9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อมาถึงตอนนี้ ครูควรย้าเรื่องสัญลักษณ์ที่นิยมใช้ในการแยกแยะว่าสิ่งที่กาลังคานวณนั้นเกี่ยวกับประชากรหรือ
ตัวอย่าง เช่น (มิว) ใช้แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร ในขณะที่ x (เอ็กซ์ บาร์) ใช้แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ของตัวอย่าง สาหรับการพูดนั้นบางครั้งอาจใช้คาว่า “mean” (มีน) แทนการพูดว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ นอกจากนี้
หากไม่ได้ระบุไว้ในคาถามจะถือว่าข้อมูลที่กาหนดมาให้เป็นข้อมูลประชากร
เมื่อนักเรียนเข้าใจตัวอย่างในสื่อแล้วครูอาจเน้นย้าอีกครั้งว่า จานวนจริงที่เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุด
หนึ่ง อาจไม่ใช่จานวนจริงที่เป็นข้อมูลตัวใดตัวหนึ่งในชุดนั้นเลยก็ได้ นอกจากนี้อาจมีข้อมูลในชุดนั้นบาง
ตัวที่น้อยกว่า หรือมากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้เสมอ ครูอาจชวนนักเรียนให้ช่วยกันอภิปรายว่าข้อมูลแบบใด
ที่จะรับประกันว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น จะเท่ากับข้อมูลตัวใดตัวหนึ่งในชุดนั้นเสมอ อย่างไรก็
ตามสูตรสาหรับคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต สะท้อนความเป็นค่ากลางของข้อมูลที่นามาเฉลี่ย กล่าวคือ สาหรับ
a b
ข้อมูลที่ประกอบด้วยจานวนจริง a และ b เมื่อ a b จะได้ว่า a b นั่นคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต
2
เป็นจานวนจริงที่อยู่ระหว่าง a และ b
8
10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจานวนจริงใดๆ สมมติว่า a b
จะได้ว่า a a a b b b
a a a b b b
2 2 2
a b
a b
2
N
ในตอนนี้ได้อธิบายสมบัติที่สาคัญของสัญลักษณ์ xi ซึ่งใช้แทนผลบวก x1 x2 x3 ... xN
i 1
9
11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อมาถึงตอนนี้ได้อธิบายสมบัติที่สาคัญของค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่นักเรียนอาจนามาใช้ในการช่วยคานวณ หรือ
แก้ปัญหาต่างๆ ได้ นอกจากนี้ยังได้ยกตัวอย่างเกี่ยวกับการใช้สมบัติดังกล่าวเพื่อสร้างความคุ้นเคยให้กับนักเรียน
ก่อนที่จะยกตัวอย่างเพิ่มเติม ครูควรชวนให้นักเรียนช่วยกันอภิปรายเหตุผล เพื่อสนับสนุนว่าสมบัติต่างๆ ที่
ได้อธิบายไปในสื่อนั้นเป็นจริง ในที่นี้จะแสดงการพิสูจน์เฉพาะข้อมูลประชากรเท่านั้น เนื่องจากข้อมูล
ตัวอย่างมีสมบัติเหมือนกัน แต่ใช้สัญลักษณ์แตกต่างกันเท่านั้น
N
1. xi N
i 1
N
xi N
พิสูจน์ เนื่องจาก i 1
จึงได้ว่า xi N
N i 1
N
2. (x i ) 0
i 1
พิสูจน์ จากสมบัติของ (ซิกม่า) และสมบัติข้อ 1 ของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะได้ว่า
10
12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
N N N
(x i ) xi
i 1 i 1 i 1
N N 0
N
3. (x i m)2 มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ m
i 1
พิสูจน์ เนื่องจาก
N N N N
(x i m )2 (x i 2 2x im m2) xi2 2m xi m 2N
i 1 i 1 i 1 i 1
2 2
N N
xi xi N
i 1
N m i 1
xi2
N N i 1
2
N
N
xi
2 2 i 1
N (m ) xi
i 1 N
ซึ่งเป็นสมการพาราโบลาหงายในตัวแปร m ซึ่งมีค่าต่าสุดเมื่อ m นั่นเอง
4. x max x min
พิสูจน์ การพิสูจน์คล้ายกับการพิสูจน์ว่าสาหรับจานวนจริง a และ b ใดๆ
a b
ถ้า a b แล้ว a b ที่ได้แสดงไว้ให้แล้ว
2
ดังนั้นจึงให้นักเรียนช่วยกันพิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด
5. สาหรับจานวนจริง a และ b ใดๆ ถ้า yi axi b ทุก i แล้ว y ax b
พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจานวนจริงใดๆ และ yi ax i b ทุก i
N N N N
yi (ax i b) yi b
จะได้ว่า y i 1 i 1
a i 1 i 1
ax b
N N N N
เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม
20 20
ตัวอย่าง 1 กาหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งมี 20 ตัวโดยที่ (x i 5)2 500 และ (x i b)2 มีค่าน้อยสุด
i 1 i 1
20
เมื่อ b 8 จงหาค่าของ xi2
i 1
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า 8 และ
11
13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
20 20 20 20
500 (x i 5)2 xi 2 10 xi 25
i 1 i 1 i 1 i 1
20 20
xi2 10(20 ) 25(20) xi2 1100
i 1 i 1
20
ดังนั้น xi2 1600
