46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

เรื่อง

ตรีโกณมิติ
(เนื้อหาตอนที่ 3)
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1

โดย

รองศาสตราจารย์ จิตรจวบ เปาอินทร์

สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 15 ตอน ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
2. เนื้อหาตอนที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย
- เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
- วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุมและหน่วยของมุม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
- ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม
- สูตรผลคูณ ผลบวกและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7. เนื้อหาตอนที่ 6 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
- กฎของไซน์
- กฎของโคไซน์
8. เนื้อหาตอนที่ 7 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1


9. เนื้อหาตอนที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- สมบัติและความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
12. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กฎของไซน์และกฎของโคไซน์

คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่ อง ตรีโกณมิติ
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว
ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ยของ
คู่มือฉบับนี้

2


เรื่อง ตรีโกณมิติ (ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 3 (3 / 8)

หัวข้อย่อย 1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม
2. ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60

จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เกิดความเข้าใจในมโนทัศน์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม
2. สามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 0 90 180 270 และ 360 ได้
3. สามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตของมุมบางมุมในจตุภาคที่ 1 (30 45 และ 60) ได้
ิ

ผลการเรียนรู้
ผู้เรียนสามารถ
1. บอกบทนิยามของฟังกันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุมได้
2. หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 0 90 180 270 และ 360 ได้
3. หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60 ได้

3


เนือหาในสื่อการสอน
้

เนื้อหาทั้งหมด

4


1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม

5


1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม

เราเริ่มด้วยเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงก่อน โดยในตอนแรกจะกล่าวถึงสองฟังก์ชัน คือ
ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์

6


และเพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจในมโนทัศน์ของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ จึงเขียนกราฟของฟังก์ชันทั้งสอง
ประกอบกับบทนิยามไปด้วยกัน
สาหรับค่าจริง  ต่าง ๆ ถ้าเราหาค่า x และ y ได้ จากวงกลมหนึ่งหน่วยทาให้เราสามารถเขียนกราฟ
ได้ดังนี้

7


ถ้าเราอยากทราบเรนจ์ของฟังก์ชันทั้งสอง พิจารณาได้ดังนี้

8


ต่อไปจะแนะนาให้รู้จัก เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งก็คือความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์กับ
ฟังก์ชันโคไซน์

นักเรียนจะเห็นว่า เอกลักษณ์นี้ก็คือความสัมพันธ์ของ sin () และ cos () สาหรับทุกค่าจริง 
ซึ่งต่อไปนักเรียนสามารถนาไปใช้ได้ และก่อนที่จะนาเอกลักษณ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ไปใช้

9


เราจะพิจารณาเครื่องหมายของ sin () และ cos () เมื่อ  อยู่ในช่วงต่าง ๆ ดังนี้
       3   3 
0, 2  ,  2 ,   ,  , 2  และ  2 , 2 
       

ต่อไปเป็นตัวอย่างที่ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ และสมบัติที่เกี่ยวกับเครื่องหมายของค่า sin และ cos

10


ตัวอย่างเพิ่มเติม

3 3
ตัวอย่าง กาหนดให้ sin () =  และ << จงหาค่าของ cos ()
4 2

วิธีทา ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ sin2 + cos2 = 1

 3 
2
7
แล้ว cos() =  1  sin    1   
2
 
 4 4
3 7
แต่  ดังนั้น cos () < 0 ฉะนั้น cos () = 
2 4
เมื่อเรานิยามฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์จากจุด (x, y) บนวงกลมหนึ่งหน่วย จะเห็น (x, y) จะวนกลับมา
ที่เดิม ถ้าค่าจริง  เปลี่ยนไปเป็นค่าจริง  + 2 หรือค่าจริง  – 2

11


สรุปได้ว่า

12


ต่อไปเราจะหาค่าฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ของค่าจริงบางค่า จากรูป

เมื่อเราได้ เซตของค่าจริงที่ทาให้ค่าไซน์เป็น 0 และเซตของค่าจริงที่ทาให้ค่าโคไซน์เป็น 0
ต่อไปเราจะนาไปประกอบการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติอีก 4 ฟังก์ชัน

