59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ลาดับและอนุกรม
(เนื้อหาตอนที่ 1)
ลาดับ
โดย
อาจารย์ ดร. ศันสนีย์ เณรเทียน และอาจารย์ ดร. ไพโรจน์ น่วมนุ่ม

สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 10 ตอน ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม

2. เนื้อหาตอนที่ 1 ลาดับ
- แนวคิดเรื่องลาดับ
- ลาดับเลขคณิต
- ลาดับเรขาคณิต
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเลขคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเรขาคณิต
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลิมิตของลาดับ
- การลู่เข้าและลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ
- ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
- ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อนุกรม
- ความหมายของอนุกรม
- ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม
- การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต
- ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต
7. เนือหาตอนที่ 6
้ ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ความสัมพันธ์ระหว่างการลู่เข้าของลาดับและอนุกรม
1


8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)

9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)

10. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)

คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้ สื่อชุดนี้ร่วมกั บการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ล าดับและ
อนุกรม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการ
ไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้าย
ของคู่มือฉบับนี้

2


เรื่อง ลาดับและอนุกรม (ลาดับ)

หมวด เนื้อหา

ตอนที่ 1 (1/6)

หัวข้อย่อย 1. แนวคิดเรื่องลาดับ
2. ลาดับเลขคณิต
3. ลาดับเรขาคณิต

จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เกิดความเข้าใจในมโนทัศน์เรื่องลาดับ
2. สามารถเขียนลาดับในรูปแบบต่างๆ และหาพจน์ทั่วไปได้
3. เข้าใจความหมายและสามารถหาค่าต่างๆ เกี่ยวกับลาดับเลขคณิตได้
4. เข้าใจความหมายและสามารถหาค่าต่างๆ เกี่ยวกับลาดับเรขาคณิตได้

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายแนวคิดและความหมายของลาดับได้
2. อธิบายและยกตัวอย่างลาดับจากัดและลาดับอนันต์ได้
3. เขียนลาดับในรูปแบบต่างๆ ได้
4. หาพจน์ทั่วไปของลาดับได้
5. อธิบายแนวคิดและความหมายของลาดับเลขคณิตได้
6. อธิบายความหมายของผลต่างร่วม และยกตัวอย่างลาดับเลขคณิตได้
7. หาพจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิตได้

3


8. คานวณหาค่าต่างๆ เกี่ยวกับลาดับเลขคณิตได้
9. อธิบายแนวคิดและความหมายของลาดับเรขาคณิตได้
10. อธิบายความหมายของอัตราส่วนร่วม และยกตัวอย่างลาดับเรขาคณิตได้
11. หาพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิตได้
12. คานวณหาค่าต่างๆ เกี่ยวกับลาดับเรขาคณิตได้

4


เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

5


1. แนวคิดเรื่องลาดับ

6


1. แนวคิดเรื่องลาดับ
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเรื่องความหมายของลาดับ ลาดับจากัด ลาดับอนันต์ การเขียนลาดับแบบ
ต่างๆ รวมถึงการหาพจน์ทั่วไปของลาดับ

ครูอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ได้ตัวอย่างที่หลากหลาย และเพื่อให้ผู้เรียนนาไปพิจารณาในการสรุป
ความหมายลาดับตามความเข้าใจของผู้เรียน ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง
1. ตัวอย่างของลาดับที่เป็นแบบรูป อาจจะเป็นแบบรูปของรูปเรขาคณิต แบบรูปของจานวน และแบบรูปอื่นๆ เช่น
แบบรูปของจานวน 1, 4, 7, 10, 13, 16, … , 3n  2 เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวกใดๆ ซึ่งสามารถเขียน
ความสัมพันธ์ของลาดับที่กับจานวนแต่ละจานวนของแบบรูป ได้ดังตารางต่อไปนี้

ลาดับที่ 1 2 3 4 5 6 … n …
จานวน 1 4 7 10 13 16 ... 3n  2 …

2. ตัวอย่างของลาดับที่ไม่มีรูปแบบ เช่น
การโยนลูกเต๋าขึ้นแต้มต่างๆ ของนักเรียนคนหนึ่ง จานวน 10 ครั้ง ผลปรากฏดังตารางต่อไปนี้

