Unmsm fisi - estudio de casos de problemas de programación lineal - io1 cl05

1
Estudio de casos de
problemas de
Programación Lineal
Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
Investigación Operativa I
2
CASO 1: ASIGNACION DE RECURSOS AGRICOLAS
Una Cooperativa opera 3 granjas.
Los datos acerca de las granjas son las siguientes:
TERRENO AGUA
UTILIZABLE DISPONIBLE
(ha) (m3
)
1 700 2000
2 800 2400
3 600 1500
GRANJA
La Cooperativa considera sembrar 4 productos A, B, C
y D.
Estudio de Casos de PPL

2
3
No se puede mostrar la imagen en este momento.
CANTIDAD CONSUMO UTILIDAD
MAXIMA DE DE ESPERADA
TERRENO AGUA POR HECTAREA
(ha) (m3/ha) ($)
A 500 5 2000
B 700 4 1500
C 400 3 1000
D 600 4 1500
PRODUCTO
Además para mantener una carga uniforme de trabajo,
se establece que en todas las granjas se debe utilizar el
mismo porcentaje de terreno.
Determine el plan óptimo de sembrío para maximizar la
utilidad esperada.
4
SOLUCION:
Determinando los posibles sembrios en cada granja:
1 2 3
A A1 A2 A3
B B1 B2 B3
C C1 C2 C3
D D1 D2 D3

3
5
1
2
3
A
B
C
D
PRODUCTOS
GRANJAS
A1
A2
A3
B1
B2
B3
C1
C2
C3
D2D1
D3
6
Variables de decisión:
Ai i = 1, 2, 3
Bi i = 1, 2, 3
Ci i = 1, 2, 3
Ejemplo
C2: número de hectáreas a sembrar del producto C en
la granja 2

4
7
Restricciones:
Por terreno utilizable
A1 + B1 + C1 + D1 ≤ 700
A2 + B2 + C2 + D2 ≤ 800
A3 + B3 + C3 + D3 ≤ 600
5 A3 + 4 B3 + 3 C3 + 4 D3 ≤ 1500
Por agua disponible
5 A1 + 4 B1 + 3 C1 + 4 D1 ≤ 2000
5 A2 + 4 B2 + 3 C2 + 4 D2 ≤ 2400
8
Por cantidad máxima a sembrar de cada producto
A1 + A2 + A3 ≤ 500
B1 + B2 + B3 ≤ 700
C1 + C2 + C3 ≤ 400
7 A3 + 7 B3 + 7 C3 + 7 D3 – 6 A1 – 6 B1 – 6 C1 – 6 D1 = 0
Por carga uniforme de trabajo
8 A1 + 8 B1 + 8 C1 + 8 D1 – 7 A2 – 7 B2 – 7 C2 – 7 D2 = 0
8 A3 + 8 B3 + 8 C3 + 8 D3 – 6 A2 – 6 B2 – 6 C2 – 6 D2 = 0
D1 + D2 + D3 ≤ 600
600
3D3C3B3A
800
2D2C2B2A
700
1D1C1B1A +++
=
+++
=
+++

5
9
Por no negatividad
A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3, D1, D2, D3 ≥ 0
Función objetivo:
Maximizamos la utilidad
Max Z = 2000 (A1 + A2 + A3) + 1500 (B1 + B2 + B3) + 1000 (C1 + C2 + C3) +
1500 (D1 + D2 + D3)
10
Un barco tiene tres bodegas: en la proa, en el centro y
en la popa. Los límites de capacidad son:
Capacidad
Peso Volumen
(Ton) (Pies
3
)
Proa 2,000 100,000
Centro 3,000 135,000
Popa 1,500 30,000
Bodega
CASO 2: CARGA DEL BARCO

6
11
Se ofrecen los siguientes cargamentos y los dueños de
los barcos pueden aceptar el total o una porción
cualquiera de cada artículo.
Cantidad Ganacia
Peso Vol/Ton por Ton
(Ton) (Pies
3
) ($)
A 6,000 60 6
B 4,000 50 8
C 2,000 25 5
Artículo
12
Para preservar el equilibrio de barco, el peso en cada
bodega debe ser proporcional a la capacidad en
toneladas.
¿Cómo debe distribuirse la carga para hacer máxima la
ganancia?

