SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  36
Télécharger pour lire hors ligne
คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

                    เรื่อง

         สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
              (เนื้อหาตอนที่ 10)
              คะแนนมาตรฐาน

                    โดย

        อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ


     สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
  คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
              กระทรวงศึกษาธิการ
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
         สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


               สื่อการสอน เรื่อง สถิตและการวิเคราะห์ข้อมูล
                                     ิ
        สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 27 ตอน
ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
2. เนื้อหาตอนที่ 1 บทนา (เนื้อหา)
                      - ความหมายของสถิติ
                      - ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูล
                      - การสารวจความคิดเห็น
3. เนื้อหาตอนที่ 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
                      - ค่ากลางของข้อมูล
4. เนื้อหาตอนที่ 3 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
                      - แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง
5. เนื้อหาตอนที่ 4 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
                      - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
                      - มัธยฐาน
                      - ฐานนิยม
                      - ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
                      - ค่ากลางฮาร์โมนิก
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การกระจายของข้อมูล
                      - ตาแหน่งของข้อมูล
7. เนื้อหาตอนที่ 6 การกระจายสัมบูรณ์ 1
                      - การกระจายสัมบูรณ์และการกระจายสัมพัทธ์
                      - พิสัย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
                      - ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
                      - ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
8. เนื้อหาตอนที่ 7 การกระจายสัมบูรณ์ 2
                      - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
                      - ความแปรปรวน



                                              1
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
           สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


 9. เนื้อหาตอนที่ 8       การกระจายสัมบูรณ์ 3
                          - พิสัย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
                          - ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
                          - ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
                          - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
10. เนื้อหาตอนที่ 9 การกระจายสัมพัทธ์
                          - สัมประสิทธ์พิสัย
                          - สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
                          - สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
                          - สัมประสิทธ์ของความแปรผัน
11. เนื้อหาตอนที่ 10 คะแนนมาตรฐาน
                          - คะแนนมาตรฐาน
                          - การแจกแจงปกติ
12. เนื้อหาตอนที่ 11 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
                          - ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
13. เนื้อหาตอนที่ 12 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
                          - ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา
14. เนื้อหาตอนที่ 13 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
                          - โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
15. เนื้อหาตอนที่ 14 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
                          - โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
16. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
17. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
18. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
19. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
20. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 5)
21. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
22. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูล
23. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล
24. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดการกระจายของข้อมูล
25. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การแจกแจงปกติ
                                                2
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
           สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


26. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง
27. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงพาราโบลาและความสัมพันธ์เชิงชี้กาลัง

          คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
 สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่
 คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชา
 คณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้




                                                3
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
             สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


เรื่อง              สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (คะแนนมาตรฐาน)
หมวด                เนื้อหา
ตอนที่              10 (10/14)

หัวข้อย่อย          1. คะแนนมาตรฐาน
                    2. การแจกแจงปกติ

จุดประสงค์การเรียนรู้
    เพื่อให้ผู้เรียน
    1. เข้าใจความหมาย และสูตรในการคานวณคะแนนมาตรฐานของข้อมูลที่กาหนดมาให้
    2. เข้าใจสมบัติของคะแนนมาตรฐาน
    3. เข้าใจสมบัติของข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติ
    4. เห็นความเชื่อมโยงระหว่างข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติ คะแนนมาตรฐาน พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
           มาตรฐาน และตาแหน่งของข้อมูล
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
    ผู้เรียนสามารถ
    1. อธิบายความหมาย และคานวณคะแนนมาตรฐานของข้อมูลที่กาหนดมาให้ได้
    2. ระบุสมบัติของคะแนนมาตรฐานและนาไปใช้ในการแก้ปัญหาได้
    3. อธิบายสมบัติของข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติได้
    4. ระบุความเชื่อมโยงระหว่างข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติ คะแนนมาตรฐาน พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
           ปกติมาตรฐาน และตาแหน่งของข้อมูล และนาไปใช้ในการแก้ปัญหาได้




                                                  4
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


                       เนื้อหาในสื่อการสอน




                            เนื้อหาทั้งหมด




                                     5
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย




                     1. คะแนนมาตรฐาน




                                     6
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                  สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


                                             1. คะแนนมาตรฐาน
          ในช่วงแรกสื่อได้แสดงให้เห็นถึงความสาคัญของการเปลี่ยนข้อมูล หรือที่เรียกว่าข้อมูลดิบ ให้เป็นคะแนน
มาตรฐาน หรือค่ า มาตรฐาน เนื่องจากสูตรของคะแนนมาตรฐานนั้นเกี่ ย วข้องกั บค่าเฉลี่ย เลขคณิต และส่ว น
เบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งสาหรับประชากรและตัวอย่าง ครูจึงควรให้นักเรียนทบทวนสูตรการคานวณของค่าทั้งสองที่
เกี่ยวข้อง โดยไม่ลืมเน้นย้าเรื่องความแตกต่างของสูตรในการคานวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรกับของ
ตัวอย่าง




จากนั้นได้ยกตัวอย่างเกี่ยวกับการใช้สูตรในการหาคะแนนมาตรฐาน ตลอดจนตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับคะแนน
มาตรฐาน




ในที่นี้จะแสดงการพิสูจน์ข้อสังเกต 3 ที่ได้กล่าวถึงในสื่อตอนนี้ นั่นคือเมื่อแปลงค่า หรือคะแนนดิบในข้อมูลระดับ
ประชากรชุดหนึ่งทุกๆ ค่าให้เป็นค่ามาตรฐาน แล้วนาค่ามาตรฐานเหล่านั้นมาคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วน
เบี่ยงเบน จะได้เป็น 0 และ 1 ตามลาดับ

                                                       7
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                                    สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


พิสูจน์ สมมติว่าข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x N มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
                                                                     xi
เป็น และ ตามลาดับ จะได้ว่า z i                                                       ทุก i           {1, 2, 3, ..., N }
              N                   N
                                        xi              1   N                  N
                                                                                                 1     N
ดังนั้น             zi                                              xi                                      xi       N    0
              i 1              i 1                          i 1                i 1                    i 1
                                                                                                                                   N
                                                                                                                                         zi
ทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งหมดที่ถูกทาให้เป็นค่ามาตรฐานมีค่าเท่ากับ                                                    z
                                                                                                                                   i 1
                                                                                                                                                0
                                                                                                                                    N
                              N
ต่อมาเนื่องจาก                        (x i         )2   N       2
                                                                    ทาให้ได้ว่า
                              i 1
 N
       (z i              )2                                 2
                     z
                                      1      N
                                                   xi                 1             N
 i 1
                                                                                          (x i        )2         1
          N                           N      i 1                     N 2            i 1

นั่นคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลทั้งหมดที่ถูกทาให้เป็นค่ามาตรฐานมีค่าเท่ากับ 1
                                                                          N
จากบทพิสูจน์นี้จะได้ข้อสังเกตเพิ่มเติมคือ                                      zi         0
                                                                         i 1




เมื่อมาถึงตอนนีครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้ประกอบ
               ้

ตัวอย่าง 1 ในการสอบวิชาภาษาไทยครั้งหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 50 และความแปรปรวนเท่ากับ 2.25
ค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 59 คะแนนจะมากกว่าค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 44 คะแนนอยู่เท่าใด

วิธีทา เนื่องจากความแปรปรวนเท่ากับ 2.25 ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ                                                        2.25        1.5



                                                                                           8
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                   สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

                                             59 50
ค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 59 คะแนน คือ                         6   และ
                                               1.5
ค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 44 คะแนนคือ 44 50                        4
                                               1.5
ดังนั้นทั้งคู่นี้มีค่ามาตรฐานต่างกันอยู่ 6 ( 4) 10

ชวนคิ ด หากค านวณผลต่า งของคะแนนดิบ ก่ อนกล่ าวคือ 59 44 15 แล้ว จึง นาผลต่ างนี้ไ ปหาค่ า
มาตรฐาน จะได้ผลลัพธ์ที่เหมือนหรือต่างจากตัวอย่าง 1 นี้หรือไม่อย่างไร จงให้เหตุผลประกอบ

ตัวอย่าง 2 นาย ก สอบวิชาชีววิทยาได้คะแนน 86 คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.8 ถ้าสัมประสิทธิ์
ความแปรผันของคะแนนสอบครั้งนี้เป็น 0.4 จงหาความแปรปรวนของคะแนนสอบครั้งนี้

                                  86
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า 1.8                 และ          0.4   นั่นคือ       86     1.8    และ      0.4   จะได้
ว่า 1.72     86   นั่นคือ       50   และ        20




                                                        9
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


                           แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องคะแนนมาตรฐาน
1. ในการสอบวิชาเคมีของนักเรียนห้องหนึ่ง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเป็น 55 และ 100
ตามลาดับ โดยนาย ก ได้คะแนนคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 1.7 คะแนน เมื่อรวมคะแนนจิตพิสัยที่
นักเรียนทุกคนได้คนละ 5 คะแนนแล้ว นาย ข ได้คะแนนรวมมากกว่านาย ก อยู่ 7 คะแนน จงหาคะแนน
รวมและค่ามาตรฐานของคะแนนรวมของนาย ข

2. ให้ x 1, x 2, x 3, ..., x N เป็นความสูงในหน่วยเซนติเมตรของเด็กกลุ่มหนึ่ง และ y1, y2, y 3, ..., yN เป็น
ความสูงในหน่วยเซนติเมตรของพ่อของเด็กแต่ละคนในกลุ่มนั้น โดยที่แต่ละ                     i   {1, 2, 3, ..., N }   พบว่า
yi    0.9xi       ถ้าความสูงเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของเด็กกลุ่มนี้เท่ากับ 120
                  54.8
และ 8 แล้วพ่อของเด็กคนหนึ่งในกลุ่มนี้ที่มีความสูงคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 1.4 จะมีความสูง
เป็นกี่เซนติเมตร

3. ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาจีนของนักเรียน 60 คน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 และความแปรปรวน
เท่ากับ 100 โดยที่ผลรวมของค่ามาตรฐานของคะแนนของนักเรียนกลุ่มนี้เพียง 59 คนเท่ากับ 2.1 แล้ว
นักเรียนอีกคนหนึ่งได้คะแนนสอบเป็นเท่าใด

