formule pour calculer l’anglesolide en fonction de la longueur des arêtes : ¡ ¢ ¢  B ¢ § §  §B A 1@ 3762 154 C@ 8 4 9 ´ Qualite des maillages – p.81/329
  126. 126. Table des matières1. Introduction 8. Éléments non simpli2. Définition d’un sim- ciaux plexe 9. Représentation des3. Dégénérescence des critères de forme simplexes 10. Équivalence des cri4. Qualité de forme des tères de forme simplexes 11. Qualité globale e5. Formules pour les optimisation simplexes 12. Qualité en taille des6. Voronoï, Delaunay et simplexes Riemann 13. Qualité universelle7. Critères de formes et 14. Conclusions – p.82/329 ´ Qualite des maillages
  127. 127. Quel est le plus beau triangle ? ´ Qualite des maillages – p.83/329
  128. 128. Quel est le plus beau triangle ? A ´ Qualite des maillages – p.83/329
  129. 129. Quel est le plus beau triangle ? A B ´ Qualite des maillages – p.83/329
  130. 130. Si vous avez choisi le triangle A... ´ Qualite des maillages – p.84/329
  131. 131. Si vous avez choisi le triangle A... A Vous avez tort ! ´ Qualite des maillages – p.84/329
  132. 132. Si vous avez choisi le triangle B... ´ Qualite des maillages – p.85/329
  133. 133. Si vous avez choisi le triangle B... B Vous avez encore tort ! ´ Qualite des maillages – p.85/329
  134. 134. Quel est le plus beau triangle ? A BAucune de ces réponses ! ´ Qualite des maillages – p.86/329
  135. 135. Quelle est la plus belle femme ? ´ Qualite des maillages – p.87/329
  136. 136. Quelle est la plus belle femme ? A ´ Qualite des maillages – p.87/329
  137. 137. Quelle est la plus belle femme ? A B ´ Qualite des maillages – p.87/329
  138. 138. Vous avez probablement choisi... ´ Qualite des maillages – p.88/329
  139. 139. Vous avez probablement choisi... A BLa femme A. ´ Qualite des maillages – p.88/329
  140. 140. Et si on demandait à ces messieurs... ´ Qualite des maillages – p.89/329
  141. 141. Et si on demandait à ces messieurs... ´ Qualite des maillages – p.89/329
  142. 142. Ces messieurs choisiraient... ´ Qualite des maillages – p.90/329
  143. 143. Ces messieurs choisiraient... A BLa femme B. ´ Qualite des maillages – p.90/329
  144. 144. Quelle est la plus belle femme...Il n’y a pas de réponse dans l’absolue car laquestion est incomplète.On n’a pas spécifié qui allait juger lescandidates, quel était le barême d’évaluation,quelles étaient les mesures utilisées, etc. ´ Qualite des maillages – p.91/329
  145. 145. Quel est le plus beau triangle ? ´ Qualite des maillages – p.92/329
  146. 146. Quel est le plus beau triangle ? A B ´ Qualite des maillages – p.92/329
  147. 147. Quel est le plus beau triangle ? A BLa question est incomplète. Il manque une façonde mesurer la qualité d’un triangle. ´ Qualite des maillages – p.92/329
  148. 148. Diagramme de Voronoï Georgy Fedoseevich VORO - NOÏ. 28 avril 1868, Ukraine – 20 novembre 1908, Var- sovie. Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes qua- dratiques. Recherches sur les parallélloèdes primitifs. Journal Reine Angew. Math, Vol 134, 1908. ´ Qualite des maillages – p.93/329
  149. 149. La médiatrice Soit et , deux som- mets dans . La mé- diatrice est le lieu des points équi- distants de et . où est la distance euclidienne entre deux points de l’espace. ´ Qualite des maillages – p.94/329
  150. 150. Un nuage de sommetsSoit , un nuage de sommets. ´ Qualite des maillages – p.95/329
  151. 151. Cellule de VoronoïDéfinition : La cellule de Voronoï associéeau sommet est le lieu des points de l’espacequi sont plus proche de que de tout autresommet : ´ Qualite des maillages – p.96/329
  152. 152. Diagramme de VoronoïL’ensemble des cellules de Voronoï associées àtous les sommets du nuage de sommets formele diagramme de Voronoï. ´ Qualite des maillages – p.97/329
  153. 153. Propriétés des diagrammes de Vorono Les cellules de Voronoï sont des polygones en 2D, des polyèdres en 3D, des -polytopes en D. Les cellules de Voronoï sont convexes. Les cellules de Voronoï recouvrent l’espace sans chevauchement. ´ Qualite des maillages – p.98/329
