10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ
ในช่วงนี้ได้แนะนาการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดมาในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข โดย
ใช้การแก้สมการและอสมการ
ครูควรทบทวนเรื่องการแก้สมการ อสมการ ตลอดจนสมบัติต่างๆ ของจานวนจริงให้นักเรียน เช่น สมบัติ
เกี่ยวกับรากที่สองที่เป็นบวกของจานวนจริง หรือสมบัติของค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริง และพยายามเน้นย้าให้
นักเรียนเข้าใจว่าหากนักเรียนมีความรู้สึกว่าเรื่องการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์เป็นเรื่องยุ่งยาก อาจเป็น
เพราะพื้นฐานเรื่องจานวนจริงต่างๆ ที่นักเรียนควรรู้ไม่ดีพอ นอกจากนี้ครูอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเช่น
ตัวอย่าง 2 สาหรับจานวนจริง a , b , c และ d ที่ทั้งสี่ตัวไม่เป็นศูนย์ จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
ax b
r (x, y ) y
cx d
9
11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
d d
วิธีทา การหาโดเมน cx d 0 ดังนั้น x นั่นคือ Dr
c c
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า cxy dy ax b นั่นคือ
dy b a
x (cy a) cxy ax dy b ดังนั้น x ทาให้ได้ว่า cy a 0 นั่นคือ y
cy a c
a
และ Rr
c
ในช่วงนีได้ค่อยๆ สรุปผ่านตัวอย่างต่างๆ ให้นักเรียนเห็นว่าการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์จาก
้
สูตรระหว่าง x และ y ที่กาหนดให้นั้นจะมีขั้นตอนอย่างไร
10
12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ย้าเกี่ยวกับเงื่อนไขที่ต้องพิจารณาก่อนการเปลี่ยนแปลงสมการเพื่อนาไปสู่การหาโดเมนหรือเรนจ์
เมื่อถึงตอนนี้ครูอาจให้ตัวอย่างเพิ่มเติม
1
ตัวอย่าง 3 กาหนดให้ r (x, y) y จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้
3 x
วิธีทา การหาโดเมน จากเงื่อนไขที่กาหนดให้จะได้ว่า 3 x 0 นั่นคือ x 3 ดังนั้น Dr ( , 3)
1 1
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขที่กาหนดให้จะได้ว่า 3 x ดังนั้นต้องมีเงื่อนไขก่อนว่า 0 และ
y y
1
y 0 นั่นคือ y 0 จากนั้นจะได้ว่า x 3 ซึ่งมีเพียงเงื่อนไขว่า y 0 ดังนั้นเมื่อรวมเงื่อนไขทั้งหมด
y2
เกี่ยวกับ y จะได้ว่า Rr (0, )
11
13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4 x2
ตัวอย่าง 4 กาหนดให้ r (x, y ) y จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้
4 x2
(x 2)(x 2) 4 x2
วิ ธี ท า การหาโดเมน จากเงื่ อ นไขที่ ก าหนดให้ จ ะได้ ว่ า 0 แต่ เ นื่ อ งจาก
4 x2 4 x2
4 x2 0 ทุกจานวนจริง x ทาให้ได้ว่า (x 2)(x 2) 0 นั่นคือ 2 x 2 ดังนั้น Dr [ 2,2]
4 x2
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขที่กาหนดให้ต้องมีเงื่อนไขก่อนว่า y 0 จากนั้นจะได้ว่า y2 นั่นคือ
4 x2
4 4y 2 4 4y 2
4y 2 2 2
xy 4 x 2
ท า ใ ห้ ไ ด้ ว่ า x 2
นั่ น คื อ x ดั ง นั้ น
1 y2 1 y2
4(y 1)(y 1) 4 4y 2
0 เ นื่ อ ง จ า ก 1 y2 0 ทุ ก จ า น ว น จ ริ ง y ท า ใ ห้ ไ ด้ ว่ า
1 y2 1 y2
(y 1)(y 1) 0 นั่นคือ 1 y 1 ดังนั้นเมื่อรวมเงื่อนไขทั้งหมดเกี่ยวกับ y จะได้ว่า Rr [0,1]
ในตอนนี้ย้าว่าบางครั้งอาจไม่จาเป็นต้องเขียน y เป็นพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ x เพียงอย่างเดียวหรือ x เป็น
พจน์ที่เกี่ยวข้องกับ y เพียงอย่างเดียวในการหาโดเมนหรือเรนจ์ นักเรียนอาจเขียนเป็น | y | หรือ y n เป็นพจน์ที่
เกี่ยวข้องกับ x เพียงอย่างเดียวหรือ | x | หรือ x n เป็นพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ y เพียงอย่างเดียวในการหาโดเมน
หรือเรนจ์ได้เช่นกัน
12
14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม
1
ตัวอย่าง 5 กาหนดให้ r (x , y ) y
2
จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
x 4
วิธีทา การหาโดเมน จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า (x 2)(x 2) x2 4 0 ดังนั้น
Dr ( , 2) (2, )
1 1
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า x2 4 ดังนั้นต้องมีเงื่อนไขก่อนว่า 0
y y
2 2
1 1
และ y 0 นั่ น คื อ y 0 จากนั้ น จะได้ ว่ า x 2
4 เพราะว่ า x 2
0 ดั ง นั้ น 4 0
y y
2
1
อย่ า งไรก็ ดี 4 0 ทุ ก จ านวนจริ ง y 0 ดั ง นั้ น เมื่ อ รวมเงื่ อ นไขทั้ ง หมดเกี่ ย วกั บ y จะได้ ว่ า
y
Rr (0, )
x
ตัวอย่าง 6 กาหนดให้ r (x, y) y จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
|x | 1
วิธีทา การหาโดเมน จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า | x | 1 0ดังนั้น Dr { 1, 1}
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า | x | y y x นั่นคือ | x | y x y
y y
กรณี x 0 จะได้ว่า x (y 1) | x | y x y นั่นคือ x เนื่องจาก x 0 ดังนั้น 0
y 1 y 1
จะได้ว่า y ( , 0] (1, )
13
15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
y
กรณี x 0 จะได้ว่า x( y 1) | x | y x y นั่นคือ x เนื่องจาก x 0 ดังนั้น
y 1
y
0 จะได้ว่า y ( , 1) (0, )
(y 1)
ดังนั้นจากทั้งสองกรณีนี้จะได้ว่า Rr
ตัวอย่าง 7 กาหนดให้ r {(x , y ) | 4x 2 9y 2 8x 36y 4 0} จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
วิธีทา การหาโดเมน จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า
0 4(x 2 2x ) 9(y 2 4y ) 4 4(x 2 2x 1) 9(y 2 4y 4) 4 4(1) 9(4)
2 2
4(x 1) 9(y 2) 36
นั่นคือ 9(y 2) 2
36 4(x 1)2 4(x 4)(x 2) เนื่องจาก 9(y 2)2 0 ทาให้ได้ว่า
(x 4)(x นั่นคือ Dr [ 2, 4]
2) 0
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า
4(x 1)2 36 9(y 2)2 9(2 y 2)(2 y 2) 9y(y 4) เนื่องจาก 4(x 1)2 0
ทาให้ได้ว่า y(y 4) 0 นั่นคือ Rr [0, 4]
ตัวอย่าง 8 กาหนดให้ r {(x , y ) | x x y y} จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
วิธีทา จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า
2 2
1 1 1 1
0 y y x x y y x x y x นั่นคือ
4 4 2 2
1 1 1 1
y x y x 0 จะได้ว่า y x 0 หรือ y x 1 0
2 2 2 2
ซึ่งในกรณีหลังนี้ไม่มีจานวนจริง x และ y ใดๆ ที่สอดคล้องกับสมการดังกล่าว ดังนั้น y x จะได้ว่า
Dr [0, ) Rr
14
16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ
จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. r {(x, y) | y x 1}
1
2. r (x, y ) | y | 2
x 4
3. r {(x , y ) | y x2 3}
1
4. r (x, y ) y
5 x2
5. r {(x, y ) | y 5 5 2x }
6. r {(x , y ) | x 2 6x y2 14y 41 0}
7. r {(x , y ) | y x2 2 | x |}
x
8. r (x, y ) y
1 x2
9. r {(x , y ) | x 2y x 3y 2 0}
10. r {(x , y ) | y (3 x )(2 x )}
15
20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อมาในกรณีที่ไม่ได้วาดกราฟของความสัมพันธ์มาให้ หากนักเรียนสามารถวาดกราฟของความสัมพันธ์
แบบต่างๆ ได้ก็สามารถหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟเหล่านั้นได้เช่นกัน
เมื่อถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม
ตัวอย่าง 11 กาหนดให้ r {(x, y) | y |x 1 | 2} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
วิธีทา จากความสัมพันธ์ที่กาหนดให้สามารถวาดเป็นกราฟได้ดังนี้
19
21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
6
5
4
3
2
1
2 0 2 4
ดังนั้น Dr และ Rr [2, )
ตัวอย่าง 12 กาหนดให้ r {(x , y ) | y 9 x2 และ xy 0} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