4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งซึ่งมีคะแนนเต็ม                 80   คะแนน และสัมประสิทธิ์ของการ
                               2
แปรผันของคะแนนเท่ากับ              ถ้านาย ก สอบได้      63   คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐานคือ 2 และนาย ข
                               5
สอบได้คะแนนซึ่งคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ                 0.9   จงหาคะแนนสอบของนาย ข

5. สมาคมลับแห่งหนึ่งคัดเลือกสมาชิกโดยมีเงื่อนไขว่า สมาชิกต้องมีค่ามาตรฐานของอายุไม่น้อยกว่า 1.5
และไม่เกิน 3 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของผู้มาสมัครเป็นสมาชิกสมาคมทั้งหมดเป็น 18
และ 2 ตามลาดับ และเมื่อนาค่ามาตรฐานของอายุของผู้สมัครทั้งหมดมาหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้วได้
เท่ากับ       จงหาอายุที่ใช้เป็นเกณฑ์ในการเลือกสมาชิกของสมาคมลับนี้
          2




                                                          10
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย




                      2. การแจกแจงปกติ




                                     11
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                   สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


                                            2. การแจกแจงปกติ

          ในช่วงนี้ได้ทบทวนเกี่ยวกับการแจกแจงปกติ และเส้นโค้งของการแจกแจงปกติ หรือเรียกสั้นๆ ว่า
เส้นโค้งปกติ พร้อมทั้ งบอกสมการของเส้นโค้งปกติ อย่างไรก็ดีสมการเส้นโค้งปกตินี้เป็นเนื้อหาที่เกิ น
หลั ก สู ตรระดั บ มั ธ ยมศึ ก ษาตอนปลาย ซึ่ งสมการนี้เ ป็ นรู ปแบบหนึ่ ง ของฟั งก์ ชัน เกาส์เ ซีย น (Gaussian
function) ซึ่งมีความสาคัญทั้งในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ รวมถึงสถิติชั้นสูงต่อไป




                                                        12
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                 สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


ต่อมาได้แสดงลักษณะต่างๆ ของเส้นโค้งปกติของข้อมูลชุดต่างๆ ที่เป็นไปได้ เพื่อนาไปสู่เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่
ได้มาจากการเปลี่ยนคะแนนดิบของข้อมูลชุดใดๆ ก็ตามที่มีการแจกแจงปกติ ให้เป็นคะแนนมาตรฐานของคะแนน
ดิบนั้น เพื่อจะทาให้ได้เส้นโค้งการแจกแจงปกติมาตรฐานเส้นเดียวกันที่มี    0 และ         1




                                                      13
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                  สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


ในช่วงนี้ได้กล่าวถึงสมบัติของเส้นโค้งการแจงแจกปกติ ซึ่งอย่าลืมว่าสมบัติเหล่านี้ยังคงเป็นจริงสาหรับเส้นโค้ง
การแจกแจงปกติมาตรฐานเช่นกัน




                                                       14
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                  สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


ต่อมาได้อธิบายการใช้ตารางเพื่อหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งปกติมาตรฐานกับแกนนอน ซึ่งมักจะเรียกว่าพื้นที่ใต้เส้น
โค้งปกติมาตรฐานนั่นเอง ทั้งนี้ครูควรเน้นย้าอีกครั้งว่า การใช้ตารางต้องดูหัวของตารางให้แน่ใจก่อนว่าพื้นที่ที่
แสดงไว้ในตารางนั้น เป็นพื้นที่ในช่วง [0, z ] หรือ ในช่วง ( , z ] อีกทั้งยังต้องใช้สมบัติต่างๆ ของเส้นโค้งปกติ
ที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้า เช่น ความสมมาตรของเส้นโค้งปกติ เป็นต้น




                                                       15
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


ตัวอย่างตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง [0, z ]
ที่มา:http://krupom.files.wordpress.com/2010/12/e0b895e0b8b2e0b8a3e0b8b2e0b887e0b981e0b8aae0b894e0b8
87e0b89ee0b8b7e0b989e0b899e0b897e0b8b5e0b988e0b983e0b895e0b989e0b980e0b8aae0b989.pdf




                                                     16
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                  สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


ตัวอย่างตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง ( , z ]
ที่มา: http://www.moojimoji.com/images/math/20090721171625.jpg




เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจให้นักเรียนฝึกอ่านพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจากตารางทั้งสองแบบนี้ โดยแบ่งนักเรียนเป็นสอง
กลุ่มแล้วผลัดกันเป็นผู้ถาม และผู้ตอบ ทั้งนี้คาถามควรมีทั้งการหาพื้นที่ ใต้เส้นโค้งปกติเมื่อกาหนดค่ามาตรฐานมา
ให้ และในทางกลับกันคือกาหนดพื้นที่ ใต้เส้นโค้งปกติมาให้แล้วหาค่ามาตรฐาน ทั้งนี้คาถามในแบบที่สองนี้ควร
ถามถึงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในหลากหลายลักษณะ เช่น วัดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจากซ้ายสุดของเส้นโค้งปกติ หรือ
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่อยู่ระหว่างค่ามาตรฐานสองค่า เช่นนี้เป็นต้น โดยผู้ถามอาจวาดรู ปประกอบเพื่อให้คาถามมี
ความชัดเจน

นอกจากนี้ในกรณีที่ค่ามาตรฐานหรือพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่ต้องการไม่ปรากฏในตาราง นักเรียนยังสามารถใช้การ
เทียบสัดส่วนเพื่อประมาณค่าที่ต้องการได้

                                                       17
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


ตัวอย่าง 3 กาหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z            0   ถึง z     a   เป็น 0.3400 จงประมาณค่า a

วิธีทา จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง [0, z ] จะได้ว่า
พื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3389 ตรงกับค่ามาตรฐาน 0.99
พื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3400 ตรงกับค่ามาตรฐาน a
พื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3413 ตรงกับค่ามาตรฐาน 1.00
                             0.3400 0.3389                   0.0011         a     0.99     a 0.99
โดยการเทียบสัดส่วนจะได้ว่า
                             0.3413 0.3389                   0.0024             0.01      1.00 0.99
ดังนั้น a     0.99     0.0046 0.9946


ตัวอย่าง 4 จงหาประมาณพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z                0   ถึง z   1.234


วิธีทา จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง [0, z ] จะได้ว่า
ค่ามาตรฐาน 1.23 มีพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3907
ค่ามาตรฐาน 1.234 มีพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ A
ค่ามาตรฐาน 1.24 มีพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3925
                                  A 0.3907                   A       0.3907       0.004     1.234 1.23
โดยการเทียบสัดส่วนจะได้ว่า
                                0.3925 0.3907                      0.0018          0.01      1.24 1.23
ดังนั้น A     0.3907       0.00072 0.39142


เมื่ อ มาถึง ตอนนี้ หากมี นัก เรีย นสงสัย ว่า พื้ นที่ ใ ต้เ ส้น โค้ง ปกติใ นช่ว ง [0, z ], [0, z ), (0, z ] และ (0, z ) มีค วาม
แตกต่างกันหรือไม่อย่างไร ก็ขอให้ครูอธิบายกับนักเรียนอย่างใจเย็นว่า ให้พิจารณาการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
โดยการตัดพื้นที่ดังกล่าวในแนวดิ่งให้ตั้งฉากกับแกนนอน จนพื้นที่นั้นเป็นแท่งผอมๆ หลายแท่ง แล้วมองว่า แต่ละ
แท่งเป็นเสมือนสี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่มีพื้นที่ เท่ากับ ความกว้าง คูณ ความยาว ดังนั้นสาหรับจุดปลายที่ 0 และ z นั้น
เสมือนว่าเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีแต่ความยาว แต่ความกว้างเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจะรวมจุดปลายหรือไม่นั้น ไม่ทาให้
ค่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งเปลี่ยนแปลงแต่อย่างใด สาหรับนักเรียนที่สนใจคาอธิบายที่รัดกุมมากกว่านี้ ครูควรแนะนาให้
นักเรียนผู้นั้นสอบตรงเข้าภาควิชาคณิต ศาสตร์ของมหาวิทยาลัยใดก็ได้ เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้ต่อไปในชั้นที่
สูงขึ้น

นอกจากนี้ค รูยั ง อาจให้นักเรีย นย้ อนกลับ ไปที่ พิ จารณาพื้ นที่ใ ต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานในช่วง [ 2, 2] ซึ่งคือ
0.9544 ดั ง นั้ น ในทางสถิ ติ จ ะถื อ ว่ า หากข้ อ มู ล มี ก ารแจกแจงปกติ แ ล้ ว จะได้ ว่ า ข้ อ มู ล ที่ อ ยู่ ใ นช่ ว ง
[   2 ,         2 ] มีอยู่ประมาณ 95% ของข้อมูลทั้งหมด ผลสรุปนี้เรียกว่ากฎ 95% (The 95% rule)

                                                           18
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                  สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


ต่อมาได้กล่าวถึงความเชื่อมโยงระหว่างค่ามาตรฐาน พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ และเปอร์เซ็นต์ของข้อมูล ซึ่งจะ
เชื่อมโยงไปถึงเรื่องตาแหน่งของข้อมูล (ควอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์)




หากพิ จารณาให้ถี่ถ้ วนจะเห็นว่า ค่ า มาตรฐาน พื้ นที่ใ ต้เส้นโค้งปกติ และเปอร์เซ็นต์ข องข้อมูล ยั งมีความ
เชื่อมโยงกับความน่าจะเป็นอีกด้วย เช่น
- สาหรับข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบข้อมูลมาตัวหนึ่งแล้วจะมากกว่าค่าเฉลี่ยเลข
คณิตของข้อมูลชุดนี้เป็น 0.5
- สาหรับข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบข้อมูลมาตัวหนึ่งแล้วจะมากกว่าข้อมูลที่คิดเป็น
ค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.64 เป็น 0.0505
เป็นต้น




                                                       19
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                 สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย



