SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  52
Télécharger pour lire hors ligne
คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
                       เรื่อง
      ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
                 (เนื้อหาตอนที่ 4)
                อสมการเลขชี้กาลัง
                       โดย
        รองศาสตราจารย์ เพ็ญพรรณ ยังคง


     สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
  คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
              กระทรวงศึกษาธิการ
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                            ่
       สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                     ้



          สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
         สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16
 ตอน ซึ่งประกอบด้วย

 1. บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
 2. เนื้อหาตอนที่ 1 เลขยกกาลัง
                      - เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
                      - เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานอนตรรกยะ
                      - เขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนอตรรกยะ
 3. เนื้อหาตอนที่ 2 ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
                      - ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
                      - กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
                      - สมการเลขชี้กาลัง
 4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลอการิทึม
                      - ฟังก์ชันลอการิทึม
                      - กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
                      - สมการลิการิทึม
 5. เนื้อหาตอนที่ 4 อสมการเลขชี้กาลัง
                      - ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง
                      - สมการและอสมการของเลขยกกาลัง
                      - ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน
 6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการลอการิทึม
                      - ทบทวนสมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
                      - สมการและอสมการลอการิทึม
                      - ปัญหาในชีวิตประจาวันที่เกียวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชัน
                        ลอการิทึม
 7. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
 8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
 9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)

                                            1
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                            ่
       สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                     ้



12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม

        คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการ
สอนส าหรั บ ครู และนั ก เรี ย นทุ ก โรงเรี ย นที่ ใ ช้ สื่ อ ชุ ด นี้ ร่ ว มกั บ การเรี ย นการสอนวิ ช า
คณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอน
วิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และ
ชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้




                                              2
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                      ่
                 สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                               ้




เรื่อง            ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
หมวด              เนื้อหา
ตอนที่            4 (4/5)
หัวข้อย่อย        1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง
                  2. สมการและอสมการของเลขชี้กาลัง
                  3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน


จุดประสงค์การเรียนรู้
         เพื่อให้ผู้เรียน
                   1. สามารถแก้สมการของเลขชี้กาลังได้
                   2. สามารถแก้อสมการของเลขชี้กาลังได้
                   3. สามารถนาความรู้เรื่องฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปแก้ปัญหาต่างๆ ในชีวิตประจาวันได้


ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
         ผู้เรียนสามารถ
                  1. อธิบายหลักการและแก้สมการของเลขชี้กาลังได้
                  2. อธิบายหลักการและแก้อสมการของเลขชี้กาลังได้
                  3. นาความรู้เรื่องการแก้สมการและอสมการของเลขชี้กาลังไปใช้แก้ปัญหาได้




                                                      3
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




                        เนื้อหาในสื่อการสอน




                                     4
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง




                                     5
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้



        1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง




                                     6
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




          2. สมการและอสมการเลขชี้กาลัง




                                     7
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                   ่
              สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                            ้




                           2. สมการและอสมการเลขชี้กาลัง




          สื่อ ตอนนี้เราอาศัยความรู้เ รื่อ งฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่งในการหาเซตคาตอบของสมการและ
อสมการของเลขชี้กาลัง ดังนั้น ในตอนต้นจึงขอทบทวนความรู้เกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ
เน้นว่าฟังก์ชันเลขยกกาลังก็เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงสามารถอ้างสมบัติต่างๆ ของฟังก์ชันหนึ่งต่อ
หนึ่งได้




                                                   8
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                     ่
                สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                              ้




         จากตัวอย่างข้างต้น ผู้สอนควรเน้นให้นักเรียนสังเกตว่า เราอ้างสมบัติการเป็นฟังก์ชันหนึ่ง
ต่อหนึ่งของฟังก์ชันเลขยกกาลังตรงไหนและอย่างไร และทาแบบฝึกหัดย่อยเพิ่มเติม

                                             แบบฝึกหัดย่อย

ตอบคาถามสั้นๆ ต่อไปนี้
       x
1.    3         729               แล้ว       x

          2 x         x
2.    7          49               แล้ว       x



                                                     9
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                         ่
                    สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                                  ้




              x                 x 3
          6                 4
3.                                          แล้ว    x
          4                 9
              x 3
          1
4.                              25
                                     x 1
                                            แล้ว    x
          5
          x         x
5.    5             2                       แล้ว    x

          x 1               x 1
6.    9                 7                   แล้ว    x


คาตอบ

                                                                                                    1
1.    6                                2.   2              3         2                 4.
                                                                                                    3
5.    0                                6.       1




         เมื่อนักเรียนทาแบบฝึกหัดย่อยนี้แล้ว ผู้สอนลองถามนักเรียนว่า ข้อใดบ้างที่อ้างสมบัติการเป็น
ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และข้อใดไม่ได้อ้างการเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะเหตุใด
           ตัวอย่างต่อไปจะเพิ่มความซับซ้อนในการหาเซตของคาตอบของสมการเลขชี้กาลัง ซึ่งเราต้อง
จัดเตรียมหรือจัดรูปของสมการที่โจทย์กาหนดให้เสียใหม่ เพื่อให้อยู่ในรูปเลขยกกาลังที่มีฐานเป็นจานวน
ที่เท่ากันเสียก่อน แล้วจึงจะอ้างความเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพื่อสรุปว่าเลขชี้กาลังจะต้องเท่ากัน




                                                         10
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




                                     11
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                  ่
             สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                           ้




       จากตัวอย่างข้างต้น ผู้สอนอาจแนะนานักเรียนว่า บางครั้งในการแก้สมการเลขชี้กาลัง ถ้า
เราแปลงสมการเก่าที่ซับซ้อนให้เป็นสมการใหม่ โดยการเลือกสมมติตัวแปรใหม่ที่เหมาะสม
                                              2x             x
        ตัวอย่างเช่น               3 3              10 3            3 3             0                  สมการเก่า

                                      x                                     x
        โดยการสมมติให้       A    3       หรือแทน        A       ด้วย   3       ในสมการเก่า ก็จะได้

                                          2
                                   3A              10A           3 3            0           สมการใหม่

ซึ่งจะเป็นสมการกาลังสองที่นักเรียนคุ้นเคยและสามารถแก้สมการได้ง่าย
                                                                                                   x
        เมื่อหาค่า   A   จากสมการใหม่ได้แล้ว ก็จะหาค่า              x   ได้จาก          A      3




                                                     12
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




                                     13
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                             ่
                        สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                                      ้




         ในการแก้สมการ บางครั้งอาจไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการที่กาหนดให้ แสดงว่า
ไม่มีคาตอบของสมการนั้นๆ ซึ่งก็จะได้ว่าเซตคาตอบของสมการเป็นเซตว่างหรือ {} เพื่อให้นักเรียน
ได้เห็นสมการซึ่งไม่มีคาตอบ ให้ผู้สอนลองยกตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง           จงหาค่า               x       ที่สอดคล้องสมการ                               5
                                                                                                 2x
                                                                                                                2 5
                                                                                                                         x
                                                                                                                                  3            0
                                                 x 2
วิธีทา                                       5                   2 5
                                                                         x
                                                                                       3                0
                                             x                                              2
                   ให้       A               5             ดังนั้น                     A             2A              3        = 0
                                                                                   2
                                                                                 A             2A           1        2 = 0
                                                                                                            2
                                                                                           (A 1)                     2 = 0
                   นั่นคือ (A 1)2           2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้
                   ดังนั้น จะไม่มีจานวนจริง A ที่สอดคล้องตามสมการ
                   เพราะว่า A 5x ดังนั้นก็จะไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องตามสมการ
                   นั่นคือ เซตคาตอบของสมการนี้จะเท่ากับ { } หรือ


                                                                                           แบบฝึกหัดที่ 1

1.       จงหาเซตคาตอบของสมการต่อไปนี้
                         5x 2                              x 1                                                                             x          2x 1         x 6
         1.1            2                        64                                                                  1.2                  3      27               9
                             x                     x                                                                                       x 4          x 3                x 2
         1.3            25               6 5                 5               0                                       1.4                  5            5              29   5
                                         x                           x                     x                                               2x 1               x
         1.5            10 25                     29 10                      10 4                       0            1.6                  3            4 3         9       0

                x                y               z                   4                     12           12           12
2.       ถ้า   2             5               7               70              แล้ว                                                 มีค่าเท่าใด
                                                                                           x            y             z
                    4                    2                  2m 2                                    8m                            8                    m
3.       ถ้า   (x            18x                     81)                           (x           3)              (x           3)           แล้ว     2         มีค่าเท่าใด
                x                                      y                      2x                                y                     x
4.       ถ้า   5                 625 5                       และ             3                  243 3                แล้ว                     มีค่าเท่าใด
                                                                                                                                      y
                   log 4 x               log x 3                              2
5.       ถ้า   4                     x                           3       x           แล้ว           x       มีค่าเท่าใด


                                                                                                        14
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                      ่
                 สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                               ้




คาตอบ       1.       1.1    {4}                  1.2    {3}                      1.3    {0, 1}
                     1.4    { 2}                 1.5    { 1, 1}                  1.6    {1, 2}
            2.        3
                      1
            3.
                      2
            4.        3
            5.       2




          เราได้ดูสื่อเกี่ยวกับการแก้สมการเลขชี้กาลัง และได้ทาแบบฝึกหัดเพิ่มเติมไปแล้ว ซึ่งจะทา
ให้นักเรียนสามารถหาเซตคาตอบของสมการที่กาหนดให้ได้ในระดับหนึ่งแล้ว ต่อไปเราจะพูดถึงการ
แก้อสมการเลขชี้กาลัง ซึ่งต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันลดหรือฟังก์ชันเพิ่มของฟังก์ชันเลขชี้
กาลัง จึงขอทบทวนความรู้ในส่วนนี้เสียก่อน เพราะจะต้องมีการอ้างสมบัติการเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือ
ฟังก์ชันลด โดยดูจากฐานของเลขชี้กาลังเป็นสาคัญ




                                                       15
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                     ่
                สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                              ้




          ผู้สอนให้นักเรียนตอบคาถามสั้นๆ
                                                  x1       x2
1.   x1        x2                             3        3

