1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
การนับและความนาจะเปน
(เนือหาตอนที่ 7)
้
ความนาจะเปน 2
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบดวย
1. บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน
- กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ
่
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู
- วิธีจัดหมู
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบทอเนกนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม
- การทดลองสุม
- ปริภูมิตัวอยาง
- เหตุการณและความนาจะเปน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1
- สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
- การหาความนาจะเปนแบบงาย
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2
- การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
- การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝกหัด (ขันสูง)
้
12. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ
13. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน
1

3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
14. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
15. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความนาจะเปน
16. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การใสบอลลงกลอง
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและ
ความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได
ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด
ในตอนทายของคูมือฉบับนี้
2

4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง การนับและความนาจะเปน (ความนาจะเปน 2)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 7 (7/7)
หัวขอยอย 1. การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
2. การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียน
1. สามารถหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชกฎการนับได
2. สามารถหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

ผูเรียนสามารถ
1. อธิบายวิธีการหาและหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชกฎการนับได
2. อธิบายวิธีการหาและหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรได
3

5. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
5

7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
ในหัวขอนี้เริ่มดวยการทบทวนการหาความนาจะเปนของเหตุการณในกรณีที่ปริภูมิตวอยางประกอบ
ั
ดวยสมาชิกทีมีโอกาสเกิดขึนไดเทา ๆ กัน ซึ่งในการหาความนาจะเปนของเหตุการณดังกลาว เราตองทราบ
่ ้
จํานวนสมาชิกของปริภูมิตวอยางและจํานวนสมาชิกของเหตุการณทเี่ ราสนใจ ดังนั้นในสื่อการสอนตอนนี้ เราจะ
ั
เนนที่การหาจํานวนสมาชิกดังกลาว โดยใช
1. กฎการนับ
2. แผนภาพเวนน-ออยเลอร
สําหรับในหัวขอนี้ เราจะศึกษาการหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับควบคูกับสมบัติของความนาจะ
เปน ซึ่งจะทําใหเราสามารถหาความนาจะเปนไดสะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น
6

8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดชมตัวอยางการหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับจากสื่อการสอนแลว ผูสอนควรให
ผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้เพิมเติมเพื่อเปนการฝกทักษะ
่
ตัวอยาง สุมหยิบเสื้อ 3 ตัวจากตูเสื้อผาซึ่งมีเสื้อสีแดง 3 ตัว สีขาว 2 ตัว และสีน้ําเงิน 5 ตัว จงหาความนาจะเปนที่
สุมไดเสื้อครบทุกสี
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณทสุมไดเสื้อครบทุกสี
ี่
ดังนั้น
 3  2   5
   
n( E )  1   1   1  30 1
P( E ) = = = =
n( S ) 10  120 4
 
3
7

9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง พจนานุกรมครบชุดมี 10 เลม มีหมายเลข 1 – 10 กํากับไว สุมหยิบหนังสือทีละเลมเรียงไวบนชั้นยาว
ตามลําดับที่หยิบได จนครบทั้งสิบเลม จงหาความนาจะเปนที่หนังสือหมายเลขตอเนื่องกันจะอยูติดกัน

วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณทหนังสือหมายเลขตอเนื่องกันจะอยูตดกัน
ี่ ิ
ดังนั้น หมายเลขจากนอยไปมาก และ
หมายเลขจากมากไปนอย
n( E ) 2
P( E ) = =
n( S ) 10!
ตัวอยาง จัดคน 8 คน ซึ่งมีสายชล นทีและวารีรวมอยูดวย นั่งรับประทานอาหารรอบโตะกลม 8 ทีนั่ง จงหา
 ่
ความนาจะเปนที่ทั้งสามคนไดนั่งติดกัน
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณที่สายชล นทีและวารีไดนั่งติดกัน
ดังนั้น
n( E ) (6 − 1)!3! 1
P( E ) = = =
n( S ) (8 − 1)! 7
ตัวอยาง ในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคําวา “MODEL” จงหาความนาจะเปนทีจะไดคาที่ข้นตนดวยสระ
่ ํ ึ
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณทไดคําที่ขึ้นตนดวยสระ
ี่
2 × 4!
O หรือ E จัด 4 ตัวที่เหลือ
ดังนัน
้
n( E ) 2!4! 2
P( E ) = = =
n( S ) 5! 5
สําหรับตัวอยางตอไปนี้เปนเรื่องเกี่ยวกับยาเสพติด ซึ่งผูสอนควรสอดแทรกใหผูเรียนเห็นโทษของ
ยาเสพติดและแนะนําผูเรียนใหอยูหางจากยาเสพติด