สุดท้ ายได้ยกตัวอย่า งที่หลากหลายเพื่ อให้เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างค่ามาตรฐาน พื้นที่ใ ต้เส้นโค้งปกติ
เปอร์เซ็นต์ของข้อมูล ตลอดจนตาแหน่งของข้อมูล




                                                      20
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                   สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


หลังจากเข้าใจตัวอย่างต่างๆ แล้ว สื่อได้ทิ้งปัญหาชวนคิดไว้ให้นักเรียนช่วยกันทา




สาหรับปัญหานี้สามารถแก้ได้โดย
วิธีทา พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก   ถึง ข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 เท่ากับ 0.5              0.4750
ทาให้ได้ว่าข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น 1.96
                                                                                                              x       45
ดังนั้นในกลุ่มนักเรียนหญิง จะหาข้อมูล x ที่คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.96 ได้โดยแก้สมการ 1.96
                                                                                                                  2
ทาให้ x    48.92   กิโลกรัม
                                                                                  48.92 57
ดังนั้นนักเรียนชายที่หนัก 48.92 กิโลกรัม คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น z                                 2.02
                                                                                      4
เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z 0 ถึง z 2.02 เท่ากับ 0.4783
ทาให้พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก      ถึง z    2.02 เท่ากับ 0.5 0.4783 0.0217
นั่นคือข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 ของกลุ่มนักเรียนหญิง จะกลายเป็นข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์
ที่ 2.17 ของกลุ่มนักเรียนชาย

นอกจากนี้ครูอาจยกตัวอย่างนี้เพิ่มเติม

ตัวอย่าง 5 ถ้าน้าหนักแรกเกิดของทารกในประเทศไทยมีการแจกแจงปกติ โดยในปี 2553 มีน้าหนักเฉลี่ย 2500
กรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 500 กรัม และในปี 2554 มีน้าหนักเฉลี่ย 3400 กรัม และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐาน 400 กรัม น้าหนักแรกเกิดของทารกไทยคนหนึ่งอยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 ในปี 2553 จะ
อยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใดในปี 2554

วิธีทา พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก   ถึง ข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 เท่ากับ 0.5              0.3849
ทาให้ได้ว่าข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น 1.2
                                                        21
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                  สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

                                                                                                   x    2500
ดังนั้นในปี 2553 จะหาข้อมูล x ที่คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.2 ได้โดยแก้สมการ 1.2
                                                                                                       500
ทาให้ x    3100   กรัม
                                                                      3100 3400
เด็กที่หนัก 3100 กรัมในปี 2554 คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น z                                    0.75
                                                                          400
เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z 0 ถึง z 0.75 เท่ากับ            0.2734
ทาให้พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก      ถึง z    0.75 เท่ากับ 0.5 0.2734 0.2266
นั่นคือข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 ในปี 2553 จะกลายเป็นข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 22.66
ในปี 2554




                                                       22
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                 สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


                              แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องการแจกแจงปกติ
1. คะแนนสอบวิช าภาษาไทยของนักเรียนชั้นมัธ ยมศึกษาปีที่ 6 ในโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดย
คะแนนเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 30 และ 2.5 ตามลาดับ โดยกาหนดว่าผู้ที่ได้คะแนนมากกว่า
27 คะแนนจึงจะสอบผ่าน จงหาเปอร์เซ็นต์ของผู้สอบผ่านมากกว่าหรือน้อยกว่าเปอร์เซ็นต์ของผู้สอบไม่ผ่านอยู่
เท่าใด

2. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่หกของโรงเรียนแห่งหนึ่งมี 400 คน โดยนาย ก นาย ข และ นาย ค เป็นนักเรียนใน
ระดับชั้นนี้ของโรงเรียน ซึ่งเกรดเฉลี่ยของนาย ก อยู่ที่ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 81.5 เกรดเฉลี่ยของนาย ข มีค่า
มาตรฐานเท่ากับ 1 และนักเรียนในระดับชั้นนี้ของโรงเรียนที่ได้เกรดเฉลี่ยน้อยกว่า นาย ค มีจานวน 330 คน ถ้า
หากเกรดเฉลี่ยของนักเรียนระดับชั้นนี้ของโรงเรียนดังกล่าวมีการแจกแจงปกติแล้ว จงเรียงลาดับเกรดเฉลี่ยของเด็ก
ทั้งสามคนนี้จากมากที่สุดไปหาน้อยที่สุด

3. ความสูงของคนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น และความแปรปรวนเป็น             2
                                                                                                      ถ้านาย
ก มีความสูง    0.15 ปี จานวนคนในกลุ่มนี้ที่มีอายุมากกว่านาย ก เป็นร้อยละเท่าใด


4. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และสัมประสิทธิ์ของความแปรผัน
เท่ากับ 50 และ 20% ตามลาดับ นาย ก สอบได้คะแนนในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 83.4 แล้วนาย ก สอบได้
คะแนนเท่าใด

5. ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาฝรั่งเศสของนักเรียนกลุ่มหนึ่งซึ่งมีจานวน 20000 คน มีการแจกแจงปกติ ที่มีส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 20 จงหาจานวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนซึ่งต่างจากคะแนนเฉลี่ยมากกว่า 20

6. นาย ก สอบวิชาสังคมศึกษาสองครั้ง ซึ่งคะแนนสอบมีการแจกแจงปกติทั้งสองครั้ง โดยครั้งที่หนึ่งคะแนนสอบ
คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.96 และครั้งที่สองคะแนนสอบคิดเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 98.3 ถ้าในการสอบ
ทั้งสองครั้งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่หนึ่ง และครั้งที่สองเป็น
10 และ 5 ตามล าดับ แล้วจงหาว่าคะแนนสอบในครั้ งที่ หนึ่ง มากกว่าหรือน้อยกว่าครั้ง ที่สองอยู่เท่า ใด และค่ า
มาตรฐานของคะแนนสอบในครั้งที่หนึ่งมากกว่าหรือน้อยกว่าครั้งที่สองอยู่เท่าใด

7. น้าหนักของเด็กเล็กกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีฐานนิยมเท่ากับ 10 กิโลกรัม และสัมประสิทธิ์ของการ
แปรผันเท่ากับ 20% แล้วนักเรียนที่หนักมากกว่า 8 กิโลกรัม แต่น้อยกว่า 13 กิโลกรัมคิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์


                                                      23
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                  สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


8. ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 จงหาผลต่างของข้อมูลที่อยู่ในตาแหน่ง
เปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 กับข้อมูลที่อยู่ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33

9. ความสูง ของกลุ่ ม นัก เรีย นหญิง และกลุ่ม นั ก เรีย นชายมี ก ารแจกแจงปกติโ ดยที่ ค่ าเฉลี่ย เลขคณิ ตและส่ว น
เบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของกลุ่มนักเรียนหญิงเป็น 165.7 และ 4 ตามลาดับ ในขณะที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของกลุ่มนักเรียนชายเป็น 169 และ 5 ตามลาดับ ถ้านักเรียนชายคนหนึ่ง
มีความสูงตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 90.99 ของกลุ่มนักเรียนชาย แล้วจานวนนักเรียนหญิงที่มีความสูงน้อยกว่า
ความสูงของนักเรียนชายผู้นี้คิดเป็นร้อยละเท่าใดของนักเรียนหญิง

10. คะแนนสอบวิชาสุขศึกษาของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ นาย ก และ นาย ข เป็นนักเรียนของ
ห้องนี้ โดยที่มีนักเรียน 16.6% สอบได้คะแนนมากกว่านาย ก และ มีนักเรียนอยู่ 5.71% ที่สอบได้คะแนน
น้อยกว่านาย ข นอกจากนี้นาย ก ยังได้คะแนนมากกว่านาย ข อยู่ 51 คะแนน จงหาความแปรปรวนของการ
สอบครั้งนี้




                                                       24
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย




                สรุปสาระสาคัญประจาตอน




                                     25
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


                      สรุปสาระสาคัญประจาตอน




                                     26
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย




                    ภาคผนวกที่ 1
                 แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม




                                     27
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                 สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


                                               แบบฝึกหัดระคน
1. คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมี
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 69 คะแนน ถ้านักเรียนที่สอบได้คะแนนมากกว่า 85 คะแนน มีอยู่ 15.87% จงหา
ความแปรปรวนและค่าประมาณของสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบวิชานี้

2. ถ้าความสูงของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีมัธยฐานเท่ากับ 150 เซนติเมตร และมีนักเรียนที่
สูงน้อยกว่า 148 เซนติเมตรอยู่ 34.46% จงหาค่าประมาณของสัมประสิทธ์ของการแปรผันของความสูง
ของนักเรียนห้องนี้

3. ในการสอบวิชาภาษาอาหรับของนักเรียนห้องหนึ่ง นักเรียนคนหนึ่งสอบได้ 43.75 คะแนน คิดเป็นค่า
มาตรฐานได้เท่ากับ 0.5 และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนนักเรียนห้องนี้เท่ากับ 25% จงหา
ค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบของนักเรียนห้องนี้

4. ในการสอบปลายภาคของนักเรียนห้องหนึ่ง วิเคราะห์แล้วได้ความว่าคนที่สอบได้ 97 คะแนน จะคิดเป็น
คะแนนมาตรฐานเท่ากับ 4 และ คนที่สอบได้ 20 คะแนนจะคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 3 จงหา
ค่าประมาณของสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบของนักเรียนห้องนี้

5. คะแนนสอบวิชาพุทธศาสนาของนักเรียนชั้นหนึ่ง ซึ่งมีอยู่สองห้อง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมเท่ากับ 74
คะแนน โดยที่ห้องที่ 1 และ ห้องที่ 2 มีนักเรียน 20 และ 30 คน ตามลาดับ ถ้าคะแนนเฉลี่ยของนักเรียน
ห้องที่ 1 เท่ากับ 50 คะแนน และเมื่อแยกพิจารณาทราบว่านักเรียนห้องที่ 1 ที่สอบได้ 55 คะแนน คิดเป็นค่า
มาตรฐาน 1 เท่ากันกับค่ามาตรฐานของนักเรียนในห้อ งที่ 2 ที่สอบได้ 94 คะแนน จงหาความแปรปรวน
ของคะแนนของนักเรียนในห้องที่ 1 และห้องที่ 2