                                                  x1        x2
2.   x1        x2                             4        4

                                                             x 1                    x 3
3.   x     1                      x       3                5                        5

                                                                   x                2x 1
                                                             4                  4
4.   x                   2x           1
                                                             3                  3

                                                             x 2                    x 1
5.   x     1                      x       2             2                           2

                                                               4            x 1
6.   4               x        1                            3                3
                                                                   3                2x 1
                                                             5                  5
7.   3               2x           1
                                                             4                  4
                                                                                                 2
                                                                                             x
                              2                                    1                                 2
                          x                                  4                          4   1 x
8.   1                            2
                     1        x                              3                          3


คาตอบ               1.            <                    2.                                               3.   < , <
                    4.                                5.          > , <                                 6.   >
                    7.            >                    8.          > , >

                                                                       16
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                     ่
                สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                              ้




          ผู้สอนให้นักเรียนตอบคาถามสั้นๆ
                                             x1                 x2
                                         1                  1
1.   x1        x2
                                         2                  2
                                                      x 4                    x 1
                                                  1                      1
2.   x     4        x        1
                                                  3                      3
                                                                3 x                      2 x
                                                            3                        3
3.   3     x                     2   x
                                                            5                        5
                                                                x 1              3
                                                            1                1
4.   x     1                 3
                                                            5                5
                                                                                             2
                                                                                         x
                             2                                  1                                2
                         x                                  4                    4   2 x
5.   1                           2
                     2       x                              7                    7


คาตอบ               1.           >                    2.        <                                    3.   > , <
                    4.           <                    5.        > , <




                                                                    17
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                        ่
                   สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                                 ้




                                              แบบฝึกหัดเพิ่มเติม

จงเติมเครื่องหมาย           ,   ,       ,   ลงใน
                                                         2x 3           x 5
                                                     2              2
1.    2x       3            x       5
                                                     3              3
                                                         2 x            x 1
                                                     4             4
2.    2    x               x    1
                                                     3             3
                                                         x                    x
                                                           1            2
      x                             x                1   3         1          3
3.         1                2
      3                             3                6             6



                                                         18
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                  ่
             สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                           ้




                                                         log 3 x       log 3 (3x 1)
4.   log x
        3
                     log (3x
                         3
                                  1)                 2             2



คาตอบ         1.     >                    2.     <                        3.          
              4.     <




                                                  19
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                                ่
                           สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                                         ้




                                                       แบบฝึกหัดย่อย 1

จงหาเซตของคาตอบของอสมการต่อไปนี้
                                                                                                     x 1
         x 1                     5x 1                                         x
                                                                                  2
                                                                                      1        1
1.   9                       3                                      2.   2
                                                                                              16
         2x
              2
                      x                                                    2x
                                                                                2
                                                                                      x        1
3.   3                           1                                  4.   2                        3x 4
                                                                                              8
              2x 1                       2x 3
         1                           1                                       3x
                                                                                  2
                                                                                      14x 2
5.                                                                  6.   7                          343
         4                           2
                  2
              x           2x 3
         1
7.                                       1
         3


คาตอบ
                                                                                                                    1
1.   [        1,            )                    2.     ( 1, 5)                               3.         (    ,       ) (0,   )
                                                                                                                    2
                                                         1                                                        1
4.   (                ,     6 ] [1,          )   5.     ( ,     )                             6.         [   5,     ]
                                                         2                                                        3
7.   (                , 1) (3,               )




                                                                20
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




                                     21
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                     ่
                สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                              ้




         เพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจวิธีการหาเซตคาตอบของอสมการเพิ่มขึ้น                                                ผู้สอนควรเพิ่มตัวอย่าง
อีกสักสองสามตัวอย่างดังนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตของคาตอบของอสมการ                                       3 4
                                                                                   x
                                                                                           5 6
                                                                                               x
                                                                                                     2 9
                                                                                                         x
                                                                                                                        0

วิธีทำ จากอสมการ             3 4
                                      x
                                                5 6
                                                        x
                                                                 2 9
                                                                        x
                                                                                   0
                                  2x                    x       x            2x
        จะได้               3 2               5 2            3          2 3                0
                                 2x                                 2                                                    x         x
                            3A             5AB               2B                        0             (ให้ A            2 ,B       3    )
                           (3A            B )(A             2B )                       0
                             x                      x                                                x           x
        เพราะว่า A          2 ,B                3               ดังนั้น      3A        B           3 2       3               0
        ดังนั้นจะได้ว่า                A            2B              0
                                                                              x                x
        นั่นคือ                        A                2B          หรือ     2         2 3
                                                x
                                          2
        ดังนั้น                                             2
                                          3
                                                        x
                                                    2
        และจะได้                          log                        log 2
                                                    3
                                                        2
                                       x log                   log 2
                                                        3
                                                         log 2                         log 2
                                       x
                                                                    2             log 2        log 3
                                                        log
                                                                    3




                                                                        22
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                    ่
               สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                             ้




                                                                                                               log 2
       ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการนี้คือ                                  x                 |x
                                                                                                     log 2         log 3


ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตของคาตอบของอสมการ                                       10 5
                                                                                          2x
                                                                                                   29 10
                                                                                                               x
                                                                                                                   10 2
                                                                                                                        2x
                                                                                                                                  0

วิธีทำ จากอสมการ              10 5
                                        2x
                                                 29 10
                                                                x
                                                                        10 2
                                                                                  2x
                                                                                                   0
                                    x 2                     x       x                      x 2
       จะได้                  10 5               29 5               2           10 2                       0
                                    2                                   2                                                    x          x
                              10A            29AB               10B                           0                (ให้ A      5 ,B         2   )
                              (5A       2B )(2A                 5B )                          0
       ถ้า     5A     2B           0      จะได้
                                             5A                             2B
                                                    x                              x
                                             5 5                            2 2
                                              x 1                               x 1
                                             5                              2
                    นั่นคือ                  x      1               0           หรือ          x            1
       ดังนั้น                5A        2B              0       เมื่อ       x                  1
                    และ       5A        2B              0       เมื่อ       x                  1
       ถ้า     2A     5B           0      จะได้
                                             2A                             5B
                                                    x                                 x
                                             2 5                            5 2
                                              x 1                               x 1
                                             5                              2
                    นั่นคือ                  x      1               0        หรือ             x        1
       ดังนั้น                2A        5B              0       เมื่อ       x             1
                และ 2A 5B                               0       เมื่อ       x             1
       จากข้อมูลข้างต้นจะได้ว่า

                 (5A2B) < 0                      (5A2B) > 0
                                             
                 (2A5B) < 0                                                                               (2A5B) > 0
                                                                                          
                                                                                         

       ดังนั้นจะสรุปได้ว่า          (5A          2B)(2A                 5B)                   0    เมื่อ   x       (    , 1]      [1,       )


                                                                        23
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                         ่
                    สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                                  ้




                                                            แบบฝึกหัดย่อย 2

จงหาเซตของคาตอบของสมการต่อไปนี้
         2x 1                 x
1.   3              4 3                9          0
         x 2         x 1            x
2.   3              3              3              39
         x 3         x 2                           x 1
3.   5              5                       31    5
                x                       x               x
4.   10 25                  29 10                10 4        0
                        x
5.   log 3 (7 3                   18)             2x
      x 4               x 1
6.   2              4                       48


                                                                  24
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                  ่
             สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                           ้




คาตอบ
1. [1, 2 ]                                          2.     (1,    )
3. ( ,       1]                                     4.     [ 1, 1]
5. [ 2, )                                           6.     (     , 1]




หมายเหตุ      ค่าของ   log 2   และ   log 3   ที่กาหนดให้ ก็เป็นค่าโดยประมาณ


                                                  25
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                     ่
                สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                              ้




ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า        x    จากสมการ             10
                                                            2x 1
                                                                              3
                                                                               x 2



วิธีทา จากสมการที่กาหนดให้ จะได้
                                             2x 1                                 x 2
                                     log 10                =           log 3
                         (2x         1) log 10             =           (x         2) log 3
                                      (2x         1)       =           (x         2) log 3
                             2x           x log 3          =              2 log 3           1
                             x(2          log 3)           =                (2 log 3            1)
                                                                              (2 log 3          1)         2 log 3   1
                                                  x        =                                           =
                                                                              2      log 3                 log 3     2

(หมายเหตุ       ถ้ากาหนดค่าของ            log 3        ก็จะสามารถหาค่าของ                   x   ได้)

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า        x    จากสมการ                 n (1        x)            n (1       x)     1

วิธีทา จาก            n (1       x)          n (1       x)            1
                                     1 x
        จะได้                    n                     =       1
                                     1 x
                                      1 x
        ดังนั้น                                        =          e
                                      1 x
                                      1     x          =          e       ex
                                      x     ex         =          e       1
                                                                  e       1
                                            x          =
                                                                  e       1

                                                                      3x 5            2 x
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคาตอบของอสมการ                               e                  3
                   3x 5     2 x
วิธีทา จาก       e         3
       (เราเลือกใช้ลอการิทึมฐาน e ) จะได้
                                           3x 5                             2 x
                                     ne                              n 3

                        (3x          5) n e                      (2      x) n 3

                          3x          x n 3                      2 n 3              5                 ( ne    1)




                                                                  26
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                     ่
                สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                              ้




                                                                     2 n 3            5
        ดังนั้น                                      x       
                                                                      3         n 3

                                                                     2 n 3        5
        เซตคาตอบของอสมการนี้คือ                                  ,
                                                                     3          n 3




                                                         แบบฝึกหัดเพิ่มเติม

1.   จงหาค่าของจานวนจริง                   x     จากสมการ
                  2x 1
     1.1        3                   8
                  x 1               2x 3
     1.2        5               2
                  x          x 2               x 4       x 3
     1.3        3           5              3             5

2.   จงหาเซตคาตอบของอสมการ
     2.1 4 25x 3 10x 4x                                      0
                        x                   2x
     2.2        2 3             8          3




คาตอบ
                            3 log 2            log 3                                      3 log 2   log 5
1.   1.1    x                                                             1.2     x
                                 2 log 3                                                  2 log 2   log 5
                             3 log 2           1
     1.3    x
                            log 5          log 3
                                2 log 2
2.   2.1    x                                                             2.2     x       log 3 4
                            log 2          log 5




