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Mécanique 12 : chute avec frottements

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  1. 1. Cours M2: pr´sentation e Chute libre avec frottements
  2. 2. Plan 1. Introduction
  3. 3. Plan 1. Introduction 2. Probl`me 3 e
  4. 4. El´ments de bases du probl`me 3 e e
  5. 5. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? & $ %
  6. 6. Plan 1. Introduction 2. Probl`me 3 e
  7. 7. Plan 1. Introduction 2. Probl`me 3 e 3. Syst`me e
  8. 8. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? & $ %
  9. 9. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? & $ § Le parachutiste ¦ % ¤ ¥
  10. 10. Plan 1. Introduction 2. Probl`me 3 e 3. Syst`me e
  11. 11. Plan 1. 2. 3. 4. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee
  12. 12. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? & $ § Le parachutiste ¦ % ¤ ¥
  13. 13. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? & $ § ¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol ee e Le parachutiste ee e ¦ ¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le temps de la chute. %
  14. 14. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? $ § ¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol ee e Le parachutiste ee e ¦ ¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le temps de la chute. % z h O Figure 1
  15. 15. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? $ § ¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol ee e Le parachutiste ee e ¦ ¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le temps de la chute. % z h O Figure 1 Base cart´sienne ` une dimene a sion ¨ ©
  16. 16. Plan 1. 2. 3. 4. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee
  17. 17. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces
  18. 18. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces
  19. 19. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? $ § ¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol ee e Le parachutiste ee e ¦ ¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le temps de la chute. % z h O Figure 1 Base cart´sienne ` une dimene a sion ¨ ©
  20. 20. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' $ § ¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol ee e Le parachutiste ee e ¦ ¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le temps de la chute. % Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? Le poids du parachutiste et la force de frottements de l’air sur lui z h O Figure 1 Base cart´sienne ` une dimene a sion ¨ ©
  21. 21. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces
  22. 22. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements
  23. 23. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' $ § ¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol ee e Le parachutiste ee e ¦ ¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le temps de la chute. % Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? Le poids du parachutiste et la force de frottements de l’air sur lui z h O Figure 1 Base cart´sienne ` une dimene a sion ¨ ©
  24. 24. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' $ § ¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol ee e Le parachutiste ee e ¦ ¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le temps de la chute. % Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? Le poids du parachutiste et la force de frottements de l’air sur lui z h ' O $ Deux types frottements possibles : Figure 1 Base cart´sienne ` une dimene a sion % ¨ ©
  25. 25. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' $ § ¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol ee e Le parachutiste ee e ¦ ¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le temps de la chute. % Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? Le poids du parachutiste et la force de frottements de l’air sur lui ' Deux types frottements possibles : − → → • frottements lin´aires : f = −k − e v z h O $ Figure 1 Base cart´sienne ` une dimene a sion % ¨ ©
  26. 26. El´ments de bases du probl`me 3 e e ' $ § ¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol ee e Le parachutiste ee e ¦ ¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le temps de la chute. % Un parachutiste amateur de chute ”libre” saute depuis un h´licopt`re d’une altitude h. e e Quelles sont les caract´ristiques e de son mouvement? Le poids du parachutiste et la force de frottements de l’air sur lui ' Deux types frottements possibles : − → → • frottements lin´aires : f = −k − e v − → → v frottements quadratiques : f = −k v − • z h O $ Figure 1 Base cart´sienne ` une dimene a sion % ¨ ©
  27. 27. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements
  28. 28. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton
  29. 29. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton 7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires e e
  30. 30. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton 7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires e e 7.1 Equation diff´rentielle e
  31. 31. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton 7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires e e 7.1 Equation diff´rentielle e 7.2 Solution
  32. 32. Obtention d’une ´quation d’´quation e e diff´rentielle avec second membre e
  33. 33. Obtention d’une ´quation d’´quation e e diff´rentielle avec second membre e Soit une ´quation du type e dy +a y = b. dt
  34. 34. Obtention d’une ´quation d’´quation e e diff´rentielle avec second membre e Soit une ´quation du type e dy +a y = b. R´solution en trois temps : e dt
  35. 35. Obtention d’une ´quation d’´quation e e diff´rentielle avec second membre e Soit une ´quation du type e dy +a y = b. R´solution en trois temps : e dt • Recherche de la solution de l’´quation homog`ne : e e dy + a y = 0 =⇒ solution sh dt
  36. 36. Obtention d’une ´quation d’´quation e e diff´rentielle avec second membre e Soit une ´quation du type e dy +a y = b. R´solution en trois temps : e dt • Recherche de la solution de l’´quation homog`ne : e e dy + a y = 0 =⇒ solution sh dt • Recherche d’une solution particuli`re de mˆme forme que le e e second membre b : Si b = cste alors sp = cste
  37. 37. Obtention d’une ´quation d’´quation e e diff´rentielle avec second membre e Soit une ´quation du type e dy +a y = b. R´solution en trois temps : e dt • Recherche de la solution de l’´quation homog`ne : e e dy + a y = 0 =⇒ solution sh dt • Recherche d’une solution particuli`re de mˆme forme que le e e second membre b : Si b = cste alors sp = cste • Solution globale : s = sh + sp .