วิธีทา จากความสัมพันธ์ที่กาหนดให้จะได้ว่า x 2 y 2 9 โดยที่ y 0 และ xy 0 ซึ่งกราฟของความสัมพันธ์
x 2 y 2 R 2 จะเป็นรูปวงกลมรัศมี R และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด ดังนั้นความสัมพันธ์ r สามารถวาดเป็น
กราฟได้ดังนี้
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
4 2 2 4
จะได้ว่า Dr [ 3, 0] {3} และ Rr [0, 3]
20
22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้อธิบายถึงการเลือกอาณาบริเวณสาหรับความสัมพันธ์ที่กาหนดเงื่อนไขมาในรูปอสมการ
เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจนาปัญหาชวนคิดที่เคยทิ้งไว้ในสื่อเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่ 1 มาให้
นักเรียนลองช่วยกันวาดกราฟและเลือกอาณาบริเวณกันอีกครั้ง หลังจากได้กราฟของความสัมพันธ์ดังกล่าวแล้วให้
นักเรียนหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟที่ได้
ชวนคิด (จากสื่อเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่ 1)
1. r {(x, y ) | x y 10}
2. r {(x, y) || x | | y | 10}
นอกจากนี้ยังครูยังอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม
21
23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 13 กาหนดให้ r {(x, y) | x | y |} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
วิธีทา จากความสัมพันธ์ที่กาหนดให้สามารถวาดเป็นกราฟได้ดังนี้
Y
X
ดังนั้น Dr และ Rr
ตัวอย่าง 14 กาหนดให้ r {(x , y ) | y 2 1 x} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
วิธีทา จากความสัมพันธ์ที่กาหนดให้สามารถวาดเป็นกราฟได้ดังนี้
Y
X
1
ดังนั้น Dr ( ,1] และ Rr
22
24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนี้ได้อธิบายถึงความสัมพันธ์ที่ประกอบด้วยเงื่อนไขมากกว่าหนึ่งเงื่อนไขและแต่ละเงื่อนไขเชื่อม
กันด้วย “และ” ทาให้สามารถแยกออกเป็นความสัมพันธ์ย่อยๆ ที่เชื่อมกันด้วยอินเตอร์เซกชันได้ ดังนั้นกราฟของ
ความสัมพันธ์ที่ต้องการจะมาจากกราฟของความสัมพันธ์ย่อยๆ เหล่านั้นอินเตอร์เซกชันกันนั่นเอง
เมื่อมาถึงตอนนี้อาจย้าว่าไม่จาเป็นที่เงื่อนไขของความสัมพันธ์จะต้องอยู่ในรูปอสมการทั้งหมดจึงจะทา
เช่นนี้ได้ โดยครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้ประกอบ
ตัวอย่าง 15 กาหนดให้ r {(x , y ) | y 2 1 x และ y 1} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
23
25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
วิธีทา จากความสัมพันธ์ที่กาหนดให้จะได้ว่า r r1 r2 เมื่อ r1 {(x, y) | y 2 1 x } และ
r2 {(x, y) | y 1} ซึ่งเหมือนกับการวาดกราฟ r1 แล้วตัดเฉพาะท่อนที่กราฟอยู่เหนือเส้นตรง y 1
โดยไม่รวมเส้นตรงดังกล่าว ทาให้ได้ว่ากราฟของ r คือ
2
1
3 2 1 1 2
1
2
ดังนั้น Dr ( ,1] และ Rr ( 1, )
ตัวอย่าง 16 กาหนดให้ r {(x , y ) | x 2 y2 9 และ xy 0} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
วิ ธี ท า จากความสั ม พั น ธ์ ที่ ก าหนดให้ จะได้ ว่ า r r1 r2 เมื่ อ r1 {(x, y) | x 2 y 2 9} และ
r2 {(x, y) | xy 0} เนื่ อ งจากจุ ด (x, y ) ในจตุ ภ าคที่ 1 และ 3 (ไม่ ร วมจุ ด บนแกน X และ แกนY )
สอดคล้องอสมการ xy 0 ดังนั้นกราฟของความสัมพันธ์ r คือกราฟของความสัมพันธ์ r1 ซึ่งเป็นวงกลมรัศมี
3 หน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดแล้วตัดเฉพาะท่อนที่กราฟอยู่ในจตุภาคที่ 1 และ 3 เท่านั้น โดยไม่รวมจุด
ที่อยู่บนแกน X และ แกนY ทาให้ได้ว่ากราฟของ r คือ
Y
3
-3 X
3
-3
ดังนั้น Dr ( 3, 0) (0, 3) และ Rr ( 3, 0) (0, 3)
24
26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สาหรับตัวอย่างที่ยกไว้ในสื่อตอนนี้ยังไม่ได้หาจุดตัดของเส้นตรง y x 2 และเส้นโค้ง y x 2