                                                                     27
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




      3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน




                                     28
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                   ่
              สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                            ้



                           3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน




          ต่อไปจะเป็นการนาความรู้เรื่องฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปประยุกต์ใช้ ซึ่งในสื่อจะเป็นตัวอย่าง
ของฟังก์ชันเลขชี้กาลังที่เข้าไปเกี่ยวข้องกับชีวิตประจาวัน    นักเรียนจะได้เห็นว่าเรานาความรู้เรื่อง
ฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปคานวณหรืออธิบาย อัตรา หรือจานวนประชากร หรือการเปลี่ยนแปลงในอนาคต
ได้อย่างไร




                                                   29
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




                                     30
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                   ่
              สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                            ้




          นักเรียนอาจสงสัยว่า รู้ได้อย่างไรว่าความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของต้นไม้และเวลาที่ผ่าน
พ้นไปจะเป็นไปตามสมการที่กาหนดให้              ผู้สอนคงต้องบอกให้นักเรียนทราบว่า ความสัมพันธ์ที่
กาหนดให้ในโจทย์บางครั้งเป็นสมมติฐานที่นักวิทยาศาสตร์คาดเดา และบางครั้งก็ได้มีการทาวิจัยและ
ได้ข้อสรุปความสัมพันธ์ตามสมการที่กาหนดให้ แต่ในบางครั้ง ตัวเลขหรือจานวนในสถานการณ์จริง
ก็เป็นจานวนที่มีทศนิยมหลายตาแหน่ง อาจไม่สะดวกในการใช้คานวณ ในตัวอย่างจึงอาจใช้ตัวเลข
สมมติเพื่อความเหมาะสมหรือสะดวกในการคานวณ ซึ่งในชีวิตประจาวันจริง เราก็สามารถคานวณ
โดยใช้หลักการคานวณเดียวกัน            และในการคานวณเราใช้ลอการิทึมช่วยในการคานวณให้ง่ายขึ้น
โดยบางกรณี (บางครั้ง) ค่าที่ได้เป็นเพียงค่าโดยประมาณเท่านั้น เนื่องจากข้อจากัดของค่าจากตาราง
ลอการิทึม ซึ่งเป็นค่าประมาณทศนิยมเพียง 4 ตาแหน่ง เมื่อนาไปบวก/ลบ/คูณ/หาร ก็จะได้ผลลัพท์
เป็นค่าโดยประมาณ




                                                   31
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                  ่
             สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                           ้




        เพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจหรือเห็นได้ชัดเจนว่า ในสื่อเลือกใช้ลอการิทึมฐาน e ในการคานวณ
ระยะเวลาว่า นานเท่าไรจึงจะมีปริมาตร 4,000 ลูกบาศก์ฟุต แล้วอ้างว่าสะดวกกว่าและง่ายกว่า
ทาไมจึงเป็นเช่นนั้น ผู้สอนอาจแสดงให้นักเรียนเห็นว่า ถ้าใช้ลอการิทึมฐานอื่นแล้วอาจยุ่งยากกว่า
โดยลองเลือกใช้ลอการิทึมฐาน 10 ก็ได้ ดังนี้
                                                         t
        จากความสัมพันธ์              4000         100e

                                            t
              จะได้                     e         40




                                                  32
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                          ่
     สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                   ้




ถ้าเราเลือกใช้ลอการิทึมฐาน 10 ก็จะได้
                                t
                        log e               =          log 40
                       t log e              =          log 40
                                                       log 40
                                    t       =
                                                       log e
จากตารางลอการิทึมฐาน 10 จะได้                    log e         0.4343   และ   log 40   1.6021
                                        1.6021
         ดังนั้น       t                                 3.6889
                                        0.4343
หรือถ้าเราใช้ลอการิทึมฐาน 3 ก็จะได้
                                 t
                        log3 e               log3 40
                                        log3 40
         ดังนั้น       t                            (ซึ่งจะมีปัญหาในการคานวณค่าของ t เพราะเรา
                                        log3 e
                                                        ไม่มีตารางค่าของลอการิทึมฐาน 3)




                                                  33
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                   ่
              สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                            ้




       ในชีวิตประจาวันเรายังมีเรื่องที่เกี่ยวกับการเงินและการธนาคารซึ่งอาศัยความรู้เรื่องฟังก์ชัน
เลขยกกาลังและฟังก์ชันลอการิทึมช่วยในการคานวณ ตัวอย่างเช่น เราทราบว่าสูตรที่ใช้คานวณเงิน
รวมโดยคิดดอกเบี้ยทบต้น คือ
                                                          n
                                       S        P (1    i)


เมื่อ Sn หมายถึงเงินรวมที่ได้จากการคิดดอกเบี้ยทบต้นของเงินต้น P บาท และคิดอัตราดอกเบี้ย i
และคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นจานวน n คาบ ถ้าเรารู้อัตราดอกเบี้ยของการฝากเงินและรู้ว่าคิดดอกเบี้ย
ทบต้นกี่ครั้ง ก็จะสามารถคานวณเงินรวมของการฝากเงินได้ทันทัน แต่การแทนค่าในสูตร ต้องแทน
ค่าให้ถูกต้อง จึงต้องมีวิธีหาค่า i และ n ที่ชัดเจน โดยผู้สอนอาจยกตัวอย่างให้ดูสัก 2-3 ตัวอย่าง

                                                   34
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                   ่
              สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                            ้




ตัวอย่าง 1 ฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่ง 50,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ยในอัตราร้อยละ 2.5
ต่อปี คิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุก 4 เดือน ฝากนาน 2 ปี จงหาว่าเมื่อครบ 2 ปี จะได้เงินรวมเท่าไร
วิธีทำ จากโจทย์จะได้          P         50000

                                                    2.5
                                   r                100
                         i                                                         (เมื่อ r คืออัตราดอกเบี้ยต่อปี)
                                   m                 3


                         n         2 3                  6                          ( 2 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้น 6 ครั้ง)
                                                                             n
        ดังนั้น          เงินรวม    Sn              =       P(1          i)
                                                                                             6
                                                                                  0.025
                                                    =       50000 1
                                                                                    3

                                                           52552.67               บาท

ตัวอย่าง 2 น้องพลอยต้องการใช้เงิน 1,000,000 บาท ในอีก 10 ปีข้างหน้านับจากวันนี้ ถ้า
ธนาคารมีโปรแกรมฝากพิเศษระยะเวลา 10 ปี คิดดอกเบี้ยให้ร้อยละ 4.5 ต่อปี และคิดดอกเบี้ยทบต้น
ทุกครึ่งปี น้องพลอยควรจะฝากเงินในวันนี้เป็นจานวนเท่าใด จึงจะมีเงินในบัญชี 1,000,000 บาทใน
อีก 10 ปีข้างหน้า (ไม่มีการคิดภาษีของดอกเบี้ยของเงินฝากพิเศษนี้)
วิธีทำ น้องพลอยต้องการหาเงินเต้น                P   บาท ซึ่งจะทาให้
                         S    (เงินรวม)             =          1,000,000            บาท
                                                                   4.5
                                            i       =                              (คิดทบต้นปีละ 2 ครั้ง)
                                                                 100 2
                                            n       =          10        2         (คิดทบต้นเป็นจานวน 10       2     ครั้ง)

                                                                     n
        แทนค่าในสูตร                        S           P (1        i)

                                                                                   20
                                                                         2.25
                             1, 000, 000            =       P 1
                                                                         100
                                        6                                               20
                                    10              =       P 1          0.0225
                                        6                                                    20
                               log 10               =       log P 1               0.0225

                                       6            =       log P                20 log (1.0225)


                                                            35
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                     ่
                สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                              ้




                                   log P             6       20(0.0097)                5.8067
                                                                5
                                                       log (10       6.407)

                                                     640700
          ดังนั้น น้องพลอยต้องฝากเงินวันนี้เป็นจานวน                640,700         บาท เพื่อว่าอีก 10 ปีข้างหน้า
          จะมีเงิน 1,000,000 บาทในบัญชี

ตัวอย่าง 3 ธนาคารแห่งหนึ่งให้ดอกเบี้ยเงินฝากประจาพิเศษเป็นแบบทบต้น                               m   ครั้งต่อปี โดยให้
ดอกเบี้ย เมื่อสิ้นปี ผู้ฝากจะได้ดอกเบี้ยที่แท้จริงเป็นไปตามสมการ
                                                               m
                                                          r
                                         rm         1                1
                                                          m

เมื่อ      rm   แทน ดอกเบี้ยที่ได้รับจริงเมื่อสิ้นปี (ของเงินต้น 1 บาท)
           r แทน อัตราดอกเบี้ยที่ธนาคารกาหนดให้ต่อปี (ของเงินต้น 1 บาท)
           m แทน จานวนครั้งที่ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นใน 1 ปี
ก.      จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.75% ต่อปี โดยคิดทบต้น
        ทุก 4 เดือน
ข.      จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.5% ต่อปี โดยคิดทบต้น
        ทุกเดือน
ค.      จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.25% ต่อปี โดยคิดทบต้น
        ทุกวัน
                                                   3.75
วิธีทำ ก.        จากโจทย์                r              , m           4
                                                   100
                                                                           4
                                                                3.75
                 ดังนั้น                 r4     =         1                         1
                                                               100 4

                                                        0.03803                            (ร้อยละ 3.80)
                                                   3.65
          ข.     จากโจทย์                r              , m           12
                                                   100
                                                                               12
                                                                 3.65
                 ดังนั้น                 r12    =         1                             1
                                                               100 12

                                                        0.03557                            (ร้อยละ 3.557)

                                                     36
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                      ่
                 สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                               ้



                                                   3.4
         ค.        จากโจทย์               r            , m                 365
                                                   100
                                                                                 365
                                                                         3.4
                   ดังนั้น                r365 =            1                          1
                                                                      100 365

                                                       0.03562                        (ร้อยละ 3.562)

