1. Integrante:
Julius Oviedo
CI: 25646360
1.- Convertir los siguientes puntos cartesianos en puntos en coordenadas Polares o de polares
a cartesiana. Grafique todos los puntos en el sistema de coordenadas polares. Sea explicito y
organizado en su explicación paso a paso.
Solución:
Fórmulas a usar:
r2
= x2
+ y2
; x = r cos(θ); y = r sin(θ); tan(θ) =
y
x
a.- (0, −2). En esta caso x = 0, y = −2 entonces
r2
= (0)2
+ (−2)2
= 4 ⇒ r = 2
y además
2 cos(θ) = 0 ⇒ cos(θ) = 0 ⇔ θ =
π
2
Por tanto, r = 2 θ =
π
2
.
0 1 2
0
1
2 π
2
r=2
b.- (1,
√
3). x = 1, y =
√
3 entonces
r2
= (1)2
+ (
√
3)2
= 1 + 3 = 4 ⇒ r = 2
y
tan(θ) =
√
3
1
=
√
3 ⇒ θ = arctan(
√
3) =
π
3
2. Así, r = 2 y θ =
π
3
.
0 1 2
0
1
2
π
3
c.- (2, 0). x = 2, y = 0. Entonces
r2
= (2)2
+ (0)2
= 4 + 0 = 4 ⇒ r = 2
y
0 = 2 sin(θ) ⇒ sin(θ) = 0 ⇒ θ = π
Así, r = 2 θ = π.
0 1 2
0
1
2
180◦
r=2
d.- (1, −2). x = 1, y = −2 entonces
r2
= (1)2
+ (−2)2
= 1 + 4 = 5 ⇒ r =
√
5
tan(θ) =
−2
1
= −2 ⇒ θ = arctan(−2) = −63,4 + 180 = 116,6
Así, r =
√
5 y θ = 116,6◦
.
2
3. 0 1 2
0
1
2
116,6◦
r =
√
5
e.- (1, 240◦
). r = 1, θ = 240◦
entonces tenemos
x = 1 cos(240◦
) = −
1
2
y y = 1 sin(240◦
) = −
(3)
2
En consecuencia, x = −
1
2
y y = −
(3)
2
.
0 1 2
0
1
2
240◦
r=1
f.- (4, π/2). r = 4, θ = π/2 entonces tendremos
x = 4 cos(
π
2
) = 4(0) = 0 y y = 4 sin(
π
2
) = 4(1) = 4
Por tanto, x = 0 y y = 4.
3
4. 0 1 2
0
1
2
π
2
r=4
g.- (−6, π/3). Entonces r = 6, θ = π/3 de donde
x = 6 cos(π/3) = 6(
1
2
) = 3; y = 6 sin(π/3) = 6(
√
3
2
) = 3
√
3
En consecuencia tenemos que x = 3 y y = 3
√
3. Graficamente como r = −6 y el ángulo dado es
de π/3 = 60 el ángulo equivalente sería
4π
3
, esto es
0 1 2
0
1
2
r=-6
4π
3
h.- (−3, 360◦
). Entonces r = 3; θ = 360◦
de donde
x = 3 cos(360◦
) = 3(1) = 3 y = 3 sin(360◦
) = 3(0) = 0
Por tanto, x = 3 y y = 0.
4
5. 0 1 2
0
1
2
180◦
r=-3
2.- Transformar las siguientes ecuaciones:(recuerde explicar paso a paso la solución de cada
transformación)
a.- yx2
− 2x = 5y2
Solución:
Sean x = r cos(θ) y y = r sin(θ) entonces sustituyendo en la ecuación dada se tiene
(r sin(θ))(r cos(θ))2
− 2r cos(θ) = 5(r sin(θ))2
⇔ r.r2
sin(θ) cos2
(θ) − 2r cos(θ) = 5r2
sin2
(θ)
⇔ r3
sin(θ) cos2
(θ) − 5r2
sin2
(θ) − 2r cos(θ) = 0 ⇔ r(r2
sin(θ) cos2
(θ) − 5r sin2
(θ) − 2 cos(θ)) = 0
⇔ r = 0, r2
sin(θ) cos2
(θ)−5r sin2
(θ)−2 cos(θ) = 0 ⇔ (sin(θ) cos2
(θ))r2
+(−5 sin2
(θ))r+(−2 cos(θ)) = 0
Para determinar una expresión de r en términos de θ utilizaremos la ecuación de resolvente
cuadrática, es decir
r =
−(−5 sin2
(θ)) ± (−5 sin2
(θ))2 − 4 sin(θ) cos2(θ)(−2 cos(θ))
2 sin(θ) cos2(θ)
⇔ r =
5 sin2
(θ) ± 25 sin4
(θ) + 8 sin(θ) cos3(θ)
2 sin(θ) cos2(θ)
b.- y2
x2
− x = −3. Sustituyendo respectivamente tenemos
Solución:
5
6. (r sin(θ))2
(r cos(θ))2
− r cos(θ) = −3 ⇔ r2
sin2
(θ)r2
cos2
(θ) − r cos(θ) = −3
⇔ r4
sin2
(θ) cos2
(θ) − r cos(θ) = −3
De aca se puede observar que no se puede simplificar esta expresión o despejar la variable r.
