Contenu connexe
Similaire à 70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม
Similaire à 70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม (20)
Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)
70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม
- 1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
การนับและความนาจะเปน
(เนือหาตอนที่ 5)
้
การทดลองสุม
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ
- 2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบดวย
1. บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน
- กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ
่
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู
- วิธีจัดหมู
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบทอเนกนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม
- การทดลองสุม
- ปริภูมิตัวอยาง
- เหตุการณและความนาจะเปน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1
- สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
- การหาความนาจะเปนแบบงาย
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2
- การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
- การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝกหัด (ขันสูง)
้
12. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ
13. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน
1
- 3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
14. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
15. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความนาจะเปน
16. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การใสบอลลงกลอง
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและ
ความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได
ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด
ในตอนทายของคูมือฉบับนี้
2
- 4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง การนับและความนาจะเปน (การทดลองสุม)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 5 (5/7)
หัวขอยอย 1. การทดลองสุมและปริภูมตัวอยาง
ิ
2. เหตุการณและความนาจะเปน
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียน
1. เขาใจความหมายของการทดลองสุม
2. เขาใจความหมายและสามารถหาปริภูมิตัวอยางของการทดลองสุมได
3. เขาใจความหมายของเหตุการณและหาความนาจะเปนของเหตุการณได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
ผูเรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของการทดลองสุม ปริภูมิตัวอยางและเหตุการณได
2. หาปริภูมิตวอยางของการทดลองสุมได
ั
3. หาจํานวนสมาชิกของปริภมตัวอยางและเหตุการณ โดยใชกฎการนับได
ู ิ
4. อธิบายความหมายและวิธีการหาความนาจะเปนของเหตุการณได
3
- 7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง
ในหัวขอนี้ เราจะศึกษาเรื่อง “การทดลองสุม” และ “ปริภูมิตัวอยาง” เพื่อนําไปสูเรื่อง “เหตุการณและ
ความนาจะเปน” ซึ่งจะไดศึกษาในหัวขอถัดไป โดยในสื่อการสอนเริ่มดวยการยกตัวอยางการทดลอง จากนั้นจึง
ใหความหมายของการทดลองสุม
เมื่อผูเรียนดูสอการสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจอธิบายผูเรียนเพิ่มเติมวา ผลลัพธที่เปนไปไดของการ
ื่
ทดลองสุมอาจมีไดหลายแบบ ขึ้นอยูกับวาการทดลองนัน ๆ ผลลัพธที่สนใจคืออะไร ยกตัวอยางเชน ทดลองทอด
้
ลูกเตา 1 ลูก ถาเราสนใจแตมของลูกเตาที่ขึ้น ผลลัพธที่เปนไปได คือ ลูกเตาขึ้นแตม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 แตถา
เราสนใจวาลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่ ผลลัพธที่เปนไปได คือ จํานวนคู หรือ จํานวนคี่