โยนครั้งที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
แต้มที่ปรากฎ 3 2 4 5 1 1 5 6 2 1

7


ซึ่งเป็นตัวอย่างที่ผู้เรียนไม่สามารถทานายได้ว่า ถ้านักเรียนคนเดิมโยนลูกเต๋าในครั้งที่ 11 แต้มที่จะปรากฏจะเป็น
แต้มใด
เมื่อให้ตัวอย่างทั้งหมดแล้ว ครูควรให้เวลานักเรียนได้สรปุความหมายของลาดับด้วยตนเองก่อน หลังจาก
นั้นผู้เรียนและครูจึงร่วมกันสรุปความหมายของลาดับที่ถูกต้องอีกครั้ง จึงเปิดสื่อการสอนต่อไป

เมื่อผู้เรียนให้เห็นตัวอย่างของลาดับเพิ่มเติม และได้ทราบความหมายของลาดับจากัดและลาดับอนันต์
แล้วนั้น ครูอาจนาตัวอย่างตอนต้นที่ครูได้ยกตัวอย่างไว้ มาสอดแทรกเพื่อให้นักเรียนตอบคาถามเพื่อตรวจสอบ
ความเข้าใจของผู้เรียน เช่น โดเมนเป็นเซตใด เป็นลาดับจากัดหรือลาดับอนันต์ เป็นต้น

8


ครูนาตัวอย่างลาดับ f และ g ที่ผ่านมา เพื่อให้ผู้เรียนเขียนลาดับ และเข้าใจความหมายของลาดับที่ของ
พจน์ของลาดับ เช่น
ลาดับ 3, 4, 9, 10 เป็นลาดับจากัดที่มี a1 = 3, a2 = 4, a3 = 9 และ a4 = 10
ลาดับ 3, 5, 7, 9, … , 2n + 1, … เป็นลาดับอนันต์ที่มี a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 7 และ an = 2n + 1

เมื่อผู้เรียนได้แนวคิดเกี่ยวกับการเขียนลาดับทั้งสองแบบแล้ว ครูอาจเน้นนักเรียนอีกครั้งว่า การเขียน
ลาดับในแบบแรก จะใช้ในกรณีที่ลาดับเป็นลาดับจากัด สาหรับการเขียนในแบบที่สอง จะใช้ในกรณีที่เป็นลาดับ
จากัดที่มีจานวนพจน์มาก หรือลาดับอนันต์

9


ครูให้ตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับการเขียนลาดับแบบต่างๆ เช่น

ตัวอย่าง
1. จงหาห้าพจน์แรกของลาดับ an = (1)n + n เมื่อ n  {1, 2, 3, … , 100} พร้อมทั้งเขียนลาดับนี้โดยการแจง
พจน์

วิธีทา แทน n ใน an = (1)n + n ด้วย1, 2, 3, 4 และ 5 ในการหาห้าพจน์แรกของลาดับ ดังนี้
พจน์ที่ 1 หรือ a1 คือ (1)1 + 1 = 0
พจน์ที่ 2 หรือ a2 คือ (1)2 + 2 = 3
พจน์ที่ 3 หรือ a3 คือ (1)3 + 3 = 2
พจน์ที่ 4 หรือ a4 คือ (1)4 + 4 = 5
พจน์ที่ 5 หรือ a5 คือ (1)5 + 5 = 4
ดังนั้นลาดับนี้ คือ 0, 3, 2, 5, 4, … , (1)n + n , … , 101
2. จงหาสี่พจน์แรกของลาดับอนันต์ an = n2 + 1 เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวกใดๆ พร้อมทั้งเขียนลาดับนี้โดยการ
แจงพจน์
วิธีทา a1 = (1)2 + 1 = 2
a2 = (2)2 + 1 = 5
a3 = (3)2 + 1 = 11
10


a4 = (4)2 + 1 = 17
ดังนั้นลาดับนี้ คือ 2, 5, 11, 17, … , n2 + 1 , …

นอกเหนือจากการเขียนลาดับทั้งสามแบบแล้ว ครูอาจเพิ่มเติมการเขียนลาดับในแบบอื่นๆ ให้แก่ผู้เรียน
โดยพิจารณาตามความพร้อมของผู้เรียน เช่น