ตัวอย่าง 4 ในการทาปฏิกิริยาทางเคมีสาร A เปลี่ยนไปเป็นสาร                           B    ในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับ
ปริมาณของสาร A ที่เหลืออยู่ โดยที่สมการความสัมพันธ์
                                                            kt
                                          Q(t )        Ce


โดยที่ Q เป็นปริมาณของสาร A ที่เหลืออยู่ เมื่อเวลาผ่านไป t ชั่วโมง ถ้าตอนเริ่มต้นมีสาร A
อยู่ 100 กรัม หลังจากนั้น 3 ชั่วโมง มีสาร A เหลืออยู่ 85 กรัม ถ้าทิ้งให้ทาปฏิกิริยานาน 9 ชั่วโมง
จะเหลือสาร A กี่กรัม
                                                            kt
วิธีทำ จาก                                Q(t )        Ce                              ……………*

         เมื่อ   t      0,Q      100      แทนค่าในสมการ * จะได้
                                                                  k (0)
                                          100      =        Ce

                                             C    =        100
                                                                 kt
         ดังนั้น                          Q(t )         100e                           ……………**

         เมื่อ   t      3,Q      85      แทนค่าในสมการ **
                                                                      3k
                                           85      =        100e
                                              3k             85
                                          e        =
                                                            100
                                              k              3    85
                                          e        =
                                                                 100
                                                                            t
                                                                 85         3
                                         Q(t )    =        100
                                                                100




                                                       37
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                      ่
                 สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                               ้



                                                                        9
                                                                   85   3
         เมื่อ   t      9,                Q        =        100
                                                                  100
                                                                        3
                                                                   85
                                                   =        100
                                                                  100
                                                   =        61.4125         กรัม


                                              แบบฝึกหัดย่อย

1.   ถ้าอัตราการเจริญเติบโตของประชากรหนูในเมืองๆ หนึ่ง ณ เวลาหนึ่ง เป็นไปตามสมการ
                                                                            t
                                          m(t )        m0 (1      0.065)
     เมื่อ         แทน จานวนของหนูเมื่อเวลาผ่านไป t (เดือน)
                     m(t )
              m 0 แทน จานวนของหนู ณ จุดเริ่มต้น
              t แทน เวลา มีหน่วยเป็นเดือน
     1.1 จงหาว่าเมืองนี้มีหนูกี่ตัวเมื่อเวลาผ่านไป 4 เดือน ถ้าจานวนหนู ณ จุดเริ่มต้นเท่ากับ
         150 ตัว
     1.2 เมื่อไรจานวนหนูของเมืองนี้จะเป็น 3000 ตัว
2.   สมพรต้องการฝากเงินแบบพิเศษ 5 ปี เป็นจานวน 400,000 บาท โดยมีธนาคาร 2 ธนาคารให้
     ข้อเสนอดังนี้
           ธนาคาร A คิดดอกเบี้ยแบบทบต้นให้ทุกๆ 3 เดือน โดยมีอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 4.5
                    ต่อปี
           ธนาคาร B คิดดอกเบี้ยแบบทบต้นให้ทุกๆ 4 เดือน โดยมีอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 4.65
                    ต่อปี
           ธนาคาร C เสนอผลตอบแทนร้อยละ 4 ต่อปี แต่คิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุกเดือน
     จงหาว่าสมพรควรจะเลือกธนาคารใด จึงจะได้ผลตอบแทนสูงสุด
3.   ฝากเงินแบบพิเศษกับธนาคาร 300,000 บาท โดยธนาคารให้เลือกฝาก 3 แบบ ดังนี้
     ก. อัตราดอกเบี้ย 4.45 คิดทบต้นทุก 3 เดือน
     ข. อัตราดอกเบี้ย 4.25 คิดทบต้นทุกเดือน
     ค. อัตราดอกเบี้ย 4.05 คิดทบต้นทุกวัน
     แบบใดให้ผลตอบแทนเมื่อสิ้นปีสูงสุด



                                                       38
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                 ่
            สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                          ้



คาตอบ
1.   1.1   193 ตัว                                 1.2    2   เดือน 26 วัน
2.   A (500, 300.21) , B (503, 800.86) , C (488, 398.64)                เลือกธนาคาร     B

3.   ก (313, 574.43) , ข (313, 001.31) , ค (312, 398.69)                เลือกแบบ ก.




                                                 39
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




                สรุปสาระสาคัญประจาตอน




                                     40
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้



                  สรุปสาระสาคัญประจาตอน




                                     41
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




                                     42
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




                         ภาคผนวกที่ 1
                    แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม




                                     43
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                   ่
              สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                            ้



                                                แบบฝึกหัดระคน
                                                       3x 1      x
1.   จงหาเซตคาตอบของอสมการ                     (2             )(5 )                800

     1.   (      , 2]                                                     2.         [ 5,             )

     3.   (      , 2 ] [ 5,        )                                      4.         [ 2, 5 ]

                                                         x            x                  x
2.   จงหาเซตคาตอบของอสมการ                     3 4              5 6                2.9                    0

     1.   (      , log 2 3 ]                                              2.         [ log 2 3,               )

     3.   (      , log 3 3 ]                                              4.         [ log 3 3,               )
                        2                                                                     2


                                                   1                  1

3.   จงหาเซตคาตอบของอสมการ                     3
                                                   x
                                                             12 3
                                                                     2x
                                                                               27                 0       เป็นสับเซตของเซตใด
     1.   (      , 2 ] [ 3,            )                                  2.         (            , 1) (1,                )
                     1    1                                                                           1
     3.   (      ,     ) [ ,           )                                  4.         (            ,     ] (2,         )
                     3    2                                                                           4
                                                   2
                                               x (x 2)                         x
                                           1                              1
4.   เซตคาตอบของอสมการ                 3
                                                                                    คือเซตในข้อใด
                                           5                              5
     1.   ( 2, 0) (1,          )                                          2.         ( 3, 0) (2,                  )

     3.   (      ,    3) ( 3, 1)                                          4.         ( 3, 0) (1,                  )

                                       3 2x                                   1 x
5.   เซตคาตอบของอสมการ             3                    1            4 3             คือเซตในข้อใด
     1.   [1, 2 ]                                                         2.         (            , 1] [ 2,           )

     3.   (      , 2 ] [1,             )                                  4.         [       2, 1]

                                           2x (x 1)                       x 2
                                       1                             1
6.   เซตคาตอบของอสมการ                                                              เป็นสับเซตของข้อใด
                                       e                             e
                                                                                                          1
     1.   ( 1, 3)                                                         2.         (            ,         ) [1,             )
                                                                                                          3
     3.   (      , 2) (1,              )                                  4.         ( 2, 4)




                                                                     44
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                    ่
               สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                                             ้



                                                      log5 x                log5 7
7.   เซตคาตอบของอสมการ                            7                     x                        14       เป็นสับเซตของข้อใด
     1.   (         , 6)                                                                 2.           ( 3, 5)

     3.   (5,       )                                                                    4.           ( 1, 4)

8.   พิจารณาข้อความต่อไปนี้
                        cos                     cos
          ก.        e           6
                                            e         3


                                        1                           1
                                        e                           e
          ข.            sin                            sin
                                    3                          6
     ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
     1. ก. ถูก และ ข. ถูก                                                                2.           ก. ผิด และ ข. ถูก
     3. ก. ผิด และ ข. ถูก                                                                4.           ก. ผิด และ ข. ผิด
9.   กาหนดให้       0           a           b         1       และ       0            x        y       แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
              x         y                                                                                 x           y
     1.   a         b                                                                    2.           a          b
              x y               y                                                                         x y                 x y
     3.   a                 a                                                            4.           a                   b

                                                                        log         (5x 4)                      log         (2x 5)
10. จงหาเซตคาตอบของอสมการ                                     (0.7)           0.7
                                                                                                          0.7         0.7
                                                                                                                                     คือเซตในข้อใด
                                    log x                 log (2x 3)
     1.       x             |4         3
                                                   4         3




     2.       x             | log3 e(x            1)
                                                               log3 e
                                                                            (x 2)
                                                                                             0
                                        x 1                   x 1
                                    1                     1
     3.       x             |
                                    3                     9
                                                n (3x 2)                             n (2x 1)
     4.       x             | log3 e                                log3 e                             0




                                                                                     45
คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     ่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
                              ้




                       ภาคผนวกที่ 2
                      เฉลยแบบฝึกหัด




                                     46
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง

Contenu connexe

Tendances

แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวJirathorn Buenglee
 
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลัง
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลังข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลัง
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลังทับทิม เจริญตา
 
เกมประกอบการสอนสมการ
เกมประกอบการสอนสมการเกมประกอบการสอนสมการ
เกมประกอบการสอนสมการJirathorn Buenglee
 
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1คุณครูพี่อั๋น
 
ชุดที่ 1 แบบรูปและความสัมพันธ์
ชุดที่ 1  แบบรูปและความสัมพันธ์ ชุดที่ 1  แบบรูปและความสัมพันธ์
ชุดที่ 1 แบบรูปและความสัมพันธ์ Aobinta In
 
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลมเอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลมkroojaja
 
เมทริกซ์ (Matrix)
เมทริกซ์ (Matrix)เมทริกซ์ (Matrix)
เมทริกซ์ (Matrix)K'Keng Hale's
 
แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์อัตราส่วนและร้อยละ
แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์อัตราส่วนและร้อยละแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์อัตราส่วนและร้อยละ
แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์อัตราส่วนและร้อยละkroojaja
 
ฮิสโทแกรม
ฮิสโทแกรมฮิสโทแกรม
ฮิสโทแกรมkrookay2012
 
การแก้อสมการ
การแก้อสมการการแก้อสมการ
การแก้อสมการAon Narinchoti
 
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล1
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล1ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล1
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล1Chay Nyx
 

Tendances (20)

17 จำนวนจริง ตอนที่4_สมการพหุนาม
17 จำนวนจริง ตอนที่4_สมการพหุนาม17 จำนวนจริง ตอนที่4_สมการพหุนาม
17 จำนวนจริง ตอนที่4_สมการพหุนาม
 
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
 
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลัง
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลังข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลัง
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลัง
 