6. ถ้าน้าหนักของเด็กเล็กกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นสามเท่าของส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐาน และ 55.57% ของนักเรียนกลุ่มนี้มีน้าหนักน้อยกว่า 15.7 กิโลกรัม แล้วนักเรียนที่มีน้าหนักน้อย
กว่า 13 กิโลกรัม รวมกับนักเรียนที่มีน้าหนักมากกว่า 18 กิโลกรัมมีอยู่ร้อยละเท่าใด

7. การแจกแจงความสูงของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติ ถ้านักเรียนที่มีความสูงมากกว่า 149.45
เซนติเมตร มีอยู่ 2.94% และนักเรีย นที่มีความสูงน้อยกว่ามัธยฐานแต่มากกว่า 136.5 เซนติเมตร มีอยู่
25.8% แล้วจงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของความสูงของนักเรียนกลุ่มนี้



                                                      28
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                   สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


8. คะแนนสอบของเด็กกลุ่มหนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเท่ากับ 60 และ 225 ตามลาดับ ถ้า
นาย ก และนาย ข เป็นเด็กกลุ่มนี้ซึ่งคะแนนมาตรฐานของนาย ก มากกว่านาย ข อยู่ 3.4 และผลบวกของ
คะแนนสอบของคนทั้งสองเท่ากับ 142.5 คะแนน จงหาค่ามาตรฐานของคะแนนของนาย ก และ คะแนน
สอบของนาย ข

9. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องที่ 1 และห้องที่ 2 พบว่าคะแนนของทั้งสองห้องมีการแจก
แจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน และเท่ากับ และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนของ
                                           5
นักเรียนห้องที่ 1 น้อยกว่าห้องที่สองอยู่       ผู้ที่สอบได้คะแนนเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 78.81 ของห้อง
ที่ 1 ได้คะแนนสอบมากกว่าหรือน้อยกว่าผู้ที่สอบได้คะแนนเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์เดียวกันในห้องที่ 2
อยู่กี่คะแนน

10. อายุของพนักงานบริษัทแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีความแปรปรวนเท่ากับ 4 และมีพนักงานจานวน
 50.4% ที่มีอายุไม่เกิน 34 ปี ต่อมาเมื่อพิจารณาอายุของพนักงานในบริษัทนี้อีก 2 ปีข้างหน้า ให้ a เป็น
ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของพนักงานที่อายุ 36 ปี และ b เป็นจานวนเปอร์เซ็นต์ของพนักงานที่มีอายุ (หน่วย
เป็นปี) อยู่ในช่วง [34, 36] แล้ว จงหา a และ b




                                                        29
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย




                        ภาคผนวกที่ 2
                       เฉลยแบบฝึกหัด




                                     30
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                    สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


                          เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องคะแนนมาตรฐาน
                                          ่
1. 72 คะแนน; 2.9
2. 152.72 เซนติเมตร
3. 39 คะแนน
4. 22.4 คะแนน
5. อายุตั้งแต่ 21 ถึง 24 ปี



                          เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องการแจกแจงปกติ
                                          ่
1. มากกว่าอยู่ 76.98% 2. ข, ค, ก        3. 55.96              4. 59.7 คะแนน        5. 6348 คน
6. คะแนนสอบครั้งที่ 1 มากกว่าคะแนนสอบครั้งที่ 2 อยู่ 9 คะแนน;
   ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่ 1 น้อยกว่าค่ามาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่ 2 อยู่ 0.16
7. 77.45%                8. 24          9. 99.38              10. 400 คะแนน 2



                                           เฉลยแบบฝึกหัดระคน
            16                           1                                                         11
1. 256 ;         0.23               2.          0.03              3. 50 คะแนน                 4.        0.21
            69                           30                                                        53
                                                                         1
5. 25 ; 16 คะแนน 2                  6. 61.89                       7.         0.04
                                                                        28
8. 2.45 ;   45.75   คะแนน           9. มากกว่าอยู่ 4 คะแนน 10. 50.4 ; 37.88




                                                         31
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย




           รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
                      จานวน 92 ตอน




                                     32
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                      สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


                             รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน

                เรื่อง                                                          ตอน
เซต                                     บทนา เรื่อง เซต
                                        ความหมายของเซต
                                        เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
                                        เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
                                        สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์               บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
                                        การให้เหตุผล
                                        ประพจน์และการสมมูล
                                        สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
                                        ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
                                                            ่
                                        สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
                                        สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง                               บทนา เรื่อง จานวนจริง
                                        สมบัติของจานวนจริง
                                        การแยกตัวประกอบ
                                        ทฤษฏีบทตัวประกอบ
                                        สมการพหุนาม
                                        อสมการ
                                        เทคนิคการแก้อสมการ
                                        ค่าสัมบูรณ์
                                        การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
                                        กราฟค่าสัมบูรณ์
                                        สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
                                        สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
                                        สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น                     บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
                                        การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
                                        (การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
                                        ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน                 บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
                                        ความสัมพันธ์




                                                             33
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                      สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย


                 เรื่อง                                                           ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน                   โดเมนและเรนจ์
                                          อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
                                          ฟังก์ชันเบื้องต้น
                                          พีชคณิตของฟังก์ชัน
                                          อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
                                          ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
          ้                               บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
                                          เลขยกกาลัง
                                          ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
                                                    ้
                                          ลอการิทึม
                                          อสมการเลขชี้กาลัง
                                          อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ                                บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
                                          อัตราส่วนตรีโกณมิติ
                                          เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
                                          ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
                                          ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
                                          ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
                                          กฎของไซน์และโคไซน์
                                          กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
                                          ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
                                          สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
                                                                              ่
                                          สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
                                          สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น                          บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
                                          การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
                                          การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม                            บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
                                          ลาดับ
                                          การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
                                          ลิมิตของลาดับ
                                          ผลบวกย่อย
                                          อนุกรม
                                          ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม




                                                            34
คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
                     สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

                เรื่อง                                                            ตอน
การนับและความน่าจะเป็น                   บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
                    .                    การนับเบื้องต้น
                                         การเรียงสับเปลี่ยน
                                         การจัดหมู่
                                         ทฤษฎีบททวินาม
                                         การทดลองสุ่ม
                                         ความน่าจะเป็น 1
                                         ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล               บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
                                         บทนา เนื้อหา
                                         แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
                                         แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
                                         แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
                                         การกระจายของข้อมูล
                                         การกระจายสัมบูรณ์ 1
                                         การกระจายสัมบูรณ์ 2
                                         การกระจายสัมบูรณ์ 3
                                         การกระจายสัมพัทธ์
                                         คะแนนมาตรฐาน
                                         ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
                                         ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
                                         โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
                                         โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์                        การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
                                         ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
                                         การถอดรากที่สาม
                                         เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
                                         กระเบื้องที่ยืดหดได้




                                                            35

Contenu connexe

Tendances

สถิติ ม.6 เรื่องการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น
สถิติ ม.6 เรื่องการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นสถิติ ม.6 เรื่องการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น
สถิติ ม.6 เรื่องการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นParn Parai
 
การวัดการกระจายสัมพัทธ์
การวัดการกระจายสัมพัทธ์การวัดการกระจายสัมพัทธ์
การวัดการกระจายสัมพัทธ์KruGift Girlz
 
ค32203 โครงการสอน
ค32203 โครงการสอนค32203 โครงการสอน
ค32203 โครงการสอนothanatoso
 
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไร
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไรการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไร
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไรAomJi Math-ed
 
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไร
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไรการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไร
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไรAomJi Math-ed
 
พื้นที่ใต้โค้ง
พื้นที่ใต้โค้งพื้นที่ใต้โค้ง
พื้นที่ใต้โค้งkrurutsamee
 
2.91 แบบฝึกหัด การวัดการกระจายสัมพัทธ์
2.91  แบบฝึกหัด การวัดการกระจายสัมพัทธ์2.91  แบบฝึกหัด การวัดการกระจายสัมพัทธ์
2.91 แบบฝึกหัด การวัดการกระจายสัมพัทธ์othanatoso
 
เอกสารค่ากลางของข้อมูล
เอกสารค่ากลางของข้อมูลเอกสารค่ากลางของข้อมูล
เอกสารค่ากลางของข้อมูลkrurutsamee
 
ใบความรู้ เรื่องสถิติ
ใบความรู้ เรื่องสถิติใบความรู้ เรื่องสถิติ
ใบความรู้ เรื่องสถิติพัน พัน
 

Tendances (20)

สถิติ ม.6 เรื่องการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น
สถิติ ม.6 เรื่องการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นสถิติ ม.6 เรื่องการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น
สถิติ ม.6 เรื่องการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น
 
76 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่3_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง2
76 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่3_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง276 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่3_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง2
76 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่3_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง2
 
การวัดการกระจายสัมพัทธ์
การวัดการกระจายสัมพัทธ์การวัดการกระจายสัมพัทธ์
การวัดการกระจายสัมพัทธ์
 
73 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนำ
73 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนำ73 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนำ
73 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนำ
 
ค32203 โครงการสอน
ค32203 โครงการสอนค32203 โครงการสอน
ค32203 โครงการสอน
 
84 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่11_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล1
84 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่11_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล184 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่11_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล1
84 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่11_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล1
 
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไร
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไรการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไร
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไร
 
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่390 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
 
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไร
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไรการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไร
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นคืออะไร
 
พื้นที่ใต้โค้ง
พื้นที่ใต้โค้งพื้นที่ใต้โค้ง
พื้นที่ใต้โค้ง
 
บทเรียน1 สถิติ
บทเรียน1  สถิติบทเรียน1  สถิติ
บทเรียน1 สถิติ
 
2.91 แบบฝึกหัด การวัดการกระจายสัมพัทธ์
2.91  แบบฝึกหัด การวัดการกระจายสัมพัทธ์2.91  แบบฝึกหัด การวัดการกระจายสัมพัทธ์
2.91 แบบฝึกหัด การวัดการกระจายสัมพัทธ์
 