4. เขียนโดยกาหนดพจน์เริ่มต้นจานวนหนึ่ง พร้อมกับสูตรการหาพจน์ถัดไปจากพจน์ก่อนหน้า เช่น

- กาหนดลาดับ an โดยที่ a1 = 2 และ an+1 = an  4 เมื่อ n ≥ 2
- กาหนดลาดับ an โดยที่ a1 = 1, a2 = 1 และ an = an-1 + an-2 เมื่อ n ≥ 3
ซึ่งเป็นที่รู้จักกันกันในชื่อของ ลาดับฟิโบนักชี
กากาหนดลาดับแบบนี้เรียกว่า การกาหนดโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด

5. เขียนโดยบอกเงื่อนไข หรือสมบัติของลาดับ เช่น ลาดับ an เมือ an เป็นจานวนเฉพาะคี่บวกตัวที่ n คือ
่
ลาดับ 3, 5, 7, 11, …

ครูควรเน้นกับผู้เรียนว่าการหาพจน์ทั่วไปมีความสาคัญ ซึ่งในการหาพจน์ทั่วไปผู้เรียนต้องสังเกต
ความสัมพันธ์ของแต่ละพจน์ หรือความสัมพันธ์ระหว่างพจน์กับลาดับที่ของพจน์ แต่มีลาดับบางลาดับที่ไม่
สามารถหาพจน์ทั่วไปได้ เช่น สถานการณ์การโยนลูกเต๋าที่ได้กล่าวมาแล้ว ซึ่งลาดับเช่นนี้ เราไม่สนใจที่จะศึกษา

11


ครูอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการหาพจน์ทั่วอีกวิธีหนึ่ง ก็คือ การใช้ฟังก์ชันพหุนาม โดยอาจ
เชื่อมโยงกับตัวอย่างลาดับ 2, 4, 8, 14, 22, … ซึ่งผู้เรียนยังไม่หาพจน์ทั่วไปของลาดับ ดังนี้
พิจารณาลาดับ 2, 4, 8, 14, 22, … จะเห็นว่าผลต่างของระหว่างสองพจน์ที่อยู่ติดกันได้ดังนี้
2 4 8 14 22

ผลต่างครั้งที่ 1 2 4 6 8

ผลต่างครั้งที่ 2 2 2 2
จะเห็นว่า ผลต่างครั้งที่ 2 เป็นค่าคงตัว ทาให้ได้ว่าพจน์ทั่วไปของลาดับนี้จะอยู่ในรูปของพหุนามดีกรี 2 นั่นคือ
an = an2 + bn + c และเมื่อแทน n ในพจน์ทั่วไปข้างต้น ด้วย 1, 2 และ 3 จะได้ระบบสมการเชิงเส้น ดังนี้
2 = a1 = a+b+c -------------- (1)
4 = a2 = 4a + 2b + c -------------- (2)
8 = a3 = 9a + 3b + c -------------- (3)
แก้ระบบสมการหาค่า a, b และ c ได้ดังนี้
(2) – (1) 2 = 3a + b --------------- (4)

12


(3) – (2) 4 = 5a + b --------------- (5)
(5) – (4) 2 = 2a
นั่นคือ a = 1
แทนค่า a = 1 ในสมการ (4) จะได้ b = 1
แทนค่า a = 1 และ b = -1 ในสมการ (1) จะได้ c = 2
ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลาดับนี้ หรือ an = n2  n + 2

หมายเหตุ เมื่อหาผลต่างระหว่างพจน์สองพจน์ของลาดับในลักษณะเดียวกันตัวอย่างข้างต้น และพบว่าผลต่างครั้ง
ที่ n เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า พจน์ทั่วไปของลาดับนั้นจะอยู่ในรูปของพหุนามดีกรี n