ลอการิทึม
ลอการิทึมลอการิทึม
ลอการิทึม
 
เกมประกอบการสอนสมการ
เกมประกอบการสอนสมการเกมประกอบการสอนสมการ
เกมประกอบการสอนสมการ
 
09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
 
ใบงานที่ 1
ใบงานที่ 1ใบงานที่ 1
ใบงานที่ 1
 
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1
 
40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม
40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม
40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม
 
49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์
49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์
49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์
 
ชุดที่ 1 แบบรูปและความสัมพันธ์
ชุดที่ 1  แบบรูปและความสัมพันธ์ ชุดที่ 1  แบบรูปและความสัมพันธ์
ชุดที่ 1 แบบรูปและความสัมพันธ์
 
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลมเอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
 
62 ลำดับและอนุกรม ตอนที่4_ผลบวกย่อย
62 ลำดับและอนุกรม ตอนที่4_ผลบวกย่อย62 ลำดับและอนุกรม ตอนที่4_ผลบวกย่อย
62 ลำดับและอนุกรม ตอนที่4_ผลบวกย่อย
 
1.แบบฝึกหัดเวกเตอร์
1.แบบฝึกหัดเวกเตอร์1.แบบฝึกหัดเวกเตอร์
1.แบบฝึกหัดเวกเตอร์
 
แบบทดสอบ เรื่องพหุนาม
แบบทดสอบ เรื่องพหุนามแบบทดสอบ เรื่องพหุนาม
แบบทดสอบ เรื่องพหุนาม
 
เมทริกซ์ (Matrix)
เมทริกซ์ (Matrix)เมทริกซ์ (Matrix)
เมทริกซ์ (Matrix)
 
แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์อัตราส่วนและร้อยละ
แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์อัตราส่วนและร้อยละแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์อัตราส่วนและร้อยละ
แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์อัตราส่วนและร้อยละ
 
ฮิสโทแกรม
ฮิสโทแกรมฮิสโทแกรม
ฮิสโทแกรม
 
การแก้อสมการ
การแก้อสมการการแก้อสมการ
การแก้อสมการ
 
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล1
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล1ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล1
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล1
 

En vedette

เลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึมเลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึมJiraprapa Suwannajak
 
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึมฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึมaass012
 
ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม)
ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม)ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม)
ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม)นัสรุลเลาะห์ เจ๊ะยะหลี
 
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลY'Yuyee Raksaya
 
อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1
อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1
อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1Nitikan2539
 
ฟังก์ชันเอกโพแนนเชียล
ฟังก์ชันเอกโพแนนเชียลฟังก์ชันเอกโพแนนเชียล
ฟังก์ชันเอกโพแนนเชียลพัน พัน
 
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมบทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมภัชรณันติ์ ศรีประเสริฐ
 
6 อนุกรมอนันต์
6 อนุกรมอนันต์6 อนุกรมอนันต์
6 อนุกรมอนันต์Toongneung SP
 
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556พัน พัน
 

En vedette (20)

42 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่5_อสมการลอการิทึม
42 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่5_อสมการลอการิทึม42 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่5_อสมการลอการิทึม
42 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่5_อสมการลอการิทึม
 
39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอ...
39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอ...39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอ...
39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอ...
 
เลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึมเลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึม
 
37 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม บทนำ
37 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม บทนำ37 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม บทนำ
37 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม บทนำ
 
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึมฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
 
ลอการิทึม..[1]
ลอการิทึม..[1]ลอการิทึม..[1]
ลอการิทึม..[1]
 
ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม)
ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม)ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม)
ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม)
 
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 
ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของลอการิทึม)
ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของลอการิทึม)ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของลอการิทึม)
ฟังก์ชันลอการิทึม(สมบัติของลอการิทึม)
 
เวกเตอร์
เวกเตอร์เวกเตอร์
เวกเตอร์
 
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
 
อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1
อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1
อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1
 
Expolog clipvidva
Expolog clipvidvaExpolog clipvidva
Expolog clipvidva
 
ฟังก์ชันเอกโพแนนเชียล
ฟังก์ชันเอกโพแนนเชียลฟังก์ชันเอกโพแนนเชียล
ฟังก์ชันเอกโพแนนเชียล
 
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมบทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
 
6 อนุกรมอนันต์
6 อนุกรมอนันต์6 อนุกรมอนันต์
6 อนุกรมอนันต์
 
47 ตรีโกณมิติ ตอนที่4_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ2
47 ตรีโกณมิติ ตอนที่4_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ247 ตรีโกณมิติ ตอนที่4_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ2
47 ตรีโกณมิติ ตอนที่4_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ2
 
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556
 
50 ตรีโกณมิติ ตอนที่7_กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
50 ตรีโกณมิติ ตอนที่7_กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ50 ตรีโกณมิติ ตอนที่7_กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
50 ตรีโกณมิติ ตอนที่7_กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 
Log
LogLog
Log
 

Similaire à 41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง

Similaire à 41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง (20)

60 ลำดับและอนุกรม ตอนที่2_การประยุกต์ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต
60 ลำดับและอนุกรม ตอนที่2_การประยุกต์ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต60 ลำดับและอนุกรม ตอนที่2_การประยุกต์ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต
60 ลำดับและอนุกรม ตอนที่2_การประยุกต์ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต
 
63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม
63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม
63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม
 
59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ
59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ
59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ
 
15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ
15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ
15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ
 
21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
 
14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง
14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง
14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง
 
29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ
29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ
29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ
 
20 จำนวนจริง ตอนที่7_ค่าสัมบูรณ์
20 จำนวนจริง ตอนที่7_ค่าสัมบูรณ์20 จำนวนจริง ตอนที่7_ค่าสัมบูรณ์
20 จำนวนจริง ตอนที่7_ค่าสัมบูรณ์
 
34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่5_พีชคณิตของฟังก์ชัน
34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่5_พีชคณิตของฟังก์ชัน34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่5_พีชคณิตของฟังก์ชัน
34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่5_พีชคณิตของฟังก์ชัน
 
30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์
30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์
30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์
 
46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1
46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ146 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1
46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1
 
07 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่1_การให้เหตุผล
07 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่1_การให้เหตุผล07 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่1_การให้เหตุผล
07 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่1_การให้เหตุผล
 
82 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่9_การกระจายสัมพัทธ์
82 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่9_การกระจายสัมพัทธ์82 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่9_การกระจายสัมพัทธ์
82 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่9_การกระจายสัมพัทธ์
 
03 เซต ตอนที่2_เซตกำลังและการดำเนินการบนเซต
03 เซต ตอนที่2_เซตกำลังและการดำเนินการบนเซต03 เซต ตอนที่2_เซตกำลังและการดำเนินการบนเซต
03 เซต ตอนที่2_เซตกำลังและการดำเนินการบนเซต
 
13 จำนวนจริง บทนำ
13 จำนวนจริง บทนำ13 จำนวนจริง บทนำ
13 จำนวนจริง บทนำ
 
75 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่2_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง1
75 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่2_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง175 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่2_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง1
75 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่2_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง1
 
27 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่1_การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ
27 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่1_การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ27 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่1_การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ
27 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่1_การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ
 
79 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่6_การกระจายสัมบูรณ์1
79 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่6_การกระจายสัมบูรณ์179 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่6_การกระจายสัมบูรณ์1
79 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่6_การกระจายสัมบูรณ์1
 
10 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่4_ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
10 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่4_ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ10 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่4_ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
10 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่4_ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
 
64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม
64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม
64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม
 

Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

Basic m2-2-chapter1
Basic m2-2-chapter1Basic m2-2-chapter1
Basic m2-2-chapter1
 
Basic m5-2-chapter3
Basic m5-2-chapter3Basic m5-2-chapter3
Basic m5-2-chapter3
 
Basic m5-2-chapter2
Basic m5-2-chapter2Basic m5-2-chapter2
Basic m5-2-chapter2
 
Basic m5-2-link
Basic m5-2-linkBasic m5-2-link
Basic m5-2-link
 
Basic m5-1-link
Basic m5-1-linkBasic m5-1-link
Basic m5-1-link
 
Basic m5-1-chapter1
Basic m5-1-chapter1Basic m5-1-chapter1
Basic m5-1-chapter1
 
Basic m5-1-chapter2
Basic m5-1-chapter2Basic m5-1-chapter2
Basic m5-1-chapter2
 
Basic m5-2-chapter1
Basic m5-2-chapter1Basic m5-2-chapter1
Basic m5-2-chapter1
 
Basic m4-2-link
Basic m4-2-linkBasic m4-2-link
Basic m4-2-link
 
Basic m4-2-chapter2
Basic m4-2-chapter2Basic m4-2-chapter2
Basic m4-2-chapter2
 
Basic m4-1-link
Basic m4-1-linkBasic m4-1-link
Basic m4-1-link
 
Basic m4-2-chapter1
Basic m4-2-chapter1Basic m4-2-chapter1
Basic m4-2-chapter1
 
Basic m4-1-chapter2
Basic m4-1-chapter2Basic m4-1-chapter2
Basic m4-1-chapter2
 
Basic m4-1-chapter3
Basic m4-1-chapter3Basic m4-1-chapter3
Basic m4-1-chapter3
 
Basic m4-1-chapter4
Basic m4-1-chapter4Basic m4-1-chapter4
Basic m4-1-chapter4
 
Basic m3-2-chapter2
Basic m3-2-chapter2Basic m3-2-chapter2
Basic m3-2-chapter2
 
Basic m3-2-link
Basic m3-2-linkBasic m3-2-link
Basic m3-2-link
 
Basic m4-1-chapter1
Basic m4-1-chapter1Basic m4-1-chapter1
Basic m4-1-chapter1
 
Basic m3-2-chapter4
Basic m3-2-chapter4Basic m3-2-chapter4
Basic m3-2-chapter4
 
Basic m3-2-chapter3
Basic m3-2-chapter3Basic m3-2-chapter3
Basic m3-2-chapter3
 

41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง

  • 1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม (เนื้อหาตอนที่ 4) อสมการเลขชี้กาลัง โดย รองศาสตราจารย์ เพ็ญพรรณ ยังคง สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
  • 2. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบด้วย 1. บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม 2. เนื้อหาตอนที่ 1 เลขยกกาลัง - เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม - เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานอนตรรกยะ - เขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนอตรรกยะ 3. เนื้อหาตอนที่ 2 ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม - ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง - กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง - สมการเลขชี้กาลัง 4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลอการิทึม - ฟังก์ชันลอการิทึม - กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม - สมการลิการิทึม 5. เนื้อหาตอนที่ 4 อสมการเลขชี้กาลัง - ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง - สมการและอสมการของเลขยกกาลัง - ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน 6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการลอการิทึม - ทบทวนสมบัติที่สาคัญของลอการิทึม - สมการและอสมการลอการิทึม - ปัญหาในชีวิตประจาวันที่เกียวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชัน ลอการิทึม 7. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1) 8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2) 9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3) 10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4) 11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง) 1
  • 3. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการ สอนส าหรั บ ครู และนั ก เรี ย นทุ ก โรงเรี ย นที่ ใ ช้ สื่ อ ชุ ด นี้ ร่ ว มกั บ การเรี ย นการสอนวิ ช า คณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และ ชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้ 2
  • 4. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ เรื่อง ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม หมวด เนื้อหา ตอนที่ 4 (4/5) หัวข้อย่อย 1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง 2. สมการและอสมการของเลขชี้กาลัง 3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน จุดประสงค์การเรียนรู้ เพื่อให้ผู้เรียน 1. สามารถแก้สมการของเลขชี้กาลังได้ 2. สามารถแก้อสมการของเลขชี้กาลังได้ 3. สามารถนาความรู้เรื่องฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปแก้ปัญหาต่างๆ ในชีวิตประจาวันได้ ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ผู้เรียนสามารถ 1. อธิบายหลักการและแก้สมการของเลขชี้กาลังได้ 2. อธิบายหลักการและแก้อสมการของเลขชี้กาลังได้ 3. นาความรู้เรื่องการแก้สมการและอสมการของเลขชี้กาลังไปใช้แก้ปัญหาได้ 3
  • 5. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ เนื้อหาในสื่อการสอน 4
  • 6. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง 5
  • 7. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง 6
  • 8. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 2. สมการและอสมการเลขชี้กาลัง 7
  • 9. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 2. สมการและอสมการเลขชี้กาลัง สื่อ ตอนนี้เราอาศัยความรู้เ รื่อ งฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่งในการหาเซตคาตอบของสมการและ อสมการของเลขชี้กาลัง ดังนั้น ในตอนต้นจึงขอทบทวนความรู้เกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ เน้นว่าฟังก์ชันเลขยกกาลังก็เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงสามารถอ้างสมบัติต่างๆ ของฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่งได้ 8
  • 10. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ จากตัวอย่างข้างต้น ผู้สอนควรเน้นให้นักเรียนสังเกตว่า เราอ้างสมบัติการเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่งของฟังก์ชันเลขยกกาลังตรงไหนและอย่างไร และทาแบบฝึกหัดย่อยเพิ่มเติม แบบฝึกหัดย่อย ตอบคาถามสั้นๆ ต่อไปนี้ x 1. 3 729 แล้ว x 2 x x 2. 7 49 แล้ว x 9
  • 11. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ x x 3 6 4 3. แล้ว x 4 9 x 3 1 4. 25 x 1 แล้ว x 5 x x 5. 5 2 แล้ว x x 1 x 1 6. 9 7 แล้ว x คาตอบ 1 1. 6 2. 2 3 2 4. 3 5. 0 6. 1 เมื่อนักเรียนทาแบบฝึกหัดย่อยนี้แล้ว ผู้สอนลองถามนักเรียนว่า ข้อใดบ้างที่อ้างสมบัติการเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และข้อใดไม่ได้อ้างการเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะเหตุใด ตัวอย่างต่อไปจะเพิ่มความซับซ้อนในการหาเซตของคาตอบของสมการเลขชี้กาลัง ซึ่งเราต้อง จัดเตรียมหรือจัดรูปของสมการที่โจทย์กาหนดให้เสียใหม่ เพื่อให้อยู่ในรูปเลขยกกาลังที่มีฐานเป็นจานวน ที่เท่ากันเสียก่อน แล้วจึงจะอ้างความเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพื่อสรุปว่าเลขชี้กาลังจะต้องเท่ากัน 10
  • 12. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 11
  • 13. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ จากตัวอย่างข้างต้น ผู้สอนอาจแนะนานักเรียนว่า บางครั้งในการแก้สมการเลขชี้กาลัง ถ้า เราแปลงสมการเก่าที่ซับซ้อนให้เป็นสมการใหม่ โดยการเลือกสมมติตัวแปรใหม่ที่เหมาะสม 2x x ตัวอย่างเช่น 3 3 10 3 3 3 0 สมการเก่า x x โดยการสมมติให้ A 3 หรือแทน A ด้วย 3 ในสมการเก่า ก็จะได้ 2 3A 10A 3 3 0 สมการใหม่ ซึ่งจะเป็นสมการกาลังสองที่นักเรียนคุ้นเคยและสามารถแก้สมการได้ง่าย x เมื่อหาค่า A จากสมการใหม่ได้แล้ว ก็จะหาค่า x ได้จาก A 3 12
  • 14. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 13
  • 15. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ในการแก้สมการ บางครั้งอาจไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการที่กาหนดให้ แสดงว่า ไม่มีคาตอบของสมการนั้นๆ ซึ่งก็จะได้ว่าเซตคาตอบของสมการเป็นเซตว่างหรือ {} เพื่อให้นักเรียน ได้เห็นสมการซึ่งไม่มีคาตอบ ให้ผู้สอนลองยกตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง จงหาค่า x ที่สอดคล้องสมการ 5 2x 2 5 x 3 0 x 2 วิธีทา 5 2 5 x 3 0 x 2 ให้ A 5 ดังนั้น A 2A 3 = 0 2 A 2A 1 2 = 0 2 (A 1) 2 = 0 นั่นคือ (A 1)2 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น จะไม่มีจานวนจริง A ที่สอดคล้องตามสมการ เพราะว่า A 5x ดังนั้นก็จะไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องตามสมการ นั่นคือ เซตคาตอบของสมการนี้จะเท่ากับ { } หรือ แบบฝึกหัดที่ 1 1. จงหาเซตคาตอบของสมการต่อไปนี้ 5x 2 x 1 x 2x 1 x 6 1.1 2 64 1.2 3 27 9 x x x 4 x 3 x 2 1.3 25 6 5 5 0 1.4 5 5 29 5 x x x 2x 1 x 1.5 10 25 29 10 10 4 0 1.6 3 4 3 9 0 x y z 4 12 12 12 2. ถ้า 2 5 7 70 แล้ว มีค่าเท่าใด x y z 4 2 2m 2 8m 8 m 3. ถ้า (x 18x 81) (x 3) (x 3) แล้ว 2 มีค่าเท่าใด x y 2x y x 4. ถ้า 5 625 5 และ 3 243 3 แล้ว มีค่าเท่าใด y log 4 x log x 3 2 5. ถ้า 4 x 3 x แล้ว x มีค่าเท่าใด 14
