Apostila numeros 28.03.05

DDTTII
DDiirreettoorriiaa ddee TTeeccnnoollooggiiaa ddaa IInnffoorrmmaaççããoo
GGIIPP
GGeerrêênncciiaa ddee IInnffoorrmmááttiiccaa PPeeddaaggóóggiiccaa
11ªª FFAASSEE –– 22000055
Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE
Rua Rodolfo Miranda, 636 – Bom Retiro – 01121-900 – São Paulo – SP
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Secretaria de Estado da Educação – SEE/SP
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIP
Projeto Números em Ação – 1ª Fase 2005
2

3
SUMÁRIO
Carta aos professores .......................................................................................... 06
Créditos ................................................................................................................ 07
Agradecimento ..................................................................................................... 08
Fundamentação teórica ........................................................................................ 09
Competências e habilidades ..................................................................... 09
Objetivos ................................................................................................... 09
Conteúdos ................................................................................................. 11
Recorte didático – trabalho com o cálculo ................................................. 13
O contrato didático .................................................................................... 14
Como é fazer matemática na SAI .............................................................. 15
Orientações gerais ................................................................................................ 17
Texto complementar I
A aprendizagem e o ensino da Matemática – abordagens atuais – 1ª parte ....... 19
MÓDULO I – QUEM SOU, QUEM SOMOS ......................................................... 24
Tema ......................................................................................................... 24
Recursos utilizados ................................................................................... 24
Objetivos ................................................................................................... 24
Conteúdos ................................................................................................. 24
Aula 1 ........................................................................................................ 25
Aula 2 ........................................................................................................ 26
Aula 3 ........................................................................................................ 27
Aulas 4 e 5 ................................................................................................ 27
Texto complementar II
A avaliação diagnóstica ........................................................................................ 28
Aulas 6, 7, 8 e 9 ........................................................................................ 32
MÓDULO II – OS NÚMEROS ATRAVÉS DOS TEMPOS .................................... 33
Tema ......................................................................................................... 33
Objetivos ................................................................................................... 34
Conteúdos ................................................................................................. 35
Texto complementar III
Aula 10 ...................................................................................................... 40
Aula 11 ...................................................................................................... 40
Aula 12 ...................................................................................................... 41

4
Aula 13 ...................................................................................................... 41
Aulas 14 e 15 ............................................................................................ 42
MÓDULO III – DESAFIO DOS NÚMEROS .......................................................... 45
Tema ......................................................................................................... 45
Objetivos ................................................................................................... 46
Conteúdos ................................................................................................. 47
Texto complementar IV
Sobre a calculadora .............................................................................................. 48
Texto complementar V
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática
Operações com números naturais. Adição e subtração: significados.... 49
Texto complementar VI
Aula 16 ...................................................................................................... 59
Texto complementar VII
Por que e para que utilizar jogos no ensino da Matemática ................................. 60
Aulas 17 e 18 ............................................................................................ 61
Aulas 19 e 20 ............................................................................................ 61
Aula 21 ...................................................................................................... 62
Aulas 22 e 23 ............................................................................................ 62
Aula 24 ...................................................................................................... 63
Aula 25 ...................................................................................................... 64
Texto complementar VIII
Desarmando as contas ......................................................................................... 65
Aulas, 26, 27 e 28 ..................................................................................... 71
Aulas 29 e 30 ............................................................................................ 73
Aula 31 ...................................................................................................... 74
MÓDULO IV – NÚMEROS QUE MEDEM ............................................................ 75
Tema ......................................................................................................... 75
Objetivos ................................................................................................... 76
Conteúdo ................................................................................................... 76
Texto complementar IX
O homem vitruviano .............................................................................................. 78
Aula 32 ...................................................................................................... 79
Aula 33 ...................................................................................................... 80

5
Aula 34 ...................................................................................................... 80
Aulas 35, 36 e 37 ...................................................................................... 81
Referências bibliográficas .................................................................................... 83
Anexo 1
Peças do quebra-cabeças para a dinâmica dos quadrados ................ 85
Anexo 2
Questões da avaliação diagnóstica ...................................................................... 89

6
CARTA AOS ATPs E PROFESSORES PARTICIPANTES DO
PROJETO NÚMEROS EM AÇÃO
Em continuidade ao Projeto Números em Ação, oferecemos este documento que foi
aperfeiçoado com a colaboração dos ATPs que participaram da formação dos
professores no piloto aplicado de julho a dezembro de 2004. Ele pretende ser, como
na fase anterior, um norteador das próximas ações a serem desenvolvidas tanto pelos
ATPs, comprometidos com a formação e orientação dos professores, quanto pelos
próprios professores que serão os responsáveis pelo trabalho, nas Salas Ambiente de
Informática, com os alunos .
Queremos lembrar que esse documento não se caracteriza como uma receita a ser
seguida e sim como uma referência de trabalho a todos os envolvidos no projeto,
objetivando a continuidade do mesmo e o atendimento cada vez mais aperfeiçoado
aos alunos participantes.
É um documento de apoio ao trabalho dos ATPs e professores, que traz textos
complementares, sugestões de leituras e endereços de sites para pesquisas na
Internet, importantes na sua formação e atuação e que devem ser enriquecidas, de
acordo com os interesses e as necessidades de cada um.
Da mesma forma, são apresentadas sugestões de questionamentos que podem
encaminhar discussões com as turmas, durante ou ao final das atividades. Estas
também não devem ser seguidas de forma “engessada” e sim, como ponto de partida
para incrementar reflexões que podem ser enriquecidas com o surgimento de novos
questionamentos, outras discussões, de acordo com as necessidades e os interesses
do momento e de cada turma.
Outro aspecto a ser lembrado refere-se à divisão das aulas. Por questão da gestão do
tempo, sugerimos atividades que podem ocorrer em aulas de 50 minutos. Cada
professor deve validar esse tempo, adequando as atividades conforme o aprendizado
dos alunos e organizando-as em aulas que, de acordo com a resolução que orienta o
projeto, terão duração de 50 ou 100 minutos.
Agradecemos a todos o compromisso demonstrado na realização do piloto do Projeto
em 2004 e desejamos sucesso neste novo ano letivo.
FDE – Diretoria Técnica da Informação
GIP – Gerência de Informática Pedagógica

7
CRÉDITOS
NÚMEROS EM AÇÃO
ATPs que participaram da elaboração do Projeto
Aparecida de Lourdes Bonanno – NRTE / DE Guarulhos Sul
Braz Dorival Ognibeni – NRTE / DE Jales
Celso Roberto Stigliani – NRTE / DE Sorocaba
Fátima Aparecida da Silva Dias – NRTE / DE Tupã
Helder Clementino Lima da Silva – NRTE / DE Pindamonhangaba
Laura Maria Correa – NRTE / DE Pres. Prudente
Roberta Oliveira da Silva – NRTE / DE Taboão da Serra
Rosa Maria Pires Bueno – NRTE / DE Itararé
ATPs colaboradores
Cláudia Gatti – NRTE / DE São Carlos
James Ernesto Mazzanti – NRTE / DE Caieiras
Solange Antônia de Azevedo – NRTE / DE Diadema
Tatiana Pacheco de Souza – NRTE / DE Sul 3
Coordenação
Nely Aparecida P. Silva – GIP/DTI/FDE
Wolgram Marialva – GIP/DTI/FDE
Coordenação Geral pela FDE
Tirone Francisco Chahad Lanix – DE/FDE
Leila Rentroia Ianonne – DPE/FDE
Alexandre Ortelã – DTI/FDE
Silvia Galletta – GIP/DTI/FDE
Coordenação Geral pela SEE/SP
Sonia Maria Silva – Coordenadora da CENP
Consultoria
Luciana Maria Tenuta de Freitas – Info Educacional
Maria Virgínia Ferrara de Carvalho Barbosa – Info Educacional

8
Agradecemos a todos os ATPs responsáveis pela formação de
professores do projeto Números em Ação, em 2004 e 2005,
que muito colaboraram na revisão e testagem do software e no
enriquecimento do manual do professor.

9
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA1
PROJETO NÚMEROS EM AÇÃO
O projeto Números em Ação propõe a utilização das Tecnologias de Informação
e Comunicação pelos professores e pelos alunos de 5a
e 6a
séries do Ensino
Fundamental como apoio ao desenvolvimento de ações voltadas às dificuldades
existentes no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, sobretudo no
tocante à capacidade de calcular.
A Matemática é tomada como instrumento de leitura, interpretação e
compreensão do mundo, visto que é cultura humana, que tem uma dimensão
histórica; é um saber inacabado e mutável. É também uma linguagem e como tal
apresenta aspectos sintáticos e semânticos. Dessa forma, pretende-se trabalhar
com os alunos, visando a desenvolver a competência de agir matematicamente
na resolução de situações complexas, mobilizando e relacionando conteúdos,
habilidades e recursos diversos.
COMPETÊNCIAS E HABILIDADES
• Cálculo, sendo capaz de estimar, fazer aproximações, determinar com
exatidão os resultados, usar diferentes estratégias, recursos e tecnologias.
• Resolução de problemas, sendo capaz de planejar, explicitar hipóteses,
determinar estratégias, tomar decisões e comunicar os resultados obtidos.
• Argumentação em torno de afirmativas e modelos matemáticos, sendo capaz
de justificar, contestar, conjecturar e demonstrar.
• Atitude crítica em relação às informações matemáticas, em especial àquelas
veiculadas pela mídia.
• Utilização da linguagem matemática, sendo capaz de ler, interpretar e
representar a realidade e comunicar idéias.
OBJETIVOS
O objetivo primeiro do projeto Números em Ação é ensinar Matemática. O uso
da tecnologia é uma opção para o estabelecimento de um contrato didático que
alavanque mudanças atitudinais, motivacionais e procedimentais em alunos e
professores em suas tarefas de aprender e ensinar. O conhecimento matemático
recebe tratamento prazeroso e interessante e pode ser acessado com rapidez.
Entretanto, além de serem meio, pois abastecem alunos e professores de novos
recursos e novas formas de trabalho, as tecnologias são também um fim, porque
proporcionam a inclusão digital de todos os que não têm acesso à tecnologia fora
do ambiente escolar. Aprende-se a navegar na Internet, a utilizar editores de
textos e softwares de autoria, enquanto se aprende Matemática.
Os conteúdos e as atividades didáticas a serem desenvolvidos no projeto
Números em Ação levarão em conta os seguintes objetivos de ensino e objetivos
1
Texto escrito por Luciana Maria Tenuta de Freitas e Maria Virgínia Ferrara de Carvalho Barbosa, consultoras da Info Educacional.