8

10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
หลังจากผูเรียนไดชม “ปญหาชวนคิด” ในสื่อการสอนแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันคิดหาคําตอบ
จากนั้นผูสอนจึงแสดงใหผูเรียนดู
ปญหาชวนคิด นักทองเที่ยวคนหนึ่งไดนายาเสพติด 4 เม็ด ใสไวในขวดที่มวิตามินอยู 20 เม็ด ถาเจาหนาทีดาน
ํ ี ่
ศุลกากรสุมหยิบมาตรวจ 3 เม็ด แลวนําไปวิเคราะห จงหาความนาจะเปนที่นักทองเที่ยวคนนี้จะถูกจับดวยขอหามี
ยาเสพติดไวในครอบครอง
วิธีทํา แบบที่ 1
P(ถูกจับขอหามียาเสพติด)
= P(สุมไดยาเสพติด 1 เม็ด หรือ สุมไดยาเสพติด 2 เม็ด หรือ สุมไดยาเสพติด 3 เม็ด)
= P(สุมไดยาเสพติด 1 เม็ด) + P( สุมไดยาเสพติด 2 เม็ด) + P( สุมไดยาเสพติด 3 เม็ด)
9

11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
 4   20   4  20   4   20 
          
1 2 2 1 3 0
=     +    +    
 24   24   24 
     
3 3 3
760 120 4 884 221
= + + = =
2024 2024 2024 2024 506
แบบที่ 2
P(ถูกจับขอหามียาเสพติด) = 1− P(ไมถูกจับขอหามียาเสพติด)
= 1 − P(สุมไดวิตามินทังหมด)
้
 4   20 
  
0 3
= 1−    
 24 
 
3
1140 884 221
= 1− = =
2024 2024 506
ขอสังเกต จากปญหาชวนคิดขางตน จะพบวาเมื่อเรานําสมบัติของความนาจะเปนทีวา สําหรับเหตุการณ E ใด ๆ
่
P( E ′) = 1 − P( E )
มาชวยในการหาคําตอบ ทําใหการคํานวณมีความสะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น
10

12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
1. ในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคําวา “GEOMETRY” จงหาความนาจะเปนที่ “E” ไมอยูตดกัน ิ
2. สุมนักเรียน 3 คนจากนักเรียนทั้งหมด 8 คนที่มีสวนสูงตาง ๆ กัน จงหาความนาจะเปนที่จะสุมได
นักเรียนที่มสวนสูงมากที่สุดรวมอยูดวย
ี  
3. ในการประกวดรองเพลงรอบสุดทาย มีผูเขารอบ 5 คน ผูเขารอบแตละคนตองรองเพลงเพียง 1 เพลง
โดยเลือกจากเพลงทั้งหมด 8 เพลงที่กองประกวดจัดไว จงหาความนาจะเปนทีมีผูเขารอบอยางนอย 2 คน
่
เลือกรองเพลงเดียวกัน
4. สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ ซึ่งมีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 1 – 10 จงหาความนาจะเปนทีจะ ่
หยิบสลากพรอมกัน 3 ใบ โดยใหมแตมรวมกันเปน 9 และไมมีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5
ี
5. เรือนรับรองหลังหนึ่งมี 3 หอง หองแรกพักได 3 คน สวนอีก 2 หอง พักไดหองละ 2 คน ถามีแขก 7 คน
เปนหญิง 3 คน ชาย 4 คน จะเดินทางมาพักโดยไมแจงเพศใหทราบลวงหนา จงหาความนาจะเปนที่
เจาภาพจะจัดใหหญิง 3 คนไดพกอยูหองเดียวกัน
ั 
6. นักทองเที่ยวคนหนึ่งไดนํายาเสพติด 4 เม็ด ใสไวในขวดทีมีวิตามินอยู 8 เม็ด ถาเจาหนาที่ดานศุลกากร
่
สุมหยิบมาตรวจ 5 เม็ด แลวนําไปวิเคราะห จงหาความนาจะเปนที่นกทองเที่ยวคนนี้จะถูกจับดวยขอหา
ั
มียาเสพติดไวในครอบครอง
7. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 0 – 9 สุมสลาก 3 ใบจากกลอง
ใบนี้พรอมกัน จงหาความนาจะเปนทีจะไดสลากทั้งหมายเลขคูและสลากหมายเลขคี่
่
8. นักเรียนกลุมหนึ่งประกอบดวยนักเรียนชาย 5 คนและนักเรียนหญิง 6 คน สุมนักเรียนกลุมนี้ 3 คนเพื่อ
ตอบคําถามในชั้นเรียน จงหาความนาจะเปนทีจะสุมไดนักเรียนชายเพียง 1 คน
่
11