เพื่อใหผูเรียนเขาใจคําวา “การทดลองสุม” ไดดยิ่งขึ้น ผูสอนอาจยกตัวอยางการทดลองสุมตอไปนี้
ี
เพิ่มเติม
6
- 8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง
1. สุมจํานวน 1 จํานวนที่มีคาอยูระหวาง 0 กับ 1 และสนใจคาของจํานวนที่หยิบได
2. สุมหยิบลูกแกว 2 ลูกพรอมกัน จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสนใจสีของ
ลูกแกวที่หยิบได
3. การสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนคนหนึ่ง และสนใจผลการสอบของนักเรียนคนนี้
4. การตรวจปริมาณแอลกอฮอลของคนขับรถยนตคนหนึ่ง และสนใจปริมาณแอลกอฮอลที่วัดได
จากนั้น ผูเรียนจะไดศึกษาเรื่อง “ปริภูมิตวอยาง” ซึ่งเปนเรื่องที่ตอเนืองจากเรื่อง “การทดลองสุม” โดย
ั ่
ปริภูมิตัวอยาง คือ เซตของผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองสุม นั่นเอง
จากตัวอยางขางตน ทําใหทราบวา ในการทดลองครั้งหนึ่ง ๆ ปริภูมิตัวอยางอาจมีไดหลายแบบ ขึ้นอยูกับ
ผลลัพธที่เราสนใจของการทดลองนั้น ๆ
เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องปริภมิตัวอยางไดดยิ่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนี้
ู ี
7
- 9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง จงเขียนปริภูมิตวอยางของการทดลองโยนเหรียญ 3 เหรียญพรอมกัน เมื่อผลลัพธที่สนใจ คือ
ั
1. หนาของเหรียญทั้งสามที่ขึ้น
2. จํานวนหัวที่ขน ึ้
ตอบ 1. ปริภูมิตัวอยาง S1 = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT }
2. ปริภูมตัวอยาง S2 = {0,1, 2,3}
ิ
หมายเหตุ ในเรื่องการนับและความนาจะเปน ถาโจทยไมไดกําหนดเพิมเติมวาสิ่งของ n สิ่งที่เราสนใจ
่
เหมือนกัน หมายความวา สิ่งของ n สิ่งนั้นแตกตางกันทั้งหมด จากตัวอยางขางตน ทําใหไดวา เหรียญ 3 เหรียญ
แตกตางกันทั้งหมด ดังนั้น ผลลัพธ HHT กับ HTH จึงแตกตางกัน
ตัวอยาง จงเขียนปริภูมิตวอยางของการทดลองสุมตอไปนี้
ั
1. สุมหยิบหลอดไฟ 5 หลอด จากกลองซึ่งบรรจุหลอดไฟดี 40 หลอดและหลอดไฟเสีย 4 หลอด
เมื่อผลลัพธท่สนใจคือจํานวนหลอดไฟเสียที่ได
ี
2. ทดลองหยิบมะมวงครั้งละ 1 ผลไปเรื่อย ๆ จนกวาจะหยิบไดมะมวงมันจากตะกราใบหนึ่งซึ่งบรรจุ
มะมวงมัน 8 ผลและมะมวงเปรี้ยว 2 ผล เมื่อผลลัพธที่สนใจคือจํานวนครั้งที่ตองหยิบมะมวง
3. สุมหยิบลูกแกว 1 ลูก จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือสีของ
ลูกแกวที่หยิบได
ตอบ 1. ปริภูมตัวอยาง
ิ S1 = {0,1, 2,3, 4}
2. ปริภูมิตัวอยาง S 2 = {1, 2,3}
3. ปริภูมิตัวอยาง S3 = {สีแดง, สีขาว}
8
- 10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจย้ําผูเรียนอีกครั้งวา ปริภูมิตัวอยางอาจเปนไดทั้งเซต
จํากัดและเซตอนันต
สําหรับการทดลองสุมใด ๆ บางครั้งเราไมสนใจวาสมาชิกในปริภูมิตัวอยางเปนอะไรบาง แตเราอยาก
ทราบจํานวนสมาชิกของปริภูมิตวอยางนัน ๆ ดังนั้น ผูสอนอาจยกตัวอยางตอไปนี้ เพื่อใหผูเรียนฝกหาจํานวน
ั ้
สมาชิกของปริภูมิตัวอยาง เพื่อเปนพื้นฐานในการเรียนเรื่องความนาจะเปนในหัวขอถัดไป
ตัวอยาง จงหาจํานวนสมาชิกของปริภูมิตวอยางของการทดลองสุมตอไปนี้
ั
1. โยนเหรียญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญและแตม
ของลูกเตาที่ขึ้น
2. จัดหนังสือ 8 เลมที่แตกตางกันทั้งหมดวางบนชั้นหนังสือ ถาผลลัพธที่สนใจคือวิธีการจัดเรียง
หนังสือ
3. สุมหยิบลูกแกว 1 ลูก จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือสีของ
ลูกแกวที่หยิบได
4. จัดนักเรียน 6 คนนั่งรอบโตะกลม ถาผลลัพธที่สนใจคือวิธีการจัดทีนั่ง
่
ตอบ 1. 2 × 6 = 12
2. 8! = 40,320
3. 2
4. (6 − 1)! = 5! = 120
9
- 11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง
1. จงเขียนปริภูมตัวอยางของการทดลองตอไปนี้
ิ
1.1 โยนเหรียญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญและ
แตมของลูกเตาที่ขึ้น
1.2 สุมหยิบหลอดไฟ 2 หลอดจากกลองใบหนึงซึ่งบรรจุหลอดไฟดี 5 หลอดและหลอดไฟเสีย 1 หลอด
