1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
บทนา
เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
โดย
อาจารย์ ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องต้น
- กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น(สิ่งของแตกต่างกันทั้งหมด)
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น (สิ่งของไม่แตกต่างกันทั้งหมด)
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู่
- วิธีจัดหมู่
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบทอเนกนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุ่ม
- การทดลองสุ่ม
- ปริภูมิตัวอย่าง
- เหตุการณ์และความน่าจะเป็น
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความน่าจะเป็น 1
- สมบัติพื้นฐานของความน่าจะเป็น
- การหาความน่าจะเป็นแบบง่าย
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความน่าจะเป็น 2
- การหาความน่าจะเป็นโดยใช้กฎการนับ
- การหาความน่าจะเป็นโดยแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสาหรับการนับ
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การใส่บอลลงกล่อง
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง การนับและความ
น่าจะเป็น นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการ
ไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้าย
ของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
หมวด บทนา
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจที่มา เกิดความซาบซึ้ง เห็นคุณค่าของคณิตศาสตร์เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
ตระหนักถึงความสาคัญและประโยชน์ ตลอดจนบทประยุกต์ของการนับและความน่าจะเป็น
วัตถุประสงค์หลักของการจัดทาสื่อบทนา: เพื่อให้ผู้เรียนเกิดแรงบันดาลใจในการเรียน
ได้เห็นถึงที่มาและประโยชน์ของเนื้อหาที่จะได้เรียนต่อไป โดยมิได้มุ่งเน้นที่การท่องจา
เนื้อหาหรือเรื่องราวตามที่ปรากฏในสื่อบทนา การใช้สื่อบทนาจึงควรใช้เพียงประกอบ
ในขั้นการนาเข้าสู่บทเรียน หรือนาเสนอผู้เรียนก่อนการจัดการเรียนรู้ในเนื้อหานั้นๆ และ
ไม่ควรนาเนื้อหาในสื่อบทนาไปใช้วัดผลการศึกษาหรือใช้ในการสอบ เพราะอาจทาให้
การใช้สื่อไม่บรรลุวัตถุประสงค์ที่แท้จริงตามที่มาดหมายไว้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
บทสารคดีและข้อมูลเพิ่มเติม
เมื่อราวสามร้อยปีที่เพิ่งผ่านมา ท่ามกลางบรรยากาศอันคึกคักในบ่อนการพนันที่ระคนด้วยความสมหวัง
และผิดหวังจากนักเสี่ยงโชคทั้งหลาย เชอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mere) หนุ่มเจ้าสาราญจากตระกูลขุนนาง
ชั้นสูงของฝรั่งเศส กลับกาลังครุ่นคิดถึงปัญหาเกี่ยวกับการเดิมพันในเกมทอดเต๋า ทั้งที่เขาขึ้นชื่อว่าเป็นผู้ช่าชองใน
เกมนี้ แต่ทาไมผลลัพธ์ที่ได้นอกจากจะไม่เหมือนกับที่เขาคิดแล้ว ยังกลับขัดแย้งกับประสบการณ์ตรงของเขาอีกด้วย
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ความสงสัยของ เมเร มิได้เกิดขึ้นเพียงแค่ชั่ววูบ เขามิได้ทอดทิ้งปัญหานี้ไว้ในบ่อนแห่งนั้น หากแต่กลับพก