13


แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง แนวคิดเรื่องลาดับ

1. จงเขียนลาดับต่อไปนี้โดยการแจงพจน์
1
1) ลาดับ an  เมื่อ n 1, 2,3, 4,5
n 1
2

2) ลาดับ a n  ( 1) n  1 เมื่อ n 1, 2,3, ,50

3) ลาดับ a n  3n  5 เมื่อ n 
 1
n

4) ลาดับ an  เมื่อ n 
n
n
5) ลาดับ an  เมื่อ n 1, 2,3, ,100
n 1

2. จงเขียนหาพจน์ทั่วไปของลาดับต่อไปนี้
1) ลาดับ 2, 9, 16, 23, …
2) ลาดับ 6, 2, 2, 6, …
3) ลาดับ 6, 6, 6, 6, …
1 3 5 7
4) ลาดับ , , , ,
3 6 9 12
2 3 1
5) ลาดับ 1, , , ,
2 3 2
6) ลาดับ 7.2, 7.8, 8.4, 9, …
7) ลาดับ 1, 3, 9, 27, …
8) ลาดับ 5, 50, 500, 5000, …

14



15


ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับความหมายหรือนิยามของลาดับเลขคณิตและความหมายของผลต่าง
ร่วม โดยยกตัวอย่างประกอบ การหาพจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต และตัวอย่างการคานวณค่าต่างๆ เกี่ยวกับ
ลาดับเลขคณิต

ครูควรเพิ่มตัวอย่างของลาดับเลขคณิต เพื่อให้ผู้เรียนได้สังเกตลักษณะของผลต่างของพจน์หลังกับพจน์
ก่อนหน้าที่อยู่ที่ติดกัน ซึ่งผู้เรียนจะนาไปสรุปของความหมายของลาดับเลขคณิต เช่น พิจารณาลาดับต่อไปนี้
ลาดับ 1, 1, 1, 1, … มีผลต่างร่วมเป็น 0
1 3 1
ลาดับ , 1, , 2, มีผลต่างร่วมเป็น
2 2 2

ลาดับ 2, 2  2, 2  2 2, 2  3 2,

16


ครูอาจสรุปนิยามของลาดับเลขคณิต อีกครั้งโดยอาจใช้ภาษาแบบไม่เป็นทางการว่า ลาดับเลขคณิต คือ
ลาดับที่ผลต่างของพจน์หลังกับพจน์ก่อนหน้าที่อยู่ติดกันทุกคู่เป็นค่าคงตัว โดยเน้นกับผู้เรียนว่าผลต่างร่วมนั้น
เป็นจานวนจริงใดๆ เช่นจากตัวอย่างที่ผ่านมา มีผลต่างร่วมมีทั้งที่เป็นจานวนเต็มบวก จานวนเต็มลบ จานวนเต็ม
ศูนย์ เศษส่วน และจานวนอตรรกยะ

ต่อไปจะเป็นตัวอย่างที่นักเรียนได้ฝึกใช้สูตรการหาพจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต ในการทาโจทย์แต่ละข้อ
ครูอาจเริ่มต้นโดยการให้โจทย์และชวนผู้เรียนวิเคราะห์โจทย์ก่อนที่ให้ผู้เรียนทราบแนวคิดในการทาโจทย์แต่ละข้อ

17


สาหรับบางตัวอย่างหลังจากผู้เรียนได้ทราบแนวคิดในการทาตัวอย่างแล้ว ขอให้ครูสอนให้ผู้เรียนเขียน
แสดงวิธีทาที่ถูกต้องด้วย เช่น

ตัวอย่าง ถ้า 12, a, b, c, 84 เป็นห้าพจน์แรกในลาดับเลขคณิต จงหา a, b และ c

วิธีทา เนื่องจาก an = a1 + (n1)d และ a1 = 12 จะได้ว่า 84 = 12 + (5  1)d
นั่นคือ 84 = 12 + 4d
4d = 72
d = 18
เพราะว่า a = a1 + d , b = a1 + 2d และ c = a1 + 3d จะได้ว่า a = 30, b = 48 และ c = 66