7
13
La siguiente gráfica permite visualizar el problema e
identificar las variables de decisión.
POPA
CENTRO
PROA
A
B
C
A1
A2A3
B1
B2
B3
C1 C2
C3
SOLUCION:
14
Ai i = 1, 2, 3
Bi i = 1, 2, 3
Ci i = 1, 2, 3
Ejemplo
C1: cantidad de toneladas del producto C que se
transporta en la bodega 1 (proa)
i = 1 (Proa), 2 (Centro) y 3 (Popa)

8
15
Por límite de cantidad de artículos
Restricciones
Por límite de capacidad de peso del barco
A1 + A2 + A3 ≤ 6000
B1 + B2 + B3 ≤ 4000
C1 + C2 + C3 ≤ 2000
A1 + B1 + C1 ≤ 2000
A2 + B2 + C2 ≤ 3000
A3 + B3 + C3 ≤ 1500
16
Por límite de capacidad de volumen del barco
Por equilibrio del barco
60 A1 + 50 B1 + 25 C1 ≤ 100000
60 A2 + 50 B2 + 25 C2 ≤ 135000
60 A3 + 50 B3 + 25 C3 ≤ 30000
500,1
3C3B3A
000,3
2C2B2A
000,2
1C1B1A ++
=
++
=
++
3 A1 + 3 B1 + 3 C1 – 2 A2 – 2 B2 – 2 C2 = 0
2 A3 + 2 B3 + 2 C3 – 1.5 A1 – 1.5 B1 – 1.5 C1 = 0
2 A3 + 2 B3 + 2 C3 – A2 – B2 – C2 = 0

9
17
Por no negatividad
A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3 ≥ 0
Función objetivo:
Maximizamos la ganancia
Max Z = 6 A1 + 6 A2 + 6 A3 + 8 B1 + 8 B2 + 8 B3 + 5 C1 + 5 C2 + 5 C3
18
CASO 3: PROBLEMA DE LOS CORTES DE PAPEL
Una compañía papelera produce rollos de 3
dimensiones:
Rollo Dimensión
(cm.)
A 100
B 150
C 200

10
19
La compañía tiene los siguientes pedidos de papel:
Dimensión Cantidad pedida
(cm.) (und.)
50 180
70 200
80 150
90 80
20
Además se sabe que para la próxima semana sólo se
tendrán disponibles:
Rollo Disponible
(und.)
A gran cantidad
B 115
C 90
Plantee un modelo para determinar una planificación
óptima de cortes y resuelva utilizando LINDO/PC.

11
21
SOLUCION:
Determinando las modalidades de cortes
Rollo A = 100 cm.
Corte A1 A2 A3 A4
50 cm 2 - - -
70 cm - 1 - -
80 cm - - 1 -
90 cm - - - 1
Desperdicio 0 30 20 10
22
Rollo B = 150 cm.
Corte B1 B2 B3 B4 B5 B6
50 cm 3 1 1 1 - -
70 cm - 1 - - 2 1
80 cm - - 1 - - 1
90 cm - - - 1 - -
Desperdicio 0 30 20 10 10 0
Rollo C = 200 cm.
Corte C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10
50 cm 4 2 2 2 1 1 - - - -
70 cm - 1 - - 2 1 1 - - -
80 cm - - 1 - - 1 - 2 1 -
90 cm - - - 1 - - 1 - 1 2
Desperdicio 0 30 20 10 10 0 40 40 30 20