  • 16. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ คาตอบ 1. 1.1 {4} 1.2 {3} 1.3 {0, 1} 1.4 { 2} 1.5 { 1, 1} 1.6 {1, 2} 2. 3 1 3. 2 4. 3 5. 2 เราได้ดูสื่อเกี่ยวกับการแก้สมการเลขชี้กาลัง และได้ทาแบบฝึกหัดเพิ่มเติมไปแล้ว ซึ่งจะทา ให้นักเรียนสามารถหาเซตคาตอบของสมการที่กาหนดให้ได้ในระดับหนึ่งแล้ว ต่อไปเราจะพูดถึงการ แก้อสมการเลขชี้กาลัง ซึ่งต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันลดหรือฟังก์ชันเพิ่มของฟังก์ชันเลขชี้ กาลัง จึงขอทบทวนความรู้ในส่วนนี้เสียก่อน เพราะจะต้องมีการอ้างสมบัติการเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือ ฟังก์ชันลด โดยดูจากฐานของเลขชี้กาลังเป็นสาคัญ 15
  • 17. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ผู้สอนให้นักเรียนตอบคาถามสั้นๆ x1 x2 1. x1 x2 3 3 x1 x2 2. x1 x2 4 4 x 1 x 3 3. x 1 x 3 5 5 x 2x 1 4 4 4. x 2x 1 3 3 x 2 x 1 5. x 1 x 2 2 2 4 x 1 6. 4 x 1 3 3 3 2x 1 5 5 7. 3 2x 1 4 4 2 x 2 1 2 x 4 4 1 x 8. 1 2 1 x 3 3 คาตอบ 1. < 2.  3. < , < 4.  5. > , < 6. > 7. > 8. > , > 16
  • 18. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ผู้สอนให้นักเรียนตอบคาถามสั้นๆ x1 x2 1 1 1. x1 x2 2 2 x 4 x 1 1 1 2. x 4 x 1 3 3 3 x 2 x 3 3 3. 3 x 2 x 5 5 x 1 3 1 1 4. x 1 3 5 5 2 x 2 1 2 x 4 4 2 x 5. 1 2 2 x 7 7 คาตอบ 1. > 2. < 3. > , < 4. < 5. > , < 17
  • 19. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ แบบฝึกหัดเพิ่มเติม จงเติมเครื่องหมาย , , , ลงใน 2x 3 x 5 2 2 1. 2x 3 x 5 3 3 2 x x 1 4 4 2. 2 x x 1 3 3 x x 1 2 x x 1 3 1 3 3. 1 2 3 3 6 6 18
  • 20. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ log 3 x log 3 (3x 1) 4. log x 3 log (3x 3 1) 2 2 คาตอบ 1. > 2. < 3.  4. < 19
  • 21. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ แบบฝึกหัดย่อย 1 จงหาเซตของคาตอบของอสมการต่อไปนี้ x 1 x 1 5x 1 x 2 1 1 1. 9 3 2. 2 16 2x 2 x 2x 2 x 1 3. 3 1 4. 2 3x 4 8 2x 1 2x 3 1 1 3x 2 14x 2 5. 6. 7 343 4 2 2 x 2x 3 1 7. 1 3 คาตอบ 1 1. [ 1, ) 2. ( 1, 5) 3. ( , ) (0, ) 2 1 1 4. ( , 6 ] [1, ) 5. ( , ) 6. [ 5, ] 2 3 7. ( , 1) (3, ) 20
  • 22. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 21
  • 23. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ เพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจวิธีการหาเซตคาตอบของอสมการเพิ่มขึ้น ผู้สอนควรเพิ่มตัวอย่าง อีกสักสองสามตัวอย่างดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตของคาตอบของอสมการ 3 4 x 5 6 x 2 9 x 0 วิธีทำ จากอสมการ 3 4 x 5 6 x 2 9 x 0 2x x x 2x จะได้ 3 2 5 2 3 2 3 0 2x 2 x x 3A 5AB 2B 0 (ให้ A 2 ,B 3 ) (3A B )(A 2B ) 0 x x x x เพราะว่า A 2 ,B 3 ดังนั้น 3A B 3 2 3 0 ดังนั้นจะได้ว่า A 2B 0 x x นั่นคือ A 2B หรือ 2 2 3 x 2 ดังนั้น 2 3 x 2 และจะได้ log log 2 3 2 x log log 2 3 log 2 log 2 x 2 log 2 log 3 log 3 22
  • 24. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ log 2 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการนี้คือ x |x log 2 log 3 ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตของคาตอบของอสมการ 10 5 2x 29 10 x 10 2 2x 0 วิธีทำ จากอสมการ 10 5 2x 29 10 x 10 2 2x 0 x 2 x x x 2 จะได้ 10 5 29 5 2 10 2 0 2 2 x x 10A 29AB 10B 0 (ให้ A 5 ,B 2 ) (5A 2B )(2A 5B ) 0 ถ้า 5A 2B 0 จะได้ 5A 2B x x 5 5 2 2 x 1 x 1 5 2 นั่นคือ x 1 0 หรือ x 1 ดังนั้น 5A 2B 0 เมื่อ x 1 และ 5A 2B 0 เมื่อ x 1 ถ้า 2A 5B 0 จะได้ 2A 5B x x 2 5 5 2 x 1 x 1 5 2 นั่นคือ x 1 0 หรือ x 1 ดังนั้น 2A 5B 0 เมื่อ x 1 และ 2A 5B 0 เมื่อ x 1 จากข้อมูลข้างต้นจะได้ว่า (5A2B) < 0 (5A2B) > 0  (2A5B) < 0 (2A5B) > 0    ดังนั้นจะสรุปได้ว่า (5A 2B)(2A 5B) 0 เมื่อ x ( , 1] [1, ) 23
  • 25. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ แบบฝึกหัดย่อย 2 จงหาเซตของคาตอบของสมการต่อไปนี้ 2x 1 x 1. 3 4 3 9 0 x 2 x 1 x 2. 3 3 3 39 x 3 x 2 x 1 3. 5 5 31 5 x x x 4. 10 25 29 10 10 4 0 x 5. log 3 (7 3 18) 2x x 4 x 1 6. 2 4 48 24
  • 26. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ คาตอบ 1. [1, 2 ] 2. (1, ) 3. ( , 1] 4. [ 1, 1] 5. [ 2, ) 6. ( , 1] หมายเหตุ ค่าของ log 2 และ log 3 ที่กาหนดให้ ก็เป็นค่าโดยประมาณ 25
  • 27. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x จากสมการ 10 2x 1 3 x 2 วิธีทา จากสมการที่กาหนดให้ จะได้ 2x 1 x 2 log 10 = log 3 (2x 1) log 10 = (x 2) log 3 (2x 1) = (x 2) log 3 2x x log 3 = 2 log 3 1 x(2 log 3) = (2 log 3 1) (2 log 3 1) 2 log 3 1 x = = 2 log 3 log 3 2 (หมายเหตุ ถ้ากาหนดค่าของ log 3 ก็จะสามารถหาค่าของ x ได้) ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า x จากสมการ n (1 x) n (1 x) 1 วิธีทา จาก n (1 x) n (1 x) 1 1 x จะได้ n = 1 1 x 1 x ดังนั้น = e 1 x 1 x = e ex x ex = e 1 e 1 x = e 1 3x 5 2 x ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคาตอบของอสมการ e 3 3x 5 2 x วิธีทา จาก e 3 (เราเลือกใช้ลอการิทึมฐาน e ) จะได้ 3x 5 2 x ne  n 3 (3x 5) n e  (2 x) n 3 3x x n 3  2 n 3 5 ( ne 1) 26
  • 28. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 2 n 3 5 ดังนั้น x  3 n 3 2 n 3 5 เซตคาตอบของอสมการนี้คือ , 3 n 3 แบบฝึกหัดเพิ่มเติม 1. จงหาค่าของจานวนจริง x จากสมการ 2x 1 1.1 3 8 x 1 2x 3 1.2 5 2 x x 2 x 4 x 3 1.3 3 5 3 5 2. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 2.1 4 25x 3 10x 4x 0 x 2x 2.2 2 3 8 3 คาตอบ 3 log 2 log 3 3 log 2 log 5 1. 1.1 x 1.2 x 2 log 3 2 log 2 log 5 3 log 2 1 1.3 x log 5 log 3 2 log 2 2. 2.1 x 2.2 x log 3 4 log 2 log 5 27
  • 29. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน 28
  • 30. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน ต่อไปจะเป็นการนาความรู้เรื่องฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปประยุกต์ใช้ ซึ่งในสื่อจะเป็นตัวอย่าง ของฟังก์ชันเลขชี้กาลังที่เข้าไปเกี่ยวข้องกับชีวิตประจาวัน นักเรียนจะได้เห็นว่าเรานาความรู้เรื่อง ฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปคานวณหรืออธิบาย อัตรา หรือจานวนประชากร หรือการเปลี่ยนแปลงในอนาคต ได้อย่างไร 29
  • 31. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 30
  • 32. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ นักเรียนอาจสงสัยว่า รู้ได้อย่างไรว่าความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของต้นไม้และเวลาที่ผ่าน พ้นไปจะเป็นไปตามสมการที่กาหนดให้ ผู้สอนคงต้องบอกให้นักเรียนทราบว่า ความสัมพันธ์ที่ กาหนดให้ในโจทย์บางครั้งเป็นสมมติฐานที่นักวิทยาศาสตร์คาดเดา และบางครั้งก็ได้มีการทาวิจัยและ ได้ข้อสรุปความสัมพันธ์ตามสมการที่กาหนดให้ แต่ในบางครั้ง ตัวเลขหรือจานวนในสถานการณ์จริง ก็เป็นจานวนที่มีทศนิยมหลายตาแหน่ง อาจไม่สะดวกในการใช้คานวณ ในตัวอย่างจึงอาจใช้ตัวเลข สมมติเพื่อความเหมาะสมหรือสะดวกในการคานวณ ซึ่งในชีวิตประจาวันจริง เราก็สามารถคานวณ โดยใช้หลักการคานวณเดียวกัน และในการคานวณเราใช้ลอการิทึมช่วยในการคานวณให้ง่ายขึ้น โดยบางกรณี (บางครั้ง) ค่าที่ได้เป็นเพียงค่าโดยประมาณเท่านั้น เนื่องจากข้อจากัดของค่าจากตาราง ลอการิทึม ซึ่งเป็นค่าประมาณทศนิยมเพียง 4 ตาแหน่ง เมื่อนาไปบวก/ลบ/คูณ/หาร ก็จะได้ผลลัพท์ เป็นค่าโดยประมาณ 31
  • 33. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ เพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจหรือเห็นได้ชัดเจนว่า ในสื่อเลือกใช้ลอการิทึมฐาน e ในการคานวณ ระยะเวลาว่า นานเท่าไรจึงจะมีปริมาตร 4,000 ลูกบาศก์ฟุต แล้วอ้างว่าสะดวกกว่าและง่ายกว่า ทาไมจึงเป็นเช่นนั้น ผู้สอนอาจแสดงให้นักเรียนเห็นว่า ถ้าใช้ลอการิทึมฐานอื่นแล้วอาจยุ่งยากกว่า โดยลองเลือกใช้ลอการิทึมฐาน 10 ก็ได้ ดังนี้ t จากความสัมพันธ์ 4000 100e t จะได้ e 40 32