  154. 154. Ce qu’il faut retenirLes diagrammes de Voronoï sont despartitions de l’espace en cellules basées surla notion de distance. ´ Qualite des maillages – p.99/329
  155. 155. Triangulation de Delaunay Boris Nikolaevich D ELONE ou D ELAUNAY. 15 mars 1890, Saint Petersbourg — 1980. Sur la sphère vide. À la mé- moire de Georges Voronoi, Bulletin de l’Académie des Sciences de l’URSS, Vol. 7, pp. 793–800, 1934. ´ Qualite des maillages – p.100/329
  156. 156. Triangulation d’un nuage de pointsLe même nuage de points peut se trianguler debeaucoup de façons différentes. ... ´ Qualite des maillages – p.101/329
  157. 157. Triangulation d’un nuage de points ... ... ´ Qualite des maillages – p.102/329
  158. 158. Triangulation d’un nuage de points ... ... ´ Qualite des maillages – p.103/329
  159. 159. Triangulation de DelaunayParmi toutes ces façons, il y en a une (ou parfoisplusieurs) triangulation de l’enveloppe convexedu nuage de point qui est dite de Delaunay. ´ Qualite des maillages – p.104/329
  160. 160. Critère de la sphère vide de DelaunayCritère de la sphère vide : Un simplexesatisfait le critère de la sphère vide si la bouleouverte circonscrite au simplexe est vide (ie,ne contient aucun sommet de la triangulation). ´ Qualite des maillages – p.105/329
  161. 161. Critère de la sphère vide violéUn simplexe ne satisfait pas le critère de lasphère vide si la boule ouverte circonscrite ausimplexe n’est pas vide (ie, contient un ouplusieurs sommets de la triangulation). ´ Qualite des maillages – p.106/329
  162. 162. Triangulation de DelaunayTriangulation de Delaunay : Si tous leséléments d’une triangulation satisfont lecritère de la sphère vide, alors la triangulation estdite de Delaunay. ´ Qualite des maillages – p.107/329
  163. 163. Algorithme de Delaunay Il faut trouver la sphère circonscrite à un simplexe. Cela revient à trouver son centre. Le centre est le point à égale dis- tance des som- mets du simplexe. ´ Qualite des maillages – p.108/329
  164. 164. Algorithme de DelaunayComment savoir si un point viol le critère de lasphère vide d’un simplexe ? Il faut trouver le centre et le rayon de la sphère circonscrite au simplexe . Il faut trouver la distance entre le point et le centre . Si la distance est supérieure au rayon , le point n’est pas dans la sphère circonscrite au simplexe . ´ Qualite des maillages – p.109/329
  165. 165. Ce qu’il faut retenirLe diagramme de Voronoï d’un nuage depoints est une partition de l’espace encellules basée sur la notion de distance.Une triangulation de Delaunay d’un nuage depoints est une triangulation basée sur lanotion de distance. ´ Qualite des maillages – p.110/329
  166. 166. Dualité Delaunay-VoronoïLe diagramme de Voronoï est le dual de latriangulation de Delaunay et vice versa. ´ Qualite des maillages – p.111/329
  167. 167. Voronoï et Delaunay dans la natureLes diagrammes de Voronoï et les triangulationsde Delaunay ne sont pas juste un trip dematheux, ce sont des structures qu’on retrouvedans la nature. ´ Qualite des maillages – p.112/329
  168. 168. Voronoï et Delaunay dans la nature ´ Qualite des maillages – p.113/329
  169. 169. Une tortue ´ Qualite des maillages – p.114/329
  170. 170. Un ananas ´ Qualite des maillages – p.115/329
  171. 171. La Tour Du Diable ´ Qualite des maillages – p.116/329
  172. 172. Boue séchée ´ Qualite des maillages – p.117/329
  173. 173. Nids d’abeilles ´ Qualite des maillages – p.118/329
  174. 174. Ailes de libellule ´ Qualite des maillages – p.119/329
  175. 175. Maïs soufflé ´ Qualite des maillages – p.120/329
  176. 176. Yeux de mouches ´ Qualite des maillages – p.121/329
  177. 177. Nanotubes de carbone ´ Qualite des maillages – p.122/329
  178. 178. Bulles de savon ´ Qualite des maillages – p.123/329
  179. 179. Un dôme geodésique ´ Qualite des maillages – p.124/329