10
de aprendizagem, que têm como base aqueles expressos nos Parâmetros
Curriculares Nacionais – Matemática.
OBJETIVOS DE ENSINO
Criar um ambiente de trabalho que possibilite:
• o reconhecimento e a valorização da Matemática como uma linguagem que
permite a análise, compreensão, representação e transformação da realidade,
ao identificar possibilidades de aplicação do conhecimento matemático na
resolução de situações-problema do cotidiano, das atividades profissionais ou
de outras áreas de conhecimento;
• o trabalho cooperativo permanente, na busca de consenso, no respeito à
opinião do outro, na consideração do outro como fonte de conhecimento;
• o desenvolvimento pessoal, mediante o prazer de “fazer matemática”, numa
perspectiva do jogo e da disciplina intelectual, da atitude crítica, de
perseverança, autonomia e cooperação na busca de soluções;
• a utilização da tecnologia como recurso que favorece:
a simulação de situações complexas e difíceis de serem realizadas numa
situação real;
o tratamento diferenciado do erro;
• o desenvolvimento da capacidade de adequação dos recursos tecnológicos
disponíveis à natureza dos problemas a serem resolvidos.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Compreender e utilizar as regras do SND para leitura, escrita e comparação
de números naturais.
• Compreender os significados das quatro operações fundamentais ao resolver
situações-problema.
• Reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas de
diferentes naturezas.
• Propor diferentes estratégias ao resolver uma mesma situação-problema.
• Desenvolver diferentes estratégias de cálculo mental, escrito, estimado e com
calculadora.
• Utilizar as propriedades das operações e o valor posicional como recurso de
cálculo mental.
• Antecipar e verificar resultados de cálculos feitos.
• Analisar estratégias de resolução desenvolvidas por terceiros.
• Utilizar a estimativa como recurso para avaliação da adequação de um
resultado.

11
• Representar as quatro operações fundamentais, por meio de algoritmos não-
convencionais e convencionais, decidindo sobre a utilização da representação
mais adequada à resolução da situação apresentada.
• Reconhecer a medida como resultado da comparação entre grandezas de
mesma natureza.
• Demonstrar confiança na própria capacidade de resolver problemas.
• Estabelecer procedimentos e estratégias de coleta de dados e informações.
• Elaborar e organizar procedimentos de comunicação de dados e informações
coletadas.
• Usar os recursos tecnológicos disponíveis, adequando-os à necessidade ou à
natureza da situação.
CONTEÚDOS
As seqüências didáticas, desenhadas para o ambiente digital, trazem atividades
nas quais o aluno aprende a localizar, acessar e analisar dados e informações.
Enfatizam o desenvolvimento de procedimentos e sobretudo de atitudes
necessárias àqueles que vivem em uma comunidade de informação. O
conhecimento matemático é tomado como complexo e provisório e o aluno
precisa ser munido de instrumental que favoreça continuar a aprender, a
qualquer hora, dentro ou fora da escola e, para tal, não bastam aprendizagens
conceituais. É preciso aprender a decidir sobre o uso de um tipo específico de
cálculo (mental, escrito, estimado, com calculadora), a revisar suas produções e
as de seus colegas para detectar, analisar e corrigir erros (e assim aprender a
prevê-los). Aprender a trabalhar em equipe, intercambiando pontos de vista,
escutando os outros, esperando sua vez de falar, demonstrando segurança ao
argumentar e flexibilidade para modificar seus argumentos passa a ser tão
importante quanto saber o resultado de uma adição ou multiplicação.
CONTEÚDOS CONCEITUAIS
Números e operações
• Os sistemas de notação numérica ao longo da História da Humanidade:
características, usos e relações com o sistema notacional decimal.
• Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do Sistema
de Numeração Decimal.
• Os números racionais e sua representação decimal (a partir de seus
diferentes usos sociais: medidas de valor, comprimento, massa, capacidade).
• Significados das operações fundamentais.
Medidas
• Estimativas de tamanhos e comprimentos.
• Instrumentos não-convencionais de medição de comprimentos.

12
• Unidades não-padronizadas de comprimento.
• Unidade-padrão de medida de comprimento, o metro e seus submúltiplos: o
centímetro e o milímetro.
CONTEÚDOS PROCEDIMENTAIS
Números e operações
• Uso da calculadora e da escrita como instrumento de reflexão e/ou de
representação.
• Decisão sobre o uso de um tipo específico de cálculo (mental, escrito, com
calculadora), exato ou aproximado, em função da situação-problema
apresentada.
• Interpretação de informações apresentadas em tabelas e gráficos simples.
• Revisão de produções para detectar, analisar e corrigir erros.
• Elaboração de registros.
Medidas
• Decisão sobre uso de procedimento e instrumento específico, em função da
precisão da medição.
• Elaboração de registros pessoais e/ou convencionais para comunicação de
medições feitas.
• Tratamento da informação
• Coleta, organização e descrição de dados e informações.
• Produção de texto escrito, a partir de interpretação de gráficos, tabelas e
quadros.
Uso da tecnologia
• Uso dos principais recursos do editor de texto, de software de apresentação,
de software de autoria, de simulações e animações disponíveis no ambiente
virtual.
CONTEÚDOS ATITUDINAIS
• Confiança em suas maneiras e estratégias para resolver problemas.
• Perseverança, esforço e disciplina no desenvolvimento de trabalhos que
envolvam a busca de resultados.
• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e da troca de
pontos de vista/idéias como fonte de aprendizagem.
• Segurança ao argumentar e flexibilidade para modificar os argumentos.
• Interesse em conhecer diferentes formas de resolver problemas.

13
• Disposição em seguir as orientações dadas, desde as mais simples até as
mais complexas.
• Cuidado com os materiais em geral, e em especial com os de uso coletivo,
principalmente os tecnológicos, menos resistentes e de maior custo.
• Disponibilidade para trabalho colaborativo, percebendo a necessidade de
parceria no uso dos recursos e materiais coletivos.
• Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos como fontes de
informação importantes para a aprendizagem.
RECORTE DIDÁTICO – TRABALHO COM O CÁLCULO
O cálculo será o foco do trabalho didático a ser desenvolvido nas aulas do projeto
Números em Ação, por ser considerado uma competência vinculada a todos os
conceitos matemáticos da educação básica (Figura 12
), não sendo possível “fazer
matemática” na sala de aula sem ele. Assim, formas variadas de cálculo são
exploradas pelos alunos de maneira analítica e crítica.
Figura 1
Medidas
Probabilidade Álgebra
Funções Números racionais
CÁLCULO
Números naturais Estatística
Números inteiros Números reais
Geometria
Ensinar um aluno a armar uma conta no papel e resolvê-la, não garante o
desenvolvimento da competência de cálculo. Por isso, situações diversificadas
que exploram as várias formas de cálculo são apresentadas aos alunos. Cálculos
mentais, estimados e com calculadoras devem ser feitos para que as soluções
sejam encontradas ao se jogar ou resolver um desafio.
As técnicas operatórias convencionais das quatro operações são trabalhadas por
meio de aulas multimídia alteráveis de maneira analítica e não como um
mecanismo a ser repetido exaustivamente.
Por meio de um trabalho mais amplo com o cálculo, os alunos são levados a
desenvolver princípios, conceitos, habilidades, estratégias e processos que os
tornam mais abertos e flexíveis a interpretar o mundo que os rodeia.
2
Figura adaptada do livro de GIMÉNEZ e GIRONDO, 1993.

14
O CONTRATO DIDÁTICO
Com a implementação do projeto Números em Ação pretende-se que um
novo/velho contrato didático3
vigore nas Salas Ambiente de Informática (SAI),
com professores e alunos assumindo novos papéis e estabelecendo novas
relações ao saber matemático.
O QUE FAZ O ALUNO
No projeto Números em Ação, concebe-se que a aprendizagem ocorre a partir
dos interesses, necessidades e particularidades do aluno, compartilhando sua
bagagem cultural e social. Ela não ocorre de uma só vez e definitivamente. Saber
Matemática é ocupar-se de problemas em um sentido mais amplo que inclui
tanto saber fazer perguntas quanto encontrar soluções. Nesse sentido, o aluno
deve intervir na atividade matemática, formulando consignas, provando
proposições, construindo linguagens, conceitos e teorias, pondo-os a prova. Ao
intercambiar com outros, reconhece os conhecimentos que formam parte da
cultura matemática e toma aqueles que são úteis para continuar sua atividade.
Determina formas diversas de representação, discutindo-as com os demais.
Considera os seus erros e os de seus colegas fontes de informação e reformula
idéias a partir deles. Arrisca-se a resolver qualquer tipo de situação-problema
com espírito de investigação.
A mediação aluno/saber matemático não passa somente pelo software. O espaço
da SAI passa a ser aquele em que o “fazer matemática” é que move toda a ação
pedagógica. Os alunos exploram possibilidades, levantam hipóteses, testam
essas hipóteses, discutem com o outro, criam desafios, argumentam. A atitude
do professor é fundamental para garantir esse ambiente de pesquisa, de
aprendizagem e de atividade matemática.
O QUE FAZ O PROFESSOR
Para que o espaço da SAI se transforme num campo de pesquisa, no qual os
alunos possam ter legítimas experiências matemáticas, é necessário que o
professor se coloque como aquele que dialoga com alguém que levanta questões
para as quais ele nem sempre tem as respostas prontas.
O professor deixa de ser aquele que traz um conhecimento pronto e acabado e
se torna parte integrante dos grupos de investigação, em que as questões que
surgem muitas vezes são novidade para ele próprio. Os erros são parte do
processo de aprendizagem e devem ser explorados e utilizados para gerar novos
conhecimentos, novas questões, apontar novos rumos ou um aperfeiçoamento
das idéias que estiverem em discussão. Nessa perspectiva, há uma certa
imprevisibilidade em relação aos tempos e os conteúdos propostos podem ser
enriquecidos, dando origem a novas investigações. É preciso que o professor se
aproprie da idéia de que seu papel é fomentar as discussões, valorizando as
idéias que surgem, remetendo os alunos a um aprofundamento em busca de
soluções para os problemas apresentados.
3
Segundo Guy Brousseau (1986) os procedimentos e as atitudes que o aluno espera de um professor e o professor espera de um aluno
determinam o contrato didático. O contrato didático é, pois, um conjunto de regras que determinam o que cada um, aluno e professor, deverá
fazer, explícita e implicitamente, e que terá de prestar conta um perante o outro, de uma maneira ou outra.