12
23
Ai i = 1, 2, 3, 4
Bi i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ci i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Ejemplo
C5: número de veces que se utiliza el proceso de
corte C5
24
Restricciones:
Por cantidad pedida
2 A1 + 3 B1 + B2 + B3 + B4 + 4 C1 + 2 C2 + 2 C3 + 2 C4 + C5 + C6 = 180
A2 + B2 + 2 B5 + B6 + C2 + 2 C5 + C6 + C7 = 200
A3 + B3 + B6 + C3 + C6 + 2 C8 + C9 = 150
A4 + B4 + C4 + C7 + C9 + 2 C10 = 80
Por disponibilidad
B1 + B2 + B3 + B4 + B5 + B6 ≤ 115
C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6 + C7 + C8 + C9 + C10 ≤ 80

13
25
Por enteros no negativos
A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4, B5, B6, C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9,
C10 enteros ≥ 0
Función objetivo:
Minimizamos el desperdicio
Min Z = 30 A2 + 20 A3 + 10 A4 + 30 B2 + 20 B3 + 10 B4 + 10 B5 + 30 C2 + 20
C3 + 10 C4 + 10 C5 + 40 C7 + 40 C8 + 30 C9 + 20 C10
26
CASO 4: SELECCIÓN DE PROYECTOS
Una compañía tiene que escoger un conjunto de
proyectos de la siguiente lista para un horizonte de
planeación de 3 años.
Su objetivo es maximizar el Valor Presente Neto Total,
pero sin gastar más de lo presupuestado en cualquiera
de los 3 años.
Unidad monetaria: $ 1000.

14
27
AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3
1 30 80 10 80
2 40 70 50 96
3 50 60 70 88
4 60 60 10 92
5 70 40 10 76
6 20 30 90 87
7 20 50 20 78
8 25 80 60 81
9 40 20 15 94
PRESUPUESTO 300 320 220
PROYECTO
REINVERSIONES VALOR
PRESENTE
NETO
28
Unidad monetaria: $ 1000.
Además se dan las siguientes condiciones:
a) La compañía debe escoger de todas maneras uno
de los proyectos 1 o 9, (o ambos).
b) Si el proyecto 6 es seleccionado, entonces el
proyecto 8 también debe ser seleccionado.
c) Los proyectos 1 y 3 no deben ser seleccionados a
la vez.

15
29
SOLUCION:
⎩
⎨
⎧=
0
1Pi
si el Proyecto i es seleccionado
en caso contrario
i = 1, 2, 3, ...., 9
30
Restricciones:
Por presupuesto
30 P1 + 40 P2 + 50 P3 + 60 P4 + 70 P5 + 20 P6 + 20 P7 + 25 P8 + 40 P9 ≤ 300
80 P1 + 70 P2 + 60 P3 + 60 P4 + 40 P5 + 30 P6 + 50 P7 + 80 P8 + 20 P9 ≤ 320
10 P1 + 50 P2 + 70 P3 + 10 P4 + 10 P5 + 90 P6 + 20 P7 + 60 P8 + 15 P9 ≤ 220
Por selección del proyecto 1 o 9
P1 + P9 ≥ 1
Por posible selección de los proyectos 6 y 8
P6 - P8 ≤ 0

16
31
Por binarios
P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 binarios {0,1}
Función objetivo:
Maximizamos el Valor presente Neto
Max Z = 80 P1 + 96 P2 + 88 P3 + 92 P4 + 76 P5 + 87 P6 + 78 P7 + 81 P8 + 94
P9
Por la no selección de los proyectos 1 y 3 a la vez
P1 + P3 ≤ 1
32
CASO 5: PLANIFICACION FINANCIERA
Un inversionista dispone de un capital de $ 100,000 y
trata de determinar en que actividades le será más
conveniente invertir durante un horizonte de
planificación de 6 años.

