2. 2
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Curvas cónicas. Elipse. Hiperbola. Parabola.
Tangencias e intersecciones.
Curvas técnicas. Óvalos, ovoides y espirales.
Curvas técnicas cíclicas. Cicloide. Epicocloide. Hipocicloide. Pericicloide.
Normal y tangente de una curva cíclica.
Envolvente de un círculo.
Normal y tengente de una envolvente.
3. 3
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Curvas cónicas
Se conoce como curvas cónicas el conjunto de curvas obtenidas al
seccionar una superficie cónica con un plano; la inclinación de ese
plano con respecto al eje de la superficie cónica determina la curva
concreta obtenida.
Las curvas cónicas propiamente dichas son tres: Elipse, Parábola e
Hipérbola, aunque alterando el cono o la posición del plano pueden
buscarse otras figuras, entre ellas la circunferencia.
Elementos basicos de las curvas cónicas.
Focos: Son los puntos de contacto de la sección con las esferas tangentes al
plano que la produce e inscritas en el cono. Estan relaccionadas con el Tª de
Dandelin, y la excentricidad, que es la razon de proporcion constante, de dis-
tancia entre un punto de una conica y el foco , y entre aquel y la recta directriz.
Diametros: Rectas que pasan por el centro geométrico. Dos diámetros
son conjugados cuando cada uno pasa por la polar del otro. También es
el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al
primero.
Ejes: Mayor y menor. De todos los conjugados los ejes principales son los
únicos que son perpendiculares entre sí.
Vértice: Cualquier punto del eje mayor sobre la curva.
Circunferencia focal: De radio igual al eje mayor, y centro en uno de los
focos. En la Parábola el elemento correspondiente es la recta directriz.
Circunferencia principal o circunscrita: Tiene como diámetro el eje
mayor. Una recta tangente a una elipse se corta en ella con las perpen-
diculares que se tracen desde los focos.
Radios vectores: Segmento que une un P de la curva con ambos focos.
4. 4
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
CD= eje menor
AB= eje mayor
C1
circunferencia principal con centro en O de la elipse y de diametro AB, o radio 1/2 AB
C2
circunferencia focal con centro en F1
o F2
y de radio AB
Ctg
circunferencia con centro en O de la elipse, tangente a la focal y que pasa por F1
o F2
Elipse. Características, elementos y métodos
de construcción.
La elipse es la sección de un cono de revolución con un plano que
corta sólo una de sus ramas y que es oblicuo al eje y a las generatri-
ces.
Características y elementos
Sus elementos cumplen ciertas caracteristicas de tal modo que se la
puede definir tambien por ser el L.G. de los puntos que cumple dichas
caracteristicas.
Tambien podemos definirla como el lugar geométrico de los puntos
de un plano en el que se cumple que la suma de los radios vectores es
constante e igual al eje mayor.
F1
P + PF2
= d1
+ d1
=AB=K= constante
Los semiejes de una elipse tambien cumplen una caracteristica que
parte del Tª de Pitagoras.
b
F 2
C
O a
c
a2
+ b2
= c2
Tambien es lugar geométrico de los centros de las circunferencias
tangentes a la circunferencia focal de un foco y que pasa por el otro.
La circunferencia principal cumple caracteristicas importantes de
relacion entre la focal y la tangente a la elipse. De tal modo que se la
puede definir como el punto medio del segmento que se traza desde
los focos a la circunferencia focal o como el lugar geometrico de los
pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes .
Esta definicion se usara para trazar las tangentes.
QX=QF1
1
2
3
4
5. 5
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Métodos constructivos de las curvas cónicas.
Existen multitud de metodos constructivos:
Por puntos basandonos en la definicion y el elemento Foco.
Por haces proyectivos
Por envolventes
Por la conjuncion de un numero de elementos conocidos.
Trazado una elipse conocidos los focos
f´y f´´ y el eje mayor AB, por
puntos.
Basándonos en la primera definición, coloca-
mos varias marcas arbitrarias (1,2,3,4) entre
el centro y un de los focos. Estas divisiones
permiten tomar con el compás pares de distan-
cias (A1/B1, A2/B2), que suman la medida AB.
Trazando arcos desde los focos con medidas
parciales tomadas desde A y B, localizamos los
puntos de la curva.
Trazado una elipse conocidos
los focos f´y f´´ y el eje mayor
AB, por puntos y envolventes.
Puede definirse también con rectas tangentes
que serán perpendiculares en la circunferen-
cia principal a otras trazadas desde los vérti-
ces (derecha), por tangentes envolventes.
Trazado una elipse conocidos
los ejes, el menor CD y el ma-
yor AB, por haces proyectivos
En el tercer método se traza un rectángulo
que tiene los ejes como medianas. Se divide
desde el punto medio uno de los ejes en
el mismo número de partes iguales que el
lado paralelo al otro. Los extremos de este
último, alineados con las divisiones, darán
los puntos buscados.
Trazado una elipse dados los
ejes conjugados.