85 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่12_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล2
85 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่12_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล285 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่12_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล2
85 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่12_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล2
 
74 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่1_เนื้อหา
74 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่1_เนื้อหา74 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่1_เนื้อหา
74 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่1_เนื้อหา
 
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น272 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
72 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่7_ความน่าจะเป็น2
 
87 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่14_โปรแกรมการคำนวณทางสถิติ2
87 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่14_โปรแกรมการคำนวณทางสถิติ287 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่14_โปรแกรมการคำนวณทางสถิติ2
87 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่14_โปรแกรมการคำนวณทางสถิติ2
 
เอกสารค่ากลางของข้อมูล
เอกสารค่ากลางของข้อมูลเอกสารค่ากลางของข้อมูล
เอกสารค่ากลางของข้อมูล
 
80 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่7_การกระจายสัมบูรณ์2
80 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่7_การกระจายสัมบูรณ์280 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่7_การกระจายสัมบูรณ์2
80 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่7_การกระจายสัมบูรณ์2
 
86 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่13_โปรแกรมการคำนวณทางสถิติ1
86 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่13_โปรแกรมการคำนวณทางสถิติ186 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่13_โปรแกรมการคำนวณทางสถิติ1
86 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่13_โปรแกรมการคำนวณทางสถิติ1
 
ใบความรู้ เรื่องสถิติ
ใบความรู้ เรื่องสถิติใบความรู้ เรื่องสถิติ
ใบความรู้ เรื่องสถิติ
 

Similaire à 83 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่10_คะแนนมาตรฐาน

สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำ
สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำ
สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำฟองเพียร ใจติ๊บ
 
บทที่ 1 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทที่ 1 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูลบทที่ 1 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทที่ 1 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูลsawed kodnara
 

Similaire à 83 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่10_คะแนนมาตรฐาน (20)

Epi info unit09
Epi info unit09Epi info unit09
Epi info unit09
 
30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์
30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์
30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์
 
62 ลำดับและอนุกรม ตอนที่4_ผลบวกย่อย
62 ลำดับและอนุกรม ตอนที่4_ผลบวกย่อย62 ลำดับและอนุกรม ตอนที่4_ผลบวกย่อย
62 ลำดับและอนุกรม ตอนที่4_ผลบวกย่อย
 
สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำ
สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำ
สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำ
 
14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง
14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง
14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง
 
61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ
61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ
61 ลำดับและอนุกรม ตอนที่3_ลิมิตของลำดับ
 
60 ลำดับและอนุกรม ตอนที่2_การประยุกต์ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต
60 ลำดับและอนุกรม ตอนที่2_การประยุกต์ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต60 ลำดับและอนุกรม ตอนที่2_การประยุกต์ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต
60 ลำดับและอนุกรม ตอนที่2_การประยุกต์ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต
 
63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม
63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม
63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม
 
39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอ...
39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอ...39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอ...
39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอ...
 
46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1
46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ146 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1
46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1
 
64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม
64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม
64 ลำดับและอนุกรม ตอนที่6_ทฤษฏีบทการลู่เข้าของอนุกรม
 
21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
 
40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม
40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม
40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม
 
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง
 
29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ
29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ
29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ
 
51 ตรีโกณมิติ ตอนที่8_ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
51 ตรีโกณมิติ ตอนที่8_ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน51 ตรีโกณมิติ ตอนที่8_ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
51 ตรีโกณมิติ ตอนที่8_ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
 
59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ
59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ
59 ลำดับและอนุกรม ตอนที่1_ลำดับ
 
บทที่ 1 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทที่ 1 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูลบทที่ 1 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทที่ 1 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
 
69 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่4_ทฤษฎีบททวินาม
69 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่4_ทฤษฎีบททวินาม69 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่4_ทฤษฎีบททวินาม
69 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่4_ทฤษฎีบททวินาม
 
