2. Funciones proposicionales
Consideramos una función proposicional (A, P(x)) con dominio un conjunto A. Al
reemplazar la variable x de p(x) por elementos de A obtenemos proposiciones verdaderas o
falsas. Nos preguntamos ¿para cuántos elementos de A, P(x) es verdadera?. Como posible
respuestas tenemos:
Para todos los elementos de A.
Para algunos elementos de A.
Para ningún elemento de A.
Los términos todos, algunos, un solo y ninguno, por indicar cantidad, son llamados
cuantificadores. De estos, los fundamentales son todos, algunos y, como caso particular de
este último, un único.
Así, podemos decir que una función proposicional está constituida por los siguientes
elementos:
P(x): que es una proposición abierta que contiene la variable x.
A : que es un conjunto llamado dominio o universo del discurso.
Denotaremos a una función proposicional con dominio A y proposición abierta P(x)
como (A, P(x)). Los elementos de A que hacen a P(x) verdadera forman el conjunto
llamado dominio de verdad de la función proposicional.
Cuantificadores universales
El cuantificador todo se llama cuantificador universal y se le denota con el símbolo que es una A
invertida (de "all" palabra inglesa para "todos").
Al cuantificar a la función proposicional P(x) mediante el cuantificador universal obtenemos la
proposición:
Para todo elemento x de A, P(x), que se simboliza del modo siguiente:
3. ( xA) ( P(x) )....................................................... (1)
A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones universales.
Otras maneras de leer la proposición (1), son las siguientes:
a. Para cada x en A, P(x)
b. Cualquiera que sea x en A, p(x)
c. P(x), para cada x en A
d. P(x), para todo x en A
Con mucha frecuencia, cuando el dominio A de P(x) está sobreentendido, la proposición (1) la
escribimos simplemente así: ( x) ( p(x) )
La proposición ( x A) ( P(x) ) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera para todo elemento
x de A; esto es, si y sólo si el dominio de verdad P(x) coincide con A.
Ejemplo
Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:
a. Todo hombre es mortal.
b. Cada número natural es menor que.
Solución
Considerar la siguiente función proposicional:
M(x) : x es mortal.
Con dominio el conjunto S formado todos los seres humanos.
La proposición a se escribe simbólicamente así:
(x S) (M(x)).
Esta proposición es verdadera.
4. a. La proposición b se escribe simbólicamente así:
( n N) (n > 1)
Esta proposición es falsa, ya que para el número natural n=1 no es cierto que 1>1.
Cuantificador existencial
El Cuantificador: Existe al menos uno, se llama cuantificador existencial, y se le denota con el
símbolo , que es un E al revés.
A la Proposición: Existe al menos un x de A tal que P(x)
La escribiremos simbólicamente del modo siguiente:
( xÎ A) ( P(x)) (2)
A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones existenciales.
Otras maneras de leer la proposición (2) son:
a. Para algún x en A, P(x)
b. Existe un x en A tal que p(x)
c. P(x), para algún x en A
Si el dominio de la función proposicional está sobreentendido, a la proposición (2) la
escribiremos simplemente así:
($ x) ( P(x))
La proposición ($ x Î A) (P(x)) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera al menos para un x de
A. Esto es, si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es no vacío.
Ejemplo
Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:
a. Algunos hombres son genios.
b. Existe un número natural mayor que 1.
5. c. Existe un número real cuyo cuadrado es negativo.
Solución
Considerar la función proposicional:
a. G(x): x es un genio.
Con dominio el conjunto S formado por todos los seres humanos.
La proposición a, se simboliza así:
($ x Î S) ( G(x))
Esta proposición es verdadera.
b. La proposición b, se simboliza así:
($ n Î N) (n > 1)
y es verdadera.
c. La proposición c, se simboliza así:
($ x Î R) (x2 < 0)
Esta proposición es falsa, ya que el cuadrado de todo número real es no negativo.
Cuantificador existencialde unidad
Como un caso particular del cuantificador existencial "existe al menos uno" tenemos el
cuantificador existe un único o existe sólo uno, que lo llamaremos cuantificador existencial de
unicidad y lo simbolizaremos por !. Así la expresión:
( ! x A) ( P(x))....................................... (3)
Se leerá de cualquiera de las siguientes formas:
a. Existe un único x en A tal que P(x)
b. Existe un sólo x en A tal que P(x)
c. Existe uno y sólo un x en A tal que P(x)
6. d. P(x), para un único x en A
La proposición (3) es verdadera si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es un conjunto
unitario, esto es, si y sólo si P(x) es verdadero para un único x de A.
Ejemplo
Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:
a. Existe un único número natural que sumado con 3 da 10 .
b. Existe sólo un número real tal que su cuadrado es 16.
c. Existe un único número real tal que su cuadrado es - 4.
Solución
a. ! x N) ( 3 + x = 10 )
Verdadero: Sólo el número 7 cumple con 7 + 3 = 10
b. ( ! x R) (x2 = 16 )
Falsa: x= -4 y x= 4 cumplen con x2 = 16
c. ( ! x R) (x2 =- 4)
Falsa: no existe ningún número real cuyo cuadrado sea - 4.