Del mismo modo que una circunferencia
vista en perspectiva es una elipse, dos
diámetros perpendiculares aparecerán con
un ángulo diferente, y serán diámetros
conjugados. Si imaginamos que el conju-
gadel menor era antes del mismo tamaño
y perpendicular al mayor, podemos
aplicar el supuesto desplazamiento de
sus extremos (C’ =C, D’=D) al resto de
los puntos de una circunferencia inicial.
También podemos inscribir los diámetros
conjugados en un romboide de lados
pa ralelos a ellos y aplicar el método de
cruce de proyecciones.
Trazado una elipse conocidos los
ejes, el menor CD y el mayor AB,
por proporcionalidad.
En el primer caso se utiliza el teorema de Tha-
les para relacionar las dos medidas diametrales,
y trasvasar las semicuerdas perpendiculares de
la circunferencia correspondiente al eje menor,
al eje mayor.
Trazado una elipse conocidos los
ejes, el menor CD y el mayor AB, por
afinidad.
En el segundo caso se colocan las circunferencias
de los diámetros mayor y menor concéntricas, que
son afines a la elipse. Se localizan puntos de la curva
trazando primero varios radios comunes.
WEB
http://www.educacionplastica.net/conicas.htm
6. 6
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Hipérbola. Caracteristicas, elementos
y metodos de construccion.
La hiperbola es la sección de un cono de revolución con
un plano cuando este es paralelo a dos de sus generatrices.
Caracteristicas y elementos
Sus elementos cumplen ciertas caracteristicas de tal modo
que se la puede definir tambien por ser el L.G. de los puntos
que cumple dichas cracteristicas.
Tambien podemos definirla como el lugar geométrico de
los puntos de un plano en el que se cumple que la diferen-
cia de los radios vectores es constante e igual a la distan-
cia entre sus vertices del eje real.
Los semiejes de una hiperbola tambien cumplen una
caracteristica que parte del Tª de Pitagoras.
Tambien es lugar geométrico de los centros de las circun-
ferencias tangentes a la circunferencia focal de un foco y
que pasa por el otro.
La circunferencia principal cumple caracteristicas
importantes de relacion entre la focal y la tangente a la
hiperbola. De tal modo que se la puede definir como el
punto medio del segmento que se traza desde los focos a
la circunferencia focal o como el lugar geometrico de
los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos
a las tangentes . Esta definicion se usara para trazar las
tangentes.
1
2
3
4
P
c2
r´
d1
d2
A BF 1
F 2
r
AB=vertices y eje mayor
r y r´= asintotas
c1
circunferencia principal con centro en O y de diametro AB, o radio 1/2 AB
c2
circunferencia focal con centro en F2
y F2
y de diametro 2AB, o radio AB
ctg
circunferencia tangente con centro en en P de la hiperbola, tangente a la focal y que pada por F2
o F2
T
F´1
7. 7
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Trazado una hipérbola
basandonos en los métodos
constructivos básicos de la elipse:
puntos, haces proyectivos y
envolventes.
Dependiendo de los datos, su construcción se
hace por métodos esencialmente iguales a los
empleados en las otras curvas cónicas.
8. 8
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Parabola. Caracteristicas, elementos y
metodos de construccion.
La parábola es la sección de un cono de revolución con un
plano cuando este es paralelo a una de sus generatrices.
Caracteristicas y elementos
Sus elementos cumplen ciertas caracteristicas de tal modo
que se la puede definir tambien por ser el L.G. de los puntos
que cumple dichas cracteristicas.
Tambien podemos definirla como el lugar geométrico de
los puntos de un plano en el que se cumple que equidistan
de una recta llamada directriz y de su foco.
La directriz de la parábola cumple funciones muy simila-
res a las de la circunferencia focal en la elipse o hiperbola.
Se la puede considerar una circunferencia focal de centro
impropio ya que la parabola puede ser una elipse de foco
en el infinito, luego su circunferencia focal será de radio
infinito.
Tambien es lugar geométrico de los centros de las circun-
ferencias tangentes a la directriz, (focal de radio infinito) y
que pasa por el F.
La tangente en el vertice tiene funciones similares a la
circunferencia principal de la elipse o la parabola. La
tangente en el vertice es el L.G. de los pies de las perpendi-
culares trazadas desde el F hasta las tangentes.
1
2
3
4
AB=vertices y eje mayor
r y r´= asintotas
D1
Directriz (circunferencia focal)
Tv
Tangente en el vertice (circunferencia principal)
ctg
circunferencia tangente con centro en en P de la parábola,
tangente a la directriz ( c.focal) y que pada por F
V
D1
e
Tv
PD
F
d1
d2
F´
Q
9. 9
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Trazado una parábola
basandonos en los métodos
constructivos básicos de la
elipse: puntos, haces proyectivos
y envolventes.
Puede construirse cortando con arcos desde
el foco rectas paralelas a la directriz, tomando
como radio la distancia a ésta de cada una
de las paralelas. También por cruce de
proyecciones si conocemos el eje, el vértice
y un punto P de la curva, o definirla uniendo
el foco con distintos puntos de la tangente
principal y trazando desde estos puntos rectas
perpendiculares, que serán tangentes a la
curva.
