1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
(เนื้อหาตอนที่ 2)
ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
โดย
รองศาสตราจารย์ เพ็ญพรรณ ยังคง
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16
ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
2. เนื้อหาตอนที่ 1 เลขยกกาลัง
- เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
- เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานอนตรรกยะ
- เขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนอตรรกยะ
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
- ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
- กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
- สมการเลขชี้กาลัง
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลอการิทึม
- ฟังก์ชันลอการิทึม
- กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
- สมการลิการิทึม
5. เนื้อหาตอนที่ 4 อสมการเลขชี้กาลัง
- ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง
- สมการและอสมการของเลขยกกาลัง
- ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการลอการิทึม
- ทบทวนสมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
- สมการและอสมการลอการิทึม
- ปัญหาในชีวิตประจาวันที่เกียวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชัน
ลอการิทึม
7. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
1

3. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการ
สอนส าหรั บ ครู และนั ก เรี ย นทุ ก โรงเรี ย นที่ ใ ช้ สื่ อ ชุ ด นี้ ร่ ว มกั บ การเรี ย นการสอนวิ ช า
คณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอน
วิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และ
ชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เรื่อง ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 2 (2/5)
หัวข้อย่อย 1. ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
2. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจความหมายและสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
2. สามารถบอกได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กาลังที่กาหนดให้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
3. มีความเข้าใจเกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลังได้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. บอกสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กาลังและนาไปใช้ได้
2. ระบุได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กาลังที่กาหนดให้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
3. เปรียบเทียบเลขยกกาลังสองจานวนที่มีฐานเท่ากันได้
4. เปรียบเทียบเลขยกกาลังสองจานวนที่มีเลขชี้กาลังเท่ากันได้
5. อธิบายและร่างกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลังที่กาหนดให้ได้
3

5. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เนื้อหาในสื่อการสอน
4

6. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
5

7. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1. ฟังก์ชันเลขชีกาลัง
้
6

8. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1. ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
จากสื่อนักเรียนจะพบว่า กราฟของฟังก์ชัน f (x ) 2x เมื่อ x D โดยที่ D เป็น
เซตของจานวนจริงเต็ม ต่อไปขยายเป็นเซตของจานวนตรรกยะ และท้ายสุดเป็นเซตของจานวนจริง
กราฟของฟังก์ชัน f ที่ได้จะเพิ่มความละเอียดขึ้นเรื่อยๆ จนในที่สุดก็เป็นกราฟที่มีความต่อเนื่องไม่
ขาดตอน และมีลักษณะเด่นคือเป็นฟังก์ชันเพิ่ม คือเมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้น ค่าของฟังก์ชัน f ก็จะ
เพิ่มขึ้นด้วย ซึ่งต่อไปเราจะเรียกฟังก์ชันแบบนี้ว่า ฟังก์ชันเพิ่ม ให้นักเรียนดูสื่อต่อไป
ตัวอย่างต่อไปจะเป็นการพิจารณากราฟของฟังก์ชัน g(x ) 3x
7

9. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
จากฟังก์ชัน f (x ) 3x เมื่อ x D เมื่อพิจารณา D ในทานองเดียวกันกับฟังก์ชัน
x
f (x ) 2 ก็จะพบว่า มีลักษณะคล้ายกันคือ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อนักเรียนได้เห็นตัวอย่างทั้งสอง
x
ตัวอย่างแล้วผู้สอนอาจชี้ให้นักเรียนสังเกตว่า ฟังก์ชันทั้งสองอยู่ในรูปแบบ f (x ) a โดยที่
ตัวอย่างแรก a 2 และตัวอย่างที่ 2 a 3 ซึ่งขอเรียก a ว่า “ฐาน” จะเห็นว่า ฐานเป็น
จานวนบวกที่มากกว่า 1
ครูลองตั้งคาถามเพื่อถามนักเรียนว่า แล้วถ้าฐานเป็นจานวนบวกที่น้อยกว่า 1 กราฟจะเป็นอย่างไร
จะยังเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือไม่ และถ้านักเรียนยังนึกภาพไม่ออกก็ขอให้ดูสื่อต่อไป
8

10. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x
1
จากฟังก์ชัน f (x ) นักเรียนจะเห็นว่า ฐานเป็นจานวนจริงบวกที่น้อยกว่า 1
2
กราฟที่ได้เป็นฟังก์ชันลด เพื่อให้ผู้เรียนได้เห็นภาพชัดยิ่งขึ้น ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมโดยให้
x
1 1
a ซึ่งก็คือ f (x ) ก็จะเห็นว่าเป็นฟังก์ชันลดเช่นเดียวกัน และทั้งสองกราฟมีจุด
3 3
ร่วมกัน 1 จุด คือจุด (0, 1)
9

11. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x x x
1 1 Y y 3
y y
3 2
(0, 1)
X
x
x x 1
เราได้ข้อสรุปเบื้องต้นว่า ทั้งสามตัวอย่าง y 3 ,y 2 , และ y อยู่ใน
2
x
รูปแบบ y a และ a เป็นจานวนจริงบวก แต่ละตัวอย่างมีฐานไม่เท่ากัน แต่มีโดเมนเดียวกัน
คือ
นักเรียนอาจสงสัยว่า แล้วค่าของฐานซึ่งคือ a เป็นลบได้หรือไม่ ให้นักเรียนดูสื่อต่อไป จะมี
คาอธิบายว่าทาไมเราจึงไม่สนใจในกรณีที่ a เป็นลบ
10

12. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เพื่อให้นักเรียนได้เห็นตัวอย่างในกรณีที่ a 0 เพิ่มขึ้น ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติม
3
โดยให้ a 3, 5,
2
11

13. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1
1 x
เมื่อ a 3 และ x จะได้ a ( 3) 2
2
1
1 x
a 5 และ x จะได้ a ( 5) 2
2
1
3 1 x 3 2
a และ x จะได้ a
2 2 2
x
ดังนั้น ในกรณีที่
a 0 จึงไม่น่าสนใจ เพราะมีปัญหาในการหาค่า a สาหรับบางค่าของ x เรา
จึงสนใจจานวนจริง a เฉพาะเมื่อ a 0 เท่านั้น ต่อไปเราจะพิจารณากรณีที่ a 0 และ a 1
12

14. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
13

15. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สรุปได้ว่า ฐาน a เป็นจานวนจริงที่มีข้อจากัดดังนี้
1. a ต้องเป็นจานวนจริงบวก (a > 0)
และ 2. a  1
a
นั่นคือ 0 a 1 หรือ a 1 0 0
0 1
หรือเราแบ่ง a เป็น 2 ช่วงคือ a (0, 1) และ 0( )0(
0 1
a (1, )
ในช่วงต่อไปเราจะนิยามฟังก์ชันที่มีรูปแบบเหมือนฟังก์ชันที่นักเรียนได้ดูจากสื่อไปแล้ว
และให้ชื่อว่าฟังก์ชันเลขชี้กาลัง หรือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล โดยจะเพิ่มรายละเอียดโดยพิจารณา
จากฐานของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง ซึ่งเราแทนด้วย a โดยแบ่งการพิจารณาฐาน a เป็น 2 ช่วง คือ
0 a 1 และ a 1
14

16. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
15

17. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x
จากสื่อนักเรียนได้เห็นกราฟของ y a เมื่อ 0 a 1 และได้ข้อสรุปร่วมกันว่า
x
1. y a เป็นฟังก์ชันลด
2. ทุกกราฟผ่านจุด (0, 1) (และไม่ตดแกน X )
ั
3. ทุกกราฟมีจุดร่วมกัน 1 จุด คือ (0, 1) (กราฟตัดแกน Y ที่จุด (0, 1) )
x
4. y a เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก ทั่วถึง
(ค่าของ a x เป็นบวกเสมอ ไม่ว่า x เป็นจานวนจริงบวกหรือลบ หรือเมื่อ x )
เพื่อให้นักเรียนสามารถนาข้อสรุปข้างต้นไปใช้ประโยชน์ได้ ให้ผู้สอนลองให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด
สั้นๆ ต่อไปนี้
16

18. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัดย่อย
1. จงเติมเครื่องหมาย >,< ลงในช่องว่าง
4 5 3 5
1 1 1 1
1.1 1.2
3 3 3 3
3 3 1
4
1 2 1 1 2 1 4
1.3 1.4
3 3 3 3
1 4
3 4
1 1 1 7 1 3
1.5 1.6
3 3 3 3
1 2 4
(เมื่อนักเรียนตอบได้ถูกต้องแล้ว ผู้สอนลองเปลี่ยนโจทย์ใหม่ โดยให้ a , , แทนที่
5 3 3
1
a แล้วให้นักเรียนตอบคาถามในข้อ 1. ใหม่ โดยเน้นย้านักเรียนว่า ควรพิจารณาเมื่อ
3
ฐานของเลขยกกาลังเท่ากัน และฐานมีค่ามากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่ง)
2. จงหาค่า x ที่สอดคล้องกับสมการที่กาหนดให้ต่อไปนี้
x
1
2.1 1 แล้ว x =
4
x
2.2 (2.5) 1 แล้ว x =
x x
1 1
2.3 แล้ว x =
3 5
x
1
2.4 256 แล้ว x =
2
คาตอบ 1. 1.1 > 1.2 < 1.3 > 1.4 >
1.5 > 1.6 <
2. 2.1 0 2.2 0 2.3 0 2.4 16
17

19. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
18

20. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x
y a Y
x
y b
P
o o
Q 0 a b 1

(0, 1)

x 0 X
x
y a
Y
x
y b
P o o
0 a b 1
Q

(0, 1)

x 0 X
พิจารณา กราฟของ y a x และ y b x โดยที่ 0 a b 1
ถ้า x ( , 0)
ที่จุด P (x, a x ) และ Q(x , b x ) นักเรียนจะเห็นว่า ความชันของเส้นสัมผัสที่จุด P และ Q
นั้นมีค่าเป็นลบเสมอ และ
ถ้าให้ความชันของเส้นสัมผัสที่สัมผัสกราฟของ y a x ที่จุด P มีค่าเท่ากับ mP
และความชันของเส้นสัมผัสที่สัมผัสกราฟของ y b x ที่จุด Q มีค่าเท่ากับ mQ แล้ว
mP mQ 0
และเมื่อ มีค่าเข้าใกล้ 1 ก็จะเห็นว่า ความชัน mQ มีค่าเข้าใกล้ 0
b
ในส่วนนี้ คุณครูผู้สอนอาจอธิบายในลักษณะที่ว่า ความชันของเส้นสัมผัสกราฟที่จุด P จะ
มีค่าติดลบมากกว่าความชันของเส้นสัมผัสกราฟที่จุด Q
19

21. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สรุปง่ายๆ ก็คือ กราฟของ y a x อยู่เหนือกราฟของ y b
x
เมื่อ 0 a b 1
เฉพาะ x ที่อยู่ทางด้านซ้ายของแกน Y ซึงก็คือ x 0
่
Y
y=b x y = ax
(0, 1)
y=1
X
x
สาหรับ x ที่อยู่ทางด้านขวาของแกน X ซึ่งก็คือ x 0 กราฟของ y b จะอยู่เหนือ
กราฟของ y a x และทั้งสองกราฟส่วนที่ x 0 จะอยู่ใต้เส้นตรง y 1
Y
(0, 1) y=1
y = bx
y = ax
X
x
และถ้า b มีค่าเข้าใกล้ 1 มากเท่าใด กราฟของ y b จะยิ่งเข้าใกล้กราฟของ y 1 แต่อย่าลืม
ว่า กราฟของ y b x จะไม่ตัดแกน X เป็นอันขาด
20

22. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x
1 Y
y
7
x x
6 1
y
7 7
(0, 1)
 y=1
X
กราฟส่วนที่ x 0
Y
x
6
y
(0, 1) y=1 7

x
X
1
y
7
กราฟส่วนที่ x 0
เพื่อให้มองได้ชัดเจนขึ้น ผู้สอนอาจแยกส่วนของกราฟให้นักเรียนดู โดยแบ่งการพิจารณา
เป็น 2 ส่วน คือ เมื่อ x 0 หรือ x ( , 0 ] และส่วนที่ x 0 คือ x [ 0, )
เมื่อมองภาพได้ชัดเจนทั้งสองส่วนแล้ว จึงค่อยนาภาพมาต่อกัน หรือรวมกันทั้งสองส่วนก็จะ
ได้กราฟต่อเนื่อง นั่นคือ พิจารณากราฟทุกค่าของจานวนจริง x
21

23. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
และเพื่อให้เห็นภาพได้ชัดเจนยิ่งขึ้น เรามองภาพเจาะลึกในแต่ละส่วน เมื่อ x 0 และ x 0
โดยมีตัวแทน x ส่วนที่ x 0 กาหนดให้เป็น x1 ดังนั้น x1 ( , 0) นั่นเอง และในส่วนที่
x 0 เรากาหนดให้เป็น x 2 ดังนั้น x 2 (0, )
x1 x x2
a
  )|(
0 1 0
เมื่อเรามีตัวแทนในแต่ละส่วนแล้ว ให้นักเรียนดูรายละเอียดในสื่อต่อไป
22

24. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
23

25. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เมื่อนักเรียนดูสื่อในส่วนนี้เสร็จแล้ว ผู้สอนลองให้นักเรียนทาแบบฝึกหัดย่อยเพิ่มเติมดังนี้
แบบฝึกหัดย่อย
1. จงเติมเครื่องหมาย >,< ลงในช่องว่าง
1 1
2 2
1 2 1 3 2 3
1.1 1.2
3 3 3 3
2 2 3 3
3 4 3 4
1.3 1.4
4 5 4 5
1 1
5 2 4 2
1.5 1.6 0.25
0.2
0.75
0.2
6 5
1.7 0.5 0.5
0.75
0.2
1.8 0.6
0.5
0.2
0.5
4 2
1 2
1.9 0.5 3
0.75
2
1.10
3 3
1 1
4 2
1 3 2 4 1 2
1.11 1.12
3 3 3 3
24

26. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. จงเติมเครื่องหมาย >,,<,,= ลงในช่องว่าง เมื่อกาหนดให้
x
1
2.1  1 แล้ว x 0
2
2.2 3
x
> 1 แล้ว x 0
x
1
2.3  1 แล้ว x 0
5
x
3
2.4 > 1 แล้ว x 0
2
x
1
2.5 < 1 แล้ว x 0
2
x
1
2.6 3
 1 แล้ว x 0
5
x x
1 1
2.7  แล้ว x 0
3 2
x 3x
2.8 3 > 2 แล้ว x 0
คาตอบ 1. 1.1 > 1.2 > 1.3 > 1.4 <
1.5 < 1.6 > 1.7 > 1.8 <
1.9 < 1.10 < 1.11 < 1.12 >
2. 2.1  2.2 < 2.3  2.4 <
2.5 > 2.6  2.7  2.8 >
25

27. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x
เราได้พิจารณากราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง y a เมื่อ 0 a 1 ไปแล้ว และ
ได้ทาแบบฝึกหัดย่อยประกอบความเข้าใจ นักเรียนคงมีความมั่นใจเพิ่มขึ้นว่า ถ้าจะถามค่าของเลข
ยกกาลัง 2 จานวน ที่มีฐานเท่ากันและอยู่ในรูปจานวนตรรกยะ a p ซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์และ
q
น้อยกว่าหนึ่ง โดยเลขชี้กาลังต่างกันแล้ว สามารถบอกได้ว่าจานวนใดมีค่ามากกว่ากัน
x
สื่อส่วนต่อไปจะเป็นการพิจารณากราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง y a เมื่อ a 1
x
ข้อสรุปสาหรับฟังก์ชันเลขชี้กาลัง y a เมื่อ a 1 หรือ a (1, )
1. y a x เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
2. ทุกกราฟผ่านจุด (0, 1) (และไม่ตัดแกน X )
3. ทุกกราฟมีจุดร่วมกันเพียง 1 จุด คือ (0, 1) (กราฟตัดแกน Y ที่จุด (0, 1) )
4. y a x เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก ทั่วถึง
(ค่าของ a x เป็นบวกเสมอ ไม่ว่า x เป็นจานวนจริงบวกหรือลบ หรือเมื่อ x )
26

28. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เพื่อให้นักเรียนสามารถนาข้อสรุปข้างต้นไปใช้ประโยชน์ได้ ให้ผู้สอนลองให้นักเรียนทา
แบบฝึกหัดสั้นๆ ต่อไปนี้
แบบฝึกหัดย่อย
1. จงเติมเครื่องหมาย >,< ลงในช่องว่าง
1 1
3.5 2.5
1.1 2 2 1.2 2 3
2 2
4 1.5 4 3
1.3 2 2 1.4 2 2
1 2
3 2 1 1
1.5 2 2 1.6
2 2
เมื่อนักเรียนตอบได้ถูกต้องแล้ว ผู้สอนลองเปลี่ยนโจทย์ใหม่ โดยแทนที่ 2 หรือ 2 ด้วย
3, 3 , 5 , 5 , 7 , 7 แล้วให้นักเรียนตอบคาถามในข้อ 1. ใหม่
2. จงเติมเครื่องหมาย >,,<, ลงในช่องว่าง เมื่อกาหนดให้
x
3
2.1  1 แล้ว x 0
2
x
4
2.2  1 แล้ว x 0
3
x
1
2.3  1 แล้ว x 0
5
x
3
2.4 > 1 แล้ว x 0
2
x
b
2.5  1 , b 1 แล้ว x 0
b 1
คาตอบ 1. 1.1 > 1.2 > 1.3 < 1.4 <
1.5 < 1.6 <
2. 2.1  2.2  2.3  2.4 >
2.5 
27

29. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ข้อสรุปสาหรับ ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง y a x ในกรณีที่ a 1 เราทราบแล้วว่า เป็น
ฟังก์ชันเพิ่ม และเพื่อให้เห็นภาพได้ชัดเจนยิ่งขึ้นเรามองภาพเจาะลึกในแต่ละส่วน เมื่อ x 0 และ
x 0 โดยมีตัวแทน กาหนดให้เป็น x1 และ x 2 โดยที่ x 1 0 และ x 2 0
x x
ในหัวข้อนี้เราจะเปรียบเทียบ ฟังก์ชันเลขชี้กาลังสองฟังก์ชันคือ y a และ y b ซึ่ง
ทั้ง a และ b มีสมบัติดังนี้
x x
1 a b และ x เราพิจารณา y a และ y b
โดยแบ่ง x เป็น 2 ช่วง คือ x 0 และ x 0
x
เมื่อให้นักเรียนดูสื่อต่อไป นักเรียนจะพบกับการเปรียบเทียบกันระหว่าง y a และ
x
y b
28

30. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ตัวอย่าง เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนในการแสดงการเปรียบเทียบ เรากาหนดค่าของ a และ b ที่
ชัดเจนและสอดคล้องกับเงื่อนไข 1 a b โดยกาหนดให้
3
a 3 ,b 5 และ x1 4, 3, , 1, 2, 0.075
2
3 1 5
x2 , , , 2, 3 , 0.7
4 2 4
จากข้อมูลของ a, b, x1, x 2 จะสรุปได้ดังนี้
3 3
4 4
3 > 5 และ 3
4
< 5
4
1 1
3 3
3 > 5 และ 3
2
< 5
2
3 3 5 5
3
2
> 5
2
และ 3
4
< 5
4
1 1
3 > 5
2 2 2 2
3 > 5 และ 3 < 5
0.075 0.075 3 3
3 > 5 และ 3 < 5
0.7 0.7
3 < 5
29

31. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
จากข้อมูลข้างต้น เราสามารถสรุปเป็นผังการเปรียบเทียบได้ดังนี้
(ครอบคลุมทั้งกรณีที่ 0 a b 1 และ 1 a b )
a b
เลขชี้กาลังเท่ากัน
เลขชี้กาลังเป็นลบ x 0 เลขชี้กาลังเป็นบวก x 0
x x x x
a b a b
30

32. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัดที่ 1
1. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันเลขชี้กาลังที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
x
5 x
1.1 y เป็นฟังก์ชัน.......... 1.2 y 2 เป็นฟังก์ชัน...........
7
x x
1 3
1.3 y เป็นฟังก์ชัน.......... 1.4 y เป็นฟังก์ชัน..........
2 2
x x
1 4
1.5 y เป็นฟังก์ชัน.......... 1.6 y เป็นฟังก์ชัน............
8 3
x
a
1.7 y ,a 0 เป็นฟังก์ชัน............
a 1
1.8 y e x
เป็นฟังก์ชัน............
x
4x
1.9 y e3 เป็นฟังก์ชัน............... 1.10 y 3 เป็นฟังก์ชัน..........
2. โดยอาศัยสมบัติที่ฟังก์ชันเลขชี้กาลังเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก ไปทั่วถึง
จงหาค่าจานวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการที่กาหนดให้ต่อไปนี้
x 2x 1
2.1 3 = 3 แล้ว x =
x 1
2.2 9 = แล้ว x =
27
x
1
2.3 = 729 แล้ว x =
3
2
y 1
2.4 7 = แล้ว y =
343
y y
2.5 2 = 4 แล้ว y =
y
2.6 2.5 2
= 3.5
3y
แล้ว y =
x 1 1 2x
2.7 9 = 243(3 ) แล้ว x =
31

33. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
3. จงเติมเครื่องหมาย >,< ลงในช่องว่าง
1 1
3 2
3 3
3.1
5 5
1 1
3.2 2
4
2
2
3 3
3.3 2 3
2 2
2 1 3
3.4
2 4
2 2
b 1 a
3.5 เมื่อ 0 a, b 1
b a 1
32

34. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
33

35. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
เราได้เรียนรู้ลักษณะของฟังก์ชันเลขชี้กาลังที่อยู่ในรูป y a x เมื่อ a เป็นจานวนเต็มที่
มากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับ 1 มาแล้ว ในหัวข้อนี้เราจะพิจารณากราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลังใน
รูปแบบต่างๆ ซึ่งต้องอาศัยกราฟต้นแบบที่นักเรียนคุ้นเคยแล้ว เพิ่มเรื่องการเลื่อนขนานกราฟเดิมไป
ตามแนวนอนหรือตามแนวดิ่ง(แนวตั้ง) โดยอาศัยการพิจารณาจากรูปแบบของฟังก์ชันเลขชี้กาลังแบบ
ต่างๆ ให้นักเรียนดูได้จากตัวอย่างในสื่อต่อไปนี้
จะเห็นว่ากราฟของ y 3x 2 มีลักษณะคล้ายกราฟของ y 3x เพียงแต่เลื่อน
ขนานกราฟของ y 3x ขึ้นบนตามแนวดิ่ง 2 หน่วย ผู้สอนอาจให้ตัวอย่างเพิ่มเติมในลักษณะที่
คล้ายเดิม เพียงแต่ให้เลื่อนขนานกราฟของ y 3x ลงล่างตามแนวดิ่ง 3 หน่วย กราฟที่ได้ก็จะ
เป็นกราฟของ y 3x 3 ดังภาพ
y
14
y 12
12
10
10
8
8
6
6 4
x
y=3 +2
4 2
y = 3x + 2
(0, 3)
y=3 x x
2 -4 -2 2
y=3 x
(0, x y = 3x – 3 -2
1)
-4 -2 2
34

36. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x 1
ผู้สอนลองถามนักเรียนว่า กราฟของ y 3 จะมีกราฟเป็นอย่างไร ให้นักเรียนลองร่างกราฟดู
2
หลังจากนั้นผู้สอนอาจสรุปในเบื้องต้นว่า
x x
กราฟของ y a k หรือ y k a เมื่อ k 0
ลักษณะของกราฟที่ได้ จะเป็นการเลื่อนขนานกราฟ y a x ขึ้นตามแนวดิ่ง เป็นระยะ k หน่วย
(ถ้า k 0 จะเป็นการเลื่อนขนานขึ้นตามแนวดิ่ง และถ้า k 0 จะเป็นการเลื่อนขนานลงตาม
แนวดิ่ง)
ตัวอย่างต่อไปจะเป็นตัวอย่างของกราฟที่ได้จากการเลื่อนขนานกราฟของฟังก์ชันเลขชีกาลัง
้
เดิมไปตามแนวนอน (ทางซ้ายหรือทางขวา) ซึ่งจะมีสมการที่เราสังเกตได้ชัดเจน ให้นักเรียนดูจาก
ตัวอย่างในสื่อต่อไป
x
จากสื่อ นักเรียนคงพอมองเห็นภาพของการเลื่อนขนานกราฟ y 3 ไปตามแนวนอน
ทั้งทางซ้ายและทางขวา โดยดูจากสมการ y 3(x m ) ถ้า m เป็นจานวนบวก กราฟของ
x x
y 3 ก็จะเลื่อนไปทางขวา m หน่วย และถ้า m เป็นจานวนลบ กราฟของ y 3 ก็จะ
เลื่อนไปทางซ้าย m หน่วย
x 1 x 4
ผู้สอนลองถามนักเรียนว่า y 3
2
กราฟที่ได้จะมีลักษณะอย่างไร หรือ y 3
3
กราฟที่ได้จะมีลักษณะอย่างไร
35

37. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เมื่อผู้สอนแน่ใจว่านักเรียนเข้าใจอย่างดีแล้ว ให้ลองเปลี่ยนฐานของเลขชี้กาลัง โดยให้
x 2
1 1 1
a , m 2 ก็จะได้ y ซึ่งจากที่ได้ศึกษามาแล้ว เมื่อ a 1 กราฟของ
3 3 3
x
1
y จะเป็นฟังก์ชันลด และผ่านจุด (0, 1)
3
x 2
x Y 1
กราฟของ จะเป็นกราฟที่
y =  1
y
  3
12
3 1
x
10 ได้จากการเลื่อนขนานกราฟของ y
3
8 ไปทางขวา 2 หน่วย
6
เพื่อให้ง่ายต่อการสังเกต ให้ผู้สอนชี้ให้
นักเรียนมองจุด (0, 1) ซึ่งอยู่บนกราฟ
x
4
1
y
3
2
(0, 1) จุด (0, 1) จะเหมือนถูกเลื่อนขนานไป
 (2, 1) X
-2 2 4 ตามแนวนอนทางขวา 2 หน่วย ซึ่งก็คือจุด
(2, 1)
x Y x 2
 1 ดังนั้น กราฟ 1
จะผ่านจุด
y=  
12
y
3 3
x
1
และทุกๆ จุดบนกราฟของ y
10
(2, 1)
3
8
ก็จะถูกเลื่อนขนานไปตามแนวนอน 2 หน่วย
x-2
6 y =  1
  เช่นเดียวกับกราฟที่ได้จากการเลื่อนขนาน
3 1
x
y ก็จะกลายเป็นกราฟของ
4
3
x 2
1
2
(2, 1) y นั่นเอง
X 3
(0, 1) 
-2 2 4
36

38. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x 4
x Y 1
กราฟ จะเป็นกราฟที่ได้
y = 1
10
y
  3
3 1
x
8
จากการเลื่อนขนานกราฟของ y ไป
3
x-2 ตามแนวนอนไปทางซ้าย 4 หน่วย (หรือไป
y =  1
6
 
3 ตามแนวนอน 4 หน่วย)
x +4
y= 1
4
3 2
(4, 1) (0, 1) (2, 1)
   X
-5
ตัวอย่างต่อไปจะเป็นตัวอย่างของกราฟที่ได้จากการสะท้อนกราฟของฟังก์ชันเลขชีกาลังเดิม
้
โดยมีแกน X เป็นแกนสมมาตร
ผู้สอนลองให้นักเรียนร่างกราฟของ
x
1. y 5
x
1
2. y
4
x
3. y 3 2
37

39. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
x
ต่อไปเรามาพิจารณากราฟของ y a เมื่อ a 1 และกราฟของ
x
y a เมื่อ 0 a 1
ตัวอย่าง
x
x 1 x
y 3 = จะมีกราฟเหมือนภาพสะท้อนของ y 3 เทียบกับแกน Y
3
(มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร)
x
x 1 x
y 5 = จะมีกราฟเหมือนภาพสะท้อนของ y 5 เทียบกับแกน Y
5
(มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร)
ตัวอย่าง
x x
1 1 x x 1
เพราะว่า y 3 3 ดังนั้น กราฟของ y จะมีกราฟเหมือน
3 3
x
y 3
x x
1 x 1
เพราะว่า y 5 ดังนั้น กราฟของ y จะมีกราฟเหมือน
5 5
x
y 5
x
ดังนั้น กราฟของ y a เมื่อ 0 a 1 หรือ a 1 จะเป็นภาพสะท้อนของ
x x
y a เทียบกับแกน Y หรือกราฟของ y a จะเหมือนกับกราฟของ
x
1
y
a
x x
กราฟของ y m a เมื่อ m {0} จะมีลักษณะคล้ายกราฟของ y a
x
เสมือนเรายืดหรือหดกราฟของ y a และกราฟจะตัดแกน Y ที่จุด (0, m)
ตัวอย่าง y (0.3)4
x
จะตัดแกน Y ที่จุด (0, 0.3)
x
y 5 3 จะตัดแกน Y ที่จุด (0, 5)
1 x 1
y 5 จะตัดแกน Y ที่จุด (0, )
4 4
38

40. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เราสรุปกราฟได้ตามผังที่ 1 และ 2.1 และ 2.2 ในหน้าต่อไปดังนี้
ผังที่ 1
x
y a ,a 0 และ a 1
0 a 1 a 1
เป็นฟังก์ชันลด เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
x x m
y k a ,k y a ,m
x
เลื่อนขนานกราฟ y a เลื่อนขนานกราฟ y a x
ตามแนวดิ่งเป็นระยะทาง k หน่วย ตามแนวนอนเป็นระยะทาง m หน่วย
x m
y k a , k, m
เลื่อนขนานกราฟ y a x ตามแนวนอนเป็นระยะทาง m หน่วย
และเลื่อนขนานตามแนวดิ่งเป็นระยะทาง k หน่วย
หมายเหตุ ถ้า k 0 จะเป็นการเลื่อนขนานตามแนวดิ่ง (แนวตั้ง) ขึ้นบน
และถ้า k 0 จะเป็นการเลื่อนขนานตามแนวดิ่ง (แนวตั้ง) ลงล่าง
หมายเหตุ ถ้า m 0 จะเป็นการเลื่อนขนานไปทางขวาตามแนวนอน (แนวราบ)
และถ้า m 0 จะเป็นการเลื่อนขนานไปทางซ้ายตามแนวนอน (แนวราบ)
39