折り紙と正多角形と三次方程式 数学カフェ #math_cafe
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@tsujimotter が「数学カフェ」にて発表した資料です。 今回のテーマは「コサインが分かると正七角形が折れる！世界が広がる！」です。 第６回数学カフェ https://www.facebook.com/events/901891789877426/ tsujimotter のポートフォリオ http://tsujimotter.info
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- 5. 2015 年の実績（全１２件） プログラマのための数学勉強会（第１回∼第３回） 日曜数学会（第１回，第２回） 第８回ニコニコ学会β シンポジウム ノラヤサイエンスバー vol.2（仙台） 5
- 6. tsujimotter のノートブック 辻が興味を持った 数学的なトピックについて 熱く語って語りまくるブログ http://tsujimotter.hatenablog.com 6
- 7. 今回紹介するデモアプリは すべて以下のページに置いてあります。 tsujimotter のポートフォリオ http://tsujimotter.info 7
- 9. 折り紙との出会い 9
- 11. 11
- 12. 月日は流れて・・・ tsujimotter 大学生の頃 12
- 13. 作図おもろい 13
- 14. 作図でできることざっくりと 14
- 15. 垂線 頂点 垂線 頂点 1 1 cos が「四則演算」と「ルート」で表現できる（作図可能数） 対応する正多角形も作図できる 15
- 16. 11 1 + p 5 4 cos ✓ 2⇡ 5 ◆ = 16 1 6 + 3 q 7 2 (1 + 3 p 3) 6 + 3 q 7 2 (1 3 p 3) 6 cos ✓ 2⇡ 7 ◆ =
- 18. 垂線 頂点 「四則演算」と「ルート」だけで表現できる ⇔ 作図可能 正十七角形の場合 1 16 + 1 16 p 17 + 1 16 q 2(17 p 17) + 1 8 r 17 + 3 p 17 q 2(17 p 17) 2 q 2(17 + p 17)cos ✓ 2⇡ 17 ◆ = 18
- 19. やってみた 19
- 21. 折り紙の話に戻りましょう 21
- 24. 折り紙で折れる図形 定木＆コンパスで 作図できる図形 正七角形 正三角形，正五角形， 正十七角形，etc. 24
- 26. 正七角形が折れる仕組み STEP 1: 折り紙公理 STEP 2: 放物線の接線が折れる STEP 3: 三次方程式が解ける 26
- 28. １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ 与えられるもの 得られるもの 28
- 29. １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ 与えられるもの 得られるもの 定木とコンパスによっても作図可能 29
- 30. １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ 与えられるもの 得られるもの 定木とコンパスによって作図不能 30
- 31. 正七角形が折れる仕組み STEP 1: 折り紙公理 STEP 2: 放物線の接線が折れる STEP 3: 三次方程式が解ける 31
- 33. 折り紙で「放物線の接線」が折れる 点を直線に折り合わせるとき，放物線の接線が得られる 折り重ねる 放物線 接線 デモアプリ： http://tsujimotter.info/origami/ 33
- 34. 正七角形が折れる仕組み STEP 1: 折り紙公理 STEP 2: 放物線が折れる STEP 3: 三次方程式が解ける 34
- 35. 二次方程式の解の公式 二次方程式 の解 は，次の公式で表せるax2 + bx + c = 0 x = b ± p b2 4ac 2a ax2 + bx + c = 0 作図可能数を係数に持つ二次方程式を解くことができる 四則演算とルートによって表される 三次方程式のまえに・・・ 35
- 37. こうやって解く ７ 37
- 39. 座標を設定する 39
- 40. | 点 P と 点 A の距離 | ＝ | 点 P と 直線 LA の距離 | q (x - b)2 + (y - a)2 = (y - (-a)) ∵距離の定義から ∵がんばって変形 4ay = (x - b)2 40
- 41. | 点 P と 点 B の距離 | ＝ | 点 P と 直線 LB の距離 | ∵距離の定義から q (x - (-d))2 + (y - (-c))2 = (x - d) ∵がんばって変形 -4dx = (y + c)2 41
- 42. -4dx = (y + c)2 4ay = (x - b)2 共通接線を持つ条件を使う 42
- 43. 4ay = (x - b)2 x = b + 2at ∵ よりy0 = t y = at2 ∵放物線の式に代入 4ay0 = 2(x - b) ∵ で微分4ay = (x - b)2 s = -at2 - bt ∵ に代入y = tx + s 43
- 44. -4dx = (y + c)2 ∵ で微分4ay = (x - b)2 -4d = 2(y + c)y0 ∵放物線の式に代入 x = -d/t2 ∵ よりy0 = t y = -c - 2d/t ∵ に代入y = tx + s -s - c - d t = 0 44
- 45. s = -at2 - bt -s - c - d t = 0 at2 + bt - c - d t = 0 ∵ を消去s = -at2 - bt ∵両辺に をかけるs = -at2 - bt at3 + bt2 - ct - d = 0 完成！ 45
- 46. 折り紙と三次方程式 ２つの直線上に，２点を同時に折り重ねるとき， その折り目によって得られる直線の「傾き」が三次方程式の解となる 折り重ねる 傾きが三次方程式の解 デモアプリあり デモアプリ： http://tsujimotter.info/origami/cubic.html 46 (b, a) (-d, -c)
- 47. a = 1, b = 1, c = 2, d = 1 とおくと・・・ 47
- 48. ✓ = 2⇡ 7 cos ✓ t = 2 cos ✓ 2⇡ 7 ◆ t3 + t2 - 2t - 1 = 0 の解になるわけ が 48
- 49. ✓ = 2⇡ 7 cos ✓ 1 + cos ✓ + cos 2✓ + cos 3✓ + cos 4✓ + cos 5✓ + cos 6✓ = 0 正七角形の対称性より cos ✓ = cos 6✓ cos 2✓ = cos 5✓ cos 3✓ = cos 4✓ 1 + 2 cos ✓ + 2 cos 2✓ + 2 cos 3✓ = 0 より∵ 1 + 2 cos ✓ + 2(2 cos2 ✓ - 1) + 2(4 cos3 ✓ - 3 cos ✓) = 0 ∵２倍角，３倍角の定理より ∵ とおくt = 2 cos ✓ t3 + t2 - 2t - 1 = 0 ∵がんばって計算する (2 cos ✓)3 + (2 cos ✓)2 - 2(2 cos ✓) - 1 = 0 49
- 50. 二次方程式の解となる数 三次方程式の解となる数 2 cos ✓ 2⇡ 7 ◆ 結論 正七角形は折り紙によって折ることが出来る cos ✓ 2⇡ 5 ◆ = 折り紙で折れる数 作図できる数 ✓ = 2⇡ 7 cos ✓ 50
- 51. 第８の公理：「 n 重折り」 51 図：３重折りの例 西村保三「2重折り紙による2の5乗根の作図」日本折紙学会 (2012年8月) より引用 『 のとき，一般の n 次方程式を (n - 2) 重折りで解くことができる（リルの方法 1867年）』らしいn 3
- 52. 知らないことを知るのは楽しい 数学的知識は 新しいものの見方を提供してくれる 52
- 53. 参考文献 • ロベルト・ゲレトシュレーガー 著「折紙の数学」森北出 版（2002年）定価：2,800円 • 大野栄一 著「定木とコンパスで挑む数学」講談社 BLUE BACKS（1993年）定価：780 円 • tsujimotter のノートブック, http://tsujimotter.hatenablog.com 53