17
33
Plantee un modelo de Programación Lineal para
determinar un plan óptimo de inversiones.
A 1, 2, 3, 4, 5 1.4 al cabo de 2 años
B 1, 2, 3, 4 1.6 al cabo de 3 años
C 6 1.3 al cabo de 1 año
D 2, 3 1.8 al cabo de 4 años
E 4 1.8 al final del año 6
RETORNO POR CADA
DÓLAR INVERTIDO
ACTIVIDAD
DISPONIBLE
A INICIO DEL
AÑO
34
SOLUCION:
Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad A:
año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6
A1 A2 A3 A4 A5

18
35
Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad B:
B1 B2 B3 B4
Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad C:
C6
36
Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad D:
Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad E:
D2 D3
E4

19
37
Ai i = 1, 2, 3, 4, 5
Bi i = 1, 2, 3, 4
Ci i = 6
Ejemplo
B2: cantidad a invertir en la actividad B a inicio del
año 2.
Di i = 2, 3
Ei i = 4
38
1 100,000 A1 + B1 S1
2 S1 A2 + B2 + D2 S2
3 S2 + 1.4 A1 A3 + B3 + D3 S3
4 S3 + 1.4 A2 + 1.6 B1 A4 + B4 + E4 S4
5 S4 + 1.4 A3 + 1.6 B2 A5 S5
6 S5 + 1.4 A4 + 1.6 B3 + 1.8 D2 C6 S6
CANTIDAD DISPONIBLEA
INICIO DEL AÑO i
CANTIDAD A
INVERTIR EN EL
AÑO i
CANTIDAD
DISPONIBLEAL
FINAL DEL AÑO i
AÑO i

20
39
Restricciones:
Por planes seleccionados
A1 + B1 + S1 = 100000
A2 + B2 + D2 + S2 – S1 = 0
A3 + B3 + D3 + S3 – S2 – 1.4 A1 = 0
A4 + B4 + E4 + S4 – S3 – 1.4 A2 – 1.6 B1 = 0
Por no negatividad
A1, A2, A3, A4, A5, B1, B2, B3, B4, C6, D2, D3, E4 ≥ 0
A5 + S5 – S4 – 1.4 A3 – 1.6 B2 = 0
C6 + S6 – S5 – 1.4 A4 – 1.6 B3 – 1.8 D2 = 0
40
Función objetivo:
Maximizamos el retorno
Max Z = S6 + 1.4 A5 + 1.6 B4 + 1.3 C6 + 1.8 D3 + 1.8 E4

21
41
CASO 6: PROGRAMACION DE TURNOS DE
VIGILANTES
Una compañía requiere la siguiente cantidad de
vigilantes durante las 24 horas de cada día.
2 - 6 8
6 - 10 6
10 - 14 7
14 - 18 10
18 - 22 12
22 - 2 9
HORAS
CANTIDAD
MINIMA
42
Cada vigilante trabaja 8 horas/día en forma continua y
cobra según los siguientes turnos:
Plantee un modelo de Programación Lineal para
minimizar el costo de vigilantes necesarios para cubrir
los requerimientos.
TURNO PERIODO Costo-hora ($)
1 6 - 14 10
2 14 - 22 12
3 22 - 6 18

22
43
SOLUCION:
Grafiquemos el requerimiento de vigilantes:
2 6 10 14 18 22 2
76 10 12 98
Los posibles ingresos de vigilantes:
2 6 10 14 18 22 2
76 10 12 98
V2 V6 V10 V14 V18 V22
44
2 6 10 14 18 22 2
V2
V6
V10
V14
V18
V22

23
45
V2, V6, V10, V14, V18, V22
Ejemplo
V10: número de vigilantes que entran a trabajar a las
10.
46
Restricciones:
Por cubrimiento
V2 + V6 ≥ 6
V6 + V10 ≥ 7
V10 + V14 ≥ 10
V14 + V18 ≥ 12
Por no negatividad
V2, V6, V10, V14, V18, V22 enteros ≥ 0
V18 + V22 ≥ 9
V2 + V22 ≥ 8

24
47
2 6 10 14 18 22 2
TURNO 3
V2 V6 V10 V14 V18 V22
TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3
VIGILANTES TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3 TOTAL
V2 40 72 112
V6 80 80
V10 40 48 88
V14 96 96
V18 48 72 120
V22 144 144
48
Función objetivo:
Minimizamos el pago por vigilantes
Min Z = 112 V2 + 80 V6 + 88 V10 + 96 V14 + 120 V18 + 144 V22

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