49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

เรื่อง

ตรีโกณมิติ
(เนื้อหาตอนที่ 6)
กฎของไซน์และกฎของโคไซน์

โดย

รองศาสตราจารย์ จิตรจวบ เปาอินทร์

สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 15 ตอน ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
2. เนื้อหาตอนที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย
- เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
- วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุม และหน่วยของมุม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
- ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของมุม
- สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7. เนื้อหาตอนที่ 6 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
- กฎของไซน์
- กฎของโคไซน์
8. เนื้อหาตอนที่ 7 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1


9. เนื้อหาตอนที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- สมบัติและความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
12. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กฎของไซน์และกฎของโคไซน์

คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรีโกณมิติ
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว
ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ยของ
คู่มือฉบับนี้

2


เรื่อง ตรีโกณมิติ (กฎของไซน์และกฎของโคไซน์)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 6 (6 / 8)

หัวข้อย่อย 1. กฎของไซน์
2. กฎของโคไซน์

จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจและสามารถประยุกต์กฎของไซน์เพื่อใช้ในการแก้ปัญหาได้
2. เข้าใจและสามารถประยุกต์กฎของโคไซน์เพื่อใช้ในการแก้ปัญหาได้

ผลการเรียนรู้
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายวิธีการและหาความยาวด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เมื่อกาหนดความยาวด้าน
บางด้านมุมบางมุมมาให้ โดยใช้กฎของไซน์หรือของโคไซน์ได้
2. อธิบายวิธีการและประยุกต์กฎของไซน์และกฎของโคไซน์แสดงวิธี ในการแก้ปัญหาใน
ชีวิตประจาวันได้

3


เนื้อหาในสื่อการสอน

4


เนื้อหาทั้งหมด

5


1. กฎของไซน์

6


1. กฎของไซน์

พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เราหาความสัมพันธ์ของความยาวด้านต่าง ๆ กับค่าไซน์ของ
มุมต่าง ๆ ได้ดังนี้
สาหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC โดยที่ B เป็นมุมฉาก
C
ให้ เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A
a

b b เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม B
a
และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม C

A c B

a
จากอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A จะได้ sin A =
b
c
จากอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม C จะได้ sin C =
b

ดังนั้นเราจะได้ว่า sin A  1 และ sin C  1
a b c b

และเนื่องจาก B เป็นมุมฉาก ดังนั้น sin B  1
b b

sin A sin B sin C
สรุปได้ว่า  
a b c

ซึ่งจะเรียกว่ากฎของไซน์ แต่ถ้าเราอยากทราบต่อไปว่า ถ้าพิจารณารูปสามเหลี่ยมใด ๆ แล้วเราจะยังคงได้
กฎของไซน์แบบนี้หรือไม่

เมื่อมุมทุกมุมเป็นมุมแหลม เมื่อมีมุมหนึ่งเป็นมุมป้าน

7


เมื่อพิจารณารูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมแหลม

เมื่อพิจารณารูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งเป็นมุมป้าน

8


จึงสรุปได้ว่า สาหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เราสามารถหากฎของไซน์ได้เหมือนกัน ดังนี้

และเมื่อได้กฎของไซน์แล้ว เราจะนากฎนี้ไปใช้ประโยชน์
ต่อไปจะพิจารณากรณีต่าง ๆ ที่สามารถใช้กฎของไซน์ได้อย่างเหมาะสม หรือกรณีที่ไม่เหมาะที่จะใช้
กฎของไซน์ หรือแม้กรณีที่มีข้อมูลไม่พอในการใช้กฎของไซน์

9


กรณีที่เหมาะสมมีดังนี้
กรณีที่ 1.1 กรณีที่ 1.2

กรณีที่ 1.3 กรณีที่ 1.4

กรณีที่ 2

กรณีที่ไม่เหมาะสมมีดังนี้
กรณีที่ 3 และ กรณีที่ 4

10


และอีกกรณีหนึ่งที่ถือว่ามีข้อมูลไม่พอ จึงไม่เหมาะสมในการใช้กฎของไซน์

เมื่อนักเรียนได้เห็นวิธีการพิจารณาว่ากรณีแบบไหนสามารถใช้กฎของไซน์ แล้วจากนั้นจึงมาดูตัวอย่าง
ในสื่อการสอน