่
โดยหยิบทีละครั้งและไมใสกลับคืนกอนหยิบครั้งถัดไป ถาผลลัพธที่สนใจคือสภาพของหลอดไฟ
ทั้ง 2 หลอดที่หยิบได
1.3 การสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนคนหนึ่งซึ่งขอสอบชุดนี้เปนขอสอบแบบปรนัยมีทั้งหมด
5 ขอ คะแนนเต็มขอละ 2 คะแนน ถาผลลัพธที่สนใจคือคะแนนทีนกเรียนคนนี้ได
่ ั
1.4 สอบถามแมบาน 3 คนวาใชยาสีฟนยีหอ “สดชื่น” หรือไม ถาผลลัพธที่สนใจคือคําตอบของแมบาน
่
ทั้ง 3 คน
1.5 นําแบตเตอรี่ 1 อันมาทดสอบ ถาผลลัพธที่สนใจคืออายุการใชงานของแบตเตอรี่
1.6 ทอดลูกเตา 1 ลูกไปเรื่อย ๆ จนกวาลูกเตาจะขึ้นแตม 6 เปนครั้งที่สอง ถาผลลัพธที่สนใจคือจํานวน
ครั้งที่ตองทอดลูกเตา
2. จงหาจํานวนสมาชิกของปริภมตัวอยางของการทดลองสุมตอไปนี้
ู ิ
2.1 การสอบวิชาสังคมศึกษาของนักเรียนคนหนึ่ง ซึ่งขอสอบแบงเปนสองสวน สวนแรกเปนขอสอบ
แบบถูก-ผิด จํานวน 5 ขอ และสวนที่สองเปนขอสอบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จํานวน 10 ขอ สมมติให
นักเรียนคนนี้ทําขอสอบครบทุกขอ ถาผลลัพธที่สนใจคือคําตอบของนักเรียนคนนี้
2.2 สุมหยิบไพ 2 ใบจากสํารับซึ่งมีไพ 52 ใบ ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาไพทั้งสองใบที่หยิบได
2.3 เลือกอาหารคาว 2 อยางและขนมหวาน 1 อยาง จากรานอาหารซึ่งขายอาหารคาว 10 อยางและขนม
หวาน 3 อยาง ถาผลลัพธที่สนใจคืออาหารคาวและขนมหวานทีได ่
2.4 เลือกคณะกรรมการ 3 คนจากผูสมัครทั้งหมด 10 คน ถาผลลัพธที่สนใจคือผูที่ไดรับคัดเลือกเปน
กรรมการ
10
- 13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. เหตุการณและความนาจะเปน
ในหัวขอนี้ ผูเรียนจะไดศกษาเรื่อง “เหตุการณและความนาจะเปน” โดยในสื่อการสอน จะเริ่มดวยการ
ึ
ใหความหมายของคําวา “เหตุการณ” และ “เหตุการณไมเกิดรวมกัน” พรอมยกตัวอยาง จากนั้นจึงใหความหมาย
พรอมทั้งสมบัติของ “ความนาจะเปนของเหตุการณ”
เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจเนนย้าวาการหาเหตุการณตองขึ้นอยูกบปริภูมิตวอยาง
ํ ั ั
ที่เรากําลังสนใจ ดังตัวอยางขางตน ถาผลลัพธที่ไดจากการทดลองสุมตางกัน เหตุการณที่ไดกอาจตางกันดวย
็
จากนั้นผูสอนยกตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอยาง ทําการทดลองโยนเหรียญ 3 เหรียญพรอมกัน จะไดวา
สนใจหนาของเหรียญทั้งสามที่ขึ้น สนใจจํานวนหัว
ที่ขึ้น
1. ปริภูมิตัวอยาง S1 = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } S = {0,1, 2,3}
2
2. เหตุการณที่เหรียญขึ้น A1 = {HTT , THT , TTH } A2 = {1}
หัว 1 เหรียญ
3. เหตุการณที่เหรียญขึ้น B1 = {HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } B2 = {0,1, 2}
กอยอยางนอย 1 เหรียญ
4. เหตุการณที่เหรียญขึ้น C1 = ∅ C2 = ∅
หัวมากกวา 3 เหรียญ
12
- 14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่อง “เหตุการณ” ไดดย่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้
ีิ
ตัวอยาง โยนลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือแตมของลูกเตาทั้งสองที่ข้น จงหา ึ
1. A ซึ่งแทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตม 1 อยางนอย 1 ลูก
2. B ซึ่งแทนเหตุการณที่ลูกเตาทั้ง 2 ลูกขึ้นแตมเทากัน
3. C ซึ่งแทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมหารดวย 6 ลงตัว
4. เหตุการณที่ลูกเตาทั้ง 2 ลูกขึ้นแตมเทากันและผลรวมของแตมหารดวย 6 ลงตัว
5. เหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตม 1 อยางนอย 1 ลูกและผลรวมของแตมหารดวย 6 ไมลงตัว
ตอบ 1. A = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1, 6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)}
2. B = {(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5,5), (6, 6) }
3. C = {(1,5), (2, 4), (3,3), (4, 2), (5,1), (6, 6)}
4. B ∩ C = {(3,3), (6, 6)}