15
No ambiente proposto, o papel do professor é encorajar os alunos a explorar
possibilidades, fazer previsões, levantar e testar suas hipóteses. Cabe a ele
organizar as situações de cooperação entre os alunos; considerar o
conhecimento que eles explicitam; incentivar a análise de estratégias e respostas
adequadas ou não, corretas ou não; permitir que a avaliação fique também a
cargo da turma; fazer com que o que se discute se aproxime sempre do saber
socialmente constituído. Assumir essa atitude significa acreditar que o processo
de aprendizagem da Matemática se baseia realmente na ação do aluno em busca
da solução de problemas, em investigações e explorações de situações e desafios
que o provocam verdadeiramente.
COMO É FAZER MATEMÁTICA NA SAI
As seqüências didáticas4
foram planejadas baseadas na concepção de que um
conceito matemático não é elaborado de uma vez e para sempre pelos alunos; o
que ocorre são sucessivas aproximações, organizações e reorganizações de
conceitos, em um processo de ação, formulação e validação do conhecimento5
.
Em todas as atividades os problemas são propostos de tal forma que a melhor
solução se obtém, usando o conhecimento que se quer ensinar. Isso implica o
agir e o refletir permanentes por parte dos alunos.
Situações diversificadas que exploram as várias formas de cálculo são
apresentadas aos alunos, pois ensinar a armar uma conta no papel e resolvê-la,
seguindo passos pré-determinados, não garantirá a eles o desenvolvimento da
competência de cálculo. Cálculos mentais, estimados e com calculadoras são
propostos para que as soluções sejam encontradas ao se jogar ou resolver um
desafio.
O software permite a exploração de múltiplas situações nas quais os conceitos
dos campos aditivo (que envolve adição e subtração) e multiplicativo (que
envolve multiplicação e divisão) aparecem, significando-os6
. O aluno é desafiado,
permanentemente, a colocar em ação o pensamento, utilizando conhecimentos
já construídos (de senso comum ou escolarizados), ou seja, mobilizando o antigo
para resolver, em um primeiro momento, a situação.
Ao perceber que não sabe o suficiente para resolver uma situação-problema, o
aluno é incentivado a trocar idéias. O trabalho cooperativo é uma forma de lhe
restituir o seu papel de aprendiz, por permitir-lhe a organização de um plano de
trabalho com seus colegas e professores na tentativa de formular, trocar,
comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar suas experiências e idéias antigas
e novas e controlar a aprendizagem.
Por meio de uma atitude investigativa, pesquisadora, possibilidades de resolução
próprias ou convencionais podem ser exploradas. Isso significa que tão
importante quanto dar uma resposta é desenvolver estratégias para se fazer. A
4
De acordo com Antoni Zabala (1996), seqüência didática é um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a
realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos alunos quanto pelos professores.
5
Para conhecer um pouco mais sobre a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau, indica-se o texto Situações Didáticas de José Luiz
Magalhães de Freitas, que integra o livro Educação Matemática – Uma Introdução, Série Trilhas, São Paulo: EDUC, 2002.
6
Os significados das operações a serem trabalhados para o campo aditivo e o multiplicativo são aqueles explicitados nos PCN de
Matemática, Ensino Fundamental, 1ª a 4ª série, 1996.

16
situação apresentada será interpretada pelo aluno, que deve questionar,
formulando perguntas, buscando informações em diferentes fontes, elaborando
um plano para encontrar uma resposta, verificando sua correção ou não.
Os elementos de uma situação-problema precisam ser representados
simbolicamente. A escrita tem papel relevante tanto no que diz respeito à
documentação (evocação e comunicação) quanto à construção do conhecimento
(planejamento da ação). É tomada, também, como um instrumento para pensar,
uma vez que retém a informação para que seja analisada, discutida e validada,
posteriormente, pela turma. Assim sendo, é proposto um trabalho constante com
questões discursivas – aquelas em que o aluno deve discorrer sobre algo: sua
hipótese, uma argumentação, explicação de um erro ou acerto, uma conclusão.
Dar oportunidade para que o aluno analise algoritmos constitui fonte privilegiada
de informação sobre o que se sabe, a concepção atual, o ponto em que se
encontra no processo de entendimento de um saber. Ao analisar diferentes
representações, sobretudo aquelas que diferem das suas, o aluno assume o
papel de quem investiga, reflete sobre sua própria maneira de representar,
analisa uma mesma situação de diferentes pontos de vista e dá mais um passo
em direção ao entendimento das representações convencionais.
O trabalho proposto exige que o aluno descreva os raciocínios feitos, reflita sobre
suas estratégias de resolução, para que tome consciência dos passos que
realizou durante o processo de aprendizagem. Assim, ele tem maior chance de
perceber ou até mesmo de prever erros, gerar boas perguntas, discutir suas
dúvidas e, conseqüentemente, aprender mais.
O aluno vai além da verificação de resultados. Ele faz a validação do
conhecimento elaborado, ou seja, comprova o modelo matemático criado para
solucionar um dado problema, determinando, por exemplo, se esse modelo é útil
para resolver outros de igual natureza.
Nesse processo, as ações são conduzidas tanto pelo professor quanto pelo aluno,
por meio de um trabalho planejado por todos do grupo. As diferentes idéias,
pensamentos e procedimentos são considerados como algo positivamente
necessário. São também valorizadas a tomada de decisão pelo grupo, a análise
dos resultados (erros e acertos são igualmente importantes), a comunicação oral
e escrita desses resultados, o conhecimento como algo provisório e complexo,
algo em permanente transformação. Acredita-se, assim, estar contribuindo para
que alunos e professores enfrentem situações novas, de maneira mais
perseverante e eficaz, conservando vivos o desejo, o ânimo, o bom humor e a
vontade de aprender sempre e mais.

17
ORIENTAÇÕES GERAIS
1. ATIVIDADES QUE DEVEM SER DESENVOLVIDAS AO FINAL DE UMA
AULA, DE UM GRUPO DE AULAS OU DE UM MÓDULO
TERMÔMETRO
O termômetro representa uma atividade que será realizada ao
final das aulas 5, 15, 23, 31 e 37, de forma que os alunos avaliem um grupo de
aulas, sua própria participação e a atuação do professor, escolhendo para isso
representações gráficas – figuras de carinhas – que identificam sua opinião a
partir dos itens:
1. Ter aula na Sala Ambiente de Informática me fez gostar mais de estudar
Matemática.
2. Utilizar as atividades do software Números em Ação me fez aprender mais
Matemática.
3. Trocar idéias e discuti-las com meus colegas foi importante para fazer as
atividades.
4. Ter a ajuda do meu professor foi importante para o desenvolvimento das
atividades.
Após os alunos emitirem suas opiniões, os dados serão consolidados, gerando
um gráfico da situação. O professor fará uso deste gráfico, analisando-o
juntamente com os alunos. Ele poderá ser visualizado por todos, no micro do
professor.
FICHAS DE AVALIAÇÃO E ACOMPANHAMENTO DO ALUNO
Estarão disponíveis para o professor 5 fichas de avaliação, que serão utilizadas
ao longo do processo. Elas estão organizadas por grupos de aulas, para o
registro das observações quanto aos objetivos propostos, procedimentos e
atitudes do aluno e intervenções do professor.
APLICATIVOS
Os aplicativos Word (DOC) e PowerPoint (PPT) estão
disponíveis a cada aula e serão utilizados para que os alunos façam anotações e
registros, que podem ser gravados. Os registros das aulas 4 e 5, 10, 14 e 15, 16,
27 e 28, 29, 30, 33, 35, 36 e 37 devem ser gravados.
Obs.: é necessário e importante que cada aluno tenha um caderno para fazer
anotações.

18
2. CD DE RECURSOS
O CD será, juntamente com a apostila, material de apoio ao professor.
Nele estão disponíveis os seguintes recursos:
• Software Introdução ao Micro
• Vídeo História dos números: das pedrinhas ao computador
• Vídeo Inventando estratégias de cálculo
• Peças do quebra-cabeça para a Dinâmica dos Quadrados
• Tutoriais
• Jogos das Atividades Complementares
Obs.: Os jogos, softwares e vídeos devem ser instalados com antecedência.
3. ATIVIDADES COMPLEMENTARES
São atividades que o professor pode fazer uso em situações diversas.
Por exemplo, quando o tempo ao final de uma aula for insuficiente para dar início
a uma nova atividade ou quando grupos de alunos avançarem mais que outros.
As atividades complementares são compostas de jogos que por si só justificam
sua incorporação às aulas: o caráter lúdico, o desenvolvimento de estratégias
intelectuais e a formação de relações sociais.

19
TEXTO COMPLEMENTAR I
A APRENDIZAGEM E O ENSINO DA MATEMÁTICA – ABORDAGENS ATUAIS
1ª PARTE
Conferência proferida por Delia Lerner durante o 6º. Encontro Nacional de
Intercâmbio e Atualização Educacional, organizado por
"Novedades Educativas" - Argentina.
Tradução livre: Daisy Moraes
Quando pensava no título desta conferência, eu me perguntava: abordagens
atuais, de que ponto de vista? De que perspectiva da pesquisa didática? A partir
de nossas ilusões didáticas? A partir da perspectiva da realidade escolar do
ensino e da aprendizagem da Matemática?
Considerando a Didática da Matemática sem dúvida alguma como o modelo atual
dominante, o fator comum aos modelos que hoje são propostos é o de tomar
como eixo essencial a produção do conhecimento por parte dos alunos.
Do ponto de vista da realidade escolar a situação é outra: nela, coexistem todos
os modelos didáticos possíveis, claro que em proporções diferentes. E esse
modelo que na teoria didática é o predominante, certamente está muito longe de
sê-lo na prática da sala de aula.
Então, gostaria de me deter nos modelos didáticos que coexistem em sala de
aula. Para defini-los, deve-se considerar o essencial da situação didática, o
triângulo que configura o conjunto de relações entre três pólos: os alunos, o
objeto de conhecimento (o saber, o conteúdo), o professor e as ações que ele
realiza para gerar interações entre o sujeito e o objeto de conhecimento.
Roland Charnay propõe três modelos didáticos essenciais levando em conta como
cada um desses três pólos do triângulo didático é concebido. Um primeiro
modelo, que todos conhecemos (já que é certamente o modelo que já seguimos
como alunos), é o que ele chama modelo normativo centrado no conteúdo no
qual a função do professor é mostrar as noções , apresentá-las, dar exemplos
sobre o que se está ensinando, enquanto a função do aluno é, basicamente,
escutar as explicações do professor, estar atento e, em seguida, repetir os
procedimentos que o professor ensinou como válidos para resolver os problemas,
exercitar, aplicar aquilo que aprendeu. A concepção do saber vigente nesse
modelo é a de um que está pronto, construído, no qual o professor atua
simplesmente como um intermediário, que passa para as crianças esse saber já
elaborado e acabado (por outros).
Régine Douady (outra especialista em Didática da Matemática) caracteriza esse
mesmo modelo como uma seqüência de "exposição/exercícios". O professor
expõe, explica e depois os alunos exercitam, utilizando esse saber que foi
exposto.
O segundo modelo (que é necessário distinguir do terceiro, já que comumente
são confundidos, e um dos meus objetivos é que sejam claramente
diferenciados), caracterizado por Charnay, é o que ele chama incitativo. Esse