11


ตัวอย่างเพิ่มเติม
 
ตัวอย่าง ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี A = 27 , B = 43 และ a = 3 จงหา b และ c

sin A sin B sin C
วิธีทา ใช้กฎของไซน์  
a b c

หา b ได้จาก sin A

sin B
a b

  sin 27 sin 43
แทน A, B และ a จะได้ 
3 b
0.4540 0.6820
จากตารางค่าฟังก์ชันไซน์ จะได้ 
3 b
แล้ว b = 4.5066

  
หา c ได้จาก sin A

sin C และ C = 180 – A – B = 110
a c

  sin 27 sin110
แทน A,a และ C จะได้ 
3 c
0.4540 0.9397
3 c
แล้ว c = 6.2095

หมายเหตุ นักเรียนสามารถเปิดตารางหาค่าไซน์ได้จากการเรียนเรื่องตรีโกณมิติเนื้อหาตอนที่ 7

12


 
ตัวอย่าง ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี A = 50 , B = 60 และ c = 2 จงหา a และ b

sin A sin B sin C
วิธีทา ใช้กฎของไซน์  
a b c
    
โจทย์กาหนด A และ B เราสามารถหา C = 180 – A – B = 70

sin A sin C
หา a ได้จาก 
a c

  sin 50 sin 70
แทน A, C และ c จะได้ 
a 2
0.7660 0.9397
a 2
แล้ว a = 1.6303

หา b ได้จาก sin B

sin C
b c

  sin 60 sin 70
แทน B, C และ c จะได้ 
b 2
0.8660 0.9397
b 2
แล้ว b = 1.8431

13


นักเรียนได้ทราบแล้วว่าการหากฎของไซน์นั้น เราเริ่มพิจารณาจากการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
ใด ๆ ในแบบต่าง ๆ 3 แบบ และต่อไปนี้เรากลับมาดูสูตรการหาพื้นที่ในแบบต่าง ๆ อีกครั้งดังนี้
สาหรับรูปสามเหลี่ยม ABC
C

C

a
b a b

A c B A c B

1 1 1
พื้นที่ของ ABC = bc sin A = ca sin B = ab sin C
2 2 2
ซึ่งสรุปได้เป็นสูตรดังนี้

1
พื้นที่ = ผลคูณของ กับค่าไซน์ของมุมมุมหนึ่งกับความยาวด้านประกอบมุมนั้นทั้งสอง
2
ด้าน

ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่ง a=5, b=7 และ C = 60

1
วิธีทา พื้นที่ของ ABC = ab sin C
2
1 1 3 35 3
=  5  7  sin 60 =  5  7  
2 2 2 4

ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งมีมุมยอดเท่ากับ 30 และด้านประกอบมุมยอดยาว 8 หน่วย

1
วิธีทา พื้นที่ของ = (ด้านประกอบมุมยอด)2 sin (มุมยอด)
2
1 1 1
=  82  sin 30 =  64  = 16 ตารางหน่วย
2 2 2

14


แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
กฎของไซน์

1. สาหรับรูปสามเหลี่ยม ABC
 
1.1 จงหา b และ c เมื่อกาหนด A = 45 , B = 60 และ a=4
  
1.2 จงหา B และ C เมื่อกาหนด A = 120 , a = 3 และ b=1
 
1.3 จงหา a เมื่อกาหนด A = 30 , B = 60 และ b=2
 
1.4 จงหา b เมื่อกาหนด A = 45 , B = 30 และ c=3

2. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC จากสิ่งที่กาหนดให้ต่อไปนี้

2.1 a = 3 , b=4 และ C = 45

2.2 c = 5 , b=2 และ A = 60

2.3 a = 1 , c=3 และ B = 135
 
2.4 a = 2 , b=3 และ A + B = 150
 
2.5 a = 4 , c=5 และ A + C = 120
 
2.6 b = 1 , c=2 และ B + C = 30

15



16



ตอนที่นักเรียนได้เรียนเรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้น เราพิจารณาเฉพาะรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ซึ่งเราได้ว่า สาหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมี A เป็นมุมฉาก

C

a2 = b2 + c2 หรือ
a a = b2  c2
b

A c B

ถ้าหดมุม A ให้เล็กลงเป็นมุมแหลม โดยให้ค่า b และค่า c คงเดิม จะเห็นว่าค่า a จะน้อยลง

C จากรูปจะเห็นว่า
a< b2  c2 หรือ
b a
a2 = b2 + c2 + x สาหรับบางค่า x 

A c B

ถ้าขยายมุม A ให้ใหญ่ขึ้นเป็นมุมป้าน โดยให้ค่า b และค่า c คงเดิม จะเห็นว่าค่า a จะเพิ่มขึ้นด้วย