  38. 38. Obtention d’une ´quation d’´quation e e diff´rentielle avec second membre e Soit une ´quation du type e dy +a y = b. R´solution en trois temps : e dt • Recherche de la solution de l’´quation homog`ne : e e dy + a y = 0 =⇒ solution sh dt • Recherche d’une solution particuli`re de mˆme forme que le e e second membre b : Si b = cste alors sp = cste • Solution globale : s = sh + sp . D´termination des constantes de s ` l’aide des conditions e a initiales.
  39. 39. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton 7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires e e 7.1 Equation diff´rentielle e 7.2 Solution
  40. 40. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton 7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires e e 7.1 Equation diff´rentielle e 7.2 Solution 7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques e
  41. 41. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton 7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires e e 7.1 Equation diff´rentielle e 7.2 Solution 7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques e 7.3.1 Courbe
  42. 42. Courbe |vz | = f (t), frottements lin´aires e
  43. 43. Courbe |vz | = f (t), frottements lin´aires e |vz | = g τ 1 − exp − t τ
  44. 44. Courbe |vz | = f (t), frottements lin´aires e |vz | = g τ 1 − exp − t τ vlim 69.5 |vz |(m.s−1 ) 60 40 Cas des frottements lin´aires e 20 0 0 10 20 t(s) Figure 1 30 40
  45. 45. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton 7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires e e 7.1 Equation diff´rentielle e 7.2 Solution 7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques e 7.3.1 Courbe
  46. 46. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton 7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires e e 7.1 Equation diff´rentielle e 7.2 Solution 7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques e 7.3.1 Courbe 7.3.2 Vitesse limite
  47. 47. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton 7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires e e 7.1 Equation diff´rentielle e 7.2 Solution 7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques e 7.3.1 Courbe 7.3.2 Vitesse limite 7.3.3 Temps caract´ristique e
  48. 48. Temps caract´ristique et r´gimes e e
  49. 49. Temps caract´ristique et r´gimes e e vlim 69.5 |vz |(m.s−1 ) 60 40 R´gime transitoire e R´gime permanent e 20 0 0 τ 10 20 30 5τ 40 t(s) Figure 2 50
  50. 50. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton 7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires e e 7.1 Equation diff´rentielle e 7.2 Solution 7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques e 7.3.1 Courbe 7.3.2 Vitesse limite 7.3.3 Temps caract´ristique e
  51. 51. Plan 1. 2. 3. 4. 5. Introduction Probl`me 3 e Syst`me e R´f´rentiel et base ee Forces 5.1 Bilan des forces 5.2 Deux types de frottements e 6. 2`me loi de Newton 7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires e e 7.1 Equation diff´rentielle e 7.2 Solution 7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques e 7.3.1 Courbe 7.3.2 Vitesse limite 7.3.3 Temps caract´ristique e 7.4 Position
  52. 52. z=f(t), frottements lin´aires e
  53. 53. z=f(t), frottements lin´aires e z(t) = g τ 2 1 − exp − t τ −gτt +h
  54. 54. z=f(t), frottements lin´aires e z(t) = g τ 2 1 − exp − t τ −gτt +h 0.4 t τ 0.5 4,000 3,000 1 − exp − z(m) 5,000 2,000 1,000 0 0.3 0.2 0.1 0 10 20 t(s) 30 40 Figure 3 0 0 10 20 t(s) 30 40
  55. 55. Plan 8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques e
  56. 56. Plan 8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques e 8.1 Equation diff´rentielle e
  57. 57. Plan 8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques e 8.1 Equation diff´rentielle e 8.2 Vitesse limite
  58. 58. Plan 8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques e 8.1 Equation diff´rentielle e 8.2 Vitesse limite 8.3 M´thode d’Euler e
  59. 59. Plan 8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques e 8.1 Equation diff´rentielle e 8.2 Vitesse limite 8.3 M´thode d’Euler e 8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ? e