มันติดออกมาด้วย และความกระหายใคร่รู้ในคาตอบ ก็เป็นปัจจัยสาคัญที่ผลักดันให้ เมเร พยายามค้นหาคาอธิบาย
ในหลากหลายทาง รวมถึงการนาปัญหานี้ไปถามกับ เบลส์ ปาสกาล (Blaise Pascal ค.ศ.1623 - 1662) ปราชญ์ทรง
ภูมิแห่งยุค
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ปัญหาที่ เมเร ถาม ปาสกาล ผู้เป็นมิตรรัก มีสองข้อ หนึ่งคือปัญหาเกี่ยวกับเกมลูกเต๋า ที่ว่า
“จากประสบการณ์ของเรา หากทอดลูกเต๋าหนึ่งลูก 4 ครั้ง เต๋ามักจะออกแต้ม 6 อย่างน้อยก็สักครั้ง
แต่ครั้นพอทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกันจานวน 24 ครั้ง ซึ่งมากครั้งกว่าการทอดแบบลูกเดียวถึง 6
เท่า ผลที่ได้ก็น่าจะมีเต๋าให้แต้ม 6 พร้อมกันทั้งสองลูกออกมาบ้าง แต่ที่ไหนได้ กลับแทบไม่พบ
เหตุการณ์อย่างนั้นเลย เราทดลองอย่างนี้ก็หลายต่อหลายครั้งผลก็ยังออกมาเหมือนอย่างเดิมๆ
ปาสกาล ทาไมถึงเป็นเช่นนี้”
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ปาสกาล ได้อธิบายไว้ว่า จากประสบการณ์ตรง จึงทาให้ เชอวาลิเยร์ เดอ เมเร ทราบว่า เมื่อทอดลูกเต๋า
หนึ่งลูก 4 ครั้ง การเลือกทายว่าเต๋าออกแต้ม 6 อย่างน้อยหนึ่งครั้ง จะทาให้เขามีโอกาสชนะมากกว่า ซึ่ง
นั่นเป็นเพราะ ความน่าจะเป็นที่เต๋าจะไม่ออกแต้ม 6 ในแต่ละครั้ง คือ 1 - 1 = 5 ซึ่งทาให้ความน่าจะ
6 6
4
5
เป็นที่เต๋าจะไม่ออกแต้ม 6 ติดต่อกันถึง 4 ครั้ง คือ ดังนั้นความน่าจะเป็นของการทอดเต๋า 4 ครั้ง
6
4
5
แล้วจะออกแต้ม 6 อย่างน้อยหนึ่งครั้งเป็น 1 0.518 ซึ่งทาให้มีโอกาสชนะมากกว่าแพ้
6
ส่วนคาอธิบายกรณีการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกันจานวน 24 ครั้ง แล้วไม่ค่อยพบเต๋าให้แต้ม 6
เหมือนกันทั้งสองลูก นั่นเป็นเพราะความน่าจะเป็นที่เต๋าจะไม่ออกแต้ม 6 ทั้งสองลูก ในแต่ละครั้ง คือ
1 - 1 = 35 ซึ่งทาให้ความน่าจะเป็นที่เต๋าจะไม่ออกแต้ม 6 ทั้งสองลูก ติดต่อกันถึง 24 ครั้ง คือ 35
24
36 36 36
ดังนั้นความน่าจะเป็นของการทอดเต๋าสองลูก 24 ครั้ง แล้วจะออกแต้ม 6 ทั้งสองลูก อย่างน้อยหนึ่งครั้ง
24
35
เป็น 1 0.491 ซึ่งมีโอกาสแพ้มากกว่าชนะ
36
ส่วนปัญหาอีกข้อ เป็นปัญหาที่มีโครงสร้างคล้ายกับปัญหาที่ พาซีโอลี (Luca Pacioli ค.ศ.1447 - 1517) นัก
คณิตศาสตร์และบิดาแห่งงบดุลด้านการบัญชี ได้เสนอเมื่อราวร้อยกว่าปีก่อนหน้า เกี่ยวกับการแบ่งเงินเดิมพันใน
เกมพนันที่จาเป็นต้องหยุดก่อนที่จะสิ้นสุด ปัญหามีว่า
“ถ้าชายสองคนที่มีฝีไม้ลายมือในการเล่นพนันขันต่อ ทัดเทียมกัน ได้กาหนดกติกาการพนันว่า
หากผู้ใดทาแต้มได้ถึง 5 ก่อน ผู้นั้นจะเป็นผู้ชนะและได้เงินเดิมพันไปทั้งหมด ต่อเมื่อการแข่งขัน
ดาเนินมาถึง 7 เกม ก็เกิดมีเหตุที่ทาให้การแข่งขันต้องยุติลง ขณะนั้นชายคนแรกทาแต้มได้แล้ว 4
แต้ม ส่วนอีก 3 แต้ม เป็นของชายอีกคนหนึ่ง แล้วเขาทั้งคู่ควรจะแบ่งเงินเดิมพันกันอย่างไร ถึงจะ
ยุติธรรมที่สุด”
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ปาสกาลและแฟร์มาต์ ได้อธิบาย โดยสมมติให้ไม่มีผลการแข่งขันแบบเสมอและให้มีการเล่มเกมต่อ
อีก 2 เกม เพื่อให้แน่ใจว่าต้องมีผู้ชนะเกิดขึ้นแน่นอน ซึ่งผลลัพธ์อาจเป็นไปได้ทั้งหมด 4 แบบ คือ
 ชายคนแรกชนะทั้งสองเกม ทาให้ได้แต้มรวม 6 และ 3 ตามลาดับ