13


แต่ก่อนอื่นเรามาหาค่าฟังก์ชันจากตัวอย่างต่อไปนี้กัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลืออีก 4 ฟังก์ชัน จะนิยามดังนี้

และหาเอกลักษณ์ตรีโกณมิติได้อีก 2 เอกลักษณ์ คือ

14


เมือเรามีฟังก์ชันตรีโกณมิติครบทั้ง 4 ฟังก์ชันแล้ว เราจะแสดงค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงบางค่าโดย
่
ตารางต่อไปนี้

และสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เกี่ยวกับมุม  และมุม  + 2n , n 

15


เมื่อเรานิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงไปแล้ว คราวนี้จะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมกันบ้าง

16


นักเรียนจะได้เห็นว่า ค่าฟังก์ชันไซน์ของมุม  เรเดียน จะเท่ากับค่าฟังก์ชันไซน์ของค่าจริง 
และ ค่าฟังก์ชันโคไซน์ของมุม  เรเดียน จะเท่ากับค่าฟังก์ชันโคไซน์ของค่าจริง 
ซึ่งต่อไปจะใช้แทนกันได้
ต่อไปจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ของมุมกัน

และในทานองเดียวกับฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ เราจะได้ด้วยว่า
ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม  เรเดียน จะเท่ากับค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริง 

เมื่อได้ความสัมพันธ์ของมุมที่มีหน่วยเป็นเรเดียนกับค่าจริงใด ๆ แล้ว เราสามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
17


ของมุมบางมุม (0, 90, 180, 270 และ 360) ได้ดังนี้

ตัวอย่างเพิ่มเติม

ตัวอย่าง จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่อไปนี้
 3   3  
1. sin (–270) = sin    = sin  2   = sin   = 1
 2   2  2
 5    
2. cos (450) = cos   = cos  2   = cos   = 0
 2   2 2
3. tan (540) = tan (3) = tan(2 + ) = tan() = 0
     3 
4. cosec (–90) = cosec    = cosec  2   = cosec   = –1
 2  2  2 
5. sec (–180) = sec (–) = sec(2 – ) = sec() = –1
 7   3   3 
6. cot (630) = cot   = cot  2   = cot   = 0
 2   2   2 

5 
ตัวอย่าง กาหนดให้ sec () =  และ << จงหาค่าของ tan ()
3 2

18


วิธีทา ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ sec2 – tan2 = 1
2
 5 4
แล้ว tan () =  sec2   1       1  
 3 3

แต่ <  <  ดังนั้น sin () > 0 และ cos () < 0 แล้ว tan () < 0
2
4
ฉะนั้น tan () = 
3

1 3
ตัวอย่าง กาหนดให้ cot () = และ < < จงหาค่าของ cosec ()
3 2

วิธีทา ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ cosec2 – cot2 = 1
2
1 10
แล้ว cosec () =  1  cot    2
1    
 3 3
3
แต่ << ดังนั้น sin () < 0 แล้ว cosec () < 0
2
10
ฉะนั้น cosec () = 
3

3
ตัวอย่าง กาหนดให้ tan () = –2 และ <  < 2 จงหาค่าของ cos ()
2

วิธีทา ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ sec2 – tan2 = 1
แล้ว sec () =  1  tan 2    1  (2) 2   5
3 1
แต่ <  < 2 ดังนั้น cos () > 0 แล้ว cos () =
2 5

แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
19


เรื่อง
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม
2
1. กาหนดให้ sin () = จงหาค่าของ cos ()
3
2. กาหนดให้ cos () =
1
และ 3 <  < 2 จงหาค่าของ sin ()
5 2
 6 
3. กาหนดให้ sin   = – 0.5878 จงหาค่าของ cos  6 
 
 5   5 
 3 
4. กาหนดให้ cos   = – 0.707 จงหาค่าของ sin  3 
 
 4   4 

5. จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่อไปนี้
7
5.1  เรเดียน 5.2 900
2