ซึ่ ง จุ ด ตั ด ดั ง กล่ า วหาได้ จ ากการแก้ ร ะบบส มการทั้ ง ส องนี้ นั่ น คื อ จะได้ ว่ า x 2 x 2 ดั ง นั้ น
0 x 2 x 2 (x 2)(x 1) ทาให้ x 2 หรือ 1 ซึ่งจะส่งผลให้ y 4 และ 1 ตามลาดับ จะ
ได้ว่าจุด (a, b) ในตัวอย่างดังกล่าวคือจุด ( 1,1) และจุด (c, d ) ในตัวอย่างดังกล่าวคือ (2, 4) ทาให้ได้ว่า
สาหรับตัวอย่างนี้ Dr ( 1,2) และ Rr (0, 4) นั่นเอง
เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม
ตัวอย่าง 17 กาหนดให้ r {(x , y ) | x 2 y2 9 และ y x 2} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
วิ ธี ท า จาก ความสั ม พั น ธ์ ที่ ก าหนดให้ จะได้ ว่ า r r1 r2 เมื่ อ r1 {(x, y) | x 2 y 2 9} แล ะ
r2 {(x, y ) | y x 2 } เนื่องจากจุด (0, 0) สอดคล้องอสมการ x 2 y 2 9 ดังนั้นกราฟของความสัมพันธ์
r1 คืออาณาบริเวณภายในวงกลมรัศ มี 3 หน่วยที่ มี จุดศู นย์ ก ลางอยู่ ที่ จุดก าเนิดที่ รวมจุดบนขอบของเส้นรอบ
วงกลมด้วย ในขณะที่จุด (0,1) สอดคล้องอสมการ y x 2 ดังนั้นกราฟของความสัมพันธ์ r2 คืออาณาบริเวณ
เหนือเส้นโค้ง y x 2 ที่ไม่รวมจุดบนเส้นโค้งนี้ ในการหาจุดตัดของเส้นโค้งทั้งสองนี้ทาได้โดยแก้ระบบสมการ
1 37
x2 y2 9 แล ะ y x2 นั่ น คื อ y y2 9 ดั ง นั้ น y2 y 9 0 หรื อ y แต่
2
1 37 1 37
เนื่องจาก y x2 ดังนั้น y เท่านั้น ทาให้ x ทาให้ได้ว่ากราฟของ r คือ
2 2
อาณาบริเวณที่แรเงานี้
25
27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
Y
3
A B
0 X
1 37 1 37 1 37 1 37
เมื่อ A , และ B , ดังนั้น
2 2 2 2
1 37 1 37
Dr , และ Rr (0, 3]
2 2
26
28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ
จงหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. 1.5
2. 8
6
1.0
0.5
4
2 1 1 2
2
0.5
1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
3. 4.
8
2 1 1 2
6
1
4
2
2
3
2 1 0 1 2
5. 2.0
1.5
1.0
0.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้โดยการวาดกราฟ
6. r {(x,| x |) | 2 x 4}
7. r {(x, y ) | x y และ y x 2 2x 3}
5 2
8. r (x , y ) y x2 และ y x 1
9
9. r {(x , y ) | y 2 x 1 และ xy 0}
10. r {(x , y ) | x 0, 0 y 5 และ x 2 y2 2x 6y 8}
27
32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. กาหนดให้ r {(x, y ) |y 4x 2} เมื่อ คือเซตของจานวนเต็ม ข้อใดต่อไปนี้คือเรนจ์
ของความสัมพันธ์ r
x x
1. x เป็นจานวนคี่ 2. x เป็นจานวนคู่
2 2
3. เซตของจานวนคี่ทั้งหมด 4. เซตของจานวนคู่ทั้งหมด
2
x
2. กาหนดให้ r (x , y ) y 1 และ s {(x , y ) | y x2 1} จงหา Dr Ds
1 x
3. กาหนดให้ r {(x, y ) | y ( x 2)2 } และ s {(x , y ) | y |x 1 | 1} จงหา Dr Rs
x2 4
4. กาหนดให้ r {(x , y ) | 2x 3
3xy 2
x 2
y 2
0} และ s (x , y ) y จงหา
x 2
Dr Ds
5. กาหนดให้ r {(x , y ) | y x2 และ y จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
2x }
6. กาหนดให้ r {(x, y) | | x | |y | 2} จงวาดกราฟของความสัมพันธ์ r พร้อมทั้งหาโดเมน
และเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้
7. กาหนดให้ r {(x, y ) | 16x 2 25y 4 8x 10y 2 2} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
y2 1
8. กาหนดให้ r (x , y ) 1 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
4 x2
9. สาหรับจานวนจริงบวก k กาหนดให้ r {(x, y ) | x y k } จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
10. กาหนดให้ r {(x , y ) | y x 2 และ y 2 x } จงวาดกราฟของความสัมพันธ์ r พร้อมทั้งหาโดเมน
และเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้
31