Contenu connexe Similaire à 66 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่1_การนับเบื้องต้น Similaire à 66 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่1_การนับเบื้องต้น (20) Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20) 66 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่1_การนับเบื้องต้น1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
การนับและความนาจะเปน
(เนือหาตอนที่ 1)
้
การนับเบืองตน
้
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ
2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบดวย
1. บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน
- กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ
่
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู
- วิธีจัดหมู
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบทอเนกนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม
- การทดลองสุม
- ปริภูมิตัวอยาง
- เหตุการณและความนาจะเปน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1
- สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
- การหาความนาจะเปนแบบงาย
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2
- การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
- การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝกหัด (ขันสูง)
้
12. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ
13. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน
1
3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
14. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
15. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความนาจะเปน
16. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การใสบอลลงกลอง
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและ
ความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได
ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด
ในตอนทายของคูมือฉบับนี้
2
4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง การนับและความนาจะเปน (การนับเบื้องตน)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 1 (1/7)
หัวขอยอย 1. กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ
่
2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียน
1. เขาใจและสามารถใชหลักการบวกและหลักการคูณในการหาจํานวนวิธีในการนับได
2. สามารถหาจํานวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่สิ่งของแตกตางกันทั้งหมดได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
ผูเรียนสามารถ
1. อธิบายหลักการบวกและหลักการคูณได
2. ประยุกตใชหลักการบวกและหลักการคูณในการหาจํานวนวิธีในการนับได
3. อธิบายวิธีหาและหาจํานวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่สิ่งของแตกตางกัน
ทั้งหมดได
3
7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
ในหัวขอนี้ผูเรียนจะไดศกษาเรื่องกฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ ซึ่งประกอบดวยหลักการคูณและ
ึ ่
หลักการบวก ซึ่งเปนพื้นฐานสําคัญในเรื่องของการนับ
ตัวอยางที่ผูเรียนไดชมจากสื่อการสอน คือ ตัวอยางการนับการทํางาน ซึ่งประกอบดวย 2 ขันตอน โดยใน
้
ตัวอยางแรก การแตงตัวสามารถแบงการทํางานไดเปน 2 ขั้นตอน โดยขั้นตอนแรก คือ การเลือกเสือ และขั้นตอน
้
ที่ 2 คือ การเลือกกระโปรง สวนในตัวอยางที่ 2 การจัดชุดอาหาร สามารถแบงการทํางานไดเปน 2 ขั้นตอนเชนกัน