  • 34. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ถ้าเราเลือกใช้ลอการิทึมฐาน 10 ก็จะได้ t log e = log 40 t log e = log 40 log 40 t = log e จากตารางลอการิทึมฐาน 10 จะได้ log e 0.4343 และ log 40 1.6021 1.6021 ดังนั้น t 3.6889 0.4343 หรือถ้าเราใช้ลอการิทึมฐาน 3 ก็จะได้ t log3 e log3 40 log3 40 ดังนั้น t (ซึ่งจะมีปัญหาในการคานวณค่าของ t เพราะเรา log3 e ไม่มีตารางค่าของลอการิทึมฐาน 3) 33
  • 35. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ในชีวิตประจาวันเรายังมีเรื่องที่เกี่ยวกับการเงินและการธนาคารซึ่งอาศัยความรู้เรื่องฟังก์ชัน เลขยกกาลังและฟังก์ชันลอการิทึมช่วยในการคานวณ ตัวอย่างเช่น เราทราบว่าสูตรที่ใช้คานวณเงิน รวมโดยคิดดอกเบี้ยทบต้น คือ n S P (1 i) เมื่อ Sn หมายถึงเงินรวมที่ได้จากการคิดดอกเบี้ยทบต้นของเงินต้น P บาท และคิดอัตราดอกเบี้ย i และคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นจานวน n คาบ ถ้าเรารู้อัตราดอกเบี้ยของการฝากเงินและรู้ว่าคิดดอกเบี้ย ทบต้นกี่ครั้ง ก็จะสามารถคานวณเงินรวมของการฝากเงินได้ทันทัน แต่การแทนค่าในสูตร ต้องแทน ค่าให้ถูกต้อง จึงต้องมีวิธีหาค่า i และ n ที่ชัดเจน โดยผู้สอนอาจยกตัวอย่างให้ดูสัก 2-3 ตัวอย่าง 34
  • 36. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ตัวอย่าง 1 ฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่ง 50,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ยในอัตราร้อยละ 2.5 ต่อปี คิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุก 4 เดือน ฝากนาน 2 ปี จงหาว่าเมื่อครบ 2 ปี จะได้เงินรวมเท่าไร วิธีทำ จากโจทย์จะได้ P 50000 2.5 r 100 i (เมื่อ r คืออัตราดอกเบี้ยต่อปี) m 3 n 2 3 6 ( 2 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้น 6 ครั้ง) n ดังนั้น เงินรวม Sn = P(1 i) 6 0.025 = 50000 1 3  52552.67 บาท ตัวอย่าง 2 น้องพลอยต้องการใช้เงิน 1,000,000 บาท ในอีก 10 ปีข้างหน้านับจากวันนี้ ถ้า ธนาคารมีโปรแกรมฝากพิเศษระยะเวลา 10 ปี คิดดอกเบี้ยให้ร้อยละ 4.5 ต่อปี และคิดดอกเบี้ยทบต้น ทุกครึ่งปี น้องพลอยควรจะฝากเงินในวันนี้เป็นจานวนเท่าใด จึงจะมีเงินในบัญชี 1,000,000 บาทใน อีก 10 ปีข้างหน้า (ไม่มีการคิดภาษีของดอกเบี้ยของเงินฝากพิเศษนี้) วิธีทำ น้องพลอยต้องการหาเงินเต้น P บาท ซึ่งจะทาให้ S (เงินรวม) = 1,000,000 บาท 4.5 i = (คิดทบต้นปีละ 2 ครั้ง) 100 2 n = 10 2 (คิดทบต้นเป็นจานวน 10 2 ครั้ง) n แทนค่าในสูตร S P (1 i) 20 2.25 1, 000, 000 = P 1 100 6 20 10 = P 1 0.0225 6 20 log 10 = log P 1 0.0225 6 = log P 20 log (1.0225) 35
  • 37. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ log P  6 20(0.0097) 5.8067 5  log (10 6.407)  640700 ดังนั้น น้องพลอยต้องฝากเงินวันนี้เป็นจานวน 640,700 บาท เพื่อว่าอีก 10 ปีข้างหน้า จะมีเงิน 1,000,000 บาทในบัญชี ตัวอย่าง 3 ธนาคารแห่งหนึ่งให้ดอกเบี้ยเงินฝากประจาพิเศษเป็นแบบทบต้น m ครั้งต่อปี โดยให้ ดอกเบี้ย เมื่อสิ้นปี ผู้ฝากจะได้ดอกเบี้ยที่แท้จริงเป็นไปตามสมการ m r rm 1 1 m เมื่อ rm แทน ดอกเบี้ยที่ได้รับจริงเมื่อสิ้นปี (ของเงินต้น 1 บาท) r แทน อัตราดอกเบี้ยที่ธนาคารกาหนดให้ต่อปี (ของเงินต้น 1 บาท) m แทน จานวนครั้งที่ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นใน 1 ปี ก. จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.75% ต่อปี โดยคิดทบต้น ทุก 4 เดือน ข. จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.5% ต่อปี โดยคิดทบต้น ทุกเดือน ค. จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.25% ต่อปี โดยคิดทบต้น ทุกวัน 3.75 วิธีทำ ก. จากโจทย์ r , m 4 100 4 3.75 ดังนั้น r4 = 1 1 100 4  0.03803 (ร้อยละ 3.80) 3.65 ข. จากโจทย์ r , m 12 100 12 3.65 ดังนั้น r12 = 1 1 100 12  0.03557 (ร้อยละ 3.557) 36
  • 38. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 3.4 ค. จากโจทย์ r , m 365 100 365 3.4 ดังนั้น r365 = 1 1 100 365  0.03562 (ร้อยละ 3.562) ตัวอย่าง 4 ในการทาปฏิกิริยาทางเคมีสาร A เปลี่ยนไปเป็นสาร B ในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับ ปริมาณของสาร A ที่เหลืออยู่ โดยที่สมการความสัมพันธ์ kt Q(t ) Ce โดยที่ Q เป็นปริมาณของสาร A ที่เหลืออยู่ เมื่อเวลาผ่านไป t ชั่วโมง ถ้าตอนเริ่มต้นมีสาร A อยู่ 100 กรัม หลังจากนั้น 3 ชั่วโมง มีสาร A เหลืออยู่ 85 กรัม ถ้าทิ้งให้ทาปฏิกิริยานาน 9 ชั่วโมง จะเหลือสาร A กี่กรัม kt วิธีทำ จาก Q(t ) Ce ……………* เมื่อ t 0,Q 100 แทนค่าในสมการ * จะได้ k (0) 100 = Ce  C = 100 kt ดังนั้น Q(t ) 100e ……………** เมื่อ t 3,Q 85 แทนค่าในสมการ ** 3k 85 = 100e 3k 85 e = 100 k 3 85 e = 100 t 85 3  Q(t ) = 100 100 37
  • 39. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 9 85 3 เมื่อ t 9, Q = 100 100 3 85 = 100 100 = 61.4125 กรัม แบบฝึกหัดย่อย 1. ถ้าอัตราการเจริญเติบโตของประชากรหนูในเมืองๆ หนึ่ง ณ เวลาหนึ่ง เป็นไปตามสมการ t m(t ) m0 (1 0.065) เมื่อ แทน จานวนของหนูเมื่อเวลาผ่านไป t (เดือน) m(t ) m 0 แทน จานวนของหนู ณ จุดเริ่มต้น t แทน เวลา มีหน่วยเป็นเดือน 1.1 จงหาว่าเมืองนี้มีหนูกี่ตัวเมื่อเวลาผ่านไป 4 เดือน ถ้าจานวนหนู ณ จุดเริ่มต้นเท่ากับ 150 ตัว 1.2 เมื่อไรจานวนหนูของเมืองนี้จะเป็น 3000 ตัว 2. สมพรต้องการฝากเงินแบบพิเศษ 5 ปี เป็นจานวน 400,000 บาท โดยมีธนาคาร 2 ธนาคารให้ ข้อเสนอดังนี้ ธนาคาร A คิดดอกเบี้ยแบบทบต้นให้ทุกๆ 3 เดือน โดยมีอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 4.5 ต่อปี ธนาคาร B คิดดอกเบี้ยแบบทบต้นให้ทุกๆ 4 เดือน โดยมีอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 4.65 ต่อปี ธนาคาร C เสนอผลตอบแทนร้อยละ 4 ต่อปี แต่คิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุกเดือน จงหาว่าสมพรควรจะเลือกธนาคารใด จึงจะได้ผลตอบแทนสูงสุด 3. ฝากเงินแบบพิเศษกับธนาคาร 300,000 บาท โดยธนาคารให้เลือกฝาก 3 แบบ ดังนี้ ก. อัตราดอกเบี้ย 4.45 คิดทบต้นทุก 3 เดือน ข. อัตราดอกเบี้ย 4.25 คิดทบต้นทุกเดือน ค. อัตราดอกเบี้ย 4.05 คิดทบต้นทุกวัน แบบใดให้ผลตอบแทนเมื่อสิ้นปีสูงสุด 38
  • 40. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ คาตอบ 1. 1.1 193 ตัว 1.2 2 เดือน 26 วัน 2. A (500, 300.21) , B (503, 800.86) , C (488, 398.64) เลือกธนาคาร B 3. ก (313, 574.43) , ข (313, 001.31) , ค (312, 398.69) เลือกแบบ ก. 39
  • 41. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ สรุปสาระสาคัญประจาตอน 40
  • 42. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ สรุปสาระสาคัญประจาตอน 41
  • 43. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 42
  • 44. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม 43
  • 45. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ แบบฝึกหัดระคน 3x 1 x 1. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (2 )(5 ) 800 1. ( , 2] 2. [ 5, ) 3. ( , 2 ] [ 5, ) 4. [ 2, 5 ] x x x 2. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3 4 5 6 2.9 0 1. ( , log 2 3 ] 2. [ log 2 3, ) 3. ( , log 3 3 ] 4. [ log 3 3, ) 2 2 1 1 3. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3 x 12 3 2x 27 0 เป็นสับเซตของเซตใด 1. ( , 2 ] [ 3, ) 2. ( , 1) (1, ) 1 1 1 3. ( , ) [ , ) 4. ( , ] (2, ) 3 2 4 2 x (x 2) x 1 1 4. เซตคาตอบของอสมการ 3 คือเซตในข้อใด 5 5 1. ( 2, 0) (1, ) 2. ( 3, 0) (2, ) 3. ( , 3) ( 3, 1) 4. ( 3, 0) (1, ) 3 2x 1 x 5. เซตคาตอบของอสมการ 3 1 4 3 คือเซตในข้อใด 1. [1, 2 ] 2. ( , 1] [ 2, ) 3. ( , 2 ] [1, ) 4. [ 2, 1] 2x (x 1) x 2 1 1 6. เซตคาตอบของอสมการ เป็นสับเซตของข้อใด e e 1 1. ( 1, 3) 2. ( , ) [1, ) 3 3. ( , 2) (1, ) 4. ( 2, 4) 44
  • 46. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ log5 x log5 7 7. เซตคาตอบของอสมการ 7 x 14 เป็นสับเซตของข้อใด 1. ( , 6) 2. ( 3, 5) 3. (5, ) 4. ( 1, 4) 8. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ cos cos ก. e 6 e 3 1 1 e e ข. sin sin 3 6 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ผิด และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 9. กาหนดให้ 0 a b 1 และ 0 x y แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง x y x y 1. a b 2. a b x y y x y x y 3. a a 4. a b log (5x 4) log (2x 5) 10. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (0.7) 0.7 0.7 0.7 คือเซตในข้อใด log x log (2x 3) 1. x |4 3 4 3 2. x | log3 e(x 1) log3 e (x 2) 0 x 1 x 1 1 1 3. x | 3 9 n (3x 2) n (2x 1) 4. x | log3 e log3 e 0 45
  • 47. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัด 46