 ชายคนแรกชนะในเกมแรกแต่แพ้ในเกมที่สอง ทาให้ได้แต้มรวม 5 และ 4 ตามลาดับ
 ชายคนแรกแพ้ในเกมแรกแต่ชนะในเกมที่สอง ทาให้ได้แต้มรวม 5 และ 4 ตามลาดับ
 ชายคนแรกแพ้ทั้งสองเกม ทาให้ได้แต้มรวม 4 และ 5 ตามลาดับ
จากผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 4 แบบ มี 3 แบบ ที่ทาให้ผู้เล่นคนแรกเป็นฝ่ายชนะ ดังนั้นจึงควรแบ่งเงินรางวัล
เป็นอัตราส่วน 3 : 1
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ปัญหาของ เมเร ทั้งสองข้อนี้ ได้สร้างความตื่นเต้นและท้าทายให้กับ ปาสกาล เป็นอย่างมาก จนเขาถึงกับ
ต้องเล่าให้ ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat ค.ศ.1601 -1665) เพื่อนนักคณิตศาสตร์ชื่อก้องและปราชญ์ร่วม
สมัย ได้รับรู้ถึงปัญหานี้
นักคณิตศาสตร์แห่งอัสดงคตประเทศทั้งสอง ต่างมุ่งมั่นและร่วมกันหาคาตอบของปัญหา โดยได้สาน
เสวนาวิชาการผ่านจดหมายโต้ตอบระหว่างกัน จนได้คาตอบที่ต้องการ ซึ่งในกาลต่อมาลิขิตสาส์นชุดนี้ เป็นที่รู้จัก
กันในนามของ “Pascal – Fermat correspondence” คาตอบที่พบนี้ มิได้มีค่าเพียงแค่สนองความกระหายใคร่รู้ของ
ทั้งนักเสี่ยงโชคและนักวิชาการแต่ถ่ายเดียว หากแต่คาตอบนี้ กลับเป็นสมบัติเลอค่าของวงการคณิตศาสตร์ ที่
สามารถนามาประยุกต์ได้ในชีวิต ที่ในปัจจุบันรู้จักกันในชื่อว่า “ความน่าจะเป็น”
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ความน่าจะเป็น คือศาสตร์แห่งการแปลค่าโอกาสที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่ยังไม่เกิดขึ้น ให้อยู่ในรูป
จานวนตั้งแต่ 0 ถึง 1 ทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับจานวนที่มีค่าไม่เกิน 1 เหล่านี้ แม้จะเริ่มบ่มเพาะมาจากเมล็ดพันธ์แห่ง
อบายมุข หากแต่กลับเติบโตหยั่งรากระบัดใบ เป็นไม้ใหญ่ทรงคุณ โดยได้รับการพัฒนาสานต่อจากนักคณิตศาสตร์
ยุคต่อๆ มา และถูกนาไปประยุกต์ใช้ในวงกว้าง เช่น
คริสต์เตียน ฮอยเกน (Christian Huygen ค.ศ. 1629 – 1695) ผู้วางรากฐานความน่าจะเป็นต่อจากปาสกาล
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
คอนโดเซต (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet ค.ศ. 1743 – 1794) ผู้นาความ
น่าจะเป็นไปใช้ในระบบลูกขุนและการเลือกตั้ง
โทมัส เบส์ (Thomas Bayes ค.ศ. 1702 – 1761) ผู้รังสรรค์ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขแบบเบส์
ลาปลาซ (Pierre Simon marquis de Laplace ค.ศ. 1749 - 1827) ผู้นาในศาสตร์สาขาทฤษฎีความน่าจะเป็น
เชิงวิเคราะห์
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เกรกเกอ เมนเดล (Gregor Mendel ค.ศ. 1822 - 1884) นักบวชผู้นาความรู้ด้านความน่าจะเป็นไป
อรรถาธิบายหลักการทางพันธุศาสตร์
เมย์นาร์ด เคนส์ (John Maynard Keynes ค.ศ. 1883 - 1946) ผู้จุดประกายการใช้ความน่าจะเป็นใน
เศรษฐศาสตร์และสถิติ
คอลโมโกรอฟ (Andrey Nikolaevich Kolmogorov ค.ศ. 1903 - 1987) ผู้เปิดประตูสู่โลกความน่าจะเป็นเชิง
สัจพจน์
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นอกจากนี้ ความน่าจะเป็น ยังเป็นศาสตร์ที่ได้รับความสนใจและพัฒนาต่อยอดจากนักคณิตศาสตร์ของไทย
