15. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ในการแก้สมการ บางครั้งอาจไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการที่กาหนดให้ แสดงว่า
ไม่มีคาตอบของสมการนั้นๆ ซึ่งก็จะได้ว่าเซตคาตอบของสมการเป็นเซตว่างหรือ {} เพื่อให้นักเรียน
ได้เห็นสมการซึ่งไม่มีคาตอบ ให้ผู้สอนลองยกตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหาค่า x ที่สอดคล้องสมการ 5
2x
2 5
x
3 0
x 2
วิธีทา 5 2 5
x
3 0
x 2
ให้ A 5 ดังนั้น A 2A 3 = 0
2
A 2A 1 2 = 0
2
(A 1) 2 = 0
นั่นคือ (A 1)2 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น จะไม่มีจานวนจริง A ที่สอดคล้องตามสมการ
เพราะว่า A 5x ดังนั้นก็จะไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องตามสมการ
นั่นคือ เซตคาตอบของสมการนี้จะเท่ากับ { } หรือ
แบบฝึกหัดที่ 1
1. จงหาเซตคาตอบของสมการต่อไปนี้
5x 2 x 1 x 2x 1 x 6
1.1 2 64 1.2 3 27 9
x x x 4 x 3 x 2
1.3 25 6 5 5 0 1.4 5 5 29 5
x x x 2x 1 x
1.5 10 25 29 10 10 4 0 1.6 3 4 3 9 0
x y z 4 12 12 12
2. ถ้า 2 5 7 70 แล้ว มีค่าเท่าใด
x y z
4 2 2m 2 8m 8 m
3. ถ้า (x 18x 81) (x 3) (x 3) แล้ว 2 มีค่าเท่าใด
x y 2x y x
4. ถ้า 5 625 5 และ 3 243 3 แล้ว มีค่าเท่าใด
y
log 4 x log x 3 2
5. ถ้า 4 x 3 x แล้ว x มีค่าเท่าใด
14
23. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจวิธีการหาเซตคาตอบของอสมการเพิ่มขึ้น ผู้สอนควรเพิ่มตัวอย่าง
อีกสักสองสามตัวอย่างดังนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตของคาตอบของอสมการ 3 4
x
5 6
x
2 9
x
0
วิธีทำ จากอสมการ 3 4
x
5 6
x
2 9
x
0
2x x x 2x
จะได้ 3 2 5 2 3 2 3 0
2x 2 x x
3A 5AB 2B 0 (ให้ A 2 ,B 3 )
(3A B )(A 2B ) 0
x x x x
เพราะว่า A 2 ,B 3 ดังนั้น 3A B 3 2 3 0
ดังนั้นจะได้ว่า A 2B 0
x x
นั่นคือ A 2B หรือ 2 2 3
x
2
ดังนั้น 2
3
x
2
และจะได้ log log 2
3
2
x log log 2
3
log 2 log 2
x
2 log 2 log 3
log
3
22
24. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
log 2
ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการนี้คือ x |x
log 2 log 3
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตของคาตอบของอสมการ 10 5
2x
29 10
x
10 2
2x
0
วิธีทำ จากอสมการ 10 5
2x
29 10
x
10 2
2x
0
x 2 x x x 2
จะได้ 10 5 29 5 2 10 2 0
2 2 x x
10A 29AB 10B 0 (ให้ A 5 ,B 2 )
(5A 2B )(2A 5B ) 0
ถ้า 5A 2B 0 จะได้
5A 2B
x x
5 5 2 2
x 1 x 1
5 2
นั่นคือ x 1 0 หรือ x 1
ดังนั้น 5A 2B 0 เมื่อ x 1
และ 5A 2B 0 เมื่อ x 1
ถ้า 2A 5B 0 จะได้
2A 5B
x x
2 5 5 2
x 1 x 1
5 2
นั่นคือ x 1 0 หรือ x 1
ดังนั้น 2A 5B 0 เมื่อ x 1
และ 2A 5B 0 เมื่อ x 1
จากข้อมูลข้างต้นจะได้ว่า
(5A2B) < 0 (5A2B) > 0
(2A5B) < 0 (2A5B) > 0
ดังนั้นจะสรุปได้ว่า (5A 2B)(2A 5B) 0 เมื่อ x ( , 1] [1, )