20
modelo está centrado no aluno e poderíamos relacioná-lo com o que caracterizou
a Escola Nova, a escola ativa. Para começar, o professor pergunta ao aluno sobre
seus interesses, suas motivações, suas necessidades; analisa o contexto do
aluno para poder detectar os aspectos que despertam seu interesse: o professor
escuta o aluno e o ajuda a utilizar fontes de informação. O aluno procura,
organiza a informação que vai encontrando, estuda, aprende. O saber está ligado
às necessidades do contexto, da vida cotidiana e a estrutura própria do saber
passa para segundo plano. As características e interesses do aluno, em função de
seu contexto, levam-no a tomar decisões sobre o quê e como se ensina. Então,
nesse modelo, as preocupações não estão centradas para que o aluno reconstrua
o saber social e cientificamente constituído. O ponto central é que a situação de
ensino-aprendizagem se torne interessante para o aluno, responda às suas
necessidades e interesses.
O terceiro modelo, que é o nosso, é caracterizado por Charnay como
apropriativo/aproximativo. É aproximativo no sentido de que se entende que, na
situação didática, vai ser possível que o aluno chegue a reconstruir o saber
socialmente constituído mediante aproximações sucessivas, não de uma só vez e
imediatamente, mas interagindo com o conteúdo de diferentes maneiras, e isso
lhe permitirá construir esquemas de conhecimento cada vez mais ajustados à
natureza do conteúdo.
Nesse modelo, propõe-se partir de concepções pré-existentes no aluno,
concepções específicas sobre esse conteúdo particular que está tentando
comunicar. Não se trata simplesmente de saber quais são os interesses e as
necessidades do aluno – como no segundo modelo – mas de saber e de fazer
intervir na situação didática aquilo que o aluno pensa a respeito desses
conteúdos que precisa comunicar, as conceitualizações, as hipóteses e a maneira
de abordar que os alunos, como sujeitos cognitivos, têm em sua relação com
cada um dos conteúdos. Em função disso, o professor proporá e organizará
séries de situações didáticas que apresentarão obstáculos, que questionarão as
concepções prévias dos alunos, de tal maneira que se torne possível que essas
concepções se aproximem progressivamente da natureza do saber científico ou
do saber socialmente constituído.
Também nesse modelo, a lógica, a natureza e a organização do saber em si têm
uma importância fundamental. Aqui, o aluno também pode testar, mas vai fazê-
lo no âmbito de situações didáticas especificamente elaboradas para que sejam
colocadas em jogo suas concepções e para que essas concepções se defrontem
com obstáculos que os obriguem a avançar. Vai debater com seus colegas,
defender seus pontos de vista com argumentos, questionar os pontos de vista de
outros, ou até mesmo os próprios, aqueles que ele havia defendido antes, com
argumentos que irá elaborando diante dos problemas que a situação didática lhe
apresenta. Esse terceiro modelo supõe a inversão do modelo exposição-
exercícios.
É preciso considerar qual é o lugar da situação-problemática no primeiro e no
terceiro modelo, um lugar absolutamente diferente e oposto.
No modelo normativo, que é o modelo do qual certamente fizemos parte como
alunos, os problemas – que geralmente são problemas com enunciado – servem
basicamente para aplicar o que o aluno aprendeu porque o professor ensinou,
entendendo "ensino" como a transmissão do conhecimento pronto. Por exemplo,

21
o professor explicou o que é multiplicação e como se faz para multiplicar e,
depois, propôs "problemas" de multiplicação, nos quais os alunos vão aplicar os
conhecimentos previamente ensinados.
No modelo aproximativo/apropriativo, ao contrário, o lugar do problema é o
lugar daquela situação que possibilita que os alunos construam um
conhecimento. Não é o lugar da aplicação de algo previamente ensinado, mas da
apresentação da questão que requer a elaboração de um conhecimento do qual
não dispunha previamente.
Essa mudança do lugar do problema e, geralmente, todas as características
desse terceiro modelo didático, obriga o docente a levar em conta oficialmente a
construção do saber por parte dos alunos, encarregando-se dos esquemas de
assimilação originais dos alunos e do estabelecimento de conflitos, de contra-
exemplos e de problemas que obriguem o aluno a construir conhecimentos que o
aproximem do saber.
No modelo normativo, e de certa maneira também no segundo modelo, no
incitativo, que podemos aproximar ao da Escola Nova, não se levam em conta a
organização do saber, nem as concepções específicas dos alunos sobre cada um
dos saberes a ser comunicado. O aluno fica sozinho com o problema de como
fazer para incorporar os conhecimentos que queremos que ele aprenda, a partir
dos esquemas de assimilação prévios que já possui.
No modelo aproximativo/apropriativo, ao contrário, o aluno não está sozinho. O
docente se encarrega "oficialmente" da assimilação do conhecimento e de
contribuir com ela. A primeira contribuição é pegar como ponto de partida as
concepções prévias dos alunos em vez de ignorá-la.
Retomando os três pólos do triângulo didático que utilizei até agora para definir
esses três modelos didáticos, gostaria de assinalar que, durante muito tempo,
desde os postulados didáticos, a ênfase tem sido dada em um desses pólos: o
aluno, sobretudo, em relação a seus interesses e necessidades e, mais
recentemente, em relação às suas conceitualizações.
O que está evidenciado, atualmente, são os conteúdos, os saberes. Isso me
parece bom, já que é imprescindível levar em conta a natureza e a organização
do saber que se está querendo comunicar.
Mas isso é bom sempre que não se reduz a problemática educativa à
problemática dos conteúdos, sempre que não nos esquece de que, como
demonstraram alguns estudos etnográficos, a forma também é conteúdo.
Verónica Edwards, uma pesquisadora chilena que trabalhou em pesquisa
etnográfica na escola, ao propor que a forma é conteúdo explicitou: Em sua
existência material, o conhecimento que se transmite no ensino possui uma
forma determinada, que vai sendo modelada na apresentação do conteúdo. O
conteúdo não é independente da forma sob a qual é apresentado. A forma possui
significados que são acrescentados ao conteúdo, produzindo uma síntese, um
novo conteúdo. A lógica da interação, a maneira como o docente interage com o
saber e gera situações para que o aluno interaja com o saber, reflete-se de
maneira decisiva em qual vai ser a conceitualização do conteúdo que a escola
realmente está comunicando.
Isso foi muito trabalhado na Didática da Matemática, particularmente por

22
Chevallard, mediante a noção de transposição didática na qual ele mostra como
os conteúdos vão se transformando. Ao se transformarem em objeto de ensino,
primeiro em nível curricular e depois no da sala de aula propriamente dita, vão
mudando de natureza. É importante, então, controlar a mudança, para que não
seja muito grande, para que continue se parecendo com o que se quer
comunicar, de modo que aquilo que os alunos estão aprendendo não se torne
totalmente diferente do saber socialmente produzido.
Ainda que seja crucial definir os conteúdos, não é menos crucial definir como
esses conteúdos vão ser trabalhados, para que, na escola, continuem sendo
aqueles que a sociedade espera que se comuniquem às futuras gerações.
Até bem pouco tempo atrás, dizia-se que o pólo que ocupava o primeiro plano
era o aluno. Hoje, é o conteúdo. E eu gostaria de me colocar, agora, no outro
pólo do triângulo, aquele que, de alguma maneira, todos nós aqui presentes
ocupamos: o lugar do professor.
É um lugar muito difícil, não só pelas condições de trabalho, mas pelas condições
didáticas que precisa cumprir quando quer trabalhar com o terceiro modelo.
O primeiro problema que o professor enfrenta no terceiro modelo, chamado
aproximativo/apropriativo, é o da devolução de problemas para o aluno. Aqui, o
problema é o ponto de partida para a construção de um novo conhecimento.
Antes, acreditávamos que era suficiente elaborar um bom problema, que fosse
significativo para os alunos, no qual pudessem aplicar conhecimentos prévios e,
ao mesmo tempo, que representasse um desafio para obrigá-los a construir um
novo conhecimento. Isso continua sendo assim, mas o que hoje está muito claro
é que tomar como ponto de partida a proposição de um problema está longe de
ser fácil em situação de sala de aula, porque em nossas salas de aula, de alguma
maneira, continua funcionando o contrato didático que funciona nas escolas em
geral, segundo o qual é o professor que deve transmitir o conhecimento e o
aluno deve escutar e aprender – modelo normativo; ou segundo o qual a
produção do conhecimento não é responsabilidade do aluno, mas algo que
surgirá graças à comunicação que o professor fará.
Então, o trabalho concreto em sala de aula vai mostrando que, na realidade, é
muito mais fácil revelar logo a verdade, dizer-lhes como é o conhecimento já
socialmente constituído do que tentar que os alunos o construam a partir da
resolução de problemas. Por isso, eu disse que o primeiro problema é como
devolver o problema para os alunos.
Como fazer para devolvê-lo e para manter a responsabilidade dos alunos na
resolução dos problemas? Isso foi estudado na Didática da Matemática. A própria
noção de "devolução" implica um reconhecimento da luta com a representação
social dos direitos e deveres dos professores e dos alunos em sala de aula.
Quando Brousseau propõe essa questão, diz que escolheu a palavra "devolução"
para se referir a uma das funções básicas do professor, tomando-a da
terminologia legal. Na França, a devolução era um ato que o rei exercia em
determinadas circunstâncias, pelo qual devolvia às Câmaras uma atribuição que
correspondia a ele por direito divino, mas que ele decidia não assumir e, sim,
delegar.
Que relação podemos estabelecer entre isso e o que acontece com o professor na
sala de aula? Para o professor, segundo o contrato didático vigente na maioria

23
das instituições escolares, corresponderia transmitir diretamente o
conhecimento, mas ele fará um ato de devolução e vai autorizar os alunos a usar
esse direito e construir o conhecimento. É imprescindível que o professor ceda
esse direito, porque os alunos não podem tomá-lo por si mesmos, pois isso não
faz parte do contrato didático vigente. Nessas condições é difícil que os alunos
mantenham a responsabilidade durante muito tempo. É comum que eles
perguntem: "Como se faz isso? Diga-me qual é a resposta".
Devemos trabalhar muito para chegar a instaurar um clima no qual os alunos
aceitem que, durante um certo tempo, serão eles os responsáveis pela
construção, claro que com a ajuda e o apoio permanente do professor. E chegará
outro momento (isso também é função essencial do docente) no qual o professor
ratificará essa construção, completará, ajudará a estabelecer aquilo que os
alunos não tenham podido estabelecer por si mesmos.