  60. 60. La m´thode d’Euler e
  61. 61. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e
  62. 62. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e • Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation e e diff´rentielle ` partir des conditions initiales. e a
  63. 63. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e • Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation e e diff´rentielle ` partir des conditions initiales. e a Rappels math´matiques e
  64. 64. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e • Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation e e diff´rentielle ` partir des conditions initiales. e a Rappels math´matiques e • D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe. e e a
  65. 65. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e • Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation e e diff´rentielle ` partir des conditions initiales. e a Rappels math´matiques e • D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe. e e a • Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e : e e e
  66. 66. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e • Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation e e diff´rentielle ` partir des conditions initiales. e a Rappels math´matiques e • D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe. e e a • Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e : e e e v (m.s−1 ) 60 40 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25
  67. 67. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e • Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation e e diff´rentielle ` partir des conditions initiales. e a Rappels math´matiques e • D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe. e e a • Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e : e e e v (m.s−1 ) 60 40 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25
  68. 68. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e • Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation e e diff´rentielle ` partir des conditions initiales. e a Rappels math´matiques e • D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe. e e a • Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e : e e e v (m.s−1 ) 60 40 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25
  69. 69. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e • Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation e e diff´rentielle ` partir des conditions initiales. e a Rappels math´matiques e • D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe. e e a • Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e : e e e v (m.s−1 ) 60 B 40 A 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25
  70. 70. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e • Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation e e diff´rentielle ` partir des conditions initiales. e a Rappels math´matiques e • D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe. e e a • Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e : e e e 60 B v (m.s−1 ) ∆v = vB − vA 40 A 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25
  71. 71. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e • Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation e e diff´rentielle ` partir des conditions initiales. e a Rappels math´matiques e • D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe. e e a • Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e : e e e 60 B v (m.s−1 ) ∆v = vB − vA 40 A ∆t = tB − tA 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25
  72. 72. La m´thode d’Euler e • M´thode num´rique it´rative ; e e e • Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation e e diff´rentielle ` partir des conditions initiales. e a Rappels math´matiques e • D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe. e e a • Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e : e e e 60 B v (m.s−1 ) ∆v = vB − vA 40 dv dt A ∆t = tB − tA 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25 = t=10 s ∆v ∆t
  73. 73. La m´thode d’Euler e Que donne un zoom sur la courbe?