23
25. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัดย่อย 2
จงหาเซตของคาตอบของสมการต่อไปนี้
2x 1 x
1. 3 4 3 9 0
x 2 x 1 x
2. 3 3 3 39
x 3 x 2 x 1
3. 5 5 31 5
x x x
4. 10 25 29 10 10 4 0
x
5. log 3 (7 3 18) 2x
x 4 x 1
6. 2 4 48
24
27. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x จากสมการ 10
2x 1
3
x 2
วิธีทา จากสมการที่กาหนดให้ จะได้
2x 1 x 2
log 10 = log 3
(2x 1) log 10 = (x 2) log 3
(2x 1) = (x 2) log 3
2x x log 3 = 2 log 3 1
x(2 log 3) = (2 log 3 1)
(2 log 3 1) 2 log 3 1
x = =
2 log 3 log 3 2
(หมายเหตุ ถ้ากาหนดค่าของ log 3 ก็จะสามารถหาค่าของ x ได้)
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า x จากสมการ n (1 x) n (1 x) 1
วิธีทา จาก n (1 x) n (1 x) 1
1 x
จะได้ n = 1
1 x
1 x
ดังนั้น = e
1 x
1 x = e ex
x ex = e 1
e 1
x =
e 1
3x 5 2 x
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคาตอบของอสมการ e 3
3x 5 2 x
วิธีทา จาก e 3
(เราเลือกใช้ลอการิทึมฐาน e ) จะได้
3x 5 2 x
ne n 3
(3x 5) n e (2 x) n 3
3x x n 3 2 n 3 5 ( ne 1)
26
28. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2 n 3 5
ดังนั้น x
3 n 3
2 n 3 5
เซตคาตอบของอสมการนี้คือ ,
3 n 3
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
1. จงหาค่าของจานวนจริง x จากสมการ
2x 1
1.1 3 8
x 1 2x 3
1.2 5 2
x x 2 x 4 x 3
1.3 3 5 3 5
2. จงหาเซตคาตอบของอสมการ
2.1 4 25x 3 10x 4x 0
x 2x
2.2 2 3 8 3
คาตอบ
3 log 2 log 3 3 log 2 log 5
1. 1.1 x 1.2 x
2 log 3 2 log 2 log 5
3 log 2 1
1.3 x
log 5 log 3
2 log 2
2. 2.1 x 2.2 x log 3 4
log 2 log 5
27
33. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจหรือเห็นได้ชัดเจนว่า ในสื่อเลือกใช้ลอการิทึมฐาน e ในการคานวณ
ระยะเวลาว่า นานเท่าไรจึงจะมีปริมาตร 4,000 ลูกบาศก์ฟุต แล้วอ้างว่าสะดวกกว่าและง่ายกว่า
ทาไมจึงเป็นเช่นนั้น ผู้สอนอาจแสดงให้นักเรียนเห็นว่า ถ้าใช้ลอการิทึมฐานอื่นแล้วอาจยุ่งยากกว่า
โดยลองเลือกใช้ลอการิทึมฐาน 10 ก็ได้ ดังนี้
t
จากความสัมพันธ์ 4000 100e
t
จะได้ e 40
32
34. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ถ้าเราเลือกใช้ลอการิทึมฐาน 10 ก็จะได้
t
log e = log 40
t log e = log 40
log 40
t =
log e
จากตารางลอการิทึมฐาน 10 จะได้ log e 0.4343 และ log 40 1.6021
1.6021
ดังนั้น t 3.6889
0.4343
หรือถ้าเราใช้ลอการิทึมฐาน 3 ก็จะได้
t
log3 e log3 40
log3 40
ดังนั้น t (ซึ่งจะมีปัญหาในการคานวณค่าของ t เพราะเรา
log3 e
ไม่มีตารางค่าของลอการิทึมฐาน 3)
33
35. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ในชีวิตประจาวันเรายังมีเรื่องที่เกี่ยวกับการเงินและการธนาคารซึ่งอาศัยความรู้เรื่องฟังก์ชัน
เลขยกกาลังและฟังก์ชันลอการิทึมช่วยในการคานวณ ตัวอย่างเช่น เราทราบว่าสูตรที่ใช้คานวณเงิน