24
MÓDULO I – QUEM SOU, QUEM SOMOS
TEMA
Todo processo de interação flui mais facilmente se as pessoas envolvidas
reconhecem o seu papel, o de seus interlocutores, o espaço, o tempo e
compreendem a situação na qual se encontram. Este módulo busca proporcionar
condições para que esses movimentos aconteçam.
RECURSOS UTILIZADOS
Equipamentos
Computador
Softwares e aplicativos:
Números em Ação
Introdução ao micro
Avaliação eletrônica
PowerPoint
Word
OBJETIVOS DE ENSINO
• Favorecer um ambiente agradável para apresentação dos alunos e do
professor, que proporcione uma atuação com base no respeito e na
valorização de cada membro da turma.
• Promover atividades nas quais os alunos interajam de forma cooperativa,
trabalhando coletivamente na busca e na apresentação de informações.
• Apresentar aos alunos a proposta educativa do projeto Números em Ação,
para que possam conhecê-la e envolver-se gradativa e ativamente nesse
processo de construção de conhecimento matemático.
• Favorecer a utilização da tecnologia como recurso que possibilita o trabalho
colaborativo e diferenciado das formas usuais de ensino-aprendizagem.
• Demonstrar confiança na própria capacidade de resolver problemas.
• Elaborar e organizar procedimentos de comunicação de dados e informações.
• Usar os recursos tecnológicos disponíveis, adequando-os à necessidade ou à
natureza da situação.
CONTEÚDOS
Atitudinais
• Perseverança, esforço e disciplina no desenvolvimento de trabalhos.
• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e da troca de
pontos de vista/idéias como fonte de aprendizagem.

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• Segurança ao argumentar e flexibilidade para modificar os argumentos.
• Disposição em seguir as orientações dadas, desde as mais simples até as
mais complexas.
• Disponibilidade para trabalho colaborativo, percebendo a necessidade de
parceria no uso dos recursos e materiais coletivos.
• Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos como fontes de
informação importantes para a aprendizagem.
ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS
AULA 1
1º passo
Recepção dos alunos com uma música.
A sala estará preparada com os micros ligados, a
interface do projeto Números em Ação aberta e as
cadeiras dispostas em círculo.
2º passo
O professor se apresenta e fala um pouco de si.
3º passo
Os alunos se apresentam, usando a seguinte
estratégia:
• a turma é dividida em duplas;
• cada elemento da dupla tem dois minutos para
falar de si para o colega;
• o professor marca os dois minutos e bate uma
palma;
• o outro aluno fala de si, durante dois minutos;
• cada aluno se apresenta para a turma, como se
fosse o colega:
- Eu sou... (nome do colega)
- Gosto muito de...
- Tenho muita vontade de...
- As companhias que me deixam feliz são...
- Uma coisa muito engraçada que me
aconteceu foi...
- Outras coisas que queiram falar de si
nesses dois minutos
Professor, escolha a
música de acordo com
as preferências dos
alunos e a faixa etária
deles.
3º passo
Professor, sendo
necessário, os alunos
podem fazer anotações
para não esquecerem o
que foi contado pelo
colega. Porém, o mais
importante é garantir
um clima de
descontração durante a
dinâmica de
apresentação.

26
nesses dois minutos.
4º passo
Os alunos são convidados a conhecer rapidamente a
interface. Abrem, então, as aulas 1 e 2.
4º passo
Professor, aproveite o
momento para envolver
seus alunos e aguçar a
curiosidade,
despertando a vontade
de voltar na próxima
aula.
AULA 2
1º passo
Desenvolver com os alunos a dinâmica “Jogo dos
Quadrados”7
.
A turma será dividida em quatro grupos. Cada grupo
recebe um envelope contendo as peças de um quebra-
cabeça que formará um quadrado.
Os quatro quadrados juntos formam uma só figura.
Entretanto, ao preparar os envelopes, que serão
distribuídos para cada grupo, é preciso colocar em cada
um deles uma peça trocada.
Os alunos recebem as seguintes instruções:
1. Não abram os envelopes até que seja dado
um sinal.
2. Agora abram os envelopes e montem um
quadrado.
2º passo
Ao final da socialização da dinâmica, aproveitar o clima
instalado para fazer uma apresentação mais detalhada
do Projeto e do funcionamento da SAI no
desenvolvimento das atividades propostas no Números
em Ação. Dar ênfase à necessidade de colaboração
entre os alunos e o professor, para que essa proposta
de trabalho tenha êxito.
Professor, a Dinâmica
dos Quadrados deve ser
realizada com toda a
turma. Caso muitos
alunos faltem, antecipe
a aula 3 ou utilize as
atividades
complementares.
Reorganize o
planejamento para fazer
a dinâmica em outro
momento.
Professor, no Anexo 1
você encontra as peças
que compõe o quebra-
cabeça do quadrado.
Professor, os alunos
terão dificuldades de
montar um quadrado em
cada grupo porque
existem peças que estão
trocadas entre os quatro
grupos. O objetivo é que
eles percebam que só
realizarão a tarefa se
trocarem peças com os
demais grupos. Observe
se os grupos se ajudam
mutuamente, para o
sucesso da empreitada.
A tarefa só estará
cumprida quando
perceberem que é
possível montar um
único quadrado a partir
da produção dos quatro
7
Fonte: Adaptado de ANTUNES, Celso, Manual de técnicas de dinâmica de grupo de sensibilização de ludopedagogia, Petrópolis, Vozes,
6ª ed., 1993, p. 97.

27
grupos. Se necessário,
faça intervenções até
que os alunos
reconheçam a
orientação inicial: abrir
os envelopes e montar
um quadrado.
AULA 3
Nesta aula, os alunos têm um primeiro contato com o
micro, seu funcionamento, uso e cuidados.
1º passo
Os alunos iniciam a exploração do software
Introdução ao Micro.
Professor, o tempo
previsto para esta
atividade é de apenas
uma aula. É provável
que não seja possível
esgotar todas as
atividades nesse tempo.
Dessa forma, o software
ficará disponível como
atividade complementar,
para aqueles alunos que
tiverem interesse em
explorá-lo mais.
AULA 4 e 5
1º passo
Os alunos se organizam em grupos de 3, para discutir
sobre o projeto Números em Ação a respeito de:
1.expectativas comuns;
2.como gostariam de trabalhar no Projeto;
3.papéis de alunos e professores.
Para desenvolver essa atividade, inicialmente, os alunos
discutem e fazem um planejamento de apresentação no
caderno. Depois de pensada e organizada a proposta
será feita no PowerPoint.
2º passo
Os alunos mostram suas produções (apresentações).
Ao terminar essas aulas, os alunos devem fazer a
atividade do Termômetro para avaliar o grupo de
atividades desenvolvidas nas aulas de 1 a 5.
Professor, não havendo
recurso disponível como
o PCTV, utilize o rodízio
como estratégia para a
apresentação.

28
TEXTO COMPLEMENTAR II
A avaliação diagnóstica
Propósito
O propósito da avaliação diagnóstica é determinar as competências já
construídas pelos alunos das 5ªs e 6ªs séries, ao longo de sua escolarização,
sobre Sistema de Numeração Decimal e Cálculos. Propõe-se que esta avaliação
seja feita por meio do uso individual do software Avaliação Eletrônica cujas
características e funcionamento estão descritos a seguir.
Características das questões que comporão a avaliação diagnóstica
As questões que comporão a avaliação foram construídas com base na
adaptação dos descritores do SAEB e do SARESP. Foram concebidos e
formulados como uma associação entre os conteúdos curriculares e as
operações mentais desenvolvidas pelos alunos. São eles:
D1 – Reconhecer e utilizar características do SND, tais como: agrupamentos e
trocas na base 10 e princípio do valor posicional.
D2 – Resolver situações-problema que envolvam os significados das diferentes
operações, com números naturais e racionais, apresentados inclusive por textos
que incluam esquemas, listas, tabelas ou gráficos.
D3 – Utilizar procedimentos de cálculo mental exato ou aproximado, estimado ou
não, por meio de estratégias pessoais.
Os descritores selecionados são aqueles que dizem respeito a alguns conteúdos
conceituais e procedimentais que serão trabalhados no Projeto Números em
Ação, a saber:
• Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do SND;
• os números naturais e seu uso social;
• os números racionais e sua representação decimal (a partir de seus
diferentes usos sociais: medidas de valor, comprimento, massa, capacidade);
• significado das operações fundamentais;
• leitura e interpretação de informações apresentadas em gráficos e tabelas;
• decisão sobre o uso de um tipo específico de cálculo (mental, escrito, com
calculadora), exato ou aproximado, em função da situação problema
apresentada
As avaliações A e B contêm, cada uma, 15 questões “espelhadas” ou
“equivalentes”. Isso significa que, para cada questão da avaliação A, existe uma
equivalente na avaliação B, que trabalha o mesmo conteúdo, por meio de uma
situação-problema que é praticamente a mesma e que pode ser resolvida
usando-se raciocínio semelhante ao da questão-espelho.

29
Essa estratégia permite que a avaliação seja aplicada em dois momentos
distintos, sendo um para cada metade da turma, com duração de 100 minutos,
garantindo assim seu caráter individual.
No ANEXO 2, estão descritas as 30 questões elaboradas para a avaliação
diagnóstica acompanhadas dos descritores correspondentes e das mensagens de
acerto e de erro. A resposta correta de cada questão está destacada em negrito
e em itálico.
Descrição do Software
Número de participantes: 1
Propósito
Determinar as competências já construídas pelos alunos das 5ª e 6ª séries sobre
Sistema de Numeração Decimal e Cálculos.
Componentes do software
O programa é composto por quatro módulos, a saber:
Cadastro de questões: aplicativo no qual as questões que comporão as
avaliações são cadastradas e editadas.
Avaliações e Relatórios: programa que permite criar avaliações,
definindo suas propriedades – quantidade e seleção de questões. É
também nesse módulo que são gerados os relatórios de desempenho
do aluno.
Importante!
O campo Tempo, existente nesse módulo, determina a duração da
avaliação. Se não for necessário delimitar o tempo para a realização da
avaliação, basta deixar esse campo em branco ou digitar 00:00.
Cadastro de alunos: este aplicativo possibilita cadastrar a escola e os
alunos que farão as avaliações.
Programa Avaliação Eletrônica: é o software propriamente dito, no
qual os alunos realizarão as avaliações. Antes de ser executado, é
necessário que todos os cadastros (avaliação, aluno, questões) tenham
sido feitos.
Quando o software é instalado na opção Servidor, cria-se, no Menu Iniciar –
Programas, a pasta Avaliação Eletrônica, com atalhos para os 4 módulos. Na
opção Estação, é criado apenas o atalho para a Avaliação Eletrônica.
Os módulos de cadastro são protegidos por senha (a mesma para todos), a fim
de que somente o professor e/ou o administrador do sistema tenha acesso a
eles. A senha inicial é escola e precisa ser digitada com todas as letras
minúsculas. Para alterá-la, basta acessar o módulo Avaliações e Relatórios e
selecionar o menu Senha do Administrador. Será, então, aberta uma tela para
confirmação da senha atual e cadastro da nova senha.

