2. Lugar de las raíces
Los polos de lazo abierto de un sistema representan características
propias del mismo, no pueden ser modificados a menos que se modifique
el sistema o se agreguen otros elementos dinámicos.
3. Lugar de las raíces
Sistema de primer orden ante una entrada escalón:
Step Response
Respuesta
From: U(1)
1.2
1
To: Y(1)
Amplitude
7
s+5
1.4
1.4
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (sec.)
No
cambia
el
tiempo
de
respuesta, solo la
amplitud.
Step Response
5.6
5
To: Y(1)
4
Amplitude
4
7
s+5
From: U(1)
6
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (sec.)
Step Response
1.4
From: U(1)
1.4
1.2
To: Y(1)
0.7
Amplitude
1
s+2
7
s+5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
Time (sec.)
2
2.5
3
El tiempo de
respuesta cambia,
Solo agregando
otra dinámica.
4. Lugar de las raíces
Por otra parte
Los polos de lazo cerrado pueden ser fácilmente modificados sin alterar la
naturaleza del sistema.
¿Porqué modificar los polos de lazo cerrado
Las características de estabilidad de un sistema en lazo cerrado están
íntimamente ligadas con la ubicación de los polos de lazo cerrado
Entonces:
• Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de respuesta de
salida sin alterar su naturaleza.
• Sistemas inestables (estables) pueden llegar a ser estables (inestables)
utilizando realimentación y, en el caso más sencillo, modificando una simple
ganancia.
veamos un ejemplo…
5. Lugar de las raíces
Sea el sistema de lazo cerrado
R (s )
+
-
K
s ( s + 7)
B (s )
C (s )
En lazo cerrado
C ( s)
K
=
R ( s ) s ( s + 7) + K
La ecuación característica es
En lazo abierto
B( s)
K
=
E ( s ) s ( s + 7)
Polos de lazo abierto:
s = 0, s = −7
s 2 + 7s + K = 0
Las raíces de la ecuación característica
son los polos de lazo cerrado (p.l.c)
s12 = −3.5 ± 12.25 − K
y dependen del valor de K
6. Lugar de las raíces
Para diferentes valores de K:
polos de lazo cerrado
K
s = −6.98568
s = −0.014314
1
s = −6.8541
s = −0.1459
10
s = −5
s = −2
s = −3.5
s = −3.5 + j1.5
s = −3.5
s = −3.5 − j1.5
0.1
12.25
14.5
25
112.25
s = −3.5 + j 3.5707 s = −3.5 − j 3.5707
s = −3.5 + j10
s = −3.5 − j10
Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente
7. Lugar de las raíces
La ubicación de estas raíces en el plano s
K = 112.25
K = 0.1
Saltar grá
8. Lugar de las raíces
C ( s)
0.1
= 2
R ( s ) s + 7 s + 0.1
p.l.c
s1 = −6.98568 s2 = −0.014314
9. Lugar de las raíces
C ( s)
1
= 2
R( s) s + 7 s + 1
p.l.c
s1 = −6.8541
s2 = −0.01459
10. Lugar de las raíces
C ( s)
10
= 2
R ( s ) s + 7 s + 10
p.l.c
s1 = −5
s2 = −2
11. Lugar de las raíces
C ( s)
12.25
= 2
R ( s ) s + 7 s + 12.25
p.l.c
s1 = −3.5
s2 = −3.5
12. Lugar de las raíces
C ( s)
25
= 2
R ( s ) s + 7 s + 25
p.l.c s1 = −3.5 + j 3.5707 s2 = −3.5 − j 3.5707
13. Lugar de las raíces
C ( s)
112.25
= 2
R ( s ) s + 7 s + 112.25
p.l.c
s1 = −3.5 + j10
s2 = −3.5 − j10
14. Lugar de las raíces
Entonces si se evaluara para todos los valores positivos de K se obtendría El
lugar de las raíces de ese sistema en particular. Regresando al ejemplo:
Variando el valor de la
ganancia K, se tiene
acceso a cualquier
valor de polos de lazo
cerrado (región verdeazul).
Otro valor fuera de esa
región, no es posible
obtenerlo solamente
con el cambio de K
15. Lugar de las raíces
Definición:
El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de la
ecuación de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro
parámetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuación de lazo abierto
GH(s):
Condición de ángulo y magnitud
La ecuación característica
1 + G ( s) H ( s) = 0
G ( s ) H ( s ) = −1
por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ángulo:
Condición de magnitud
G(s) H (s) = 1
Condición de ángulo
∠G ( s ) H ( s) = 180° ± 360°k , k = 0,1,2,...
Todas las raíces del lugar de las raíces cumplen con la condición de ángulo y
magnitud.
16. Lugar de las raíces
Retomando el ejemplo anterior con
G(s) =
112.25
s ( s + 7)
p.l.c
K = 112.25
s1 = −3.5 + j10
s2 = −3.5 − j10
Condición de magnitud
p.l.c.
A2
jω
j10
A1
p.l.a
p.l.a
−7
p.l.c.