หลายต่อหลายคน เช่น รองศาสตราจารย์ ดร.วิรุฬห์ บุญสมบัติ ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี
ในชีวิตประจาวันของเรานั้น หลากหลายเรื่องราวที่ผ่านเข้ามาล้วนบังคับให้เราต้องตัดสินใจที่จะกระทา
หรือไม่กระทา เลือกหรือไม่เลือก แทบทั้งสิ้น เราอาจจะตัดสินใจ เพราะเราแน่ใจในผลที่จะเกิดขึ้นว่า ต้องเกิดขึ้น
แน่ๆ หรือต้องไม่เกิดขึ้นแน่ๆ หรือเราจาต้องตัดสินใจ เพียงเพราะเราคาดเดาว่าน่าจะเกิดผลแบบนั้นๆ ขึ้น และเพราะ
ความไม่แน่นอนของการเกิดขึ้นในประการหลังนี้ ความสามารถของการประเมินได้ว่าเหตุการณ์ใดมีโอกาสที่จะ
เกิดขึ้นได้มาก และเหตุการณ์ใดมีโอกาสที่จะเกิดขึ้นได้น้อย จึงเป็นสิ่งที่สาคัญมากสาหรับการตัดสินใจ
แม้ว่ามนุษย์จะมีและใช้สานึกและประสบการณ์ตรงเกี่ยวกับการประเมินโอกาสที่จะเกิดขึ้นอยู่แทบจะ
ตลอดเวลา แต่ก็มีหลายเหตุการณ์ที่แสดงให้เห็นถึง ความสามารถในการประเมินโอกาสการเกิดขึ้นที่คลาดเคลื่อน
เช่น เราอาจเคยได้ยินคาพูดที่ว่า
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
“ไม่ซื้อ 44 หรอก เพราะเลขเบิ้ล ออกยาก”
ทั้งที่โอกาสที่ผลการออกสลากรางวัลเลขท้ายสองตัว จะเป็นเลขสองตัวใดนั้น เท่ากันทั้งหมด
“ซื้อเลขอื่นเถอะ อย่าซื้อ 01 เลย เพราะเพิ่งจะออกไปเมื่องวดที่แล้วนี้เอง”
ทั้งที่เมื่อพิจาณาเฉพาะครั้งนั้นๆ แล้ว โอกาสที่ผลจะออกเป็น 01 นั้นเท่ากับโอกาสที่ผลจะออกเป็นเลขอื่น
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
“เวลาจับใบดา-ใบแดง ยิ่งได้จับเป็นคนท้ายๆ ก็ยิ่งดี เพราะมีโอกาสที่จะจับได้ใบแดงมากกว่าคนแรกๆ”
ทั้งที่โอกาสที่จะจับได้ใบใด ย่อมขึ้นอยู่กับผลการจับของคนก่อนหน้า
บ่อยครั้งที่ความน่าจะเป็น ถูกนามาใช้ในการเปรียบเปรยเพื่อสะท้อนภาพของ “โอกาสที่น้อยมากๆ” ให้เป็น
รูปธรรมมากขึ้นเช่น ในการเปรียบเทียบโอกาสในการได้เกิดเป็นมนุษย์ของเหล่าเวไนยสัตว์ และอเวไนยสัตว์ ว่า
เป็นเรื่องยาก อุปมาเสมือนประหนึ่ง เต่าตาบอดที่ดาดิ่งอยู่ในห้วงลึกแห่งมหรรณพอันกว้างใหญ่ไพศาลซึ่งมีห่วง
ทองขนาดใหญ่กว่าหัวเต่าสักเล็กน้อยห่วงหนึ่งลอยอยู่บนผิวนที ครั้นเมื่อครบทุกๆ 100 ปี เต่าบอดตัวนั้นจึงจะ
ลอยคอโผล่หัวขึ้นมาจากมหาสมุทรเสียสักครั้งหนึ่ง โอกาสที่เต่าตัวนั้นจะโผล่แล้วสวมหัวเข้ากับห่วงได้พอดีนั้น
เกิดขึ้นได้ยากฉันใด โอกาสที่เหล่าสรรพสัตว์จะได้มาเกิดเป็นมนุษย์ก็เกิดขึ้นได้ยากฉันนั้น
เมื่อพิจารณาในมุมมองของความน่าจะเป็น โอกาสที่พอจะเกิดขึ้นได้ แม้ว่าจะน้อยสักเพียงใด ก็ยังเทียบ
ไม่ได้กับโอกาสของเหตุการณ์ที่ไม่มีทางเกิดขึ้นได้เหมือนกับเต่าทะเลตัวนั้น แม้จะดูมืดมนและมีโอกาสน้อยสุด
ประมาณเพียงใด แต่โอกาสที่เกิดขึ้นได้นี้ ก็ยังมากกว่าโอกาสที่จะโยนเต๋าแล้วให้ขึ้นแต้ม 7 ซึ่งไม่มีทางเกิดขึ้นได้
เลยไม่ว่าจะทดลองโยนไปยาวนานกี่กัปกี่กัลป์
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลายต่อหลายเหตุการณ์ การประเมินโดยความรู้สึก กับผลที่เกิดขึ้นจริง ก็กลับขัดแย้งกันโดยสิ้นเชิง ดังเช่น
ใน ปฏิทรรศน์วันเกิดที่ว่า หากมีใครสักคนพูดขึ้นมาว่า
“ในห้องนี้มีคนอยู่ 23 คน ต้องมีคนที่เกิดวันที่เดียวกัน และเดือนเดียวกันอยู่อย่างน้อยก็หนึ่งคู่แน่ๆ”
โอกาสที่คากล่าวข้างต้นจะถูกต้องจะมีมากน้อยเพียงใดหนอ?