13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
12

14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
ในหัวขอนี้ ผูเรียนจะไดศกษาเรื่อง “การหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร” โดยในสื่อ
ึ
การสอน จะเริมดวยการทบทวนการหาจํานวนสมาชิกของเซตโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ซึ่งเอกภพสัมพัทธ
่
ในเรื่องของเซตก็เปรียบไดกบปริภูมิตวอยางในเรื่องความนาจะเปนนันเอง และเซตใด ๆ ซึ่งเปนสับเซตของ
ั ั ่
เอกภพสัมพัทธก็เปรียบไดกบเหตุการณซึ่งเปนสับเซตของปริภูมิตัวอยางในเรื่องความนาจะเปนไดเชนกัน ดังนัน
ั ้
ในหัวขอนี้ เราจะนําแผนภาพเวนน-ออยเลอรมาชวยในการหาจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่สนใจ เพื่อนําไปสู
การหาความนาจะเปนของเหตุการณนน ๆ ั้
13

15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดดยิ่งขึ้น ผูสอนควรให
ี
ผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนีเ้ พิ่มเติม
ตัวอยาง นักเรียนกลุมหนึ่งมี 150 คน ในจํานวนนี้พบวา มีนกเรียนที่ชอบเลนดนตรี 60 คน มีนกเรียนที่ชอบเลน
ั ั
กีฬา 70 คน และมีนักเรียนทีชอบเลนดนตรีและชอบเลนกีฬา 25 คน ถาสุมเลือกนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน แลว
่
จงหาความนาจะเปนทีนกเรียนคนที่เลือกมาจะ
่ ั
1. ชอบเลนดนตรีหรือชอบเลนกีฬา
2. ไมชอบเลนทั้งดนตรีและกีฬา
3. ชอบเลนดนตรีแตไมชอบเลนกีฬา
วิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดังนี้
ดนตรี กีฬา
35 25 45
45
ดังนั้น
1. P(ชอบเลนกีฬา หรือ ชอบเลนดนตรี) = 35 + 25 + 45 = 105 = 7
150 150 10
14

16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
45 3
2. P(ไมชอบเลนทั้งดนตรีและกีฬา) =
=
150 10
3. P(ชอบเลนดนตรีแตไมชอบเลนกีฬา) = 35 = 7
150 30
ตัวอยาง จากการสํารวจผูฟงเพลงของรายการวิทยุสถานีหนึ่งจํานวน 80 คน ปรากฏวา มีผูชอบฟงเพลงลูกทุง

30 คน มีผูชอบฟงเพลงไทยสากล 45 คน และมีผูชอบฟงเพลงลูกทุงหรือเพลงไทยสากล 60 คน
1. ถาสุมผูฟงเพลงกลุมนี้มาหนึงคน จงหาความนาจะเปนที่ผฟงที่สุมมา
 ่ ู
1.1 ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล
1.2 ไมชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล
2. ถาสุมผูฟงเพลงกลุมนี้ซึ่งชอบฟงเพลงลูกทุงมา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่ผูฟงที่สุมมาไมชอบฟง