C จากรูปจะเห็นว่า
a a> b2  c2 หรือ
b
B a2 = b2 + c2 + y สาหรับบางค่า y 

c
A

จาก 2 กรณีข้างต้น จะเห็นว่าค่า x และค่า y ขึ้นอยู่กับมุม A ซึ่งต่อไปเราจะหาความสัมพันธ์ดังกล่าว

17


กรณีแรกพิจารณารูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมแหลม

กรณีที่สองพิจารณารูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งเป็นมุมป้าน

18


จึงสรุปเป็นกฎของโคไซน์สาหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ได้ดังนี้

หมายเหตุ ถ้าสามเหลี่ยมที่พิจารณาเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เราจะได้ว่า

19


ต่อไปเราจะนากฎของโคไซน์ไปใช้ประโยชน์โดยพิจารณากรณีต่าง ๆ ดังนี้

ตัวอย่างการใช้กฎของโคไซน์

20


ตัวอย่างเพิ่มเติม
  
ตัวอย่าง ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี a=2,b=3 และ c=4 จงหา A, B และ C

วิธีทา ใช้กฎของโคไซน์

หา A ใช้สูตร a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

แทนค่า a, b, c จะได้ 4 = 9 + 16 – 24 cos A
21 7
แล้ว cos A =  = 0.875
24 8

จากตารางค่าฟังก์ชันโคไซน์ได้ A  28 57


หา B ใช้สูตร b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

แทนค่า a, b, c จะได้ 9 = 4 + 16 – 16 cos B
11
แล้ว cos B = = 0.6875
16

จากตารางค่าฟังก์ชันโคไซน์ได้ B  46 34
  
และ C = 180 – A – B  10429

 
ตัวอย่าง ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี a = 5 , b=6 และ C = 60 จงหา A

วิธีทา ใช้กฎของโคไซน์

หา c ใช้สูตร c2 = a2 + b2 – 2ab cos C


แทนค่า a, b และ C จะได้ c2 = 25 + 36 – 30 = 31 และ c = 31

ต่อไปจะหาค่า A จากสูตร a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

แทนค่า a, b, c จะได้ 25 = 36 + 31 – 12 31 cos A

A  51 3
42 42
แล้ว cos A =   0.6286 ได้
12 31 12  5.568

21


หลังจากที่เรามีกฎของไซน์และกฎของโคไซน์แล้ว นักเรียนลองดูตัวอย่างต่อไปนี้ และจงพิจารณา
เลือกใช้กฎทั้งสองนี้อย่างเหมาะสม

ตัวอย่าง ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี a=3 , b=5 และ A = 30 จงหาค่าที่เหลือทั้งหมด

sin A sin B sin C
วิธีทา เลือกใช้กฎของไซน์  
a b c

หา B จากสูตร sin A

sin B
a b

 sin 30 sin B 5 1 5
แทน a,b และ A จะได้  แล้ว sin B =   = 0.8333
3 5 3 2 6
   
ฉะนั้น B  56 27 และ C = 180 – A – B  93 33

ต่อไปเราสามารถหาค่า c ได้จากกฎของไซน์ sin A

sin C ฉะนั้น c  5.988
a c

หรือหาค่า c ได้จากกฎของโคไซน์ c2 = a2+b2 – 2ab cos C ฉะนั้น c2  35.8575

และไม่ว่าจะใช้วิธีใด จะได้ c  5.988


ตัวอย่าง ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี a=3 , b=5 และ C = 60 จงหาค่าที่เหลือทั้งหมด

วิธีทา เลือกใช้กฎของโคไซน์ c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

 1
แทน a,b และ C จะได้ c2 = 9 + 25 – 2 × 3 × 5 × = 19 ดังนั้น c = 19
2
 
ต่อไปเราหา A และ B ได้ทั้ง 2 วิธีคือ

sin A sin C   
กฎของไซน์  และ B = 180 – A – C
a c

  
กฎของโคไซน์ a2 = b2 + c2 – 2bc cos A และ B = 180 – A – C

 
และไม่ว่าจะใช้วิธีใด จะได้ A  36 35 และ B  83 25

22


ต่อไปเราจะนากฎของไซน์และกฎของโคไซน์มาประยุกต์กับปัญหาจริง
1. การหาความสูงของบ้าน

นักเรียนต้องเข้าใจโจทย์และแปลงเป็นโจทย์เกี่ยวกับตรีโกณมิติ จากนั้นจึงใช้กฎของไซน์แก้ปัญหาดังนี้