5. A ∩ C ′ = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1, 6), (2,1), (3,1), (4,1), (6,1)}
13
- 15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง ทดลองโยนลูกเตา 1 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือแตมของลูกเตาที่ข้นึ
ให A แทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคี่ และ
B แทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคู
ดังนั้น ปริภูมตวอยาง S = {1, 2,3, 4,5, 6} , A = {1,3,5} และ B = {2, 4, 6}
ิั
จะไดวา A ∩ B = ∅ ดังนัน เหตุการณ A และเหตุการณ B เปนเหตุการณไมเกิดรวมกัน
้
ตัวอยาง ทดลองโยนเหรียญ 2 เหรียญ ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญทั้งสองเหรียญที่ขึ้น
ให A แทนเหตุการณที่เหรียญขึ้นหัว 1 เหรียญ และ
B แทนเหตุการณที่เหรียญขึ้นกอยอยางนอย 1 เหรียญ
ดังนั้น ปริภูมตัวอยาง S = {HH , HT , TH , TT } , A = {HT , TH } และ B = {HT , TH , TT }
ิ
จะไดวา A ∩ B = {HT , TH } ≠ ∅ ดังนัน เหตุการณ A และเหตุการณ B ไมเปนเหตุการณไมเกิดรวมกัน
้
14
- 16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนควรเนนใหผูเรียนเห็นความสําคัญในการเลือกปริภูมิ
ตัวอยางทีจะนํามาชวยในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ จากที่ผูเรียนไดทราบแลววา สําหรับการทดลอง
่
สุมใด ๆ ปริภูมิตัวอยาง S อาจมีไดมากกวาหนึ่งแบบขึนอยูกับผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองที่เรา
้
สนใจ
ดังนั้นในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ E ใด ๆ โดย
n( E )
P( E ) =
n( S )
สิ่งสําคัญ คือ ปริภูมิตัวอยาง S นั้นตองมีสมบัติที่วา สมาชิกทุกตัวในปริภมิตัวอยางตองมีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ
ู
กัน
15
- 17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เพื่อใหผูเรียนหา “ความนาจะเปนของเหตุการณ” ไดคลองยิ่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้
เพิ่มเติม
ตัวอยาง ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่
1. ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7
2. ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตัว
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง
A แทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7 และ
B แทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตัว
แตม
แตม ลูกที่ 1 1 2 3 4 5 6
ลูกที่ 2
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
1. ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7 = P( A) = n( A) = 15 = 5
n( S ) 36 12
2. ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตัว
n( B ) 7
= P( B) = =
n( S ) 36
16
- 18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง กลองใบหนึ่งมีสลากอยู 100 ใบ หมายเลข 00 ถึง 99 สุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ จงหาความ
นาจะเปนที่ไดสลากที่มีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกัน
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ
E แทนเหตุการณทไดสลากที่มีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกัน
่ี
ดังนั้น
S = {00, 01, 02,… ,99}
และ
E = {01,12, 23,34, 45,56, 67, 78,89,10, 21,32, 43,54, 65, 76,87,98}
ทําใหไดวา
ความนาจะเปนที่ไดสลากทีมีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกัน = P( E ) = n( E ) =
่ 18
=
9
n( S ) 100 50
n( E )
หมายเหตุ ในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ A ใด ๆ โดย P( E ) = เราไมจําเปนตองเขียน
n( S )
เหตุการณ E แบบแจกแจงสมาชิก เพราะสิ่งที่เราตองการทราบคือจํานวนสมาชิกของ E เทานั้น ซึ่งเราสามารถ
ใชความรูเรื่องการนับที่ไดศกษาไปกอนหนานี้มาชวยได
ึ