σ
− j10
K
G(s) =
=1
A1 A2
112.25
=1
s ( s + 7) s =−3.5+ j10
Cumple con la condición de magnitud
17. Lugar de las raíces
Condición de ángulo
p.l.c.
p.l.a θ 2
jω
j10
∠G ( s ) = θ1 + θ 2
θ1
σ
p.l.a
−7
p.l.c.
∠G (s ) = 180° ± 360°
− j10
lugar de las raíces
3.5
θ1 = 90° + tg −1 θ 2 = tg −1 10
10
3 .5
∠G (s ) = 180°
Cumple con la condición de ángulo
Cualquier otro polo de lazo cerrado dentro del lugar de las raíces cumple con
la condición de magnitud y de ángulo.
Cualquier otro polo de lazo cerrado fuera del lugar de las raíces no cumple
con la condición de magnitud ni de ángulo.
18. Lugar de las raíces
Reglas de construcción para el lugar de las raíces
Se expondrán las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las raíces de
K
G ( s) H ( s) =
s ( s + 4)( s + 5)
1.- Puntos de origen (k = 0)
Los puntos de origen del lugar de las raíces son los polos de GH(s). Los polos
incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
polos finitos
s = 0, s = −4, s = −5.
2.- Puntos terminales (k = ∞)
Los puntos terminales del lugar de las raíces son los ceros de GH(s). Los
ceros incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
ceros finitos
no hay
Gráfica
19. Lugar de las raíces
3.- Número de ramas separadas
N = P−Z
P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de
ramas separadas.
Ramas separadas
N = 3−0 = 3
4.- Asíntotas del lugar de las raíces
180o (2 j + 1)
θj =
N
j = 0, 1, 2, 3, … hasta N -1= P - Z - 1
N = 3, j = 0,1, 2.
180o
θ1 =
= 60°
3
180o (3)
180o (5)
θ2 =
= 180° θ 2 =
= 300°
3
3
20. Lugar de las raíces
5.- Intersección de las asíntotas con el eje real.
∑ raíces de polos de GH(s) − ∑ raíces de ceros de GH(s)
σ1 =
N
(0 − 4 − 5) − (0)
σ1 =
= −3
3
6.- Lugar de las raíces sobre el eje real
Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las raíces si el
número total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto
considerado es impar.
Gráfica
21. Lugar de las raíces
7.- Ángulos de salida y llegada
El ángulo de salida del lugar de las raíces de un polo o el ángulo de llegada
de un cero de GH(s) puede determinarse suponiendo un punto S1 muy
próximo al polo o al cero aplicando la siguiente ecuación:
o
∠GH ( s ) = ∑ φ p − ∑ φ z = 180 (2 j + 1)
En el caso del ejemplo, los polos están en el eje real y puede calcularse el
ángulo de salida por simple inspección. Si se usa la fórmula, se define un
punto muy cercano al polo o cero a calcular su ángulo de salida o llegada.
φ5
punto de prueba
φ0
− φ0 − φ4 − φ5 = 180°
− 180 − φ4 − 0 = 180°
φ4 = 0°
22. Lugar de las raíces
8.- Intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario
jω , por eso se cambia en la
Sobre el eje imaginario el valor de s es
ecuación característica s → jω . Se obtiene el valor de ω y el de K .
1 + G ( s ) H ( s ) = s 3 + 9 s 2 + 20s + K = 0
( jω )3 + 9( jω ) 2 + 20( jω ) + K = 0
j = −1
− jω 3 − 9ω 2 + j 20ω + K = 0
se separan las parte real e imaginaria
− 9ω 2 + K = 0
− jω 3 + j 20ω = 0
− jω 3 + j 20ω = 0
K = 180
ω = 20
23. Lugar de las raíces
9.- Puntos de separación
Los puntos de separación o de ruptura es un valor donde dos polos dejan
de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando:
dK
=0
ds
K se despeja de la ecuación característica
K = − s 3 − 9s 2 − 20 s
dK
= −3s 2 − 18s − 20 = 0
ds
3s 2 + 18s + 20 = 0
s = −4.5275
s = −1.4724
24. Lugar de las raíces
10.- Cálculo del valor de K en el lugar de las raíces
Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener los polos de lazo
cerrado deseados, utilizando la condición de magnitud.
G(s) H (s) = 1
25. Lugar de las raíces
Inicio
Paso 1
Paso 2
no hay
Paso 3
N =3
Paso 4
θ1 = 60° θ 2 = 180°
θ 2 = −60°
Paso 5
σ 1 = −3
Paso 6
−3
26. Lugar de las raíces
Paso 7
j 20
°
φ0 = 180 φ4 = 0
°
φ5 = 180°
Paso 8
K = 180 ω = 20
Paso 9
−3
s = −1.4724
Este es el lugar de las
raíces del sistema.
− j 20
27. Lugar de las raíces
Configuraciones típicas del lugar de las raíces
K
G ( s) H ( s) =
s ( s + a )( s + b)
K
G ( s) H ( s) = 2
( s + 2s + 5)( s 2 + 4 s + 5)
28. Lugar de las raíces
G ( s) H ( s) =
K ( s + 1)
( s 2 + 4s + 13)
K
G ( s) H ( s) =
( s + 1)( s 2 + 4 s + 13)