  180. 180. Biosphère de Montréal ´ Qualite des maillages – p.125/329
  181. 181. Rue de Paris ´ Qualite des maillages – p.126/329
  182. 182. Routes de la Sarthe ´ Qualite des maillages – p.127/329
  183. 183. Routes dans la Loire ´ Qualite des maillages – p.128/329
  184. 184. Où s’en va le gars en avant ? Un critère de forme d’un simplexe mesure le rapport à l’équilatéralité. ´ Qualite des maillages – p.129/329
  185. 185. Où s’en va le gars en avant ? Un critère de forme d’un simplexe mesure le rapport à l’équilatéralité. Le diagramme de Voronoï d’un nuage de points est une partition de l’espace en cellules basée sur la notion de distance. ´ Qualite des maillages – p.129/329
  186. 186. Où s’en va le gars en avant ? Un critère de forme d’un simplexe mesure le rapport à l’équilatéralité. Le diagramme de Voronoï d’un nuage de points est une partition de l’espace en cellules basée sur la notion de distance. Une triangulation de Delaunay d’un nuage de points est une triangulation basée sur la notion de distance. ´ Qualite des maillages – p.129/329
  187. 187. Où s’en va le gars en avant ? Un critère de forme d’un simplexe mesure le rapport à l’équilatéralité. Le diagramme de Voronoï d’un nuage de points est une partition de l’espace en cellules basée sur la notion de distance. Une triangulation de Delaunay d’un nuage de points est une triangulation basée sur la notion de distance. On généralise la notion de distance. ´ Qualite des maillages – p.129/329
  188. 188. Où s’en va le gars en avant ? Un critère de forme d’un simplexe mesure le rapport à l’équilatéralité. Le diagramme de Voronoï d’un nuage de points est une partition de l’espace en cellules basée sur la notion de distance. Une triangulation de Delaunay d’un nuage de points est une triangulation basée sur la notion de distance. On généralise la notion de distance. On généralise ainsi les notions de critère de forme, de diagramme de Voronoï et de triangulation de Delaunay. ´ Qualite des maillages – p.129/329
  189. 189. Nikolai Ivanovich Lobachevsky N IKOLAI I VANOVICH LOBACHEVSKY, 1 décembre 1792, Nizhny Novgorod — 24 février 1856, Kazan. ´ Qualite des maillages – p.130/329
  190. 190. János Bolyai J ÁNOS BOLYAI, 15 dé- cembre 1802 à Kolozsvár, Empire Austrichien (Cluj, Roumanie) — 27 janvier 1860 à Marosvásárhely, Empire Austrichien (Tirgu- Mures, Roumanie). ´ Qualite des maillages – p.131/329
  191. 191. Bernhard RIEMANN G EORG F RIEDRICH B ERN - HARD RIEMANN, 7 sep- tembre 1826, Hanovre — 20 juillet 1866, Selasca. Über die Hypothesen welche der Geo- metrie zu Grunde liegen. 10 juin 1854. ´ Qualite des maillages – p.132/329
  192. 192. Géométrie non euclidienneRiemann a généralisé la géométrie euclidiennesur le plan à la géométrie riemannienne sur unesurface.Il a définit la distance entre deux points sur unesurface comme étant la longueur du plus courtchemin entre ces deux points (géodésique).Il a introduit le métrique riemannienne qui définitla courbure de l’espace. ´ Qualite des maillages – p.133/329
  193. 193. Définition d’une métriqueSoit un ensemble quelconque, alors la fonctionest appelée une métrique sur si elle satisfait(i) pour tous , dans ;(ii) si et seulement si ;(iii) pour tous , dans ;(iv) pour tous , , dans . ´ Qualite des maillages – p.134/329
  194. 194. La distance euclidienne est une métriqDans la définition précédente de la métrique,supposons que soit , alors la fonctionest une métrique sur . ´ Qualite des maillages – p.135/329
  195. 195. Le produit scalaire est une métriqueSoit un espace vectoriel muni d’un produitscalaire . Alors la norme du produit scalairede la différence de deux éléments de l’espacevectoriel est une métrique. ´ Qualite des maillages – p.136/329
  196. 196. Le produit scalaire est une métriqueSi l’espace vectoriel est , alors la norme duproduit scalaire du vecteur est la distanceeuclidienne. ´ Qualite des maillages – p.137/329
  197. 197. Tenseur métriqueUn tenseur métrique est une matricesymétrique définie positive en 2D, en 3D. ´ Qualite des maillages – p.138/329