สําหรับตัวอยางขางตน เราสามารถใชความรูเรื่องการนับชวยในการหาสมาชิกของเหตุการณ E ดังนี้
หลักสิบ หลักหนวย
0, 1, 2, 3, 1 วิธี
4, 5, 6, 7, 8 (คาเพิ่มจากตัวหนาอีก 1)
ดังนั้น จํานวนสมาชิกของเหตุการณ E เทากับ 9 ×1× 2! = 18 ตัว
สลับตําแหนง
หลักหนวย
และหลักสิบ
17
- 19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสีดํา 4 ลูก สุม หยิบลูกแกว 2 ลูกจากกลองใบ
นี้ จงหาความนาจะเปนที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก เมื่อ
1. หยิบทีละลูกและใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป
2. หยิบทีละลูกและไมใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป
3. หยิบสองลูกพรอมกัน
วิธีทํา 1. ให S1 แทนปริภูมิตวอยาง และ E1 แทนเหตุการณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก
ั
ดังนั้น
n( E1 ) 3 × 3 1
P ( E1 ) = = =
n( S1 ) 9 × 9 9
2. ให S2 แทนปริภูมิตวอยาง และ E2 แทนเหตุการณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก
ั
ดังนั้น
n( E2 ) 3 × 2 1
P ( E2 ) = = =
n( S 2 ) 9 × 8 12
3. ให S3 แทนปริภูมิตัวอยาง และ E3 แทนเหตุการณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก
ดังนั้น
3 6
n( E3 ) 2 0 3 1
P ( E3 ) = = = =
n( S3 ) 9 36 12
2
ขอสังเกต จากตัวอยางขางตน ความนาจะเปนที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูกทั้งแบบที่หยิบทีละลูกและไมใส
กลับคืน กับแบบที่หยิบสองลูกพรอมกัน มีคาเทากัน เพราะวา
3
2!
3 × 2 P3,2 2
P ( E2 ) = = = = P( E3 )
9 × 8 P9,2 9
2!
2
จากขอสังเกตนี้ และความสัมพันธที่วา
n
Pn ,r = r !
r
เมื่อ 0 ≤ r ≤ n สามารถนําไปสูขอสรุปในกรณีทวไปไดวา ความนาจะเปนของเหตุการณที่เราสนใจจากการ
ั่
ทดลองสุมหยิบสิ่งของ r สิ่งจากสิ่งของที่แตกตางกันทั้งหมด n สิ่ง ทั้งแบบหยิบพรอมกันและแบบหยิบทีละลูก
และไมใสกลับคืน จะมีคาเทากัน
18
- 20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากันเริ่มจาก 1 ถึง 10 สุมหยิบสลาก 3 ใบ จงหาความ
นาจะเปนที่ผลรวมของแตมเปน 10 และไมมีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตวอยาง และ
ั
E แทนเหตุการณท่ผลรวมของแตมเปน 10 และไมมีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5
ี
ดังนั้น
E = {{1, 4,5},{2,3,5}}
ทําใหไดวา
n( E ) 2 2 1
P( E ) = = = =
n( S ) 10 120 60
3
ขอตกลง สัญลักษณ {a1 , a2 ,… , ar } หมายถึง หยิบไดสิ่งของ a1, a2 ,… , ar โดยไมคานึงถึงลําดับกอนหลังที่ได
ํ
ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 5 ใบ โดยมีหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 กํากับไว สุมหยิบสลาก 3 ใบจากกลอง
ใบนี้พรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมนอยกวา 9
วิธีทา ให S แทนปริภูมิตวอยาง และ
ํ ั
E แทนเหตุการณท่ผลรวมของแตมนอยกวา 9
ี
ดังนั้น
E = {{1, 2,3},{1, 2, 4},{1, 2,5},{1,3, 4}}
ทําใหไดวา
n( E ) 4 4 2
P( E ) = = = =
n( S ) 5 10 5
3
ตัวอยาง โยนเหรียญ 1 เหรียญ และทอดลูกเตา 1 ลูก จงหาความนาจะเปนที่เหรียญขึนหัวและลูกเตาขึ้นแตม
้
มากกวา 4
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตวอยาง และ
ั
E แทนเหตุการณท่เหรียญขึ้นหัวและลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4
ี
ดังนั้น
n( S ) = 2 × 6 = 12
H, T 1,2,…,6
19
- 21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
และ
n( E ) = 1× 2 = 2
H 5, 6
ทําใหไดวา
n( E ) 2 1
P( E ) = = =
n( S ) 12 6
ตัวอยาง นําสินคาที่ผลิตโดยเครื่องจักร A และเครื่องจักร B มาตรวจสภาพ ไดผลดังตาราง
จํานวนสินคา(ชิ้น)
เครื่องจักร
A B
สภาพสินคา
ดี 37 55
ชํารุด 3 5
1. สุมหยิบสินคามา 1 ชิ้น จงหาความนาจะเปนที่จะหยิบไดสินคาชํารุด
2. สุมหยิบสินคาที่ผลิตโดยเครื่องจักร A มา 1 ชิ้น จงหาความนาจะเปนที่จะหยิบไดสนคาชํารุด
ิ
วิธทํา 1.