c.- r = 4 cos(2θ).
De identidades trigonométricas de los ángulos dobles sabemos que
cos(2θ) = 2 cos2
(θ) − 1
Así sustituyendo en la expresión dada se tiene
r = 4(2 cos2
(θ) − 1) ⇔ r = 8 cos2
(θ) − 4
Ahora bien multiplicamos por r2
en ambos lados de la expresión obtenida, esto es
r3
= 8r2
cos2
(θ) − 4r2
⇔ (r)3
= 8(r cos(θ))2
− 4(r)2
( x2 + y2)3
= 8x2
− 4( x2 + y2)2
⇔ (x2
+ y2
)3/2
= 8x2
− 4(x2
+ y2
)
(x2
+ y2
)3/2
= 8x2
− 4x2
− 4y2
⇔ (x2
+ y2
)3/2
= 4x2
− 4y2
d.- r = 3(1 + sin(θ))
Multiplicamos por r en ambos lados de la expresión dada, es decir,
r2
= 3r + 3r sin(θ) ⇔ x2
+ y2
= 3 x2 + y2 + 3y
Luego,
x2
+ y2
− 3y = 3 x2 + y2
3.- Encuentre el área de la región R que se encuentra fuera de la curva r = 3 cos(θ) y dentro de la
curva r = 1 + cos(θ)
Solución:
6
7. –1.5
–1
–0.5
0.5
1
1.5
0.511.522.53
Determinamos el punto de corte de las funciones dadas,
3 cos(θ) = 1 + cos(θ) ⇔ cos(θ) =
1
2
⇔ θ =
π
3
Calculamos inicialmente el área del cardiode desde θ = 0 a θ = π/3, es decir,
A1 =
1
2
π/3
0
(1 + cos(θ))2
dθ =
1
2
π/3
0
(1 + 2 cos(θ) + cos2
(θ))dθ
A1 =
1
2
π/3
0
(
3
2
+ 2 cos(θ) +
1
2
cos(2θ))dθ =
1
2
[
3
2
θ + 2 sin(θ) +
1
4
sin(2θ)]
π/3
0
A1 =
π
4
+
9
√
3
16
Calculemos el área de θ = π/3 a θ = π/2 del círculo entonces
A2 =
1
2
π/2
π/3
[3 cos(θ)]2
dθ =
9
2
π/2
π/3
cos2
(θ)dθ
A2 =
9
2
π/2
π/3
(
1
2
+
1
2
cos(2θ))dθ =
9
4
[θ +
1
2
sin(2θ)]
π/2
π/3 =
3π
8
−
9
√
3
16
El área tercera viene dada del cardiode, esto es, de θ = 0 a θ = π, por consiguiente
A3 =
1
2
π
0
(
3
2
+ 2 cos(θ) +
1
2
cos(2θ))dθ =
1
2
[
3
2
θ + 2 sin(θ) +
1
4
sin(2θ)]π
0 =
1
2
(
3π
2
) =
3π
4
El área pedida viene dada por
7
8. AT = 2(A3 − A2 − A1) = 2(
3π
4
−
3π
8
+
9
√
3
16
−
π
4
−
9
√
3
16
)
AT = 2(
π
8
) =
π
4
4.- Encuentre el área de la región R que se encuentra fuera de la curva r = 6 cos(θ) y dentro
de la curva r = 2 cos(θ) + 2.