เพลงไทยสากล
วิธีทา ให x แทนจํานวนผูฟงเพลงที่ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล
ํ
เพลงลูกทุง เพลงไทยสากล
30 − x x 45 − x
20
1. เนื่องจากมีผูชอบฟงเพลงลูกทุงหรือเพลงไทยสากลจํานวน 60 คน ดังนั้น
(30 − x) + x + (45 − x) = 60
x = 15
1.1 P(ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล) = 15 = 3
80 16
1.2 P(ไมชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล) = 20 = 1
80 4
15

17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
จํานวนคนที่ชอบฟงเพลง
ลูกทุงแตไมชอบฟงเพลง
ไทยสากล
2. P(ไมชอบฟงเพลงไทยสากล) = 15 = 1
30 2
จํานวนคนที่ชอบ
ฟงเพลงลูกทุง
จากนั้น ในสื่อการสอนไดยกตัวอยางการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ซึ่งมีความ
ซับซอนยิ่งขึ้น ดังนี้
จากนั้นผูสอนอาจใหผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม
16

18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง จากการสํารวจผูชมการถายทอดการแขงขันกีฬาซีเกมสจานวน 200 คน ปรากฏวา มี 120 คนชอบชม
ํ
ฟุตบอล มี 80 คนชอบชมวายน้ํา มี 70 คนชอบชมมวยสากล มี 30 คนที่ชอบชมกีฬาทั้งสามประเภท มี 50 คนที่
ชอบชมฟุตบอลและวายน้ํา มี 40 คนที่ชอบชมวายน้ําและมวยสากล และมี 40 คนที่ไมชมกีฬาทั้งสามประเภทนี้
ถาสุมผูชมกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่ผูชมทีสุมไดชอบชมฟุตบอลและมวยสากล
่
วิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขียนแผนภาพเวนน – ออยเลอร ไดดังนี้
ฟุตบอล วายน้ํา
20
120-(20+30+x) 20
30
x 10
70 – (x+30+10)
มวยสากล 40
เนื่องจากมี 40 คนที่ไมชมกีฬาทั้งสามประเภท ทําใหไดวา มี 160 คนที่ชมฟุตบอลหรือวายน้ําหรือมวยสากล

ดังนั้น
120 − (20 + 30 + x) + 20 + 20 + x + 30 + 10 + 70 − (x + 30 + 10) = 160
x = 20
ทําใหไดวา
 P(ผูชมที่สุมไดชอบชมฟุตบอลและมวยสากล) = 20 = 1
200 10
สําหรับการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร นอกจากเราจะใสจํานวนสมาชิกลงใน
อาณาบริเวณตาง ๆ ของแผนภาพเวนน-ออยเลอรดังที่ผูเรียนไดเห็นตัวอยางในสื่อการสอนแลวนั้น สมบัติของ
ความนาจะเปนที่วา

ถา A∩ B = ∅ แลว P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
เมื่อ A และ B คือ เหตุการณใด ๆ
17

19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ทําใหเราสามารถใสคาความนาจะเปนลงในแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดเชนกัน ซึ่งผูเรียนไดศึกษามาแลวในสื่อ
การสอนเรื่องการนับและความนาจะเปน เนื้อหาตอนที่ 6
ตัวอยาง ให A และ B แทนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A) = 0.5, P( B) = 0.3 และ P( A ∪ B) = 0.6 จงหา
P( A ∩ B)
วิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดังนี้
A B
0.5 − x x 0.3 − x
ดังนั้น P( A ∪ B) = 0.6
(0.5 − x) + x + (0.3 − x) = 0.6
x = 0.2
นั่นคือ P( A ∩ B) = 0.2
18