รวมโดยคิดดอกเบี้ยทบต้น คือ
n
S P (1 i)
เมื่อ Sn หมายถึงเงินรวมที่ได้จากการคิดดอกเบี้ยทบต้นของเงินต้น P บาท และคิดอัตราดอกเบี้ย i
และคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นจานวน n คาบ ถ้าเรารู้อัตราดอกเบี้ยของการฝากเงินและรู้ว่าคิดดอกเบี้ย
ทบต้นกี่ครั้ง ก็จะสามารถคานวณเงินรวมของการฝากเงินได้ทันทัน แต่การแทนค่าในสูตร ต้องแทน
ค่าให้ถูกต้อง จึงต้องมีวิธีหาค่า i และ n ที่ชัดเจน โดยผู้สอนอาจยกตัวอย่างให้ดูสัก 2-3 ตัวอย่าง
34
36. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ตัวอย่าง 1 ฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่ง 50,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ยในอัตราร้อยละ 2.5
ต่อปี คิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุก 4 เดือน ฝากนาน 2 ปี จงหาว่าเมื่อครบ 2 ปี จะได้เงินรวมเท่าไร
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ P 50000
2.5
r 100
i (เมื่อ r คืออัตราดอกเบี้ยต่อปี)
m 3
n 2 3 6 ( 2 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้น 6 ครั้ง)
n
ดังนั้น เงินรวม Sn = P(1 i)
6
0.025
= 50000 1
3
52552.67 บาท
ตัวอย่าง 2 น้องพลอยต้องการใช้เงิน 1,000,000 บาท ในอีก 10 ปีข้างหน้านับจากวันนี้ ถ้า
ธนาคารมีโปรแกรมฝากพิเศษระยะเวลา 10 ปี คิดดอกเบี้ยให้ร้อยละ 4.5 ต่อปี และคิดดอกเบี้ยทบต้น
ทุกครึ่งปี น้องพลอยควรจะฝากเงินในวันนี้เป็นจานวนเท่าใด จึงจะมีเงินในบัญชี 1,000,000 บาทใน
อีก 10 ปีข้างหน้า (ไม่มีการคิดภาษีของดอกเบี้ยของเงินฝากพิเศษนี้)
วิธีทำ น้องพลอยต้องการหาเงินเต้น P บาท ซึ่งจะทาให้
S (เงินรวม) = 1,000,000 บาท
4.5
i = (คิดทบต้นปีละ 2 ครั้ง)
100 2
n = 10 2 (คิดทบต้นเป็นจานวน 10 2 ครั้ง)
n
แทนค่าในสูตร S P (1 i)
20
2.25
1, 000, 000 = P 1
100
6 20
10 = P 1 0.0225
6 20
log 10 = log P 1 0.0225
6 = log P 20 log (1.0225)
35
46. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
log5 x log5 7
7. เซตคาตอบของอสมการ 7 x 14 เป็นสับเซตของข้อใด
1. ( , 6) 2. ( 3, 5)
3. (5, ) 4. ( 1, 4)
8. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
cos cos
ก. e 6
e 3
1 1
e e
ข. sin sin
3 6
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ผิด และ ข. ถูก
3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
9. กาหนดให้ 0 a b 1 และ 0 x y แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
x y x y
1. a b 2. a b
x y y x y x y
3. a a 4. a b
log (5x 4) log (2x 5)
10. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (0.7) 0.7
0.7 0.7
คือเซตในข้อใด
log x log (2x 3)
1. x |4 3
4 3
2. x | log3 e(x 1)
log3 e
(x 2)
0
x 1 x 1
1 1
3. x |
3 9
n (3x 2) n (2x 1)
4. x | log3 e log3 e 0
45