Statistics 04
Statistics 04Statistics 04
Statistics 04
 

Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

Basic m2-2-chapter1
Basic m2-2-chapter1Basic m2-2-chapter1
Basic m2-2-chapter1
 
Basic m5-2-chapter3
Basic m5-2-chapter3Basic m5-2-chapter3
Basic m5-2-chapter3
 
Basic m5-2-chapter2
Basic m5-2-chapter2Basic m5-2-chapter2
Basic m5-2-chapter2
 
Basic m5-2-link
Basic m5-2-linkBasic m5-2-link
Basic m5-2-link
 
Basic m5-1-link
Basic m5-1-linkBasic m5-1-link
Basic m5-1-link
 
Basic m5-1-chapter1
Basic m5-1-chapter1Basic m5-1-chapter1
Basic m5-1-chapter1
 
Basic m5-1-chapter2
Basic m5-1-chapter2Basic m5-1-chapter2
Basic m5-1-chapter2
 
Basic m5-2-chapter1
Basic m5-2-chapter1Basic m5-2-chapter1
Basic m5-2-chapter1
 
Basic m4-2-link
Basic m4-2-linkBasic m4-2-link
Basic m4-2-link
 
Basic m4-2-chapter2
Basic m4-2-chapter2Basic m4-2-chapter2
Basic m4-2-chapter2
 
Basic m4-1-link
Basic m4-1-linkBasic m4-1-link
Basic m4-1-link
 
Basic m4-2-chapter1
Basic m4-2-chapter1Basic m4-2-chapter1
Basic m4-2-chapter1
 
Basic m4-1-chapter2
Basic m4-1-chapter2Basic m4-1-chapter2
Basic m4-1-chapter2
 
Basic m4-1-chapter3
Basic m4-1-chapter3Basic m4-1-chapter3
Basic m4-1-chapter3
 
Basic m4-1-chapter4
Basic m4-1-chapter4Basic m4-1-chapter4
Basic m4-1-chapter4
 
Basic m3-2-chapter2
Basic m3-2-chapter2Basic m3-2-chapter2
Basic m3-2-chapter2
 
Basic m3-2-link
Basic m3-2-linkBasic m3-2-link
Basic m3-2-link
 
Basic m4-1-chapter1
Basic m4-1-chapter1Basic m4-1-chapter1
Basic m4-1-chapter1
 
Basic m3-2-chapter4
Basic m3-2-chapter4Basic m3-2-chapter4
Basic m3-2-chapter4
 
Basic m3-2-chapter3
Basic m3-2-chapter3Basic m3-2-chapter3
Basic m3-2-chapter3
 

83 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่10_คะแนนมาตรฐาน

  • 1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (เนื้อหาตอนที่ 10) คะแนนมาตรฐาน โดย อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
  • 2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง สถิตและการวิเคราะห์ข้อมูล ิ สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 27 ตอน ซึ่งประกอบด้วย 1. บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล 2. เนื้อหาตอนที่ 1 บทนา (เนื้อหา) - ความหมายของสถิติ - ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูล - การสารวจความคิดเห็น 3. เนื้อหาตอนที่ 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1 - ค่ากลางของข้อมูล 4. เนื้อหาตอนที่ 3 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 - แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 5. เนื้อหาตอนที่ 4 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3 - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - มัธยฐาน - ฐานนิยม - ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต - ค่ากลางฮาร์โมนิก 6. เนื้อหาตอนที่ 5 การกระจายของข้อมูล - ตาแหน่งของข้อมูล 7. เนื้อหาตอนที่ 6 การกระจายสัมบูรณ์ 1 - การกระจายสัมบูรณ์และการกระจายสัมพัทธ์ - พิสัย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) 8. เนื้อหาตอนที่ 7 การกระจายสัมบูรณ์ 2 - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่) - ความแปรปรวน 1
  • 3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 9. เนื้อหาตอนที่ 8 การกระจายสัมบูรณ์ 3 - พิสัย (ข้อมูลแจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลแจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลแจกแจงความถี่) - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลแจกแจงความถี่) 10. เนื้อหาตอนที่ 9 การกระจายสัมพัทธ์ - สัมประสิทธ์พิสัย - สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ - สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย - สัมประสิทธ์ของความแปรผัน 11. เนื้อหาตอนที่ 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกติ 12. เนื้อหาตอนที่ 11 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1 - ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล 13. เนื้อหาตอนที่ 12 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 - ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา 14. เนื้อหาตอนที่ 13 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 - โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 15. เนื้อหาตอนที่ 14 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2 - โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2 16. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1) 17. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2) 18. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3) 19. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4) 20. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 5) 21. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง) 22. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูล 23. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล 24. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดการกระจายของข้อมูล 25. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การแจกแจงปกติ 2
  • 4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 26. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง 27. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงพาราโบลาและความสัมพันธ์เชิงชี้กาลัง คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่ คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชา คณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้ 3
  • 5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (คะแนนมาตรฐาน) หมวด เนื้อหา ตอนที่ 10 (10/14) หัวข้อย่อย 1. คะแนนมาตรฐาน 2. การแจกแจงปกติ จุดประสงค์การเรียนรู้ เพื่อให้ผู้เรียน 1. เข้าใจความหมาย และสูตรในการคานวณคะแนนมาตรฐานของข้อมูลที่กาหนดมาให้ 2. เข้าใจสมบัติของคะแนนมาตรฐาน 3. เข้าใจสมบัติของข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติ 4. เห็นความเชื่อมโยงระหว่างข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติ คะแนนมาตรฐาน พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ มาตรฐาน และตาแหน่งของข้อมูล ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ผู้เรียนสามารถ 1. อธิบายความหมาย และคานวณคะแนนมาตรฐานของข้อมูลที่กาหนดมาให้ได้ 2. ระบุสมบัติของคะแนนมาตรฐานและนาไปใช้ในการแก้ปัญหาได้ 3. อธิบายสมบัติของข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติได้ 4. ระบุความเชื่อมโยงระหว่างข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติ คะแนนมาตรฐาน พื้นที่ใต้เส้นโค้ง ปกติมาตรฐาน และตาแหน่งของข้อมูล และนาไปใช้ในการแก้ปัญหาได้ 4
  • 6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เนื้อหาในสื่อการสอน เนื้อหาทั้งหมด 5
  • 8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. คะแนนมาตรฐาน ในช่วงแรกสื่อได้แสดงให้เห็นถึงความสาคัญของการเปลี่ยนข้อมูล หรือที่เรียกว่าข้อมูลดิบ ให้เป็นคะแนน มาตรฐาน หรือค่ า มาตรฐาน เนื่องจากสูตรของคะแนนมาตรฐานนั้นเกี่ ย วข้องกั บค่าเฉลี่ย เลขคณิต และส่ว น เบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งสาหรับประชากรและตัวอย่าง ครูจึงควรให้นักเรียนทบทวนสูตรการคานวณของค่าทั้งสองที่ เกี่ยวข้อง โดยไม่ลืมเน้นย้าเรื่องความแตกต่างของสูตรในการคานวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรกับของ ตัวอย่าง จากนั้นได้ยกตัวอย่างเกี่ยวกับการใช้สูตรในการหาคะแนนมาตรฐาน ตลอดจนตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับคะแนน มาตรฐาน ในที่นี้จะแสดงการพิสูจน์ข้อสังเกต 3 ที่ได้กล่าวถึงในสื่อตอนนี้ นั่นคือเมื่อแปลงค่า หรือคะแนนดิบในข้อมูลระดับ ประชากรชุดหนึ่งทุกๆ ค่าให้เป็นค่ามาตรฐาน แล้วนาค่ามาตรฐานเหล่านั้นมาคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วน เบี่ยงเบน จะได้เป็น 0 และ 1 ตามลาดับ 7
  • 9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย พิสูจน์ สมมติว่าข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x N มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน xi เป็น และ ตามลาดับ จะได้ว่า z i ทุก i {1, 2, 3, ..., N } N N xi 1 N N 1 N ดังนั้น zi xi xi N 0 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 N zi ทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งหมดที่ถูกทาให้เป็นค่ามาตรฐานมีค่าเท่ากับ z i 1 0 N N ต่อมาเนื่องจาก (x i )2 N 2 ทาให้ได้ว่า i 1 N (z i )2 2 z 1 N xi 1 N i 1 (x i )2 1 N N i 1 N 2 i 1 นั่นคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลทั้งหมดที่ถูกทาให้เป็นค่ามาตรฐานมีค่าเท่ากับ 1 N จากบทพิสูจน์นี้จะได้ข้อสังเกตเพิ่มเติมคือ zi 0 i 1 เมื่อมาถึงตอนนีครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้ประกอบ ้ ตัวอย่าง 1 ในการสอบวิชาภาษาไทยครั้งหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 50 และความแปรปรวนเท่ากับ 2.25 ค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 59 คะแนนจะมากกว่าค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 44 คะแนนอยู่เท่าใด วิธีทา เนื่องจากความแปรปรวนเท่ากับ 2.25 ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2.25 1.5 8
  • 10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 59 50 ค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 59 คะแนน คือ 6 และ 1.5 ค่ามาตรฐานของผู้ที่สอบได้ 44 คะแนนคือ 44 50 4 1.5 ดังนั้นทั้งคู่นี้มีค่ามาตรฐานต่างกันอยู่ 6 ( 4) 10 ชวนคิ ด หากค านวณผลต่า งของคะแนนดิบ ก่ อนกล่ าวคือ 59 44 15 แล้ว จึง นาผลต่ างนี้ไ ปหาค่ า มาตรฐาน จะได้ผลลัพธ์ที่เหมือนหรือต่างจากตัวอย่าง 1 นี้หรือไม่อย่างไร จงให้เหตุผลประกอบ ตัวอย่าง 2 นาย ก สอบวิชาชีววิทยาได้คะแนน 86 คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.8 ถ้าสัมประสิทธิ์ ความแปรผันของคะแนนสอบครั้งนี้เป็น 0.4 จงหาความแปรปรวนของคะแนนสอบครั้งนี้ 86 วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า 1.8 และ 0.4 นั่นคือ 86 1.8 และ 0.4 จะได้ ว่า 1.72 86 นั่นคือ 50 และ 20 9