18


เรื่อง ลาดับเลขคณิต

1. จงหาสี่พจน์ถัดไปของลาดับเลขคณิตต่อไปนี้
1) ลาดับ 12, 21, 30, 39, …
2) ลาดับ 8, 5, 2, 1, …
3) ลาดับ 0.3, 0.4, 1.1, 1.8, …
1 1
4) ลาดับ 1, 2 , 4, 5 ,
2 2
5) ลาดับ x + 1, 1, 1 x , … เมื่อ x เป็นจานวนจริงใดๆ
2. จงหาสิ่งที่โจทย์ต้องการของลาดับเลขคณิต เมื่อกาหนดข้อมูลให้ต่อไปนี้
1) a 4 ของลาดับเลขคณิต 1, 10, 21, ...
2) a15 ของลาดับเลขคณิต 2, 1, 4, 7, ...
3) d เมื่อ a1  7 และ a 9  1
4) a7 เมื่อ a1  9 และ d   3
4
5) a1 เมื่อ a10  8 และ d  5
3. จงเขียนหาพจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิตต่อไปนี้
1) ลาดับ 7, 2, 11, 20, …
2) ลาดับ 15, 13, 11, 9, …
3) ลาดับ 0.75, 1.25, 1.75, 2.25, …
5 3 1
4) ลาดับ , 1, , ,
4 4 2
 
5) ลาดับ  , 0, , ,
2 2
4. 763 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลาดับเลขคณิต 3, 11, 19,...
5. จงหา a100 เมื่อกาหนดให้ an เป็นลาดับเลขคณิตที่มี a11 = 42 และ a18 = 77

19



20


ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับความหมายหรือนิยามของลาดับเรขาคณิตโดยยกตัวอย่างประกอบ
ความหมายของอัตราส่วนร่วมและยกตัวอย่างการหาอัตราส่วนร่วม การหาพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต รวมถึง
ยกตัวอย่างการคานวณค่าต่างๆ เกี่ยวกับลาดับเรขาคณิต

หลังจากที่ผู้เรียนได้ทราบนิยามของลาดับเรขาคณิต และเห็นตัวอย่างเพื่อให้ผู้เรียนเกิดความเข้าใจในมโน
ทัศน์ ขอให้ผู้สอนสรุปความหมายของลาดับเรขาคณิตอีกครั้ง โดยอาจใช้ภาษาแบบไม่เป็นทางการ ว่า ลาดับ
เรขาคณิต คือ ลาดับที่ผลหารที่ได้จากการนาพจน์หลังหารด้วยพจน์ก่อนหน้าที่อยู่ติดกันทุกคู่มีค่าคงตัวเสมอ และ
ทบทวนตัวอย่างทั้งสามที่ให้มากับนักเรียนอีกครั้ง โดยให้นักเรียนลองหาอัตราส่วนร่วมเอง หรือยกตัวอย่างเพิ่มเติม
ในกรณีที่ผู้เรียนยังไม่เข้าใจ
ครูอาจกล่าวนาว่าตัวอย่างถัดไปจะเป็นโจทย์ปัญหาที่นักเรียนจะใช้นิยามของลาดับเรขาคณิตในการแก้ปัญหา

21


22


ต่อไปจะเป็นตัวอย่างที่นักเรียนได้ฝึกใช้สูตรการหาพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต ในการทาโจทย์แต่ละข้อ
ครูอาจเริ่มต้นโดยการให้โจทย์และชวนผู้เรียนวิเคราะห์โจทย์ก่อนว่าโจทย์ต้องการทราบสิ่งใด และโจทย์ให้ข้อมูล
ใดมาบ้าง หลังจากนั้นจึงให้ผู้เรียนทราบแนวคิดในการทาโจทย์แต่ละข้อ นอกจากนี้สาหรับโจทย์ปัญหาบางข้อครู
อาจชวนนักเรียนคิดในการหาค่า a1 และ r เพื่อตรวจสอบความเข้าใจของผู้เรียนได้