แม้จะรู้สึกว่าใครคนนันคงจะกล่าวผิดเสียแล้ว หากแต่ศาสตร์แห่งความน่าจะเป็นสามารถอธิบายได้ว่า แม้มี
้
จานวนคนแค่เพียง 23 คน ก็เพียงพอแล้วที่จะทาให้โอกาสของการมีคนเกิดวันเดือนซ้ากัน มากกว่าโอกาสของการ
ไม่มีการเกิดซ้า ทั้งๆ ที่มีวันให้เกิดแตกต่างกันได้ถึง 365 แบบ
สมมติให้หนึ่งปีมี 365 วัน (ปกติมาส) ความน่าจะเป็นที่คนที่ 2 จะเกิดแตกต่างจากคนแรกคือ 364
365
ความน่าจะเป็นที่คนที่ 3 จะเกิดแตกต่างจาก 2 คนแรกคือ 363 ในทานองเดียวกันความน่าจะเป็นที่คน
365
ที่ 23 จะเกิดแตกต่างจาก 22 คนแรกคือ 343 ทาให้ความน่าจะเป็นที่ทั้ง 23 คน จะไม่มีใครมีวันเกิดซ้า
365
กันเลยคือ 364 363 362 343 0.4927
365 365 365 365
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะมีอย่างน้อยสองคนเกิดวันและเดือนเดียวกัน คือ 1 – 0.4927 = 0.5073
นั่นคือจะมีโอกาสเกิน 50 ใน 100 (มากกว่าครึ่ง) ที่คนอย่างน้อย 2 คน จะเกิดวันและเดือนเดียวกัน และ
เพียงขยายให้กลุ่มใหญ่ขึ้นเป็น 45 คน โดยอาศัยหลักความน่าจะเป็น คาทานายที่กล่าวว่า “ในคนกลุ่มนี้
มีคนที่มีวันเกิดซ้ากัน” จะมีโอกาสถูกต้องถึง 95%
สานึกเกี่ยวกับโอกาสที่น่าจะเกิดขึ้นนี้ แม้บางครั้งอาจจะสอดคล้องเป็นจริงกับเหตุการณ์ต่างๆ บ้าง แต่
หลายต่อหลายเหตุการณ์ก็ทาให้เราตระหนักได้ว่า เราไม่สามารถใช้เพียงการด้นเดา หรือประสบการณ์เก่าแต่
ถ่ายเดียวในการตัดสิน หากแต่สิ่งที่จะช่วยเราอธิบายถึงโอกาสที่น่าจะเกิดขึ้นของปรากฏการณ์หรือเหตุการณ์
เหล่านั้น ก็คือ ศาสตร์แห่งความน่าจะเป็น เหมือนดังเช่นที่ เมเร ผู้จุดประกายเคยได้รับคาอธิบายมาแล้วจาก
ปาสกาล
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แผนภาพแสดงความสัมพันธ์
เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การนับและความน่าจะเป็น
สิ่งของแตกต่าง
กฎการนับเบื้องต้น
กันทั้งหมด
เชิงเส้น
สิ่งของไม่แตกต่าง
การนับ การเรียงลาดับ
กันทั้งหมด
เชิงวงกลม
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น ปริภูมิตัวอย่างและเหตุการณ์
ความน่าจะเป็น
การแก้ปัญหาความน่าจะเป็น
การหาความน่าจะเป็นโดยใช้กฎการนับ
การหาความน่าจะเป็นโดยใช้
แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
22