5.3 8 เรเดียน 5.4 – 450

6. จงบอกค่าจริง  มา 3 จานวนที่ทาให้
6.1 sin () = 0 6.2 cos () = 1

6.3 sin () = –1 6.4 cos () = 0

6.5 tan () = 0 6.6 cosec () = 1

6.7 sec () = –1 6.8 cot () = 0
3
7. กาหนดให้ tan () = 3 และ << จงหาค่าของ sec ()
2
3
8. กาหนดให้ cosec () = –2 และ<  < 2 จงหาค่าของ cot ()
2
9. กาหนดให้ cosec2 + cot2 =
7
และ 0 <  <  จงหาค่าของ sin ()
2 2
10. กาหนดให้ sin () =
3
และ 90 <  < 180 จงหาค่าของ cos()  cot()
5 cos ec()  tan()

20


2. ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60

2. ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
21


เราจะใช้ความรู้เกี่ยวกับวงกลมหนึ่งหน่วยในการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมบางมุม
(30 45 และ 60) ซึ่งมุมเหล่านี้อยู่ในจตุภาคที่ 1

เริ่มจากการหาค่า sin (45) และ cos (45)

สรุปเป็น 
sin (45) = sin   
2
 
4 2

cos (45) = cos   
 
2 22
4 2


การหาค่า sin (30) และ cos (30)


sin (30) = sin   
1
 
สรุปเป็น 6 2

cos (30) = cos   
3
 
6 2

การหาค่า sin (60) และ cos (60)


sin (60) = sin   
3
 
สรุปเป็น 3 2

cos (60) = cos   
1
 
3 2

สรุปเป็นตารางเพื่อการจดจาของนักเรียน
23


1 2 3
นักเรียนจะได้เห็นว่า ค่าฟังก์ชันไซน์จะเพิ่มขึ้นจาก , , เมื่อมุมเพิ่มขึ้นในจตุภาคที่ 1
2 2 2
3 2 1
และค่าฟังก์ชันโคไซน์จะลดลงจาก , , เมื่อมุมเพิ่มขึ้นในจตุภาคที่ 1
2 2 2
และจะได้ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ของมุม 30 45 และ 60 ดังนี้

30 45 60
มุม    
เรเดียน เรเดียน เรเดียน
6 4 3
1
tan () 1 3
3
2
cosec () 2 2
3
2
sec () 2 2
3
1
cot () 3 1
3

ตัวอย่าง จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้

24


 9     2
1. sin   = sin  2   = sin   
 4   4 4 2
3
2. sin(– 300) = sin(– 360 + 60) = sin (60) =
2
 11   11   3
3. cos    = cos  2   = cos   
 6   6  6 2
2
4. cos(765) = cos(720 + 45) = cos (45) =
2
 7    
5. tan   = tan  2   = tan    3
 3   3 3
1
6. tan(– 330) = tan(– 360 + 30) = tan (30) =
3
 5   5   2
7. cosec    = cosec  2   = cosec   
 3   3  3 3

8. cosec (405) = cosec (360 + 45) = cosec (45) = 2

 13     2
9. sec   = sec  2   = sec   
 6   6 6 3

10. sec (– 660) = sec (– 720 + 60) = sec (60) =2
 17     
11. cot   = cot  4   = cot   =1
 4   4 4
1
12. cot (– 300) = cot (– 360 + 60) = cot (60) =
3

25


แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60

1. จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่อไปนี้
25
1.1 เรเดียน 1.2 – 690
4
23
1.3  เรเดียน 1.4 420
6
2. จงหาของ
 13    9  
2.1 sin   cos   + sin   cos  
 6  3  4  4
2.2 3 tan    – tan   11 
   
6  6 
2.3 2 cosec    + sec  9 
   
3  4 
2.4 tan2  7  + sec2   11 
   
 3   6 

3. กาหนดให้ sin () = 2 และ –2 <  <  3 จงหาค่าของ tan ()
2 2
3 5
4. กาหนดให้ cos () = และ 2 <  < จงหาค่าของ cosec ()
2 2
3  4 cos(2)  sin(3)
5. กาหนดให้  = 30 จงหาค่าของ
3  4sin(2)  cos(3)
 2sin()  3cos(3)
6. กาหนดให้  = จงหาค่าของ
3  3 
sin    2cos(6)
 2
 
7. จงหาผลเฉลยในช่วง  0, 2  ของสมการต่อไปนี้
 

7.1 sin (x) = cos (x)

7.2 4 cos2(x) + 2( 3 – 1) cos (x) – 3 = 0

26


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

27


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

28


29


เอกสารอ้างอิง

1. ดารงค์ ทิพย์โยธา, เสริมความรู้มุ่งสู่โอลิมปิกคณิตศาสตร์โลกตรีโกณมิติ,
โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2550.