ี
เครื่องจักร A เครื่องจักร B
ชํารุด
37 3 5
55
เนื่องจากสินคามีทั้งหมด 100 ชิ้น เปนสินคาชํารุด 8 ชิ้น ดังนั้น
8 2
ความนาจะเปนที่จะหยิบไดสินคาชํารุด = =
100 25
20
- 22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. เครื่องจักร A
ชํารุด
3 5
เนื่องจากสินคาทีผลิตโดยเครื่องจักร A มีทั้งหมด 40 ชิ้น เปนสินคาชํารุด 3 ชิ้น ดังนัน
่ ้
3
ความนาจะเปนทีจะหยิบไดสินคาชํารุดเมื่อสุมหยิบสินคาจากเครื่องจักร A =
่
40
21
- 23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง เหตุการณและความนาจะเปน
1. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีแดง 1 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน
จงหา
1.1 ปริภูมิตวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือสีของลูกบอลที่หยิบได และเหตุการณที่หยิบไดลูกบอล
ั
สีแดง 1 ลูก
1.2 ปริภูมิตวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือลูกบอลที่หยิบได และเหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีขาว 2 ลูก
ั
1.3 ปริภูมิตัวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือจํานวนลูกบอลสีแดงที่ได และเหตุการณที่หยิบไดลูกบอล
สีขาว 1 ลูก
2. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูกและสีน้ําเงิน 1 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลอง
ใบนี้พรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือลูกบอลที่หยิบได จงหา
2.1 ปริภูมิตัวอยาง
2.2 A ซึ่งแทนเหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีเดียวกัน
2.3 B ซึ่งแทนเหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีแดงอยางนอย 1 ลูก
2.4 เหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีแดง 3 ลูก
2.5 A′
2.6 A ∪ B
2.7 A ∩ B
3. นักเรียนคนหนึ่งมีหนังสือ 5 เลมที่แตกตางกันทั้งหมด โดยเปนหนังสือวิชาคณิตศาสตร 2 เลม วิชา
ชีววิทยา 2 เลม และวิชาฟสิกส 1 เลม ถานักเรียนคนนี้สุมหยิบหนังสือ 3 เลม จงหาความนาจะเปนที่
หยิบได
3.1 วิชาคณิตศาสตรอยางนอย 1 เลม
3.2 วิชาคณิตศาสตรและวิชาชีววิทยาอยางละ 2 เลม
3.3 ไดครบทุกวิชา
4. ทอดลูกเตา 1 ลูกจํานวน 3 ครั้ง จงหาความนาจะเปนที่
4.1 ลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4 ทุกลูก
4.2 ลูกเตาขึ้นแตมเทากันทุกลูก
4.3 ผลรวมของแตมที่ขึ้นของลูกเตาทั้ง 3 ลูกมีคาไมเกิน 16
22
- 24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
5. โยนเหรียญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่
5.1 เหรียญขึ้นกอยและลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคี่
5.2 เหรียญขึ้นหัวหรือลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4
5.3 ลูกเตาขึ้นแตมไมเกิน 3
6. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ มีหมายเลข 1 – 10 กํากับไว สุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ จากนั้น
ทอดลูกเตา 1 ลูก จงหาความนาจะเปนที่
6.1 หมายเลขสลากที่หยิบไดและแตมของลูกเตาที่ขึ้นมีคาเทากัน
6.2 หมายเลขสลากที่หยิบไดเปนจํานวนคูแตแตมของลูกเตาที่ข้นเปนจํานวนคี่
ึ
6.3 หมายเลขสลากที่หยิบไดหารดวย 3 ลงตัว
6.4 หมายเลขสลากที่หยิบไดหารดวย 3 หรือ 5 ลงตัว
6.5 ผลรวมของหมายเลขสลากที่หยิบไดกับแตมของลูกเตาที่ขึ้นมีคาไมเกิน 5