โดยขั้นตอนแรก คือ การเลือกอาหารคาว และขั้นตอนที่ 2 คือ การเลือกอาหารหวาน ซึ่งสามารถสรุปไดดังนี้
ทฤษฎีบท ถาการทํางานอยางหนึ่งประกอบดวยการทํางาน 2 ขั้นตอน โดยการทํางานขั้นตอนที่ 1 มีวธีทํา n วิธี
ิ
และการทํางานขั้นตอนที่ 2 มีวธีทํา m วิธี จะไดวา จํานวนวิธีของการทํางานนี้เทากับ n × m วิธี
ิ
จากทฤษฎีบทขางตน สามารถขยายไปสูกรณีที่การทํางานประกอบดวยการทํางาน k ขั้นตอน
ดังรายละเอียดในสื่อการสอนตอไปนี้
6
8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดแนวคิดเกียวกับหลักการคูณ พรอมทั้งเห็นตัวอยางการประยุกตใชหลักการคูณแลว ผูสอน
่
อาจยกตัวอยางเพิ่มเติมเพื่อใหผูเรียนไดฝกทักษะในเรื่องนี้ไดดยิ่งขึ้น ดังนี้
ี
ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการสรางจํานวน 3 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 โดยที่เลขแตละ
หลักจะตองไมซ้ํากัน และจํานวนที่สรางขึนตองเปนจํานวนที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700
้
วิธีทํา
_________ _________ _________
หลักรอย หลักสิบ หลักหนวย
การสรางจํานวนที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700 สามารถแบงการทํางานออกเปน 3 ขั้นตอน ดังนี้
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว เพื่อวางในหลักรอย ซึ่งมีไดทั้งหมด 3 วิธี (เลข 4 หรือ เลข 5 หรือเลข 6)
ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว เพื่อวางในหลักสิบ ซึ่งมีไดทั้งหมด 7 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขโดด 1 ตัว เพื่อวางในหลักหนวย ซึงมีไดทั้งหมด 6 วิธี
่
โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวิธีในการสรางจํานวนดังกลาวมีทั้งหมด 3 × 7 × 6 = 126 วิธี
7
9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติม ดังนี้
ในกรณีที่การหาจํานวนของเหตุการณที่สนใจโดยตรงทําไดยาก เทคนิคที่สาคัญอยางหนึ่งคือการหา
ํ
จํานวนของเหตุการณที่ไมสนใจแทน จากนั้นใชความสัมพันธที่วา
จํานวนของเหตุการณที่สนใจ
= ( จํานวนของเหตุการณที่ไมมีเงื่อนไข ) − (จํานวนของเหตุการณทไมสนใจ)
ี่
ตัวอยางตอไปนี้ เปนตัวอยางที่ประยุกตใชเรื่องการนับในการหาจํานวนฟงกชันและการหาจํานวน
สับเซต ซึ่งผูสอนอาจทบทวนความหมายของฟงกชัน ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งและสับเซต ใหผูเรียนกอน จากนันจึง
้
ใหผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอยาง ให A = {1, 2,3, 4} จงหา
1. จํานวนฟงกชนทั้งหมดจาก A ไป A
ั
2. จํานวนฟงกชนหนึ่งตอหนึ่งทั้งหมดจาก A ไป A
ั
3. จํานวนฟงกชนทั้งหมดทีไมใชฟงกชันหนึงตอหนึ่งจาก A ไป A
ั ่ ่
วิธีทา
ํ
________ ________ ________ ________
f (1) f (2) f (3) f (4)
8
10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. ในการสรางฟงกชัน f จาก A ไป A สามารถแบงการทํางานไดเปน 4 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (1) ซึ่งมีไดทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (2) ซึ่งมีไดทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (3) ซึ่งมีไดทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (4) ซึ่งมีไดทั้งหมด 4 วิธี
โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวิธีในการสรางฟงกชันดังกลาวมีทั้งหมด 4 × 4 × 4 × 4 = 256 วิธี
ดังนั้น จํานวนฟงกชนจาก A ไป A มีทั้งหมด 256 ฟงกชัน
ั
2. ในการสรางฟงกชัน f ซึ่งเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จาก A ไป A