  74. 74. La m´thode d’Euler e Que donne un zoom sur la courbe? 60 B v (m.s−1 ) ∆v = vB − vA 40 A ∆t = tB − tA 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25
  75. 75. La m´thode d’Euler e Que donne un zoom sur la courbe? 60 B v (m.s−1 ) ∆v = vB − vA 40 A ∆t = tB − tA 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25
  76. 76. La m´thode d’Euler e Que donne un zoom sur la courbe? 60 B v (m.s−1 ) ∆v = vB − vA 40 A ∆t = tB − tA 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25
  77. 77. La m´thode d’Euler e Que donne un zoom sur la courbe? 60 B v (m.s−1 ) ∆v = vB − vA 40 A ∆t = tB − tA 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25
  78. 78. La m´thode d’Euler e Que donne un zoom sur la courbe? 60 B B’ v (m.s−1 ) ∆v = vB − vA 40 A A’ ∆t = tB − tA 20 0 0 5 10 15 t(s) 20 25
  79. 79. La m´thode d’Euler e Que donne un zoom sur la courbe? 60 B B’ v (m.s−1 ) ∆v = vB − vA 40 A A’ ∆t = tB − tA 20 0 δv δt 0 5 10 15 t(s) 20 25
  80. 80. La m´thode d’Euler e Que donne un zoom sur la courbe? 60 B B’ v (m.s−1 ) ∆v = vB − vA 40 A A’ ∆t = tB − tA 20 0 δv δt 0 5 10 15 t(s) 20 25 Si on consid`re un intervalle de temps δt suffisamment petit : e
  81. 81. La m´thode d’Euler e Que donne un zoom sur la courbe? 60 B B’ v (m.s−1 ) ∆v = vB − vA 40 A A’ ∆t = tB − tA 20 0 δv δt 0 5 10 15 t(s) 20 25 Si on consid`re un intervalle de temps δt suffisamment petit : e dv dt = t δv δt
  82. 82. La m´thode d’Euler e
  83. 83. La m´thode d’Euler e On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation a a e diff´rentielle. e
  84. 84. La m´thode d’Euler e On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation a a e diff´rentielle. e Si dv = A v 2 +B dt alors δv = (A v 2 + B) × δt lorsque δt → 0
  85. 85. La m´thode d’Euler e On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation a a e diff´rentielle. e Si dv = A v 2 +B dt alors δv = (A v 2 + B) × δt Mise en œuvre de la m´thode e lorsque δt → 0
  86. 86. La m´thode d’Euler e On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation a a e diff´rentielle. e Si dv = A v 2 +B dt alors δv = (A v 2 + B) × δt lorsque δt → 0 Mise en œuvre de la m´thode e • On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ;
  87. 87. La m´thode d’Euler e On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation a a e diff´rentielle. e Si dv = A v 2 +B dt alors δv = (A v 2 + B) × δt lorsque δt → 0 Mise en œuvre de la m´thode e • On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ; • On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;
  88. 88. La m´thode d’Euler e On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation a a e diff´rentielle. e Si dv = A v 2 +B dt alors δv = (A v 2 + B) × δt lorsque δt → 0 Mise en œuvre de la m´thode e • On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ; • On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ; • On calcule : 2 v1 = v0 + δv = v0 + (A v0 + B) × δt
  89. 89. La m´thode d’Euler e On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation a a e diff´rentielle. e Si dv = A v 2 +B dt alors δv = (A v 2 + B) × δt lorsque δt → 0 Mise en œuvre de la m´thode e • On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ; • On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ; • On calcule : 2 v1 = v0 + δv = v0 + (A v0 + B) × δt • Et ainsi de suite.
  90. 90. La m´thode d’Euler e
  91. 91. La m´thode d’Euler e • Un tableur viendra nous assister dans la r´p´tition des calculs. e e
  92. 92. La m´thode d’Euler e • Un tableur viendra nous assister dans la r´p´tition des calculs. e e • Le choix du pas de calcul δt doit ˆtre judicieux : il faut e prendre un intervalle suffisamment petit pour que l’approximation soit valable, mais pas trop petit afin que les calculs ne soient pas trop longs.
  93. 93. Plan 8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques e 8.1 Equation diff´rentielle e 8.2 Vitesse limite 8.3 M´thode d’Euler e 8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ? e
  94. 94. Plan 8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques e 8.1 Equation diff´rentielle e 8.2 Vitesse limite 8.3 M´thode d’Euler e 8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ? e 8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas
  95. 95. Vitesse, frottements quadratiques
  96. 96. Vitesse, frottements quadratiques vlim 69.5 vz (m.s−1 ) 60 Cas des frottements 40 quadratiques δt = 0.3 20 0 0 10 20 t(s) Figure 4 30 40
  97. 97. Position, frottements quadratiques
  98. 98. Position, frottements quadratiques 5,000 z(m) 4,000 3,000 2,000 1,000 0 0 10 20 t(s) Figure 5 30 40
  99. 99. Plan 8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques e 8.1 Equation diff´rentielle e 8.2 Vitesse limite 8.3 M´thode d’Euler e 8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ? e 8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas
  100. 100. Plan 8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques e 8.1 Equation diff´rentielle e 8.2 Vitesse limite 8.3 M´thode d’Euler e 8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ? e 8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas 9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chute d’un parachutiste ?

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