Este documento contém 12 questões sobre geometria analítica que abordam conceitos como elipses, hipérboles, parábolas e suas equações canônicas. As questões pedem para identificar características geométricas destas curvas, obter equações reduzidas com dados sobre focos, vértices e eixos, esboçar os gráficos, e identificar sistemas de coordenadas de regiões no espaço.

1. Minist´erio da Educa¸c˜ao
Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a
Campus Campo Mour˜ao
Wellington Jos´e Corrˆea
Nome:
4a
¯Lista de Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear
No que segue , todas as bases utilizadas s˜ao ortonormais, e todos os sistemas de coordenadas
ortogonais referem-se a uma base ortonormal positiva fixada.
1. Nos casos em que a equa¸c˜ao dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coorde-
nados, especifique-o e calcule: a distˆancia focal, a medida do eixo maior e a medida do eixo
menor e fa¸ca um esbo¸co do gr´afico.
(a) 4x2
+ 169y2
= 676 (b)
x2
4
+ y2
= 0 (c) +x2
+
3y
5
2
= 9
2. Escreva uma equa¸c˜ao reduzida da elipse, nos casos:
(a) O centro ´e O, os focos est˜ao em Ox, o eixo menor mede 6, e a distˆancia focal ´e 8.
(b) O centro ´e O, os focos est˜ao em Oy, o eixo maior mede 10, e a distˆancia focal ´e 6.
(c) Os focos s˜ao (0, −6) e (0, 6), e o eixo maior mede 34.
(d) Os focos s˜ao (0, −5) e (0, 5), e um dos v´ertices ´e (−13, 0).
(e) Os focos s˜ao (0, −2
√
3) e (0, 2
√
3), e a amplitude focal ´e 2.
3. A nave espacial Apollo 11 foi colocada em uma ´orbita el´ıptica com altitude de peril´unio de
110 km (ponto mais pr´oximo da superf´ıcie da Lua) e a altitude de apol´unio de 314 km (o
ponto mais distante da superf´ıcie lunar). Encontre uma equa¸c˜ao desta elipse se o raio da
Lua for 1728 km e o centro da Lua em um dos focos.
1

2. 4. Pela Primeira Lei de Kepler, a trajet´oria da Terra ´e el´ıptica e o Sol ocupa a posi¸c˜ao de um
dos seus focos. Calcule o peri´elio e o af´elio da Terra (que s˜ao, respectivamente, a menor
e a maior distˆancia da Terra ao Sol), adotando os valores aproximados: distˆancia focal da
trajet´oria da Terra, 0, 50 × 107
km; medida do eixo maior, 30 × 107
km
5. Determine, em cada caso, os v´ertices, os focos, as extremidades do eixo conjugado . Fa¸ca o
esbo¸co da mesma.
(a)
x2
252 −
y2
1442 = 3600 (b)
x2
162 −
y2
252 = 400 (c)
x2
92
−
y2
42
= 36
6. Obtenha, em cada caso, uma equa¸c˜ao reduzida da hip´erbole.
(a) Os v´ertices s˜ao (± 2, 0) e os focos s˜ao (± 3, 0).
(b) Os focos s˜ao (± 5, 0) e a amplitude focal ´e
9
2
.
7. Determine o foco, o v´ertice, o parˆametro e diretriz da par´abola P e fa¸ca um esbo¸co.
(a) y2
= 4 x
(b) y2
+ 8x = 0
(c) 5y2
= 8 x
(d) 5x2
= 8 y
8. Obtenha, em cada caso, uma equa¸c˜ao da par´abola de v´ertice (0, 0), conhecendo seu parˆametro
p e a localiza¸c˜ao do foco.
(a) p = 2/3 e o foco est´a no semi-eixo positivo das abscissas.
(b) p = 4/3 e o foco est´a no semi-eixo negativo das ordenadas.
9. Identifique os gr´aficos das equa¸c˜oes abaixo completando quadrado.
(a) x2
− 5y2
− 2x − 10y − 9 = 0
(b) 4x2
+ 8y2
+ 16x + 16y + 20 = 0
(c) x2
+ 8x + 2y + 14 = 0
2