30
Para o uso no projeto Números em Ação, não será necessário fazer cadastro de
escola e alunos, pois esses dados serão obtidos do Cadastro Único. Além disso,
as avaliações A e B, propostas nas aulas 6, 7, 8 e 9, bem como suas questões, já
estão cadastradas. Dessa forma, não será preciso utilizar nenhum dos módulos
de cadastro antes de usar o software Avaliação Eletrônica.
Início da avaliação
Nas aulas 5 e 6, propõe-se que metade dos alunos realize a Avaliação A e, nas
aulas 7 e 8, que a outra metade realize a Avaliação B. Sendo assim, de acordo
com a aula em questão, o professor deverá orientar os alunos a resolverem a
avaliação A ou a B.
Ao iniciar o programa, os dados do aluno (escola, nome e RA) serão exibidos na
tela. Bastará que o aluno selecione uma das duas avaliações disponíveis (A ou
B), seguindo a orientação do professor.
O professor/administrador do sistema deverá, então, conferir os dados do aluno
(prova selecionada, escola, nome e RA). Se estiverem corretos, digitará sua
senha (a mesma utilizada nos módulos de cadastro da avaliação eletrônica), para
que o aluno possa iniciar a avaliação.
Questões
Apesar de todas as avaliações de mesmo tipo (A ou B) serem compostas pelas
mesmas questões, a ordem em que elas são propostas para o aluno é definida
de forma aleatória. Assim, as questões da avaliação A de um aluno não estarão
organizadas necessariamente na mesma ordem da avaliação A de outro.
Resolução da avaliação
Durante a resolução da avaliação, o aluno poderá navegar livremente pelas
questões, respondendo-as na ordem que desejar. Poderá, inclusive, repensar
suas respostas e alterá-las, caso seja necessário.
O programa só armazenará as respostas do aluno quando ele finalizar a
avaliação.
Gráfico de desempenho
Ao final da avaliação, exibe-se uma tela de desempenho, contendo o nome do
aluno, a quantidade de questões respondidas (correta/incorretamente) e não
respondidas e um gráfico da porcentagem de acertos e erros, em formato pizza.
Esse é o único retorno que o programa fornece para o aluno.
Término da avaliação
A avaliação eletrônica poderá ser finalizada de duas maneiras:
• Quando o botão Terminar for selecionado: nesse caso, o gabarito do aluno é
gravado na base de dados do programa e considerado nos relatórios gerados.
O aluno só poderá resolver novamente a mesma avaliação se for autorizado
pelo professor/administrador do sistema. Nesse caso, os dados da nova
avaliação substituirão os da antiga na geração dos relatórios, apesar de
ambos ficarem armazenados na base de dados do programa.

31
Quando o aluno clica no botão Terminar, o programa solicita que o professor
digite sua senha, validando o término da avaliação. Ou seja, uma avaliação só
pode ser encerrada com a aprovação do professor.
• Quando o botão Desistir for selecionado: nesse caso, as questões que o
aluno já tiver resolvido não serão armazenadas no banco de dados e seu
desempenho não constará nos relatórios fornecidos pelo programa. O aluno
poderá resolver novamente uma avaliação da qual desistiu, mas, para isso,
precisará da autorização do professor/administrador do sistema.
Relatórios de desempenho
Os relatórios gerados pelo programa Avaliação Eletrônica só podem ser
acessados pelo professor/administrador do sistema, no módulo Avaliações e
Relatórios (protegido por senha).
Atualmente, os dados das avaliações realizadas pelos alunos geram relatórios
organizados da seguinte maneira:
• Por prova:
Por alunos: selecionando-se a avaliação, é possível saber quais alunos a
realizaram, em que data, quanto tempo demoraram para finalizá-la
quantos acertos e erros tiveram e visualizar um gráfico comparativo dos
acertos e erros dos alunos que concluíram a avaliação selecionada.
• Por aluno: avaliação completa e reduzida para impressão
Avaliação completa: selecionando-se a avaliação e o aluno, este relatório
apresenta todas as informações da avaliação realizada: data, horário,
tempo gasto, descrição detalhada de todas as questões – enunciado e
alternativas, alternativa correta, resposta do aluno, situação da resposta
(certa, errada, questão não respondida), mensagem de erro/acerto,
descritor. Ao final do relatório, é gerado um gráfico de acertos e erros do
aluno na avaliação.
Reduzida para impressão: este relatório apresenta, de forma resumida, as
mesmas informações da avaliação completa. A diferença é que as
questões são identificadas apenas por seus números (o enunciado e as
alternativas de respostas não são detalhados no relatório).
• Geral da escola:
Por alunos: considerando-se todas as avaliações propostas e todos os
alunos que as fizeram, é possível saber quantas avaliações cada aluno
realizou, o número e a porcentagem de questões certas e erradas e
visualizar um gráfico comparativo dos acertos e erros dos alunos (em
todas as avaliações).
Posteriormente, será enviado às escolas um aplicativo que possibilitará a criação
de outros dois tipos de relatório, mais sofisticados, a saber:
1. Por aluno
• Número e Percentual total de acertos (em 15 questões acertou)
• Número e percentual de acertos e de erros, por descritor

32
• Indicação de mensagem de acerto e de erro por questão.
2. Por turma
• Percentual de acertos:
N = percentual de acertos
0 ≤ N ≤ 20
20 < N ≤ 40
40 < N ≤ 60
60 < N ≤ 80
80 < N ≤ 100
• Número e percentual de alunos com acertos em cada descritor
AULAS 6, 7, 8 e 9
Aplicação da avaliação nos alunos do grupo do dia:
Avaliação A: aulas 6 e 7
Avaliação B: aulas 8 e 9
Ao final de cada grupo de aulas, copiar, de cada
máquina, o arquivo vestsim.mdb, que se encontra em
“C:Arquivos de programasInfo EducacionalAvaliação
Eletrônica”.
Se as máquinas do laboratório estiverem conectadas
em rede, basta copiar o arquivo de mesmo nome, que
se encontra no servidor, no mesmo local. Esses
arquivos serão necessários posteriormente, quando for
enviado à escola o aplicativo que possibilitará gerar os
dois relatórios de consolidação dos dados.
Professor, a turma
precisa ser dividida em
dois grupos. Garanta um
dia de aula geminada
para que cada grupo
faça a avaliação do dia
correspondente.

33
MÓDULO II – OS NÚMEROS ATRAVÉS DOS TEMPOS
TEMA
Contar e escrever quantidades faz parte da rotina das pessoas. Será que sempre
foi assim? As atividades propostas neste módulo permitirão refletir sobre os
processos de desenvolvimento dos sistemas de numeração ao longo da história
da humanidade.
Mas por que trabalhar com os sistemas de numeração antigos? As
representações matemáticas, das mais simples às mais elaboradas, são
resultado de um processo histórico complexo. Analisá-las, compará-las e
relacioná-las ajudarão os alunos a explicitar e entender as regras de formação e
as características do sistema decimal de notação numérica que utilizamos hoje,
e a compreender por que é ele o sistema mais eficiente já criado pelo homem
para representar grandes quantidades e fazer operações por escrito.
Outra razão diz respeito ao vínculo existente entre a aprendizagem das
operações e a aprendizagem do sistema de numeração decimal (SND). O valor
posicional é um recurso muito utilizado para fazer cálculos mentais. Por
exemplo: para calcular 37 + 48 é possível fazer 30 + 40 e depois 7 + 8. Por
outro lado, para se avançar no entendimento das regras de formação do sistema
de numeração, é preciso fazer operações como, por exemplo, entender que 25 é
um número que pode ser representado pela operação 15 + 10. Assim, ao se
trabalhar o SND, o aluno avançará no entendimento das operações, da mesma
maneira que avançará no entendimento do SND ao trabalhar com as operações.
RECURSOS UTILIZADOS
Equipamentos
Computador
Software e Aplicativos
Números em Ação
Word
Paint Brush
PowerPoint
Outros materiais
Livros
Para pesquisa do professor sobre sistemas de numeração e numeração
indo-arábica
Os números: A história de uma grande invenção. Georges Ifrah. São Paulo:
Globo, 1985
Sistemas de numeração ao longo da história, Edwaldo Bianchini e Herval Paccola.
São Paulo: Moderna, 1997
A numeração indo-arábica. Luís Márcio Imenes. São Paulo: Scipione, 1993.
Atividades e jogos com números Marion Smoothey. Série Investigação
Matemática. São Paulo: Scipione, 1998.

34
Números - problemas, jogos e enigmas. David L. Stienecker. São Paulo:
Moderna, 1998.
No ambiente virtual
Vídeo
História dos números: das pedrinhas ao computador
Aula Multimídia Alterável
Sistema de numeração romano
Sistema de numeração egípcio
Sistema de numeração maia
Sites na Internet
Para uso do professor sobre sistemas de numeração
http://educar.sc.usp.br/matematica/l2t8.htm
http://www.inf.ufsc.br/ine5365/sistnum.html
http://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/histomatica/histoari.html
http://pagpessoais.iol.pt/fornelos/matematica/BentoF/HFMbentofernandes.htm
http://www.mathema.com.br
Sobre jogos, para as atividades complementares
http://www.monica.com.br/diversao/games/senha/welcome.htm
http://sagres.mct.pucrs.br/museuvirtual/Jogos/jogos.html
http://www.jogos.antigos.nom.br/apres.asp
http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/index_ca.htm
OBJETIVOS DE ENSINO
• Propiciar um ambiente rico em atividades significativas, desafios e
recursos tecnológicos que estimulem e favoreçam a aprendizagem do
sistema de numeração decimal.
• Criar oportunidades do conhecimento de outras culturas, por meio do
estudo dos sistemas de numeração criados pelo homem ao longo de sua
história.
• Orientar o aluno a buscar soluções de problemas de forma crítica, criativa
e cooperativa.
• Incentivar o uso da tecnologia, propiciando a familiaridade com aplicativos
e softwares educacionais.
• Estabelecer relações de semelhanças e diferenças entre as regras que
organizam os diferentes sistemas de numeração criados pelo homem e o
sistema de numeração decimal.
• Reconhecer a posicionalidade como característica fundamental do sistema
de numeração decimal ao transformar notações numéricas convencionais.