สามารถแบงการทํางานไดเปน 4 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (1) ซึ่งมีไดทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (2)
โดยไมซ้ํากับ f (1) ซึ่งมีไดทั้งหมด 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (3)
โดยไมซ้ํากับ f (1) และ f (2) ซึ่งมีไดทั้งหมด 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (4)
โดยไมซ้ํากับ f (1) , f (2) และ f (3) ซึ่งมีไดทั้งหมด 1 วิธี
โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวิธีในการสรางฟงกชันดังกลาวมีทั้งหมด 4 × 3 × 2 ×1 = 24 วิธี
ดังนั้น จํานวนฟงกชนหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป A มีทั้งหมด 24 ฟงกชัน
ั
3. จํานวนฟงกชันทังหมดที่ไมใชฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป A
้
= (จํานวนฟงกชนทั้งหมดจาก A ไป A ) − (จํานวนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งทั้งหมดจาก A ไป A )
ั
= 256 − 24 = 232 ฟงกชัน
9
11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง กําหนดใหเซต A มีจํานวนสมาชิก n ตัว จงหาจํานวนสับเซตทั้งหมดของ A
วิธีทา กําหนดให A = {a1 , a2 ,… , an }
ํ
ในการสรางสับเซต B ของ A สามารถแบงการทํางานไดเปน n ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกวา a1 ∈ B หรือ a1 ∉ B ซึ่งมีไดทั้งหมด 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกวา a2 ∈ B หรือ a2 ∉ B ซึ่งมีไดทั้งหมด 2 วิธี
ขั้นตอนที่ n เลือกวา an ∈ B หรือ an ∉ B ซึ่งมีไดทั้งหมด 2 วิธี
โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนสับเซตทั้งหมดของ A เทากับ 2n สับเซต
ตัวอยางในสื่อการสอนตอไปนี้ เปนตัวอยางเพื่อนําเขาสูเรื่องหลักการบวก ซึ่งผูเรียนจะไดศกษาเรื่อง
ึ
หลักการบวกและตัวอยางการประยุกตใช
10
12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติมวา บอยครั้งที่เราตองใชทั้งหลักการคูณและหลักการบวกเพื่อนับ
จํานวนเหตุการณที่สนใจ และเพื่อใหผูเรียนเขาใจหลักการทั้งสองไดดียิ่งขึ้น ผูสอนอาจใหผูเรียนฝกทําตัวอยาง
เพิ่มเติม ดังนี้
ตัวอยาง ในการสรางรหัสจากตัวอักษร A, B, C, D โดยกําหนดใหแตละรหัสอาจมีอกษร 2 ตัว หรืออักษร 3 ตัว
ั
เทานั้น จะสรางรหัสไดทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทํา ในการสรางรหัสดังกลาว สามารถแบงพิจารณาไดเปน 2 กรณี
กรณีที่ 1 รหัสมีอักษร 2 ตัว
ขั้นตอนที่ 1 เลือกอักษรตัวแรก ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกอักษรตัวที่สอง ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
โดยหลักการคูณ จะไดวา วิธีสรางรหัสที่มอักษร 2 ตัว เทากับ 4 × 4 = 16 วิธี
ี
กรณีท่ี 2 รหัสมีอักษร 3 ตัว
ขั้นตอนที่ 1 เลือกอักษรตัวแรก ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกอักษรตัวที่สอง ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกอักษรตัวที่สอง ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
โดยหลักการคูณ จะไดวา วิธสรางรหัสที่มีอักษร 3 ตัว เทากับ 4 × 4 × 4 = 64 วิธี
ี
จากกรณีที่ 1 และกรณีที่ 2 และหลักการบวก จะไดวา
จํานวนรหัสทีมีอักษร 2 ตัวหรืออักษร 3 ตัว มีทั้งหมด 16 + 64 = 80 วิธี
่
ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการสรางจํานวน 3 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 โดยที่เลขแตละ
หลักจะตองไมซ้ํากัน และจํานวนที่สรางขึนตองเปนจํานวนคี่ที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700
้
วิธีทา
ํ 1, 3, 5, 7
4, 5, 6
_________ _________ _________
หลักรอย หลักสิบ หลักหนวย
จะเห็นวา เลข 5 อยูไดทั้งในตําแหนงหลักรอยและหลักหนวย ดังนั้นจึงแบงพิจารณาเปน 2 กรณี ดังนี้