7. นักเรียนหองหนึ่งมีทั้งหมด 40 คน ปรากฏขอมูลดังตาราง
จํานวนนักเรียน(คน)
ดานที่ถนัด
ถนัดขวา ถนัดซาย
เพศ
ชาย 16 5
หญิง 15 4
7.1 สุมนักเรียนหองนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนทีนักเรียนที่สมไดจะถนัดซาย
่ ุ
7.2 สุมนักเรียนชายหองนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นกเรียนที่สมไดจะถนัดขวา
ั ุ
23
- 27. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร
เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร
เลม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
26
- 29. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดระคน
1. ในการขนสงโทรทัศนจํานวน 50 เครื่อง จากโรงงานไปยังรานคาแหงหนึ่ง ทําใหโทรทัศนชํารุด 3 เครื่อง
เจาของรานคาสุมโทรทัศน 10 เครื่องเพื่อตรวจสอบคุณภาพ ปริภมิตัวอยางคือขอใดตอไปนี้ เมื่อผลลัพธที่
ู
สนใจคือจํานวนโทรทัศนที่ชํารุด
1. {0,1, 2,3} 2. {3, 4,… ,10}
3. {1, 2,… ,10} 4. {1, 2,… ,50}
2. สําหรับการทดลองสุมใด ๆ ขอใดตอไปนี้ไมถูกตอง
1. มีเหตุการณ A ที่ P( A) = 0
2. มีเหตุการณ A ที่ P( A) = 1
3. มีเหตุการณ A ที่ P( A) = 0.5
4. มีเหตุการณ A ที่ P( A) > 0.3
3. กลองใบหนึ่งมีสลาก n ใบ (n ≥ 3) ซึ่งมีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากันเริ่มจาก 1 ถึง n ถาสุมหยิบสลาก
จากกลองใบนี้ 2 ใบ แลวความนาจะเปนที่ไดใบหนึงเปนสลากหมายเลข 3 และอีกใบหนึ่งเปนสลาก
่
หมายเลขต่ํากวา 3 เทากับขอใดตอไปนี้
2 1
1. 2.
n2 n(n − 1)
2 4
3. 4.
n(n − 1) n(n − 1)
4. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 9 ใบ มีหมายเลข 1 – 9 กํากับไว ถาสุมหยิบสลาก 2 ใบจากกลองใบนี้ โดยหยิบทีละ
1 ใบและไมใสกลับคืนกอนหยิบใบถัดไป ความนาจะเปนที่ผลรวมของหมายเลขบนสลากทั้งสองใบนั้นหาร
ดวย 5 ลงตัวเทากับขอใดตอไปนี้
1 1
1. 2.
12 6
1 2
3. 4.
9 9
28
- 30. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
5. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 8 ลูก(แตกตางกันทั้งหมด) โดยเปนลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีดํา
3 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีเดียวกันตรงกับ
ขอใดตอไปนี้
3 5
1. 2.
28 28
3 1
3. 4.
14 4
6. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมของลูกเตาที่ขึ้นจะหารดวย 5 ไมลงตัวตรงกับ
ขอใดตอไปนี้
2 7
1. 2.
11 36
29 9
3. 4.
36 11
7. ไพสารับหนึ่งซึ่งมีทั้งหมด 52 ใบ ประกอบดวยไพหนาโพดํา โพแดง ขาวหลามตัดและดอกจิก อยางละ 13 ใบ
ํ
สุมหยิบไพ 3 ใบจากสํารับนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่ไพทั้งสามที่หยิบไดมีแตมมากกวา 2 แตนอยกวา 8
เปนเทาใด
5 7
1. 3 2. 3
52 52
3 3
20 28
3. 3 4. 3
52 52
3 3
8. กลองใบหนึ่งบรรจุปากกา 10 ดามที่แตกตางกัน โดยเปนปากกาสีแดง 3 ดาม สีนาเงิน 3 ดามและสีดํา 4 ดาม
้ํ
สุมหยิบปากกา 3 ดามจากกลองใบนี้ ความนาจะเปนที่หยิบไดปากกาครบทุกสีเปนเทาใด
2 3
1. 2.
10 10
1 7
3. 4.
3 9
29
- 31. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
9. หนังสือสารานุกรมชุดหนึ่งมีทั้งหมด 8 เลม มีหมายเลข 1 – 8 กํากับ สุมหยิบหนังสือทีละ 1 เลมเรียงบนชั้น
หนังสือจนครบ 8 เลม ความนาจะเปนที่หนังสือหมายเลขตอเนื่องกันจะอยูติดกันเปนเทาใด
1 2
1. 2.
8! 8!
1 2
3. 4.