23


เช่นเดียวกันกับการให้ตัวอย่างในเรื่องลาดับเลขคณิต คือ แต่ละตัวอย่างได้นาเสนอเพียงแนวคิดในการทาโจทย์
เท่านั้น ขอให้ครูสอนให้ผู้เรียนเขียนแสดงวิธีทาที่ถูกต้องด้วย

24


เรื่อง ลาดับเรขาคณิต

1. จงเขียนสี่พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต เมื่อกาหนดข้อมูลให้ต่อไปนี้
1) a1  2 และ r = 1

2) a1  7 และ r = 0.1

3) a1  1 และ r = 2

1
4) a1  9 และ r
3

5) a1  2 และ r = 3
3

2. จงหาอัตราส่วนต่างร่วม และพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิตต่อไปนี้
1) ลาดับ 2, 6, 18, 54, …

2) ลาดับ 1.25, 5, 20, …
2 1 1
3) ลาดับ , , ,
5 5 10

9
4) ลาดับ 4,  3, ,
4

5) ลาดับ 1, 1.5, 2.25, …
3
3. จงหาพจน์ที่ 8 ของลาดับเรขาคณิต 24, 6, ,…
2
4. จงหาอัตราส่วนร่วมของลาดับเรขาคณิตที่มี a3 = 1 และ a8 = 16
2
5. 243 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลาดับเรขาคณิต 1 , 1, 3, …
3
25


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

26


27


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

28


แบบฝึกหัดระคน
1. ลาดับเลขคณิตในข้อใดต่อไปนี้ มีบางพจน์เท่ากับ 40

1. a n  5n  2 2. a n  3n  5

3. a n  4n  7 4. a n  6n  4

2. กาหนดลาดับเลขคณิต 17, 11, 5, 1, … , 165

จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. ลาดับนี้มีจานวนพจน์เท่ากับ 30 พจน์

ข. พจน์ที่ 16 มีค่าเท่ากับ 73

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1. ข้อ ก และ ข้อ ข ถูกทั้งคู่ 2. ข้อ ก ถูก และ ข้อ ข ผิด

3. ข้อ ก ผิด และ ข้อ ข ถูก 4. ข้อ ก และ ข้อ ข ผิดทั้งคู่

3. ลาดับเลขคณิตลาดับหนึ่งมีพจน์แรกและพจน์ที่ 7 เท่ากับ 6 และ 24 ตามลาดับ แล้ว พจน์ที่ 15 ของลาดับที่คือ

ข้อใด

1. 44 2. 45 3. 47 4. 48

4. ให้ลาดับ a1, a 2 , a 3 , เป็นลาดับเลขคณิตซึ่ง a 30  a 20  50


29


ก. ลาดับนี้มีผลต่างร่วมเป็น 10

ข. ถ้า a1  5 แล้ว a 5  25




5. กาหนดลาดับเลขคณิต a n คือ ลาดับ 1, 6, 11, 16, …, 101

และลาดับเลขคณิต b n คือ ลาดับ 73, 70, 67, 64, …, 13

จงพิจารณาความต่อไปนี้

ก. ลาดับ a n มีจานวนพจน์มากกว่า ลาดับ b n

ข. มีจานวนนับ m ที่ทาให้ a m  bm




6. ลาดับในข้อใดต่อไปนี้ เป็นลาดับเรขาคณิต

1. a n  22n 5n 2. a n  3n  5n

4n  7 n
3. a n  6n  2 4. an 
4n

30


7. อัตราส่วนร่วมของลาดับเรขาคณิตในข้อใดต่อไปนี้ มีค่าน้อยที่สุด
10 50 6 12
1. 2, , , 2. 2, , ,
3 9 5 25

9 36
3. 4, 3, , 4. 5, 6, ,
4 5

8. ข้อใดต่อไปนี้ เป็นลาดับเรขาคณิตที่มี 100 พจน์

1. 1, 3, 5, … , (2n1), …, 199 2. 1, 1 , 1 , ,
1
, ,
1
3 5 2n  1 199

3. 1, 3, 9, …, 3n-1 , …, 3199 4. 1 1 1
, , , ,
1
2n 1
, ,
1
2 8 32 2 2199

1 1 1
9. พจน์ที่ 20 ของลาดับเรขาคณิต , , , เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
256 128 2 128