  198. 198. Longueur dans la métriqueLa longueur d’une arête entre lessommets et dans la métrique est donnéepar ´ Qualite des maillages – p.139/329
  199. 199. Longueur euclidienne avec ´ Qualite des maillages – p.140/329
  200. 200. Longueur métrique avec ´ Qualite des maillages – p.141/329
  201. 201. Longueur dans une métrique variableD’une façon générale, la métrique n’est pasconstante mais varie continûment en tout pointde l’espace. La longueur d’une courbeparamétréeest évaluée dans la métrique paroù est un point de la courbe et est levecteur tangent à la courbe en ce point. ´ Qualite des maillages – p.142/329
  202. 202. Aire et volume dans une métriqueAire du triangle dans la métrique :Volume du tétraèdre dans la métrique : ´ Qualite des maillages – p.143/329
  203. 203. Métrique et maillage de Delaunay ´ Qualite des maillages – p.144/329
  204. 204. Quel est le plus beau triangle ? A BLa question est incomplète. Il manque une façonde mesurer la qualité d’un triangle. ´ Qualite des maillages – p.145/329
  205. 205. Quel est le plus beau triangle ? A B ´ Qualite des maillages – p.146/329
  206. 206. Quel est le plus beau triangle ? A B ´ Qualite des maillages – p.147/329
  207. 207. Exemple d’un maillage adaptéMaillage adapté et solution pour un écoulementcompressible visqueux transonique à Mach 0.85et Reynolds = 5 000. ´ Qualite des maillages – p.148/329
  208. 208. Zoom couche limite–choc ´ Qualite des maillages – p.149/329
  209. 209. Ce qu’il faut retenir La beauté, la qualité, la forme, est une notion toute relative. ´ Qualite des maillages – p.150/329
  210. 210. Ce qu’il faut retenir La beauté, la qualité, la forme, est une notion toute relative. Il faut d’abord être capable de définir qu’est-ce qu’on veut pour pouvoir juger ce qu’on a obtenu. ´ Qualite des maillages – p.150/329
  211. 211. Ce qu’il faut retenir La beauté, la qualité, la forme, est une notion toute relative. Il faut d’abord être capable de définir qu’est-ce qu’on veut pour pouvoir juger ce qu’on a obtenu. “Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous forme d’une métrique. ´ Qualite des maillages – p.150/329
  212. 212. Ce qu’il faut retenir La beauté, la qualité, la forme, est une notion toute relative. Il faut d’abord être capable de définir qu’est-ce qu’on veut pour pouvoir juger ce qu’on a obtenu. “Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous forme d’une métrique. Un critère de forme est une mesure de l’équilatéralité d’un simplexe dans la métrique. ´ Qualite des maillages – p.150/329
  213. 213. Critère de forme dans la métriquePremière méthode (métrique constante)Sur le simplexe , évaluer la métrique enplusieurs points (de Gauss) et trouver unemétrique moyenne.Supposer que cette métrique moyenne estconstante sur tout le simplexe et évaluer lecritère de forme avec cette métrique. ´ Qualite des maillages – p.151/329
  214. 214. Critère de forme dans la métriqueDeuxième méthode (métrique constante)Sur le simplexe , évaluer la métrique en unpoint (de Gauss), supposer que cette métriqueest constante sur tout le simplexe et évaluer lecritère de forme en ce point avec cette métrique.Répéter cette opération en plusieurs points etfaire la moyenne des critères de forme.C’est ce qui est fait à l’INRIA. ´ Qualite des maillages – p.152/329
  215. 215. Critère de forme dans la métriqueTroisième méthode (métrique variable)Exprimer le critère de forme en fonctionseulement de longueurs d’arêtes.Évaluer les longueurs d’arêtes dans la métrique.C’est ce qui est fait dans OORT. ´ Qualite des maillages – p.153/329
  216. 216. Critère de forme dans la métriqueQuatrième méthode (métrique variable)Exprimer le critère de forme en fonction delongueurs d’arêtes, d’aire et de volume.Évaluer longueurs, aire et volume dans lamétrique. ´ Qualite des maillages – p.154/329

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