20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
1. สอบถามครอบครัว 500 ครอบครัว พบวา 280 ครอบครัวมีรถจักรยานยนต 320 ครอบครัวมีโทรทัศน
และ 150 ครอบครัวมีทั้งสองอยางนี้ สุมครอบครัวมา 1 ครอบครัวจากทั้งหมดนี้ จงหาความนาจะเปน
ที่ครอบครัวที่สุมไดไมมทั้งสองอยางนี้
ี
2. จากการสํารวจนักเรียนจํานวน 200 คนเกียวกับกีฬาที่นกเรียนชอบ ปรากฏผลดังนี้
่ ั
กีฬา จํานวนนักเรียน(คน)
ฟุตบอล 50
วายน้ํา 60
ปงปอง 75
ฟุตบอลและวายน้ํา 15
ฟุตบอลและปงปอง 20
วายน้ําและปงปอง 15
ฟุตบอล วายน้าและปงปอง
ํ 10
2.1 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สุมไดชอบกีฬาวายน้ําและ
ปงปองแตไมชอบฟุตบอล
2.2 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สุมไดไมชอบกีฬาทั้งสาม
ประเภทนี้เลย
2.3 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้ซึ่งชอบวายน้ํามา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นกเรียนที่สมไดไมชอบทัง
ั ุ ้
ฟุตบอลและไมชอบทั้งปงปอง
3. ในการสอบถามนักเรียนจํานวน 50 คน ปรากฏวามีนักเรียนที่
ชอบวิชาเคมี 25 คน ชอบวิชาฟสิกส 20 คน
ชอบวิชาภาษาอังกฤษ 20 คน ชอบทั้งสามวิชา 10 คน
ชอบวิชาฟสิกสและภาษาอังกฤษ 12 คน
ชอบวิชาเคมีและฟสิกสแตไมชอบวิชาภาษาอังกฤษ 5 คน และ
ไมมีนักเรียนคนใดชอบวิชาเคมีและภาษาอังกฤษโดยไมชอบวิชาฟสิกส
ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สมไดไมชอบวิชาใดวิชาหนึ่งเลยใน
ุ
สามวิชานี้
19

21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
4. ให A และ B แทนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A − B) = 0.2, P( B − A) = 0.3 และ P( A′ ∩ B′) = 0.3
จงหา
4.1 P( A ∩ B)
4.2 P( A)
4.3 P( B′)
5. ให A และ B แทนเหตุการณไมเกิดรวมกัน โดยที่ P( A′) = 0.7 และ P( A ∪ B) = 0.5 จงหา
5.1 P( A′ ∪ B′)
5.2 P( A′ ∪ B)
5.3 P( A′ ∩ B)
20

22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
21

23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
22

24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร
เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร
เลม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
23

25. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
24

26. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดระคน
1. กลองใบหนึ่งมีบัตร n ใบ ซึ่งมีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 1 จนถึง n (n ≥ 5) สุมหยิบบัตร 3 ใบ
จากกลองใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่ไดบัตรใบหนึ่งเปนบัตรหมายเลข 5 และอีกสองใบเปนบัตร
หมายเลขต่ากวา 5 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
ํ 
6 12
1. 2.
n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2)
18 36
3. 4.
n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2)
2. มีลูกแกวสีแดง สีขาว สีเหลือง สีน้ําเงินและสีดําอยางละ 1 ลูก ถานําลูกแกวทั้ง 5 ลูกนี้มาเรียงอยางสุมเปน
วงกลม ความนาจะเปนทีจะไดลูกแกวสีขาวอยูระหวางลูกแกวสีแดงและลูกแกวสีเหลืองมีคาเทากับขอใด
่
ตอไปนี้
1 1
1. 2.
24 12
1 1
3. 4.
6 3
3. กําหนดใหเซต A มีสมาชิก 4 ตัว และเซต B มีสมาชิก 5 ตัว ถาสรางฟงกชันจาก A ไป B แลวความนาจะ
เปนที่จะไดฟงกชนหนึ่งตอหนึ่งเทากับขอใดตอไปนี้
ั
24 120
1. 2.
625 625
24 120
3. 4.
196 196
4. กลองใบหนึ่งมีลูกบอลอยู 5 สี สีละ 4 ลูก สุมหยิบลูกบอล 3 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่จะได
ลูกบอลสีเหมือนกัน 2 ลูกเทานั้นเทากับขอใดตอไปนี้
8 9
1. 2.
19 19
10 11
3. 4.
19 19
25

27. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
5. เรือนรับรองหลังหนึ่งซึ่งมี 4 หอง ถามี 1 หองที่พักได 3 คน มี 2 หองที่พักไดหองละ 2 คน และมี 1 หองที่พก
ั
ได 1 คน ในการจัดหญิง 8 คน ซึ่งมีเอและออยรวมอยูดวย ใหพักที่เรือนรับรองหลังนี้ ความนาจะเปนทีเ่ อและ

ออยไดพกหองเดียวกันโดยไมมีผูอื่นพักดวยเทากับขอใดตอไปนี้
ั
1 1
1. 2.
28 14
5 1
3. 4.
28 4
6. สลาก 20 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากัน เริ่มจาก 1 – 20 สลากหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 มีรางวัล 1000,
500, 300 และ 200 บาท ตามลําดับ ชายคนหนึ่งสุมหยิบสลาก 2 ใบจากสลากทั้งหมด ความนาจะเปนที่เขาจะ
ไดรับรางวัล 500 บาท มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
17 16
1. 2.
190 190
2 1
3. 4.
190 190
7. สุมจํานวนเต็มซึ่งหารดวย 3 ลงตัวซึ่งมีคาอยูระหวาง 10 ถึง 200 มาหนึ่งจํานวน ความนาจะเปนทีจํานวนที่สุม
่
มานี้จะหารดวย 7 ลงตัว เทากับขอใดตอไปนี้
1 2
1. 2.
7 7
3 4
3. 4.
7 7
8. ถาเขียนพจนทุกพจนของการกระจาย (a + b)10 เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ซึง a ≠ b ลงบนสลากขนาด
่
เทากัน สลากละหนึ่งพจน ใสสลากทั้งหมดนี้ลงในกลอง แลวสุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ ความนาจะ
เปนที่จะไดสลากที่มีพจนซ่งมีสัมประสิทธิ์ทวินามเปน 252 เทากับขอใดตอไปนี้
ึ
1
1. 0 2.
11
1 2
3. 4.
10 11
26

28. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
9. จากการสํารวจนักเรียนหองหนึ่ง ซึ่งแตละคนตองเรียนพิมพดด วายน้ํา หรือดนตรีอยางนอย 1 วิชา ปรากฏผล
ี
ดังนี้
วิชา จํานวนนักเรียน(คน)
พิมพดีด 30
วายน้ํา 25
ดนตรี 20
พิมพดีดและวายน้ํา 12
พิมพดีดและดนตรี 8
วายน้ําและดนตรี 10
พิมพดีด วายน้าและดนตรี
ํ 5
ถาสุมเลือกนักเรียน 1 คนจากนักเรียนหองนี้ ความนาจะเปนทีนักเรียนที่สุมไดจะเรียนวายน้ําหรือดนตรีแตไม
่
เรียนพิมพดดมีคาเทากับขอใดตอไปนี้
ี
1 2
1. 2.
11 11
1 2
3. 4.
5 5
10. ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A′ ∪ B) = 0.4, P( A ∩ B) = 0.2 และ P( B − A) = 0.1
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. P ( A − B) = 0.9 2. P ( B′) = 0.3
3. P ( A′) = P( B) − P( A ∩ B) 4. 6 P(( A ∪ B)′) = P( A − B)
27

29. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝกหัด
28

30. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
3 3 407
1. 2. 3.
4 8 512
1 1 92
4. 5. 6.
60 35 99
5 5
7. 8.
6 11
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง การหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร
1
1.
10
1 11 2
2. 2.1 2.2 2.3
40 40 3
6
3.
25
4. 4.1 0.2 4.2 0.4 4.3 0.5
5. 5.1 1 5.2 0.7 5.3 0.2
เฉลยแบบฝกหัดระคน
1. 4 2. 3 3. 2 4. 1
5. 2 6. 1 7. 1 8. 2
9. 4 10. 4
29

31. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร
จํานวน 92 ตอน
30

32. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั
ความสัมพันธ
31

33. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชน ั
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม
ั ึ
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
32

34. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
. การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
33