  • 11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องคะแนนมาตรฐาน 1. ในการสอบวิชาเคมีของนักเรียนห้องหนึ่ง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเป็น 55 และ 100 ตามลาดับ โดยนาย ก ได้คะแนนคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 1.7 คะแนน เมื่อรวมคะแนนจิตพิสัยที่ นักเรียนทุกคนได้คนละ 5 คะแนนแล้ว นาย ข ได้คะแนนรวมมากกว่านาย ก อยู่ 7 คะแนน จงหาคะแนน รวมและค่ามาตรฐานของคะแนนรวมของนาย ข 2. ให้ x 1, x 2, x 3, ..., x N เป็นความสูงในหน่วยเซนติเมตรของเด็กกลุ่มหนึ่ง และ y1, y2, y 3, ..., yN เป็น ความสูงในหน่วยเซนติเมตรของพ่อของเด็กแต่ละคนในกลุ่มนั้น โดยที่แต่ละ i {1, 2, 3, ..., N } พบว่า yi 0.9xi ถ้าความสูงเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของเด็กกลุ่มนี้เท่ากับ 120 54.8 และ 8 แล้วพ่อของเด็กคนหนึ่งในกลุ่มนี้ที่มีความสูงคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 1.4 จะมีความสูง เป็นกี่เซนติเมตร 3. ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาจีนของนักเรียน 60 คน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 และความแปรปรวน เท่ากับ 100 โดยที่ผลรวมของค่ามาตรฐานของคะแนนของนักเรียนกลุ่มนี้เพียง 59 คนเท่ากับ 2.1 แล้ว นักเรียนอีกคนหนึ่งได้คะแนนสอบเป็นเท่าใด 4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งซึ่งมีคะแนนเต็ม 80 คะแนน และสัมประสิทธิ์ของการ 2 แปรผันของคะแนนเท่ากับ ถ้านาย ก สอบได้ 63 คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐานคือ 2 และนาย ข 5 สอบได้คะแนนซึ่งคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 0.9 จงหาคะแนนสอบของนาย ข 5. สมาคมลับแห่งหนึ่งคัดเลือกสมาชิกโดยมีเงื่อนไขว่า สมาชิกต้องมีค่ามาตรฐานของอายุไม่น้อยกว่า 1.5 และไม่เกิน 3 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของผู้มาสมัครเป็นสมาชิกสมาคมทั้งหมดเป็น 18 และ 2 ตามลาดับ และเมื่อนาค่ามาตรฐานของอายุของผู้สมัครทั้งหมดมาหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้วได้ เท่ากับ จงหาอายุที่ใช้เป็นเกณฑ์ในการเลือกสมาชิกของสมาคมลับนี้ 2 10
  • 13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. การแจกแจงปกติ ในช่วงนี้ได้ทบทวนเกี่ยวกับการแจกแจงปกติ และเส้นโค้งของการแจกแจงปกติ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เส้นโค้งปกติ พร้อมทั้ งบอกสมการของเส้นโค้งปกติ อย่างไรก็ดีสมการเส้นโค้งปกตินี้เป็นเนื้อหาที่เกิ น หลั ก สู ตรระดั บ มั ธ ยมศึ ก ษาตอนปลาย ซึ่ งสมการนี้เ ป็ นรู ปแบบหนึ่ ง ของฟั งก์ ชัน เกาส์เ ซีย น (Gaussian function) ซึ่งมีความสาคัญทั้งในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ รวมถึงสถิติชั้นสูงต่อไป 12
  • 14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ต่อมาได้แสดงลักษณะต่างๆ ของเส้นโค้งปกติของข้อมูลชุดต่างๆ ที่เป็นไปได้ เพื่อนาไปสู่เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่ ได้มาจากการเปลี่ยนคะแนนดิบของข้อมูลชุดใดๆ ก็ตามที่มีการแจกแจงปกติ ให้เป็นคะแนนมาตรฐานของคะแนน ดิบนั้น เพื่อจะทาให้ได้เส้นโค้งการแจกแจงปกติมาตรฐานเส้นเดียวกันที่มี 0 และ 1 13
  • 15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในช่วงนี้ได้กล่าวถึงสมบัติของเส้นโค้งการแจงแจกปกติ ซึ่งอย่าลืมว่าสมบัติเหล่านี้ยังคงเป็นจริงสาหรับเส้นโค้ง การแจกแจงปกติมาตรฐานเช่นกัน 14
  • 16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ต่อมาได้อธิบายการใช้ตารางเพื่อหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งปกติมาตรฐานกับแกนนอน ซึ่งมักจะเรียกว่าพื้นที่ใต้เส้น โค้งปกติมาตรฐานนั่นเอง ทั้งนี้ครูควรเน้นย้าอีกครั้งว่า การใช้ตารางต้องดูหัวของตารางให้แน่ใจก่อนว่าพื้นที่ที่ แสดงไว้ในตารางนั้น เป็นพื้นที่ในช่วง [0, z ] หรือ ในช่วง ( , z ] อีกทั้งยังต้องใช้สมบัติต่างๆ ของเส้นโค้งปกติ ที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้า เช่น ความสมมาตรของเส้นโค้งปกติ เป็นต้น 15
  • 17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ตัวอย่างตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง [0, z ] ที่มา:http://krupom.files.wordpress.com/2010/12/e0b895e0b8b2e0b8a3e0b8b2e0b887e0b981e0b8aae0b894e0b8 87e0b89ee0b8b7e0b989e0b899e0b897e0b8b5e0b988e0b983e0b895e0b989e0b980e0b8aae0b989.pdf 16
  • 18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ตัวอย่างตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง ( , z ] ที่มา: http://www.moojimoji.com/images/math/20090721171625.jpg เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจให้นักเรียนฝึกอ่านพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจากตารางทั้งสองแบบนี้ โดยแบ่งนักเรียนเป็นสอง กลุ่มแล้วผลัดกันเป็นผู้ถาม และผู้ตอบ ทั้งนี้คาถามควรมีทั้งการหาพื้นที่ ใต้เส้นโค้งปกติเมื่อกาหนดค่ามาตรฐานมา ให้ และในทางกลับกันคือกาหนดพื้นที่ ใต้เส้นโค้งปกติมาให้แล้วหาค่ามาตรฐาน ทั้งนี้คาถามในแบบที่สองนี้ควร ถามถึงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในหลากหลายลักษณะ เช่น วัดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจากซ้ายสุดของเส้นโค้งปกติ หรือ พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่อยู่ระหว่างค่ามาตรฐานสองค่า เช่นนี้เป็นต้น โดยผู้ถามอาจวาดรู ปประกอบเพื่อให้คาถามมี ความชัดเจน นอกจากนี้ในกรณีที่ค่ามาตรฐานหรือพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่ต้องการไม่ปรากฏในตาราง นักเรียนยังสามารถใช้การ เทียบสัดส่วนเพื่อประมาณค่าที่ต้องการได้ 17
  • 19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ตัวอย่าง 3 กาหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z 0 ถึง z a เป็น 0.3400 จงประมาณค่า a วิธีทา จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง [0, z ] จะได้ว่า พื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3389 ตรงกับค่ามาตรฐาน 0.99 พื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3400 ตรงกับค่ามาตรฐาน a พื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3413 ตรงกับค่ามาตรฐาน 1.00 0.3400 0.3389 0.0011 a 0.99 a 0.99 โดยการเทียบสัดส่วนจะได้ว่า 0.3413 0.3389 0.0024 0.01 1.00 0.99 ดังนั้น a 0.99 0.0046 0.9946 ตัวอย่าง 4 จงหาประมาณพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z 0 ถึง z 1.234 วิธีทา จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง [0, z ] จะได้ว่า ค่ามาตรฐาน 1.23 มีพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3907 ค่ามาตรฐาน 1.234 มีพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ A ค่ามาตรฐาน 1.24 มีพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 0.3925 A 0.3907 A 0.3907 0.004 1.234 1.23 โดยการเทียบสัดส่วนจะได้ว่า 0.3925 0.3907 0.0018 0.01 1.24 1.23 ดังนั้น A 0.3907 0.00072 0.39142 เมื่ อ มาถึง ตอนนี้ หากมี นัก เรีย นสงสัย ว่า พื้ นที่ ใ ต้เ ส้น โค้ง ปกติใ นช่ว ง [0, z ], [0, z ), (0, z ] และ (0, z ) มีค วาม แตกต่างกันหรือไม่อย่างไร ก็ขอให้ครูอธิบายกับนักเรียนอย่างใจเย็นว่า ให้พิจารณาการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ โดยการตัดพื้นที่ดังกล่าวในแนวดิ่งให้ตั้งฉากกับแกนนอน จนพื้นที่นั้นเป็นแท่งผอมๆ หลายแท่ง แล้วมองว่า แต่ละ แท่งเป็นเสมือนสี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่มีพื้นที่ เท่ากับ ความกว้าง คูณ ความยาว ดังนั้นสาหรับจุดปลายที่ 0 และ z นั้น เสมือนว่าเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีแต่ความยาว แต่ความกว้างเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจะรวมจุดปลายหรือไม่นั้น ไม่ทาให้ ค่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งเปลี่ยนแปลงแต่อย่างใด สาหรับนักเรียนที่สนใจคาอธิบายที่รัดกุมมากกว่านี้ ครูควรแนะนาให้ นักเรียนผู้นั้นสอบตรงเข้าภาควิชาคณิต ศาสตร์ของมหาวิทยาลัยใดก็ได้ เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้ต่อไปในชั้นที่ สูงขึ้น นอกจากนี้ค รูยั ง อาจให้นักเรีย นย้ อนกลับ ไปที่ พิ จารณาพื้ นที่ใ ต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานในช่วง [ 2, 2] ซึ่งคือ 0.9544 ดั ง นั้ น ในทางสถิ ติ จ ะถื อ ว่ า หากข้ อ มู ล มี ก ารแจกแจงปกติ แ ล้ ว จะได้ ว่ า ข้ อ มู ล ที่ อ ยู่ ใ นช่ ว ง [ 2 , 2 ] มีอยู่ประมาณ 95% ของข้อมูลทั้งหมด ผลสรุปนี้เรียกว่ากฎ 95% (The 95% rule) 18
  • 20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ต่อมาได้กล่าวถึงความเชื่อมโยงระหว่างค่ามาตรฐาน พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ และเปอร์เซ็นต์ของข้อมูล ซึ่งจะ เชื่อมโยงไปถึงเรื่องตาแหน่งของข้อมูล (ควอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์) หากพิ จารณาให้ถี่ถ้ วนจะเห็นว่า ค่ า มาตรฐาน พื้ นที่ใ ต้เส้นโค้งปกติ และเปอร์เซ็นต์ข องข้อมูล ยั งมีความ เชื่อมโยงกับความน่าจะเป็นอีกด้วย เช่น - สาหรับข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบข้อมูลมาตัวหนึ่งแล้วจะมากกว่าค่าเฉลี่ยเลข คณิตของข้อมูลชุดนี้เป็น 0.5 - สาหรับข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบข้อมูลมาตัวหนึ่งแล้วจะมากกว่าข้อมูลที่คิดเป็น ค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.64 เป็น 0.0505 เป็นต้น 19
  • 21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สุดท้ ายได้ยกตัวอย่า งที่หลากหลายเพื่ อให้เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างค่ามาตรฐาน พื้นที่ใ ต้เส้นโค้งปกติ เปอร์เซ็นต์ของข้อมูล ตลอดจนตาแหน่งของข้อมูล 20
  • 22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย หลังจากเข้าใจตัวอย่างต่างๆ แล้ว สื่อได้ทิ้งปัญหาชวนคิดไว้ให้นักเรียนช่วยกันทา สาหรับปัญหานี้สามารถแก้ได้โดย วิธีทา พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก ถึง ข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 เท่ากับ 0.5 0.4750 ทาให้ได้ว่าข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น 1.96 x 45 ดังนั้นในกลุ่มนักเรียนหญิง จะหาข้อมูล x ที่คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.96 ได้โดยแก้สมการ 1.96 2 ทาให้ x 48.92 กิโลกรัม 48.92 57 ดังนั้นนักเรียนชายที่หนัก 48.92 กิโลกรัม คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น z 2.02 4 เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z 0 ถึง z 2.02 เท่ากับ 0.4783 ทาให้พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก ถึง z 2.02 เท่ากับ 0.5 0.4783 0.0217 นั่นคือข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 ของกลุ่มนักเรียนหญิง จะกลายเป็นข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ ที่ 2.17 ของกลุ่มนักเรียนชาย นอกจากนี้ครูอาจยกตัวอย่างนี้เพิ่มเติม ตัวอย่าง 5 ถ้าน้าหนักแรกเกิดของทารกในประเทศไทยมีการแจกแจงปกติ โดยในปี 2553 มีน้าหนักเฉลี่ย 2500 กรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 500 กรัม และในปี 2554 มีน้าหนักเฉลี่ย 3400 กรัม และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน 400 กรัม น้าหนักแรกเกิดของทารกไทยคนหนึ่งอยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 ในปี 2553 จะ อยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใดในปี 2554 วิธีทา พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก ถึง ข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 เท่ากับ 0.5 0.3849 ทาให้ได้ว่าข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น 1.2 21
  • 23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย x 2500 ดังนั้นในปี 2553 จะหาข้อมูล x ที่คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.2 ได้โดยแก้สมการ 1.2 500 ทาให้ x 3100 กรัม 3100 3400 เด็กที่หนัก 3100 กรัมในปี 2554 คิดเป็นค่ามาตรฐานได้เป็น z 0.75 400 เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z 0 ถึง z 0.75 เท่ากับ 0.2734 ทาให้พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก ถึง z 0.75 เท่ากับ 0.5 0.2734 0.2266 นั่นคือข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 88.49 ในปี 2553 จะกลายเป็นข้อมูลในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 22.66 ในปี 2554 22