30


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด / เนื้อหาเพิ่มเติม

31


แบบฝึกหัดระคน
3 5sin()  3cos()
1. ถ้า 4 tan () = 3 และ << แล้วค่าของ คือข้อใด
2 3cos()  sin()
9
ก 9 ข ค 3 ง 1
7

5
2. ถ้า cosec () = และ cos () < 0 แล้วค่าของ 3 tan () + cot () – 2cos () คือข้อใด
4
89 71 89 71
ก ข ค  ง 
20 20 20 20

 4 
3. จงหาค่าของ 5 cos2   + sin2  
3 3 6
11 9 19 49
ก ข ค ง
12 4 12 12

4. ถ้า x1 และ x2 เป็นผลเฉลยของสมการ x2 – (sec 60) x – 3 tan 45 = 0 จงหาค่าของ x1 + x2
ก 2 ข –2 ค 3 ง –1

7 3
5. กาหนดให้ sec2  + tan2  = และ <  < จงหาค่าของ cos ()
2 2
2 2 2 2
ก ข  ค ง 
5 5 3 3

1  2sin 2 ()
6. จงหาค่าของ
3(cot()  tan())sin() cos()
1 1
ก ข  ค 3 ง –3
3 3

7. ถ้า 1 และ 2 เป็นผลเฉลยของสมการ 3 cos2  + sin2  = 1 และ 1  [0, ]
และ 2  [2, 3] จงหาค่า 3 1 + 2
ก  ข 2 ค 3 ง 4

32


8. ถ้า 1 และ 2 เป็นค่าจริงในช่วง 0,   ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการ
 2
 

cosec () + 2 sin () = 3 แล้ว | 1 – 2 | มีค่าเท่าใด
   3
ก ข ค ง
4 3 2 4

9. ถ้า 1 และ 2 เป็นค่าจริงในช่วง 0,   ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการ
 2
 

tan2 () – ( 3 1 ) tan () + 3 =0 แล้ว 1 + 2 มีค่าเท่าใด
 7 5 
ก ข ค ง
12 12 12 2

cos(2)  2sin(3)
10. ถ้า = 30 จงหาค่าของ
sin()  3cos(3)
5
ก –1 ข 1 ค 5 ง
3

33


ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด

34


เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม

5 2 6
1.  2. 
3 5
3. 0.809 4. 0.70721

5.
ข้อ มุม sin cos tan cosec sec cot

5.1 7 1 0 – 1 – 0

2
5.2 900 0 –1 0 – –1 –
5.3 8 0 1 0 – 1 –
5.4 – 450 –1 0 – –1 – 0

6. 6.1 0, , – 6.2 0, 2, –2
3  7   3
6.3 , , 6.4 , ,
2 2 2 2 2 2
 5 9
6.5 0, , – 6.6 , ,
2 2 2
  3
6.7 , –, 3 6.8 , ,
2 2 2
7.  10 8.  3
2 96
9. 10.
5 165

35


เรื่องค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60

1.
ข้อ มุม sin cos tan cosec sec cot

1.1 25 2 2
1 2 2 1
4 2 2
1.2 – 690 1 3 1 2
3
2
2 2 3 3
1.3 23 1 3 1 2
 2 3
6 2 2 3 3
1.4 420 3 1
3
2 1
2
2 2 3 3

3 2 3
2. 2.1 2.2
4 3
4 3 2 13
2.3  2.4
3 2 3
3. 1 4. 2

4 3 3 3
5. 2 6.
3 3
 
7. 7.1 7.2
4 3

เฉลยแบบฝึกหัดระคน

1. ค 2. ง 3. ค 4. ก 5. ง
6. ก 7. ง 8. ข 9. ข 10. ค

36


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน

37


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์

38


ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม

39


การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้

40

46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à 46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1

Similaire à 46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1 (20)

Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1