Negaciónde cuantificadores
Las dos leyes de De Morgan nos proporcionan las relaciones entre la negación, la conjunción y la
disyunción. Como las proposiciones universales y existenciales son generalizaciones de la
conjunción y disyunción, respectivamente, es de esperar que las leyes de De Morgan también
tengan sus respectivas generalizaciones. Efectivamente así sucede con de De Morgan o reglas de la
negación de cuantificadores. Estas dicen lo siguiente:
1. ~ ((" x Î A) (P(x))) º ($ x Î A) (~ P(x))
2. ~ (($ x Î A) ( P(x))) º (" x Î A) (~ P(x))
Estas reglas nos dicen que para negar una proposición con cuantificadores se cambia el
cuantificador, de universal a existencial o viceversa, y se niega la proposición cuantificada.
7. Ejemplo
Usando las reglas de la negación de cuantificadores hallar la negación de las siguientes
proposiciones:
a. ($ n Î N) (n2 = n)
b. (" x Î R) (x > 2 ® x2 > 3)
Solución
a. ~ [($ n Î N) (n2 = n )] º (" n Î N) ~ ( n2 = n) (Negación de cuantificadores)
º (" n Î N) ( n2 ¹ n) (Negación de la función proposicional)
b. ~ [(" x Î R) (x > 2 ® x2 > 3)] º ($ x Î R) ~ (x > 2 ® x2 > 3)
º ($ x Î R) ~ (~ (x > 2) Ú (x2 >3) (L. del condicional)
º ($ x Î R) (x > 2) Ù (x2 £ 3) (L.de De Morgan)
Proposiciones con dos Cuantificadores
Podemos considerar funciones proposicionales de varias variables de la forma
(A,B,C,P(x,y,z)), pero en nuestro caso trabajaremos con funciones proposicionales de dos
variables, las cuales denotaremos por (A,B,P(x)) con dominio de x el conjunto A y dominio de y el
conjunto B. Así podemos obtener las siguientes proposiciones:
(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))º (" yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))
1. ($ xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y)) º ($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))
2. (" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))
3. (" yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))
4. ($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))
5. ($ yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))
8. Proposiciones como las anteriores son llamadas funciones proposicionales de dos
variables. De dichas proposiciones obtenemos el valor lógico, analizando el dominio de sus
variables y los cuantificadores que contiene.
Ejemplo Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones:
1. (" xÎ N)($ yÎ N) (y> x)
2. ($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)
3. (" xÎ R)($ yÎ R)(x+y = 0)
Solución
VL[(" xÎ N)($ yÎ N)(y> x)] = 1, ya que para cualquier x en N existe y = x+1 tal que y> x.
VL[($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)] = 0, no existe ningún número real que sumado con todo número
real sea igual a cero.
VL[(" xÎ R)($ yÎ R)(x+y = 0)] = 0, ya que dado un número real x existe y = -x tal que x+y=0.
Veamos ahora como podemos negar proposiciones con dos cuantificadores.
Negación de Proposiciones con dos Cuantificadores
~ [(" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)(" yÎ B)(~ P(x,y))
~ [(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))
~ [($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º (" xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))
~ [($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))] º (" yÎ B)(" xÎ A)(~ P(x,y))
Ejemplo
Negar la proposición ($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)
Solución
~ [($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)] º (" xÎ R)($ yÎ R)(~ (x+y = 0))
º (" xÎ R)($ yÎ R)(x+y ¹ 0))
10. La inferencia lógica es llamada también llamada LÓGICA INFERENCIAL. Es un proceso
que consiste en pasar de un conjunto de premisas a una conclusión, sin la necesidad de
elaborar tablas o cuadros muy extensos.
· Todo ejercicio o problema que se resuelve usando inferencia lógica, tiene la
forma:(p^q^r^s^………..^w)C
· Aquí: p; q; r; s; t; ..... ; w son llamadas premisas.
· Este conjunto de premisas originan como consecuencia otra proposición
“ C ” , llamada CONCLUSIÓN, la cual también se le llama ARGUMENTO
LÓGICO.
Ejemplo.
Si Maradona es un argentino es aficionado al futbol. Pero Maradona no es aficionado al
futbol. Por lo tanto, no es argentino.
Solución: (Se recomienda seguir los siguientes pasos para resolver una inferencia lógica)
1). Determinar todos las proposiciones y las simbolizamos. Sean las proposiciones:
P: Maradona es argentino;
Q: Maradona es aficionado al futbol.
2). Elaboramos el esquema molecular [(pq) ^(~q)] ~p
3) Identificamos a las premisas y al conclusión.
Premisas: (pq)
(~q)
Conclusión: (~p)
11. 4) Elaboramos y analizamos la tabla de la verdad del esquema molecular.
p q [(pq) ^ (~q)] ~p
V V V F F V F
V F F F V V F
F V V F F V V
F F V V V V V
5). Respuesta: como el resultado final es una tautología, la conjugación de premisas implica
la conclusión, por lo tanto la inferencia es válida.