Solución:
–3
–2
–1
0
1
2
3
123456
Igualamos ambas curvas dadas, esto es
6 cos(θ) = 2 cos(θ) + 2 ⇔ 4 cos(θ) = 2 ⇔ cos(θ) =
1
2
⇔ θ =
π
3
Ahora calcularemos el área del cardiode desde θ = 0 a θ = π/3
A1 =
1
2
π/3
0
(2 + 2 cos(θ))2
dθ =
1
2
π/3
0
4(1 + cos(θ))2
dθ
A1 = 2
π/3
0
(1 + 2 cos(θ) + cos2
(θ))dθ = 2
π/3
0
(
3
2
+ 2 cos(θ) +
1
2
cos(2θ))dθ
A1 = 2[
3
2
θ + 2 sin(θ) +
1
4
sin(2θ)]
π/3
0 = 2[
π
2
+
√
3 +
√
3
8
] = π +
9
√
3
4
8
9. Calculemos el área de θ = π/3 a θ = π/2 del círculo entonces
A2 =
1
2
π/2
π/3
[6 cos(θ)]2
dθ =
36
2
π/2
π/3
cos2
(θ)dθ
A2 = 18
π/2
π/3
(
1
2
+
1
2
cos(2θ))dθ = 9[θ +
1
2
sin(2θ)]
π/2
π/3
A2 = 9(
π
2
−
π
3
−
1
2
sin(
2π
3
)) = 9(
π
6
−
√
3
4
) =
3π
2
−
9
√
3
4
Ahora bien,calcularemos la mitad del área del cardiode, esto es, de θ = 0 a θ = π, por
consiguiente
A3 =
1
2
π
0
4(
3
2
+ 2 cos(θ) +
1
2
cos(2θ))dθ = 2[
3
2
θ + 2 sin(θ) +
1
4
sin(2θ)]π
0 = 2(
3π
2
) = 3π
Finalmente el área pedida viene dada por
AT = 2(A3−A2−A1) = 2(3π−(π+
9
√
3
4
)−(
3π
2
−
9
√
3
4
)) = 2(3π−π−
9
√
3
4
−
3π
2
+
9
√
3
4
) = 2(
π
2
) = π
Por tanto, AT = π
5.- Encontrar el área de la circunferencia (x − a)2
+ y2
= a2
, a > 0.
a.- Usando sustitución trigonométrica
b.- Usando coordenadas polares
Solución:
a.- Despejamos la variable y, esto es
y2
= a2
− (x − a)2
⇔ y = ± a2 − (x − a)2, 0 ≤ x ≤ 2a
Luego planteamos la integral de área encerrada por el círculo,
A =
2a
0
( a2 − (x − a)2 − (− a2 − (x − a)2))dx =
2a
0
2 a2 − (x − a)2dx
A = 2
2a
0
a2 − (x − a)2dx
Hacemos el cambio de variable por sustitución trigonométrica, x−a = a sin(θ), dx = a cos(θ)dθ
y además sin(θ) =
x − a
a
, θ = sen−1
(
x − a
a
).
Resolvemos la integral indefinida siguiente
9
10. 2 a2 − (x − a)2dx = 2 a2 − a2 sin2
(θ)a cos(θ)dθ
2 a2 − (x − a)2dx = 2a2
cos2(θ) cos(θ)dθ = 2a2
(
1
2
+
1
2
cos(2θ))dθ
2 a2 − (x − a)2dx = a2
(1 + cos(θ))dθ = a2
(θ +
1
2
sin(2θ)) + k
2 a2 − (x − a)2dx = a2
(arcsin(
x − a
a
) +
x − a
a
a2 − (x − a)2
a
) + k
Luego resolvemos la integral definida,
A = a2
[arcsin(
x − a
a
) +
x − a
a
a2 − (x − a)2
a
]2a
0 = a2
(
π
2
− (−
π
2
)) = a2
(
π
2
+
π
2
) = πa2
b.-
(r cos(θ) − a)2
+ r2
sin2
(θ) = a2
⇔ r2
cos2
(θ) + r2
sin2
(θ) − 2ar cos(θ) + a2
= a2
r2
− 2ar cos(θ) = 0 ⇔ r(r − 2a cos(θ)) = 0 ⇔ r = 0, r = 2 cos(θ)
Por tanto,
A =
1
2
(2
π/2
0
[2a cos(θ)]2
dθ) = 4a2
π/2
0
(
1
2
+
1
2
cos(2θ))dθ
A = 2a2
[θ +
1
2
sin(2θ)]
π/2
0 = 2a2
(
π
2
) = πa2
10