35
CONTEÚDOS
Conceituais
• Os sistemas de notação numérica ao longo da história da humanidade:
características, usos e relações com o sistema notacional decimal.
• Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do SND.
• Notações numéricas convencionais.
Procedimentais
• Uso da escrita como instrumento de reflexão e/ou de representação.
• Elaboração de registros relativos às produções e às gravação dos mesmos
com uso do Word e do PowerPoint.
Atitudinais
• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e da
troca de pontos de vista/idéias como fontes de aprendizagem.
• Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos (vídeos e
animações) como fontes de informação importantes para a aprendizagem.
• Disposição em seguir as orientações dadas, objetivando o uso adequado
do software.
TEXTO COMPLEMENTAR III
A APRENDIZAGEM E O ENSINO DA MATEMÁTICA – ABORDAGENS ATUAIS
2ª PARTE
Conferência proferida por Delia Lerner durante o 6º. Encontro Nacional de
Intercâmbio e Atualização Educacional, organizado por
"Novedades Educativas" - Argentina.
Tradução livre: Daisy Moraes
Devemos trabalhar muito para chegar a instaurar um clima no qual as crianças
aceitem que, durante um certo tempo, serão elas as responsáveis pela
construção de conhecimento, claro que com a ajuda e com o apoio permanente
do professor. E chegará outro momento (isso também é função essencial do
docente) no qual o professor ratificará essa construção, completará, ajudará a
estabelecer aquilo que as crianças não tenham podido estabelecer por si
mesmas.
Gostaria de exemplificar com uma situação na qual esse clima já está bastante
solidificado e que, de alguma maneira, demonstra algumas intervenções do
docente para continuar devolvendo o problema no decorrer da situação didática e
não somente na proposta inicial da situação.
No trabalho que Patricia Sadovsky e eu estamos realizando, com a colaboração
de Susana Wolman, procuramos fazer com que as crianças cheguem a

36
compreender o sistema de numeração – em particular o valor posicional do
sistema – no âmbito de uma proposta que não toma como ponto de partida a
revelação da verdade, isto é, que não toma como ponto de partida o docente
ensinar dezenas e centenas e que façam agrupamentos explicitando que o valor
relativo dos números tem a ver com o lugar que ocupam, porque isso representa
diferentes agrupamentos, mas que toma como ponto de partida as concepções
das crianças e gera situações didáticas que tornam possível a interação com o
sistema, a produção e a interpretação de números, o vínculo entre o sistema de
numeração e as operações matemáticas.
Em uma atividade de segunda série, propusemos uma situação na qual
ditávamos um número e pedíamos às crianças que fizessem transformações na
calculadora. Por exemplo, para que 6.275 se transformasse em 6.075; para que
7.403 se transformasse em 7.003. Essa atividade foi bem interessante, porque
as crianças trabalharam bastante por tentativa e erro. Por exemplo, diante de
9.354 para que fosse produzido 9.054, primeiro sobraram três, depois sobraram
30 e depois, 300. A vantagem dessa situação é que ela é auto-verificadora, pois
como eles sabem que têm de obter um resultado na calculadora, sabem também
se a operação que fizeram está correta ou não, na medida em que lhes permite
ou não obter o resultado. O fato de gerar situações nas quais as próprias
crianças possam ver se o que estão fazendo está certo ou não, é crucial para
conseguir devolver o problema. Se toda atividade das crianças depende sempre
de que seja o professor que avalie o que está certo ou errado, perde-se
completamente a possibilidade de que sejam as crianças as responsáveis pelo
problema.
Em alguns casos, como neste, consegue-se que a própria situação permita que
as crianças verifiquem a correção ou não daquilo que estão fazendo. Em outros
casos é o professor que deve expor sua opinião depois, e ser aquele que tem de
continuar devolvendo o problema sem avaliar, para ir buscando outras maneiras
de validação, como, por exemplo, social por consenso entre as crianças.
Na situação que contava a vocês, eles discutiram algumas coisas: por que
haviam sobrado primeiro três e, depois, trinta? Como poderiam saber, antes, o
que deveria sobrar, sem fazer tantas tentativas? Algumas crianças encontraram
respostas que passaram pela denominação oral dos números. Patrício disse:
"Porque é 268; se quero que me apareça um zero no lugar do dois, tem de
sobrar duzentos, porque não estou dizendo 9.200? Não estou dizendo nem 20
nem 2. Então, o que deve ser tirado é duzentos."
As explicações eram basicamente essas.
Em seguida, realizamos outra situação com calculadora e propusemos a mesma
coisa, mas com números como 4.444, isto é, com números que fizessem com
que os alunos percebessem a diferença entre o que deveria sobrar conforme o
zero estivesse colocado no quatro de quarenta, no quatro de quatrocentos ou no
de quatro mil.
Estávamos procurando que eles conseguissem conceituar como faziam para
antecipar o que deveria sobrar. Essa antecipação estava vinculada ao valor
posicional do número que deveria sobrar, e procurava-se fazer com que as
crianças tivessem consciência disso.
Em seguida, propusemos outra situação em que pedíamos a eles que somassem

37
números redondos, encontrando a maneira mais rápida de fazê-lo.
Alguns exemplos das somas:
4.000+20+600+2
90+500+7.000
100+2+5.000
Uma vez que, individualmente, todas as crianças haviam resolvido as somas e
refletido sobre a maneira mais rápida de encontrar o resultado, começamos a
discutir. Todas as crianças estavam de acordo: para fazê-lo rapidamente, ele
deveria ser ordenado. Deveriam pôr primeiro os números maiores de cada soma,
ordenando do maior para o menor.
Observamos como procuramos devolver-lhes o problema, para que pudessem
continuar pensando sobre essa questão, em lugar de fechar rapidamente a
discussão.
Estabelecido o acordo, Santiago diz: "Eu não somei, eu tirei os zeros”. Como fez
isso?, pergunta a professora. Então ele vai até a lousa e escreve
1.000+500+80+6, risca os três zeros do mil, os dois do quinhentos e o zero do
oitenta e coloca 1.586, mostrando que o que fez foi pegar o primeiro número de
cada caso.
A professora diz:
É a mesma coisa se eu fizer isso: 500+1.000+80+6?
Então, tiro os zeros e fica assim: 5.186. A professora vai outra vez à lousa e diz:
Se eu escrevo 8+6+3+4, também sobra 8.634?"
Santiago: "Não, tem de haver zeros, se não, não serve."
Digo: "Então esta deve servir". Escrevo na lousa: 10+50+80+60=1.586.
As crianças gritam: "Não!"
"Mas tem zeros", digo.
Santiago diz que tem de haver mais zeros.
As crianças ficam muito desconcertadas, olhando e pensando. Então nós lhes
dizemos: "Santiago disse que não somou, mas tirou os zeros".
(As outras, sim, somaram, porque a maioria delas diante dessa situação havia
pensado o seguinte):
1.000+500 é: 1.000+ 100= 1.100
1.100+100=1.200 1.200+ 100= 1.300
1.300+100=1.400 1. 400+ 100= 1.500
e, depois
1.500+80 é:
1.500+10=1.510
1.510+10=1.520 '"

38
até chegar a:
1.570+ 10= 1.580
A maioria havia realmente somado todas as vezes, fazendo isso de 100 em 100
ou de 10 em 10, salvo quando somaram as unidades, logicamente).
Isso somente aconteceu nesse caso ou poderia acontecer em outros? As crianças
dizem que sim, que acontece em outros casos e dão os mesmos exemplos que
eles haviam resolvido antes.
A professora diz que devem, então, procurar descobrir quando os dois métodos –
somar e tirar os zeros – dão o mesmo resultado e quando não dão. Esse
problema fica para a próxima aula. Mas as crianças não querem sair para o
recreio e continuam olhando seus cálculos até que uma criança grita: "Não é a
mesma coisa quando tem um zero e o resultado”.
Então, ela coloca na lousa 5.000+80+4 e diz: "Se eu somo, isso dá 5.084, mas
se uso o método de Santiago, isto é, tirar zeros, dá 584".
Outras crianças mostram outros casos em que acontece a mesma coisa: existem
zeros no resultado, então, não funciona a equivalência dos dois métodos; não se
pode tirar os zeros para obter o resultado. Digo a eles: "Ótimo, acho que essa
regra funciona. Mas não entendo muito bem para que me serve saber que posso
usar o método de tirar os zeros quando existe zero no resultado e não quando
não existe zero, porque se quero usar esse método que é mais rápido, o
interessante é usá-lo quando ainda não sei o resultado. Se tenho de somar da
mesma maneira, primeiro para saber se tem ou não zero, para que isso me
serve? Esse problema fica proposto para a próxima aula". Mas as crianças não
querem esperar.
Santiago continua olhando as contas e depois de alguns minutos diz: "Já sei.
Para que funcione tem de haver nos dados um de três zeros, outro de dois zeros,
outro de um zero e outro de nenhum zero, se não, não funciona".
A professora diz que ele está no caminho certo. Bruno diz: "Ah! Mas se for assim,
esse método não serve para nada. Quantas vezes você vai ter um que tenha três
zeros, dois zeros, um zero e nenhum zero”?
A professora acrescenta: "Bruno diz que somente funciona para esse caso, então
não vale a pena, porque nem sempre encontraremos contas iguais a esta.
Contudo, se descobrirmos porque funciona nesse caso e não nos outros, então
vamos encontrar uma maneira que funcione em muitos casos. Pensem um
pouco. E agora, sim: isso fica para a próxima aula”.
Na aula seguinte, as crianças trazem algumas conclusões.
Estão discutindo sobre o 1.000+500+80+3 e Francisco diz: "Isso somente
funciona se antes de fazer isso a gente põe em ordem".
Pablo diz: "Se você começa pelo três, que é o menor, fica mais difícil de fazer,
mas você pode fazer assim mesmo".
Pablo coloca um exemplo 8.000+80 e diz: "Aqui tenho de colocar um oito aqui e
aqui" e mostra o lugar dos 1.000 e dos 10: "somente assim tenho o resultado

39
8.080. Se tiro os zeros, dá 8+8=16. Não pode ser assim".
Aqui começa a aparecer a idéia a que devem prestar atenção: são 1.000 ou
100. Santiago diz: "Estes números não. Tenho de ter 1.000, posso ter cem, ou
oitenta e o três". (Continua insistindo na sua posição)
Então pergunto por que está escolhendo esses números e ele diz:
"Escolho qualquer tipo de números."
"Ah, sim? Quais requisitos eles devem cumprir, Santiago?”.
"Sempre têm de ter um zero a menos e no final um número que não tenha
zero”.
"Espera um pouco" - diz a professora e escreve na lousa: 1.000+100+80+0,
"porque seu colega estava dizendo que poderia ter um zero no final".
"Ah, sim, pode ter um zero no final", diz Santiago.
"Claro, isso dá 1.180 e está certo", diz Patrício.
"Alguém entendeu"? , pergunta Santiago.
"Estou percebendo algo (diz a professora), mas não vou dizer”.- "Os zeros vão
diminuindo", diz Patrício.
“Não - diz uma criança - preste atenção que 80 e o 0 têm somente um zero."
"Estes têm três zeros; o 100 tem um zero a menos."
Diz Sol: "Por que será que Delia colocou um zero em vez de colocar um três?"
A discussão prossegue. Continuam planejando outras atividades até que se
consiga que as crianças elaborem uma conclusão: o que podemos fazer quando
temos números redondos é considerar diretamente, para elaborar o resultado,
qual é o número que irá ao lugar dos dez, dos cem ou dos mil, conforme o valor
representado na soma original.
Sem dúvida alguma, teria sido mais fácil revelar a verdade logo no início. Esse
processo durou quatro aulas, mas possibilitou às crianças chegarem à conclusão
que fez com que avançássemos muito na compreensão do valor posicional e seu
vínculo com as operações de soma e resto.