23


2. การหาความกว้างของคลอง

มีวิธีในการแก้ปัญหา 2 วิธี คือ
2.1 พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2.2 ใช้กฎของไซน์

ตอนนี้นักเรียนคงได้เห็นแล้วว่าโจทย์เกี่ยวกับตรีโกณมิติ อาจจะมีวิธีหลายวิธีในการแก้ปัญหา แต่ทุกวิธีก็มี
ความเกี่ยวพันกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสิ้น แม้แต่กฎของไซน์ซึ่งนักเรียนได้กฎนี้มาจากการพิจารณารูป
สามเหลี่ยมมุมฉากเช่นเดียวกัน

24


3. การหาระยะทางและทิศทาง

เมื่อนักเรียนเข้าใจโจทย์แล้ว จากนั้นแปลงเป็นโจทย์เกี่ยวกับตรีโกณมิติ และใช้กฎของโคไซน์
แก้ปัญหาได้ดังนี้

ตอนนี้นักเรียนได้เห็นตัวอย่างการแก้ปัญหาจริงโดยใช้กฎของไซน์และกฎของโคไซน์มาพอสมควรแล้ว
ถึงเวลาของนักเรียนได้ใช้ความรู้ที่เรียนมาตั้งแต่ตรีโกณมิติตอนที่ 1 ถึงตรีโกณมิติตอนที่ 6 นี้ นามาแก้ปํญหา
จริงกัน โดยบางปัญหาจริงอาจเป็นปัญหาที่นักเรียนตั้งขึ้นเองและนักเรียนก็แก้ปัญหานั้น ๆ เองได้

25


แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
กฎของโคไซน์

1. สาหรับรูปสามเหลี่ยม ABC
  
1.1 จงหา A, B, C เมื่อกาหนด a=2 b=5 และ c=4

1.2 จงหา c เมื่อกาหนด a=7 b=5 และ C = 60

2. จงหาส่วนต่าง ๆ ที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม ABC จากสิ่งที่กาหนดให้ต่อไปนี้
 
2.1 a=2 A = 75 และ B = 45
 
2.2 a=3 B = 75 และ C = 45

2.3 a = 12 b=5 และ A = 60

2.4 a=3 b=7 และ C = 30

2.5 a=5 b=6 และ c=7

3. รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCDEFGH มี AB ยาว 5 หน่วย AD ยาว 4 หน่วย
และ AE ยาว 3 หน่วยดังรูป

H G
  
E จงหา ACE, FD H และ EC H
F

3 D
4 C

A 5 B

26


4. เกื้อยืนอยู่บนยอดตึกหลังหนึ่ง เขามองเห็นบอลลูนกาลังลอยขึ้นสู่ท้องฟ้าเป็นมุมเงย 15 และเมื่อ
บอลลูนลอยขึ้นไปอีก 12 เมตร เขามองเห็นบอลลูนเป็นมุมเงย 60 จงหาว่าตอนนี้เขาอยู่ห่างจาก
บอลลูนเท่าไร
5. ฝนยืนอยู่ห่างจากตึกหลังหนึ่ง 15 เมตร เธอมองเห็นยอดตึกและเสาอากาศซึ่งอยู่บนยอดตึกเป็นมุมเงย
30 และ 45 ตามลาดับ จงหาความสูงของเสาอากาศ
6. อัลฟ่ายืนอยู่บนดาดฟ้าของตึกหลังหนึ่ง เธอมองเห็นป้อมยามที่อยู่ทางทิศตะวันออกของตึกเป็นมุมก้ม 60
และมองเห็นรถสามล้อคันหนึ่งที่จอดอยู่ทางทิศใต้ของป้อมยามนั้นเป็นมุมก้ม 30 ถ้าตึกหลังนั้นสูง
60 เมตร จงหาว่ารถสามล้อจอดอยู่ห่างจากป้อมยามเท่าไร
7. ถ้า A และ B เป็นจุดสองจุดที่อยู่ตรงข้ามของบึงแห่งหนึ่ง และ C เป็นจุดบนพื้นราบเดียวกับ A และ B

ถ้าระยะ AC และ BC เท่ากับ 2.5 และ 2 กิโลเมตรตามลาดับ และวัดมุม ACB ได้ 60
จงหา ความกว้างของบึงตามแนว AB