กรณีท่ี 1 หลักหนวยเปนเลข 5
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขหลักหนวย ซึ่งมีทั้งหมด 1 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขหลักรอย ซึ่งมีทั้งหมด 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขหลักสิบ ซึ่งมีทั้งหมด 6 วิธี
โดยหลักการคูณ จํานวนที่หลักหนวยเปนเลข 5 มีทั้งหมด 1× 2 × 6 = 12 จํานวน
11
13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
กรณีที่ 2 หลักหนวยไมเปนเลข 5
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขหลักหนวย ซึ่งมีทั้งหมด 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขหลักรอย ซึ่งมีทั้งหมด 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขหลักสิบ ซึ่งมีทั้งหมด 6 วิธี
โดยหลักการคูณ จํานวนที่หลักหนวยเปนเลข 5 มีทั้งหมด 3 × 3 × 6 = 54 จํานวน
จากกรณีที่ 1 และกรณีที่ 2 และหลักการบวก จะไดวา
จํานวน 3 หลักซึ่งเปนจํานวนคี่ที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700 มีทั้งหมด 12 + 54 = 66 วิธี
สําหรับตัวอยางขางตน ผูเรียนอาจแบงกรณีแบบอื่นได เชน กรณีหลักรอยเปนเลข 5 และ
กรณีหลักรอยไมเปนเลข 5
12
14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
1. สวนสาธารณะแหงหนึ่งมีประตูทั้งหมด 5 ประตู ถาจะเขาประตูหนึ่งและออกอีกประตูหนึ่ง ซึ่งไม
ซ้ํากับประตูท่เี ขามา จะมีวิธการเขาและออกจากสวนสาธารณะแหงนีไดทั้งหมดกี่วิธี
ี ้
2. ถาถนนจากกรุงเทพฯ ถึงลพบุรีมี 3 สาย และถนนจากลพบุรีถึงนครราชสีมามี 4 สาย ถาจะขับ
รถยนตจากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยขับผานจังหวัดลพบุรี จะใชเสนทางที่ตางกันไดทั้งหมดกี่
เสนทาง
3. เมื่อโยนเหรียญ 1 เหรียญ จํานวน 3 ครั้ง จะมีผลลัพธที่แตกตางกันไดทั้งหมดกีวิธี
่
4. บริษัทผูผลิตเสื้อผาสําเร็จรูปบริษัทหนึ่งผลิตเสื้อ 3 แบบ แตละแบบมี 5 สี และมีขนาดตาง ๆ กัน 3
ขนาด ถาจะจัดเสื้อที่ผลิตเขาตูโชวหนารานใหครบทุกแบบ ทุกสี และทุกขนาด จะตองใชเสื้อทั้งหมด
กี่ตัว
5. นักวิ่งแขง 5 คน จะวิ่งเขาเสนชัยในอันดับตาง ๆ กันไดทงหมดกีวธี สมมติวาไมมนกวิ่งสองคนใดวิง
ั้ ่ิ ี ั ่
เขาเสนชัยพรอมกัน
6. ให A = {1, 2,3, 4,5} จงหาจํานวนฟงกชน f : A → A โดยที่ f ( x) ≥ x ทุก x ∈ A
ั
7. ให A = {1, 2,3} และ B = {a, b, c, d } จงหา
7.1 จํานวนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป B
7.2 จํานวนฟงกชนจาก A ไป B ที่ไมใชฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
ั
13
16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
ในหัวขอนี้ ผูเรียนจะไดศกษาวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่สิ่งของที่นํามาจัดเรียงแตกตางกัน
ึ
ทั้งหมด โดยเริ่มจากใหผูเรียนรูจกกับ “แฟกทอเรียล” ซึ่งจะมีบทบาทสําคัญในเรื่องของการนับ
ั
ผูเรียนควรฝกทักษะเรื่องแฟกทอเรียล จากตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยาง จงหาคาตอไปนี้
6! n! (n − 1)!(n + 1)!
1. 2. 3.
3! (n − 3)! (n !) 2
15
17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
6! 6 × 5 × 4 × 3!
วิธีทํา 1. = = 6 × 5 × 4 = 120
3! 3!
n! n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3)!
2. = = n(n − 1)(n − 2)
(n − 3)! (n − 3)!
(n − 1)!(n + 1)! (n − 1)![(n + 1) × n !] n + 1
3. = =
(n !) 2 [n × (n − 1)!]n ! n
ตัวอยาง จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปแฟกทอเรียล
1. 100 × 99 × 98
2. 11×12 ×13 ×14 ×15
3. n(n − 1)(n − 2)
100 × 99 × 98 × 97 × 96 × × 2 × 1 100!