  • 24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องการแจกแจงปกติ 1. คะแนนสอบวิช าภาษาไทยของนักเรียนชั้นมัธ ยมศึกษาปีที่ 6 ในโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดย คะแนนเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 30 และ 2.5 ตามลาดับ โดยกาหนดว่าผู้ที่ได้คะแนนมากกว่า 27 คะแนนจึงจะสอบผ่าน จงหาเปอร์เซ็นต์ของผู้สอบผ่านมากกว่าหรือน้อยกว่าเปอร์เซ็นต์ของผู้สอบไม่ผ่านอยู่ เท่าใด 2. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่หกของโรงเรียนแห่งหนึ่งมี 400 คน โดยนาย ก นาย ข และ นาย ค เป็นนักเรียนใน ระดับชั้นนี้ของโรงเรียน ซึ่งเกรดเฉลี่ยของนาย ก อยู่ที่ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 81.5 เกรดเฉลี่ยของนาย ข มีค่า มาตรฐานเท่ากับ 1 และนักเรียนในระดับชั้นนี้ของโรงเรียนที่ได้เกรดเฉลี่ยน้อยกว่า นาย ค มีจานวน 330 คน ถ้า หากเกรดเฉลี่ยของนักเรียนระดับชั้นนี้ของโรงเรียนดังกล่าวมีการแจกแจงปกติแล้ว จงเรียงลาดับเกรดเฉลี่ยของเด็ก ทั้งสามคนนี้จากมากที่สุดไปหาน้อยที่สุด 3. ความสูงของคนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น และความแปรปรวนเป็น 2 ถ้านาย ก มีความสูง 0.15 ปี จานวนคนในกลุ่มนี้ที่มีอายุมากกว่านาย ก เป็นร้อยละเท่าใด 4. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และสัมประสิทธิ์ของความแปรผัน เท่ากับ 50 และ 20% ตามลาดับ นาย ก สอบได้คะแนนในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 83.4 แล้วนาย ก สอบได้ คะแนนเท่าใด 5. ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาฝรั่งเศสของนักเรียนกลุ่มหนึ่งซึ่งมีจานวน 20000 คน มีการแจกแจงปกติ ที่มีส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 20 จงหาจานวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนซึ่งต่างจากคะแนนเฉลี่ยมากกว่า 20 6. นาย ก สอบวิชาสังคมศึกษาสองครั้ง ซึ่งคะแนนสอบมีการแจกแจงปกติทั้งสองครั้ง โดยครั้งที่หนึ่งคะแนนสอบ คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.96 และครั้งที่สองคะแนนสอบคิดเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 98.3 ถ้าในการสอบ ทั้งสองครั้งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่หนึ่ง และครั้งที่สองเป็น 10 และ 5 ตามล าดับ แล้วจงหาว่าคะแนนสอบในครั้ งที่ หนึ่ง มากกว่าหรือน้อยกว่าครั้ง ที่สองอยู่เท่า ใด และค่ า มาตรฐานของคะแนนสอบในครั้งที่หนึ่งมากกว่าหรือน้อยกว่าครั้งที่สองอยู่เท่าใด 7. น้าหนักของเด็กเล็กกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีฐานนิยมเท่ากับ 10 กิโลกรัม และสัมประสิทธิ์ของการ แปรผันเท่ากับ 20% แล้วนักเรียนที่หนักมากกว่า 8 กิโลกรัม แต่น้อยกว่า 13 กิโลกรัมคิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ 23
  • 25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 8. ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 จงหาผลต่างของข้อมูลที่อยู่ในตาแหน่ง เปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 กับข้อมูลที่อยู่ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33 9. ความสูง ของกลุ่ ม นัก เรีย นหญิง และกลุ่ม นั ก เรีย นชายมี ก ารแจกแจงปกติโ ดยที่ ค่ าเฉลี่ย เลขคณิ ตและส่ว น เบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของกลุ่มนักเรียนหญิงเป็น 165.7 และ 4 ตามลาดับ ในขณะที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของกลุ่มนักเรียนชายเป็น 169 และ 5 ตามลาดับ ถ้านักเรียนชายคนหนึ่ง มีความสูงตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 90.99 ของกลุ่มนักเรียนชาย แล้วจานวนนักเรียนหญิงที่มีความสูงน้อยกว่า ความสูงของนักเรียนชายผู้นี้คิดเป็นร้อยละเท่าใดของนักเรียนหญิง 10. คะแนนสอบวิชาสุขศึกษาของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ นาย ก และ นาย ข เป็นนักเรียนของ ห้องนี้ โดยที่มีนักเรียน 16.6% สอบได้คะแนนมากกว่านาย ก และ มีนักเรียนอยู่ 5.71% ที่สอบได้คะแนน น้อยกว่านาย ข นอกจากนี้นาย ก ยังได้คะแนนมากกว่านาย ข อยู่ 51 คะแนน จงหาความแปรปรวนของการ สอบครั้งนี้ 24
  • 28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม 27
  • 29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดระคน 1. คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมี ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 69 คะแนน ถ้านักเรียนที่สอบได้คะแนนมากกว่า 85 คะแนน มีอยู่ 15.87% จงหา ความแปรปรวนและค่าประมาณของสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบวิชานี้ 2. ถ้าความสูงของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีมัธยฐานเท่ากับ 150 เซนติเมตร และมีนักเรียนที่ สูงน้อยกว่า 148 เซนติเมตรอยู่ 34.46% จงหาค่าประมาณของสัมประสิทธ์ของการแปรผันของความสูง ของนักเรียนห้องนี้ 3. ในการสอบวิชาภาษาอาหรับของนักเรียนห้องหนึ่ง นักเรียนคนหนึ่งสอบได้ 43.75 คะแนน คิดเป็นค่า มาตรฐานได้เท่ากับ 0.5 และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนนักเรียนห้องนี้เท่ากับ 25% จงหา ค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบของนักเรียนห้องนี้ 4. ในการสอบปลายภาคของนักเรียนห้องหนึ่ง วิเคราะห์แล้วได้ความว่าคนที่สอบได้ 97 คะแนน จะคิดเป็น คะแนนมาตรฐานเท่ากับ 4 และ คนที่สอบได้ 20 คะแนนจะคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 3 จงหา ค่าประมาณของสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบของนักเรียนห้องนี้ 5. คะแนนสอบวิชาพุทธศาสนาของนักเรียนชั้นหนึ่ง ซึ่งมีอยู่สองห้อง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมเท่ากับ 74 คะแนน โดยที่ห้องที่ 1 และ ห้องที่ 2 มีนักเรียน 20 และ 30 คน ตามลาดับ ถ้าคะแนนเฉลี่ยของนักเรียน ห้องที่ 1 เท่ากับ 50 คะแนน และเมื่อแยกพิจารณาทราบว่านักเรียนห้องที่ 1 ที่สอบได้ 55 คะแนน คิดเป็นค่า มาตรฐาน 1 เท่ากันกับค่ามาตรฐานของนักเรียนในห้อ งที่ 2 ที่สอบได้ 94 คะแนน จงหาความแปรปรวน ของคะแนนของนักเรียนในห้องที่ 1 และห้องที่ 2 6. ถ้าน้าหนักของเด็กเล็กกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นสามเท่าของส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน และ 55.57% ของนักเรียนกลุ่มนี้มีน้าหนักน้อยกว่า 15.7 กิโลกรัม แล้วนักเรียนที่มีน้าหนักน้อย กว่า 13 กิโลกรัม รวมกับนักเรียนที่มีน้าหนักมากกว่า 18 กิโลกรัมมีอยู่ร้อยละเท่าใด 7. การแจกแจงความสูงของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติ ถ้านักเรียนที่มีความสูงมากกว่า 149.45 เซนติเมตร มีอยู่ 2.94% และนักเรีย นที่มีความสูงน้อยกว่ามัธยฐานแต่มากกว่า 136.5 เซนติเมตร มีอยู่ 25.8% แล้วจงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของความสูงของนักเรียนกลุ่มนี้ 28
  • 30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 8. คะแนนสอบของเด็กกลุ่มหนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเท่ากับ 60 และ 225 ตามลาดับ ถ้า นาย ก และนาย ข เป็นเด็กกลุ่มนี้ซึ่งคะแนนมาตรฐานของนาย ก มากกว่านาย ข อยู่ 3.4 และผลบวกของ คะแนนสอบของคนทั้งสองเท่ากับ 142.5 คะแนน จงหาค่ามาตรฐานของคะแนนของนาย ก และ คะแนน สอบของนาย ข 9. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องที่ 1 และห้องที่ 2 พบว่าคะแนนของทั้งสองห้องมีการแจก แจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน และเท่ากับ และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนของ 5 นักเรียนห้องที่ 1 น้อยกว่าห้องที่สองอยู่ ผู้ที่สอบได้คะแนนเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 78.81 ของห้อง ที่ 1 ได้คะแนนสอบมากกว่าหรือน้อยกว่าผู้ที่สอบได้คะแนนเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์เดียวกันในห้องที่ 2 อยู่กี่คะแนน 10. อายุของพนักงานบริษัทแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีความแปรปรวนเท่ากับ 4 และมีพนักงานจานวน 50.4% ที่มีอายุไม่เกิน 34 ปี ต่อมาเมื่อพิจารณาอายุของพนักงานในบริษัทนี้อีก 2 ปีข้างหน้า ให้ a เป็น ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของพนักงานที่อายุ 36 ปี และ b เป็นจานวนเปอร์เซ็นต์ของพนักงานที่มีอายุ (หน่วย เป็นปี) อยู่ในช่วง [34, 36] แล้ว จงหา a และ b 29
  • 31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัด 30
  • 32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องคะแนนมาตรฐาน ่ 1. 72 คะแนน; 2.9 2. 152.72 เซนติเมตร 3. 39 คะแนน 4. 22.4 คะแนน 5. อายุตั้งแต่ 21 ถึง 24 ปี เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องการแจกแจงปกติ ่ 1. มากกว่าอยู่ 76.98% 2. ข, ค, ก 3. 55.96 4. 59.7 คะแนน 5. 6348 คน 6. คะแนนสอบครั้งที่ 1 มากกว่าคะแนนสอบครั้งที่ 2 อยู่ 9 คะแนน; ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่ 1 น้อยกว่าค่ามาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่ 2 อยู่ 0.16 7. 77.45% 8. 24 9. 99.38 10. 400 คะแนน 2 เฉลยแบบฝึกหัดระคน 16 1 11 1. 256 ; 0.23 2. 0.03 3. 50 คะแนน 4. 0.21 69 30 53 1 5. 25 ; 16 คะแนน 2 6. 61.89 7. 0.04 28 8. 2.45 ; 45.75 คะแนน 9. มากกว่าอยู่ 4 คะแนน 10. 50.4 ; 37.88 31
  • 33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน 32
  • 34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน เรื่อง ตอน เซต บทนา เรื่อง เซต ความหมายของเซต เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ การให้เหตุผล ประพจน์และการสมมูล สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง สมบัติของจานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏีบทตัวประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนิคการแก้อสมการ ค่าสัมบูรณ์ การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ กราฟค่าสัมบูรณ์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์ ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ (การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก) ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ 33
  • 35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอน ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเบื้องต้น พีชคณิตของฟังก์ชัน อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันประกอบ ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม เลขยกกาลัง ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ ลอการิทึม อสมการเลขชี้กาลัง อสมการลอการิทึม ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3 กฎของไซน์และโคไซน์ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์ กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ การหาค่าสุดขีด ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม ลาดับ การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลิมิตของลาดับ ผลบวกย่อย อนุกรม ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม 34
  • 36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอน การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น . การนับเบื้องต้น การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่ ทฤษฎีบททวินาม การทดลองสุ่ม ความน่าจะเป็น 1 ความน่าจะเป็น 2 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เนื้อหา แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3 การกระจายของข้อมูล การกระจายสัมบูรณ์ 1 การกระจายสัมบูรณ์ 2 การกระจายสัมบูรณ์ 3 การกระจายสัมพัทธ์ คะแนนมาตรฐาน ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2 โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง กระเบื้องที่ยืดหดได้ 35