A B

C

27


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

28


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

ความเหมาะสมของการเลือกใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์ พิจารณาจากสิ่งที่โจทย์กาหนดมาให้
1. กาหนดความยาวของด้าน 3 ด้าน ใช้กฎของโคไซน์
2. กาหนดความยาวของด้าน 2 ด้าน และมุม 1 มุมที่ไม่ตรงข้ามกับด้านที่กาหนดความยาวมาให้
ใช้กฎของโคไซน์
3. กาหนดความยาวของด้าน 2 ด้าน และมุม 1 มุมที่ตรงข้ามกับด้านที่กาหนดความยาวมาให้
ใช้กฎของไซน์
4. กาหนดความยาวของด้าน 1 ด้าน และมุม 2 มุม ใช้กฎของไซน์

แต่ถ้ากาหนดมุม 3 มุม เราไม่สามารถหาความยาวของด้านที่แน่นอนได้ เพราะมีคาตอบมากมาย

29


เอกสารอ้างอิง

1. ดารงค์ ทิพย์โยธา, เสริมความรู้มุ่งสู่โอลิมปิกคณิตศาสตร์โลกตรีโกณมิติ,
โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2550.

30


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด / เนื้อหาเพิ่มเติม

31


แบบฝึกหัดระคน

1. ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี a=2, b=1 และ c= 3 จงพิจารณาว่าข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
 
ก. A  C = 135 ข. A B = 120
  
ค. B C = 120 ง. B = 45

3
2. ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม A เป็นมุมป้าน และ sin A = , sin B = 1 จงหาอัตราส่วน a:b:c
2 2

ก. 3:3:3 ข. 3:1:1 ค. 1: 3:2 ง. 3:2:2

 
3. ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี a = 10 , B = 60 และ C = 45 จงพิจารณาว่าข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

ก. A = 75 , b = 15 2 – 5 6 ข. b = 15 2 – 5 6 , c = 3 –1

ค. b = 6 – 2 , c = 10( 3 – 1) ง. A = 75 , c = 5( 3 – 1)

4. กาหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC มีสมบัติว่า sin2 A + sin2 B = sin2 C จงหาค่าของ C

ก. 30 ข. 45 ค. 60 ง. 90

5. ถ้าลากเส้นแบ่งครึ่งมุม C ของรูปสามเหลี่ยม ABC ไปพบด้านตรงข้าม AB ที่จุด D
AD
แล้ว จะเท่ากับข้อใด
BD
C

A D B

sin A sin C sin B sin C
ก. ข. ค. ง.
sin C sin B sin A sin A


6. ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี c = 12 , b = 8 และ B = 45 จงหาพื้นที่ของ ABC

ก. 3 3 ข. 3 3 ค. 3 ง. 3

32



7. ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี a = 2 , b = 3 1 และ C = 60 จงหาค่า c

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 6

8. ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี a=7 , b=5 และ c=3 จงหาค่าของมุมที่ใหญ่สุด
ก. 90 ข. 105 ค. 120 ง. 135

9. ถ้ารูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีฐานยาว 2 3 เมตร และสูง 1 เมตร จงหาขนาดของมุมยอด
ก. 30 ข. 45 ค. 60 ง. 120

B
10. ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี a=8 , b=5 และ c = 7 จงหาค่าของ sin 2
2
11 3 11 1
ก. ข. ค. ง.
14 28 28 2

33


ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด

34


เรื่องกฎของไซน์

16 47 , 43 13
2 3
1. 1.1 2 6 , 5.464 1.2 1.3 1.4 1.553
3
5 3 3 2
2. 2.1 3 2 2.2 2.3
2 4
3 1
2.4 2.5 5 3 2.6
2 2

เรื่องกฎของโคไซน์

1. 1.1 22 20 , 108 12 , 49 28 1.2 6.25
 
2. 2.1 C = 60, b = 1.46 , c = 1.79 2.2 A = 60, b = 3.346 , c = 6
   
2.3 B = 21 9, C = 98 51, c = 13.69 2.4 c = 4.65 , A = 18 49, B = 131 11
  
2.5 A = 44 30, B = 57, C = 78 30

3. 25, 65 , 34 30 4. 16.39 เมตร
5. 6.3393 เมตร 6. 40 6 เมตร
7. 2.29 กิโลเมตร

เฉลยแบบฝึกหัดระคน

1. ข 2. ข 3. ก 4. ง 5. ค
6. ก 7. ง 8. ค 9. ง 10. ข

35


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน

36


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์

37


ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม

38


การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้

39

49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์

Similar to 49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์ (20)

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์