72 72
10. ตารางแสดงความสัมพันธของสุขภาพผูสูบบุหรี่ทั้งหมด 300 คน เปนดังนี้
จํานวนผูสูบบุหรี่(คน)
จํานวนบุหรี่ที่สูบตอวัน
(มวน) 0-4 5-20 มากกวา 20
สุขภาพ
เปนมะเร็ง 8 7 25
ไมเปนมะเร็ง 150 70 40
สําหรับผูสูบบุหรี่มากกวา 20 มวนใน 1 วัน มีความนาจะเปนที่จะไมเปนมะเร็งเทากับขอใดตอไปนี้
8 2
1. 2.
13 13
2 13
3. 4.
15 15
30
- 33. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง
1. 1.1 ปริภูมิตัวอยาง S = {H 1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6, T1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6 }
1.2 ปริภูมตัวอยาง S = { NN , ND, DN } เมื่อ N แทน หลอดไฟดี และ D แทน หลอดไฟเสีย
ิ
1.3 ปริภูมตัวอยาง S = {0, 2, 4, 6,8,10}
ิ
1.4 ปริภูมตัวอยาง S = {YYY , YYN , YNY , YNN , NYY , NYN , NNY , NNN }
ิ
เมื่อ Y แทน ใชยาสีฟนยีหอนี้ และ N แทน ไมใชยาสีฟนยี่หอนี้
่
1.5 ปริภูมิตัวอยาง S = {t ∈ | t ≥ 0 } = [0, ∞)
1.6 ปริภูมตัวอยาง S = {2,3, 4,5,…}
ิ
2. 2.1 225 2.2 16 2.3 135 2.4 120
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง เหตุการณและความนาจะเปน
1. 1.1 ปริภูมิตัวอยาง S = {{สีแดง, สีขาว}, {สีขาว, สีขาว}}
เหตุการณ E={{สีแดง, สีขาว}}
1.2 ปริภูมิตวอยาง S = {{สีแดง, สีขาว1}, {สีแดง, สีขาว2}, {สีขาว1, สีขาว2}}
ั
เหตุการณ E = {{สีขาว1, สีขาว2}}
1.3 ปริภมิตัวอยาง S = {0,1}
ู
เหตุการณ E = {1}
2. ให Ri แทน ลูกบอลสีแดงลูกที่ i เมื่อ i = 1, 2,3
Wi แทน ลูกบอลสีขาวลูกที่ i เมื่อ i = 1, 2
B แทน ลูกบอลสีน้ําเงิน
2.1 ปริภูมิตัวอยาง S = {{R1, R2 },{R1, R3},{R2 , R3},{R1,W1},{R1,W2 },
{R2 , W1},{R2 ,W2 },{R3 ,W1},{R3 , W2 },{R1 , B},
{R2 , B}, {R3 , B}, {W1 , W2 }, {W1 , B}, {W2 , B}}
2.2 A = {{R1 , R2 },{R1 , R3},{R2 , R3},{W1 , W2 }}
32
- 34. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2.3 B = {{R1 , R2 },{R1 , R3},{R2 , R3},{R1 , W1},{R1 , W2 }, {R2 , W1},{R2 ,W2 },{R3 , W1},
{R3 ,W2 },{R1 , B}, {R2 , B}, {R3 , B}}
2.4 เหตุการณ E = ∅
2.5 A′ = {{R1,W1},{R1,W2 }, {R2 ,W1},{R2 ,W2 },{R3 ,W1},{R3 ,W2 },{R1, B},
{R2 , B}, {R3 , B}, {W1 , B}, {W2 , B}}
2.6 A ∪ B = {{R1 , R2 },{R1, R3},{R2 , R3},{R1 ,W1},{R1,W2 }, {R2 ,W1},{R2 ,W2 },{R3 ,W1},
{R3 ,W2 },{R1 , B}, {R2 , B}, {R3 , B},{W1 , W2 }}
2.7 A ∩ B = {{R1, R2 },{R1, R3},{R2 , R3}}
9 2
3. 3.1 3.2 0 3.3
10 5
1 1 53
4. 4.1 4.2 4.3
27 36 54
1 2 1
5. 5.1 5.2 5.3
4 3 2
1 1 3
6. 6.1 6.2 6.3
10 4 10
1 1
6.4 6.5
2 6
9 16
7. 7.1 7.2
40 21
เฉลยแบบฝกหัดระคน
1. 1 2. 4 3. 4 4. 4
5. 4 6. 3 7. 3 8. 2
9. 2 10. 1
33
- 36. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั
ความสัมพันธ
35
- 37. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชน ั
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม
ั ึ
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
36