3. 10. Os Sistemas de Navega¸c˜ao Hiperb´olico foram desenvolvidos na Segunda Guerra Mundial
como ajuda na navega¸c˜ao dos navios e s˜ao baseados na defini¸c˜ao de uma hip´erbole. Com
esses sistemas, o navio recebe sinais sincronizados de r´adio a partir de dois transmissores
`a grande distˆancia com suas posi¸c˜oes conhecidas. O receptor eletrˆonico do navio mede a
diferen¸ca nos tempos de recep¸c˜ao entre os sinais e usa essa diferen¸ca para calcular a diferen¸ca
2a entre suas distˆancias dos transmissores. Essa informa¸c˜ao, coloca o navio em algum ponto
da hip´erbole, cujos focos est˜ao nos transmissores e cujos pontos tˆem 2a como a diferen¸ca entre
suas distˆancias dos focos. Repetindo esse processo, a posi¸c˜ao do navio pode ser aproximada
como a intersec¸c˜ao de duas hip´erboles. (O moderno sistema de posicionamento global GPS
´e baseado no mesmo princ´ıpio.)
Desse modo, fa¸ca o que se pede:
(a) Conforme ilustrado na figura abaixo, suponha que dois observadores estejam posicio-
nados nos pontos F1(c, 0) e F2(−c, 0) no sistema de coordenadas xy. Suponha tamb´em
que o som de uma explos˜ao no plano xy seja ouvido pelo observador F1 e que t, segun-
dos depois seja ouvido pelo observador F2. Supondo que a velocidade do som ´e uma
constante v, mostre que a explos˜ao ocorreu em algum lugar da hip´erbole
x2
v2t2/4
−
y2
c2 − (v2t2/4)
= 1
F1(c,0)F2(−c,0)
x
y
Explos˜ao
(b) Conforme ilustrado na figura a seguir, suponha que duas esta¸c˜oes de transmiss˜ao es-
tejam posicionadas a 100 km uma da outra nos pontos A(−50, 0) e b(50, 0) ao longo
3

4. de uma praia reta, num sistema de coordenadas xy. Suponha tamb´em que um navio
esteja navegando paralelo `a praia, 200 km mar adentro. Encontre a posi¸c˜ao do navio
se as esta¸c˜oes transmitem simultaneamente um pulso, mas o pulso de B seja recebido
pelo navio 100 microsegundos antes que o pulso da esta¸c˜ao A.
11. Um espelho parab´olico tem uma profundidade de 12 cm no centro e o diˆametro na face do
espelho ´e de 32 cm. Ache a distˆancia do v´ertice ao foco.
12. Esboce o gr´afico das regi˜oes abaixo:
(a) z = 3
(b) 6x + 3y − 4z = 12
(c) 4x2
+ 9y2
+ z2
= 36
(d) 4x2
+ 9y2
− z2
= 36
(e) x2
= y2
− z2
(f)
x2
36
+
z2
25
= 4 y
(g)
x2
36
−
z2
25
= 9 y
(h) 4x2
− y2
+ 2z2
+ 4 = 0
(i) y2
+ 4z2
= 4
(j) z = x2
(k) z =
√
1 − x2
(l) z = cos y
(m) x2
+ y2
+ z2
= 3
4

5. Respostas
1. (a) Ox; 26, 4, 2
√
165 (b) N˜ao se trata de elipse. (c) Oy; 10, 6, 8.
2. (a)
x2
252 +
y2
92
= 1
(b)
x2
162 +
y2
252 = 1
(c)
x2
2532 +
y2
2892 = 1
(d)
x2
42
+
y2
162 = 1
(e)
x2
1692 +
y2
1442 = 1
3.
x2
37636002 +
y2
37531962 = 1
4. 14, 75 × 107
km e 15, 25 × 107
km
5. (a) (± 12, 0), (± 13, 0), (0, ± 5)
(b) (± 5, 0), (±
√
41, 0), (0, ± 4)
(c) (0, ± 4), (0, ± 4
√
2), (± 4, 0)
6. (a)
x2
42
−
y2
52
= 1 (b)
x2
162 −
y2
92
= 1
7. (a) (1, 0), (0, 0), p = 1, r : x + 1 = 0.
(b) (−2, 0), (0, 0), p = 2, r : x − 2 = 0.
(c) (2/5, 0), (0, 0), p = 2/5, r : 5x + 2 = 0.
(d) (0, 2/5), (0, 0), p = 2/5, r : 5y + 2 = 0.
8. (a) y2
= 8/3 x (b) x2
= −16/3 y
9. (a)
(x − 1)2
5
−(y +1)2
= 1,
hip´erbole
(b) (x+2)2
+
(y + 1)2
1/2
= 1,
elipse
(c) (x + 4)2
+ 2y = 2,
par´abola
10. (a) Sugest˜ao: sejam d1 e d2 as distˆancias do primeiro e do segundo observador respectiva-
mente, do ponto da explos˜ao. Ent˜ao t=(tempo para o som da explos˜ao atingir o segundo
observador)− (tempo para o som da explos˜ao atingir o primeiro observador)=
d2
v
−
d1
v
.
Para as constante v e t, as diferen¸cas das distˆancias entre d2 e d1 ´e uma constante,
ent˜ao a explos˜ao em algum lugar do ramo da hip´erbole cujos focos s˜ao onde est˜ao o
observador. Conclua o exerc´ıcio usando o fato que d2 − d1 = 2a.
(b) Use o item anterior. O navio est´a localizado na posi¸c˜ao x = 93, 625 km e y = 200 km.
11. A distˆancia ´e p =
16
3
cm.
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6. 12. (a) plano
(b) plano
(c) elips´oide
(d) hiperbol´oide de uma folha em z
(e) cone em y
(f) parabol´oide em y
(g) sela em y
(h) hiperbol´oide de duas folhas em y
(i) cilindro em z
(j)
(k)
(l)
(m) esfera de raio
√
3.
Sucesso!!!
6