วิธทํา 1.
ี 100 × 99 × 98 = =
97 × 96 × × 2 ×1 97!
1× 2 × ×10 × 11× 12 × 13 × 14 × 15 15!
2. 11×12 ×13 ×14 ×15 = =
1× 2 × × 10 10!
n(n − 1)(n − 2)(n − 3) × × 2 ×1 n!
3. n(n − 1)(n − 2) = =
(n − 3) × × 2 ×1 (n − 3)!
ตัวอยาง จงหาคา n จากสมการตอไปนี้
n!
1. = 720
(n − 3)!
n! n!
2. =
(n − 10)!10! (n − 8)!8!
n!
วิธีทํา 1. = 720
(n − 3)!
n(n − 1)(n − 2) = 10 × 9 × 8 ดังนั้น n = 10
n! n!
2. =
(n − 10)!10! (n − 8)!8!
(n − 8)! 10!
=
(n − 10)! 8!
(n − 8)(n − 9) = 10 × 9 ดังนั้น n = 18
16
18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ทฤษฎีบท จํานวนวิธีในการจัดเรียงสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกันทั้งหมด จะมีได n ! วิธี
n!
พิสจน
ู จํานวนวิธในการจัดเรียงสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกันทั้งหมด = Pn,n =
ี = n ! วิธี
(n − n)!
เมื่อผูเรียนไดชมตัวอยางขางตนจบแลว ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติมวา ในการหาจํานวนวิธีเรียง
สับเปลี่ยนเชิงเสน โดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมวา “สิ่งของ k สิ่งตองอยูติดกัน” มีเทคนิคสําคัญอยางหนึ่งคือ นําสิ่งของ
ที่ตองการใหอยูติดกัน “มัด” รวมไวดวยกัน จากนัน มองสิ่งของที่ “มัด” รวมกันไวเปนเสมือนสิงของเพียงหนึง
้ ่ ่
สิ่ง แตผูเรียนอยาลืมวา สิ่งของที่ “ มัด” รวมไวดวยกัน สามารถสลับตําแหนงกันไดอีก
เพื่อใหผูเรียนเขาใจเทคนิคดังกลาวไดดียิ่งขึ้น ผูสอนอาจใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนีเ้ พิ่มเติม
17
19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีจดนักเรียนชาย 5 คนและนักเรียนหญิง 3 คนยืนเขาแถว โดยที่
ั
1. ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
2. นักเรียนชายตองอยูตดกันและนักเรียนหญิงตองอยูติดกัน
ิ
วิธีทา 1. จํานวนวิธจัดนักเรียนชาย 5 คน นักเรียนหญิง 3 คน ยืนเขาแถว = P8,8 = 8! วิธี
ํ ี
2. นํานักเรียนชาย 5 คน มัดติดกันไว และนํานักเรียนหญิง 3 คน มัดติดกันไว
ดังนั้น ในการจัดดังกลาว จึงเปรียบเสมือนการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ 2 สิ่ง จัดเรียงได 2! วิธี
นักเรียนชายที่มัดติดกันไว 5 คน เรียงสับเปลี่ยนกันได 5! วิธี
นักเรียนหญิงที่มัดติดกันไว 3 คน เรียงสับเปลี่ยนกันได 3! วิธี
ทําใหไดวา จํานวนวิธการจัดที่ตองการมีทั้งหมด = 2!5!3! = 1, 440 วิธี
ี
เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติม ดังนี้
ในการจัดชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว โดยที่ “หญิงหามยืนติดกัน” หมายถึง “ไมมีหญิงสองคนใด
ยืนติดกัน” ไมใช “หามหญิงสามคนยืนติดกัน” ดังนั้น “นิเสธของ หญิงหามยืนติดกัน” จึงไมใช “หญิงทั้งสาม
คนยืนติดกัน” เพราะฉะนั้น
จํานวนวิธีจัดชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว โดยที่หญิงหามยืนติดกัน
≠ (จํานวนวิธีจัดชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว)
− (จํานวนวิธีจดชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว โดยที่หญิงทั้งสามคนยืนติดกัน)
ั
18
20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
1. จํานวนวิธีในการจัดอักษร A, B, C, D และ E เรียงเปนเสนตรง มีทั้งหมดกี่วธี ิ
2. นําตัวอักษร A, B, C, D และ E มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน โดยที่ C และ D ตองอยูติดกัน ไดทั้งหมดกีวิธี
่
3. จํานวนวิธีในการจัดเรียงอักษร 3 ตัว จาก A, B, C, D และ E มีทั้งหมดกี่วธีิ
4. ในการแขงขันวิ่งของนักวิ่ง 5 คน จํานวนวิธที่นักวิ่งจะวิ่งเขาเสนชัยสองคนแรกมีทั้งหมดกี่วธี
ี ิ
5. จํานวนวิธีสรางเลขสามหลักจากเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 โดยหามใชเลขซ้ํา มีทั้งหมดกี่วธี
ิ
6. จงหาจํานวนวิธีที่ผูชาย 3 คนและผูหญิง 4 คน ยืนเขาแถวซื้อตั๋วรถไฟ โดยที่ผูหญิงทั้งหมดตองยืนติดกัน
7. จงหาจํานวนวิธีเลือกหัวหนาหอง รองหัวหนาหองและเหรัญญิก ตําแหนงละ 1 คน จากนักเรียนหองหนึ่ง
ที่มีทั้งหมด 50 คน
8. จํานวนวิธีในการจัดนักเรียนชาย 4 คน นักเรียนหญิง 4 คน เขาแถวถายรูป มีทั้งหมดกีวิธี ถา
่
8.1 ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
8.2 นักเรียนชายยืนสลับกับนักเรียนหญิง
8.3 นักเรียนชายสองคนยืนสลับกับนักเรียนหญิงสองคน
9. นักเรียนกลุมหนึ่งมีจํานวน 8 คน โดยที่มี ด.ช.สาธิตและ ด.ช.ณัฐ รวมอยูดวย จงหาจํานวนวิธีที่จด ั
นักเรียนกลุมนี้เขาแถว โดยที่
9.1 ด.ช.สาธิตและด.ช.ณัฐ ตองยืนติดกัน
9.2 ด.ช.สาธิตและด.ช.ณัฐ หามยืนติดกัน
(n − 1)! 1 (n + 2)!
10. จงหาคา n จากสมการ =
n! 3 (n + 1)!
19
23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร
เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร
เลม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
22
25. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดระคน
1. มีหนังสือวิชาคณิตศาสตร 3 เลม หนังสือวิชาวิทยาศาสตร 2 เลม และหนังสือวิชาภาษาอังกฤษ 2 เลม
โดยหนังสือทุกเลมแตกตางกันทั้งหมด ถาตองการจัดหนังสือทั้งหมดนี้วางบนชันหนังสือ โดยให
้
หนังสือวิชาเดียวกันอยูตดกัน จะมีจํานวนวิธีการจัดไดทงหมดกีวิธี
ิ ั้ ่
1. 6 2. 72 3. 144 4. 5,040
2. จากโจทยขอ 1 ถาเพิ่มเงื่อนไขวา หนังสือวิชาคณิตศาสตรตองอยูระหวางหนังสือวิชาวิทยาศาสตรและ
หนังสือวิชาภาษาอังกฤษ จะมีจํานวนวิธีการจัดไดทั้งหมดกี่วิธี
1. 24 2. 48 3. 56 4. 72
3. ครอบครัวหนึงมีทั้งหมด 4 คน ประกอบดวย พอ แม และลูก 2 คน ตองการขับรถไปชายทะเล โดยใช
่
รถยนต 4 ที่นั่ง โดยพอหรือแมเปนคนขับรถ จะมีจํานวนวิธีที่สมาชิกในครอบครัวนังรถยนตคันนีได
่ ้
ทั้งหมดกีวิธี
่
1. 6 2. 12 3. 18 4. 24
4. ถามีจานสีขาวลายตางกัน 4 ใบ จานสีฟาลายตางกัน 3 ใบ และจานสีดาลายตางกัน 3 ใบ จะมีจํานวนวิธี
ํ
วางจานทั้ง 10 ใบซอนกัน โดยใหจานสีขาวอยูติดกันทั้งหมดกี่วิธี
10!