i 1
ตัวอย่าง 2 กาหนดให้ข้อมูล x 1, x 2, x 3, ..., x 7 ซึ่งเรียงจากน้อยไปมากแล้วมีค่าเป็น 2, 3, 3, x, 4, y, 7
7
x
ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เป็น 4 และ (x i )2 16 จงหาค่าของ
i 1 y
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า 4
2 3 3 x 4 y 7 x y 19
7 7
นั่นคือ y 9 x และ
7
16 (x i )2
i 1
(2 4)2 (3 4)2 (3 4)2 (x 4)2 (4 4)2 (y 4)2 (7 4)2
(x 4)2 (9 x 4)2 15
นั่นคือ 1 (x 4)2 (5 x )2
2x 2 18x 41
จะได้ว่า 0 2x 2
18x 40
2(x 2 9x 20) 2(x 4)(x 5)
แต่ x 4 ดังนั้น x 4
x 4
ทาให้ได้ว่า y 5 และ
y 5
ตัวอย่าง 3 สาหรับจานวนจริง a และ d และ จานวนนับ N
N (N 1)
กาหนดให้ 1 2 3 ... N
2
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล a, a d, a 2d, ..., a (N 1)d
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่ามีข้อมูลอยู่ N ตัว ดังนั้น
12
14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
a (a d) (a
2d ) ... (a (N 1)d )
N
aN d (1 2 3 ... (N 1))
N
N (N 1)
aN d
2
N
N 1
a d
2
หมายเหตุ ข้อมูลในรูปแบบที่กาหนดให้ในตัวอย่าง 3 เรียกว่า ลาดับเลขคณิต นักเรียนจะสังเกตได้ว่า ถ้า N
เป็นจานวนคี่แล้ว จะเป็นข้อมูลที่อยู่ตาแหน่งตรงกลางของข้อมูลทั้งหมดพอดี ในขณะที่ถ้า N เป็น
N N
จานวนคู่แล้ว จะเป็นข้อมูลที่อยู่ “ตรงกลาง” ระหว่างข้อมูลตัวที่ กับข้อมูลตัวที่ 1 สาหรับเรื่อง
2 2
ลาดับเลขคณิตนั้น นักเรียนจะได้ศึกษารายละเอียดในสื่อเรื่องลาดับและอนุกรม โดยอาจารย์ศันสนีย์ และ
อาจารย์ไพโรจน์
13
15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนี้ได้อธิบายเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้าหนัก ซึ่งจะนามาใช้เมื่อข้อมูลแต่ละตัวมีความสาคัญ หรือ
น้าหนักแตกต่างกัน เช่นในการคานวณระดับคะแนน (เกรด) เฉลี่ยของนักเรียนที่วิชาต่างๆ มีจานวนหน่วยกิตแตก
ต่างกันนั่นเอง
ในสื่อนั้นได้กล่าวถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้าหนักของข้อมูลตัวอย่าง อย่างไรก็ดีหากเป็นข้อมูลประชากร ยัง
สามารถคานวณได้ในลักษณะเดียวกัน แต่ใช้สัญลักษณ์แตกต่างกันกล่าวคือ ถ้าให้ w1, w2, w 3, ..., wN เป็น
น้าหนักของข้อมูล x 1, x 2, x 3, ..., x N ตามลาดับ แล้วจะได้ว่า
N
wi x i
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก แทนด้วย เท่ากับ i 1
N
wi
i 1
14
16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
N
มาถึงตอนนี้ได้ใช้สมบัติที่ว่า xi N มาช่วยคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูลที่ถูกแยกออกเป็น
i 1
ข้อมูลย่อยหลายๆ ชุด ซึ่งในแต่ละชุดได้คานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดย่อยๆ นั้นมาแล้ว
ในสื่อนั้นได้กล่าวถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูลตัวอย่าง อย่างไรก็ดีหากเป็นข้อมูลประชากร ยังสามารถ
คานวณได้ในลักษณะเดียวกัน แต่ใช้สัญลักษณ์แตกต่างกันกล่าวคือ ถ้าให้ 1, 2, 3, ..., k เป็นค่าเฉลี่ยเลข
คณิตของข้อมูลชุดที่ 1, 2, 3, ..., k ตามลาดับและ N 1, N 2, N 3, ..., N k เป็นจานวนข้อมูลชุดที่ 1, 2, 3, ..., k
ตามลาดับ แล้วจะได้ว่า
k
Ni i
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม แทนด้วย เท่ากับ i 1
k
Ni
i 1
เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างนี้ให้นักเรียนเพื่อเสริมประสบการณ์
ตัวอย่าง 5 นักเรียนชั้นหนึ่งจานวน 500 คนมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายจ่ายต่อวันเป็น 70 บาท ในจานวนนักเรียน
ทั้งชั้นนี้มีผู้ชายอยู่ 300 คน และมีผู้หญิงอยู่ 200 คน ถ้ากลุ่มนักเรียนหญิงมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายจ่ายต่อวัน
มากกว่ากลุ่มผู้ชายอยู่ 5 บาท แล้วจงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายจ่ายต่อวันของนักเรียนทั้งสองกลุ่มนี้
วิธีทา กาหนดให้ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ต่อวันของนักเรียนทั้งชั้น
1
และ 2 แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ต่อวันของกลุ่มนักเรียนชายและกลุ่มนักเรียนตามลาดับ
300 200 300 200( 5)
ดังนั้น 2 1
5 และ 70 1 2 1 1
500 500
นั่นคือ 35000 500 1 1000
ทาให้ 1 68 บาท และ 2
73 บาท
15