1. 2 2. 2 2 3. 8 4. 8 2

10. กาหนดให้ a1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 เป็นลาดับเรขาคณิต โดยที่ a1  2 และ a 4  2, 000


ก. อัตราส่วนร่วมของลาดับเรขาคณิตนี้มีค่าน้อยกว่า 11

ข. a 3  a 5  20, 200




31


11. ให้ 5, x, 20 เป็นลาดับเลขคณิตที่มีพจน์ที่ 19 เท่ากับ A และ

ให้ 5, y, 20 เป็นลาดับเรขาคณิตที่มีพจน์ที่ 6 เป็น B โดยที่ y < 0


ก. 2x + y = 15

ข. A + B = 20




32


ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด

33


เรื่อง แนวคิดเรื่องลาดับ
1. 1) 1 1 1 1 1
, , , , 2) 0, 2, 0, 2, …, (1)n + 1 , …, 0, 2
2 5 10 17 26
1 1 1 (1) n 1
3) -2, 1, 4, …, 3n5, … 4) 1,  , ,  , , ,
2 3 4 n
1 2 3 n 99 100
5) , , , , , , ,
2 3 4 n 1 100 101

2. 1) ลาดับ 5  7n เมื่อ n  2) ลาดับ 4n  10 เมื่อ n 
2n  1
3) ลาดับ (1)n  6 เมื่อ n  4) ลาดับ เมื่อ n 
3n
n
5) ลาดับ เมื่อ n  6) ลาดับ 0.6n + 6.6 เมื่อ n 
n

7) ลาดับ 3n1 เมื่อ n  8) ลาดับ 5 (10)n1 เมื่อ n 

เรื่อง ลาดับเลขคณิต
1. 1) 48, 57, 66, 75 2) 4, 7, 10, 13 3) 2.5, 3.2, 3.9, 4.6
1 1
4) 7, 8 , 10, 11 5) 1  2x, 13x, 1  4x, 1  5x
2 2

2. 1) 32 2) 40 3) 0.75
1
4) 4 5) 37
2

3. 1) ลาดับ 9n  16 เมื่อ n  2) ลาดับ 17  2n เมื่อ n 

34


3) ลาดับ 0.5n + 0.25 เมื่อ n  4) ลาดับ  1 n  3 เมื่อ n 
4 2


5) ลาดับ n เมื่อ n 
2

4. 96

5. 487

เรื่อง ลาดับเรขาคณิต
1. 1) ลาดับ –2, 2, –2, 2 2) ลาดับ 7, 0.7, 0.07, 0.007
3) ลาดับ 1, 2, 2, 2 2 4) ลาดับ 9, 3,  1, 1
3
2
5) ลาดับ , 2, 6, 18
3

2. 1) อัตราส่วนร่วมเป็น -3 และมีพจน์ทั่วไปคือ ลาดับ 2   3 เมื่อ n 
n 1

2) อัตราส่วนร่วมเป็น 4 และมีพจน์ทั่วไปคือ ลาดับ 1.25   4  เมื่อ n 
n 1

n 1
1 2 1
3) อัตราส่วนร่วมเป็น และมีพจน์ทั่วไปคือ ลาดับ   เมื่อ n 
2 5 2

n 1
 3 
4) อัตราส่วนร่วมเป็น  3 และมีพจน์ทั่วไปคือ ลาดับ 4  เมื่อ n 
4  4 

5) อัตราส่วนร่วมเป็น 1.5 และมีพจน์ทั่วไปคือ ลาดับ 1.5 n 1 เมื่อ n 
3
3.
2048

35


4. 2

5. 7

เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 4 2. 3 3. 4 4. 3 5. 3 6. 1

7. 2 8. 4 9. 2 10. 1 11. 2

36


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน

37


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
(การหารลงตัวและตัวหารร่วมมาก)
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์

38


ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลัง
้
ฟังก์ชันลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม

39


การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
การนับเบื้องต้น
.
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้

40

59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à 59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ

Similaire à 59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ (20)

Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