1. 4!6! 2. 3!7! 3. 4!7! 4.
4!
5. จํานวนวิธีจดนักเรียนชาย 4 คน นักเรียนหญิง 4 คน เขาแถว โดยที่นกเรียนชายจะอยูในตําแหนงเลขคู
ั ั
เสมอ มีทั้งหมดกี่วธี
ิ
1. 48 2. 144 3. 288 4. 576
6. จํานวนวิธีสรางจํานวน 3 หลักใหมคามากกวา 300 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยหามใชเลขซ้ํา มี
ี
ไดทั้งหมดกีวธี
่ิ
1. 12 2. 24 3. 60 4. 154
24
26. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
7. จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะสรางจํานวนที่มี 3 หลัก โดยแตละหลักมีตัวเลขซ้ํากันได และจํานวน
เหลานี้หารดวย 5 ลงตัว ไดทั้งหมดกีจํานวน
่
1. 30 2. 36 3. 60 4. 72
8. บริษัทแหงหนึงมีตําแหนงงานวางอยู 2 ตําแหนง ถามีผูมาสมัครเขาทํางาน 5 คน คือ ก, ข, ค, ง และ จ
่
หลังจากสัมภาษณแลว ปรากฏวาคนที่เหมาะกับตําแหนงที่ 1 คือ ก, ข, ค และ ง สวนคนที่เหมาะสมกับ
ตําแหนงที่ 2 คือ ค, ง และ จ จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่บริษัทจะเลือกคนเขาทํางานใหเหมาะสมกับ
ตําแหนงดังกลาว
1. 10 2. 12 3. 16 4. 24
9. อักษรภาษาอังกฤษ 5 ตัวทีแตกตางกัน ซึ่งประกอบดวยพยัญชนะ 2 ตัว และสระ 3 ตัว นํามาจัดเรียงโดย
่
ไมใหพยัญชนะอยูติดกัน แตสระตองอยูติดกัน จํานวนวิธการจัดเทากับขอใดตอไปนี้
ี
1. 12 2. 24 3. 32 4. 36
10. ให A = {1, 2,3, 4,5}และ B = {1, 2,3} จํานวนฟงกชัน f :A→B ซึ่ง f (1) ≠ 1 และ
f (2) ≠ 2 เทากับขอใดตอไปนี้
1. 80 2. 108 3. 125 4. 243
25
28. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
1. 20 2. 12
3. 8 4. 45
5. 120 6. 120
7. 7.1 24
7.2 40
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
1. 120 2. 2!4!, 48
3. 60 4. 20
5. 210 6. 4!4!, 576
7. 50 x 49 x 48, 117600
8. 8.1 8!, 40320 9. 9.1 2!7!, 10080
8.2 2!4!4!, 1152 9.2 8! − 2!7!, 30240
8.3 2!4!4!, 1152
10. 1
เฉลยแบบฝกหัดระคน
1. 3 2. 2 3. 2 4. 3
5. 4 6. 3 7. 3 8. 1
9. 1 10. 2
27
30. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั
ความสัมพันธ
29
31. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชน ั
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม
ั ึ
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
30
32. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
. การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
31