40
AULA 10
Nesta aula, os alunos usarão o vídeo História dos
números: das pedrinhas ao computador
8
que
está no CD de recursos. O trabalho com o vídeo tem
por objetivo iniciar os alunos no estudo dos antigos
sistemas de numeração, estudo necessário à
construção do empreendimento final que é a
elaboração de um novo sistema de numeração.
1º passo
Os alunos assistem ao vídeo História dos números:
das pedrinhas ao computador.
2º passo
De acordo com a estratégia utilizada, os alunos
apresentam e discutem as informações obtidas.
Professor, é importante
reforçar para os alunos que o
objetivo de cada aula que
trata de sistemas de
numeração, é que entendam
as regras de formação de cada
um desses sistemas. A partir
delas, poderão construir um
novo sistema de numeração,
que tenha novos símbolos e
novas regras de associação.
Professor, leve seus alunos a
explorar as informações
relativas a sistemas de
numeração contidas no vídeo.
Para isso, você pode criar
estratégias que considere
interessantes ou utilizar uma
das duas sugestões seguintes:
• Orientar os alunos que
façam anotações, no
caderno, sobre as
informações que acharam
mais relevantes e as
organizem no DOC para
salvá-las.
• Pedir aos alunos que se
dividam em grupos. Cada
grupo se encarrega de fazer
anotações, no caderno,
específicas dos diferentes
sistemas apresentados:
base 2, base 10, base 60,
numeração romana. Em
seguida, organizam as
informações no DOC para
salvá-las.
AULA 11
As aulas 11, 12 e 13 têm por objetivo relacionar as
regras e as características de três sistemas de
numeração antigos, determinando os princípios de
sua formação como referência para a elaboração de
um novo sistema de numeração (ativ. da aula 14)
Geral
Professor, incentive os alunos
a realizar as atividades
propostas, para que concluam
que nos sistemas de
numeração não basta
conhecer apenas os símbolos.
É necessário saber também as
regras de associação.
8
TV-Escola: Série Invenções e descobertas; Direção: Marie Annick Lê Guern; Duração:5’15”

41
1º passo
Os alunos resolvem as atividades propostas na aula
multimídia Sistema de Numeração Romano e
conhecem um pouco mais sobre as suas
características.
Professor, os alunos podem
navegar livremente pela aula
multimídia, para consultar os
valores dos símbolos e as
regras de associação, ao
resolver a atividade. A solução
do problema pode ser
apresentada aos alunos
clicando na tecla PgUp (Page
Up).
AULA 12
1º passo
multimídia Sistema de Numeração Egípcio e
conhecem um pouco mais sobre as características
desse sistema.
2º passo
Os alunos fazem um ditado de números que devem
ser escritos no sistema de numeração egípcio,
alternando a função de desafiador.
1º passo
Professor, oriente os alunos
para que encontrem
semelhanças e diferenças
entre o sistema de numeração
egípcio e o nosso, a fim de que
possam determinar os valores
de cada um dos símbolos
usados do sistema egípcio.
2º passo
Professor, lembre aos alunos
que eles podem consultar a
tabela dos símbolos egípcios
durante toda a atividade do
ditado. É importante chamar a
atenção de que quem propõe o
desafio deve saber resolvê-lo.
AULA 13
1º passo
multimídia Sistema de Numeração Maia e
conhecem um pouco mais sobre as características
desse sistema.
Geral
Professor, é importante
orientar os alunos para que
explicitem as semelhanças e
as diferenças entre os
sistemas de notação numérica,
principalmente em relação ao
sistema decimal, o que é
essencial para que
determinem os princípios do
sistema que criarão.
1º passo
Professor, incentive os alunos
a analisar a escrita dos
números que são
apresentados. A discussão
com o colega é fundamental

42
2º passo
Promover uma discussão sobre as informações que
obtiveram ao fazer a aula multimídia.
para que possam entender as
formas de representação no
sistema maia.
Professor, a base só é
vigesimal até o número 360. A
partir daí, os maias contavam
por ciclos de 360. O interesse
da contagem estava voltado
para o calendário que dividia o
ano em 18 meses de 20 dias,
num total de 360 dias. Para
maiores informações, leia as
informações das p. 654 a 667
do livro História universal dos
algarismos ,de Georges Ifrah,
tomo 1, Editora Nova
Fronteira.
2º passo
Professor, esse é um sistema
de numeração que envolve
regras bem diferentes das que
foram trabalhadas até aqui.
Sua ajuda será de grande
importância para que os
alunos se interessem em
conhecê-las e entendê-las.
Professor, a solução do
problema pode ser
apresentada aos alunos,
clicando em qualquer lugar da
tela e depois na tecla
Ins.(Insert).
AULAS 14 e 15
Geral
Professor, você pode encontrar
informações complementares
sobre sistemas de numeração
e numeração indo-arábica nos
sites:
http://www.inf.ufsc.br/ine5365/si
stnum.html
http://users.hotlink.com.br/mariel
li/matematica/histomatica/histoari
.html
http://pagpessoais.iol.pt/fornelos/
matematica/BentoF/HFMbentofern
andes.htm

43
1º passo
A partir das informações coletadas no vídeo e nas
aulas multimídia sobre os sistemas de numeração,
elaborar, com os alunos, um quadro comparativo que
explicite as semelhanças e diferenças desses
sistemas. Uma sugestão de quadro é:
Sistema
que
usamos
Sistema
Romano
Sistema
Egípcio
Sistema
Maia
Quantos e quais
símbolos
possuem
Base: de quanto
em quanto
conta-se
Princípios:
regras de
associação dos
símbolos
http://www.matematicasociety
.hpg.ig.com.br/sistema_de_nu
meracao.htm
http://educar.sc.usp.br/mate
matica/l2t8.htm
http://pessoal.sercomtel.com.
br/matematica/fundam/numer
os/numeros.htm
http://www.unifebe.edu.br/ter
esabotelho/digital/Sistnumera.
html
Livros:
"Os números: a história de
uma grande invenção",
Georges Ifrah. São Paulo:
Globo, 1985.
“Sistemas de numeração ao
longo da história”, Edwaldo
Bianchini e Herval Paccola.
São Paulo: Moderna, 1997.
“A numeração indo-arábica”
Luis Márcio Imenes. São
Paulo: Scipione, 1993.
“Atividades e jogos com
números” Marion Smoothey.
Série Investigação
Matemática. São Paulo:
Scipione, 1998.
“Números, problemas, jogos e
enigmas”, David L.
Stienecker. São Paulo:
Moderna, 1998.
1º passo
Professor, suas interferências
no momento da discussão são
importantes para que os alunos
criem um sistema de
numeração realmente novo.
Lembre-se de que a mera
substituição de símbolos não
constitui um novo sistema. É
necessário que os alunos
elaborem novas regras de
associação dos símbolos.
Os alunos podem fazer a
tabela utilizando o caderno,
em cartazes ou usando o DOC
(Word) ou PPT (PowerPoint).

44
A discussão pode ser encaminhada a partir da
questão:
- Para criar um novo sistema é suficiente criar
símbolos?
2º passo
Os alunos iniciam o trabalho de criação de um novo
sistema de numeração, utilizando Paint Brush ou
PowerPoint.
3º passo
Cada dupla apresenta seu trabalho, para análise e
validação dos sistemas de numeração criados.
Ao terminar essas aulas, os alunos devem fazer a
atividade do Termômetro para avaliar o grupo de
atividades desenvolvidas nas aulas de 10 a 15.
3º passo
Professor, faça com que os
alunos analisem a eficiência
dos sistemas de numeração
criados.

45
MÓDULO III – DESAFIO DOS NÚMEROS
TEMA
O cálculo é parte integrante da história do pensamento humano e não é possível
fazer matemática sem ele. É necessário, então, repensar a forma de trabalhá-lo
na sala de aula. Acreditamos que não é suficiente pensar que calcular é fazer
contas com lápis e papel, já que existem formas mais significativas de se
desenvolver esse trabalho com os alunos. O cálculo mental e o uso de
calculadoras têm papel importante no desenvolvimento da competência de
cálculo dos alunos.
Fazer um cálculo mental significa efetuá-lo sem o apoio das contas
convencionais. Seu suporte está nas propriedades das operações e do
entendimento do valor posicional dos algarismos que formam os números.
Exemplificando: se tenho de adicionar 12 com 14 com 16 e com 19, posso
começar adicionando o 14 com o 16, encontrando o 30 para depois juntar o 19 e
depois o 12. Aqui, as propriedades comutativa e associativa são usadas como
recurso de cálculo. Já no caso de multiplicar 5 por 17, posso fazê-lo
multiplicando o 10 por 5 e depois o 7 por 5, ou seja, o valor posicional foi
importante para encontrar mentalmente o resultado.
Um aspecto importante para o desenvolvimento das aulas de cálculo mental é a
explicação, por parte dos alunos, de como pensaram. As estratégias devem ser
confrontadas e analisadas, para que as mais eficazes sejam determinadas. É
importante ressaltar que o cálculo mental exige experiência e por isso deve ser,
permanentemente, proposto em sala de aula.
O uso da calculadora na escola está deixando de ser um mito. As atividades
propostas desafiam os alunos a raciocinar de maneiras diversas, a investigar
matematicamente a situação-problema e a elaborar estratégias inusitadas e
diversificadas. A calculadora é utilizada como instrumento didático de reflexão e
de controle da aprendizagem. Uma de suas principais qualidades é a rapidez e a
facilidade com que se podem obter uma grande variedade de estratégias. Desta
maneira, os alunos terão em mãos um potente instrumento para fazer
conjecturas, verificar sua correção e fazer as modificações necessárias.
Calcular por escrito, armando as contas convencionalmente, é o ponto de
chegada do trabalho com cálculo e não o ponto de partida. Sabe-se que quando
o aluno se sente liberado de operar convencionalmente, sua atenção volta-se
para o raciocínio. As técnicas operatórias são importantes, apesar de serem a
repetição automática de ações que levam a um resultado esperado. Não devem
ser consideradas como o único recurso que se dispõe para que os alunos
aprendam a operar. Saber armar a conta no papel e resolvê-la não significa,
necessariamente, que se sabe subtrair, por exemplo.
É importante que os alunos representem seus cálculos de maneira livre e
discutam essas representações, para que possam se apropriar, com
compreensão e gradativamente, da técnica operatória convencional.

Apostila numeros 28.03.05

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