10. 10
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Solucion es el centro de las circun-
ferencias tangentes a la Cfocal y que
pasen por F, y F´(respecto de la recta.
TANGENCIAS (C,P,P)
Hallar la intersección entre curva y recta
Intersección de curva y recta., en la elipse. Potencia y Cr.
Se conocen el eje AB y los focos F1 y F2 de la elipse, así como la recta secante r. Mediante
una perpendicular, se localiza el simétrico del foco F1 respecto de la recta: F’1, Se traza una
circunferencia que pase por los dos puntos simétricos con centro en cualquier punto P de r, con
tal que corte a la focal de F2. Se traza el eje radical de ambas pasando por los puntos de corte, y
se localiza en centro radical donde corte a la prolongación de F1 F’1. Se une el centro Cr con F2
y desde el punt o medio M se traza una tercera circunferencia que corta a la focal en los puntos
1 y 2. Uniendo cada uno de ellos con F2, se obtienen en r las intersecciones I1 e I2. Un método
algo más breve consiste en escoger cualquier punto C en la recta F1 F’1 y trazar la circunfe-
rencia de diámetro F2 C. Las mediatrices de los segmentos F’1 1 y F’1 2 dan en la recta r los
puntos de intersección.
Intersección de curva y recta, en la hiperbola.
Se conocen el eje AB y los focos F1 y F2 de la hipérbola, así como la recta secante r. Mediante
una perpendicular, se localiza el simétrico del foco F1 respecto de la recta: F’1, Se traza una
circunferencia que pase por los dos puntos simétricos con centro en cualquier punto P de r, con
tal que corte a la focal de F2. Se traza el eje radical de ambas pasando por los puntos de corte, y
se localiza en centro radical donde corte a la prolongación de F1 F’1. Se une el centro Cr con F2
y desde el p unto medio M se traza una tercera circunferencia que corta a la focal en los puntos 1
y 2. Uniendo cada uno de ellos con F2, se obtienen en r las intersecciones I1 e I2.
11. 11
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Intersección de curva y recta., en la parábola. Potencia y Cr.
Se conocen el eje e de una parábola, el foco F y la recta directriz d, así como la recta secante
r. Mediante una perpendicular, se localiza F’, simétrico de F respecto de r, y se prolonga hasta
cortar la directriz en P. Se traza una circunferencia con centro en C que tiene como diámetro P’,
así como la cuerda perpendicular A B que pasa por F. Con centro en P se traza otra circunferen-
cia que pase también por A y B, que corta a la directriz en los puntos 1 y 2. Trazando por ellos
paralelas al ej e tendremos en r los puntos de intersección.
Solucion es el centro de las circunferencias tangentes a la
Cfocal y que pasen por F, y F´(respecto de la recta. TANGENCIAS (R,P,P)
Trazado de tangentes
En las tres curvas cónicas mas importantes, la elipse, la hiperbola y la
parabola existen elementos homologos a nivel de caracteristiacs y pro-
piedades: la circunferencia focal, la principal, la directriz o la tangente
en el vertice y la normal. Expondremos a continuacion la tengente en
un punto de las curvas, desde un exterior y a una dirección dada, y en
los tres casos se hallan aplicando los mismos principios.En el caso de la
tangente en un punto o la tangente desde un exterior puede hallarse por
mas de un metodo.
Trazado una una tangente
en un P de la curva.
Tangente y normal en un punto P de
la curva: son las bisectrices de los
ángulos producidos por las rectas que
pasan por P y por cada uno de los focos.
Su posición en Tangentes desde un
punto exterior a la curva: Trácese una
circunferencia con centro en E que pase
por uno de los focos, y a circunferen-
cia focal con centro en el otro (recta
Directriz, en la Parábola). Las rectas
tangentes la Hipérbola es inversa que en
la Elipse. En la Parábola se considera el
segundo foco en el infinito.
12. 12
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
WEB
http://www.educacionplastica.net/conicas.htm
Trazado una una tangente
desde un Q exterior.
Tangentes desde un punto exterior a
la curva: Trácese una circunferencia
con centro en E que pase por uno de
los focos, y a circunferencia focal con
centro en el otro (recta Directriz, en la
Parábola). Las rectas tangentes son las
mediatrices de los segmentos definidos
por cada intersección entre los dos
arcos y el primer foco. Los puntos de
tangencia están alineados con los de
intersección y el centro de la circunfe-
rencia focal.
Trazado una una tangente a
una dirección dada.
Tangentes paralelas a una dirección
dada: Trácese por un foco una perpen-
dicular a la dirección dada, y la cir-
cunferencia focal con centro en el otro
foco. Las tangentes (una en el caso de
la Parábola) y los puntos de tangencia
quedan definidos de la misma manera
que en el caso anterior.
Busca otros metodos de trazar
tangentes desde un punto exterior
y desde un punto propio de la
curva basados en las caracteristi-
cas de la circunferencia principal
y la focal.
Investiga
13. 13
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Elementos especificos de las curvas
Radios de curvatura
Ejes conjugados de la elipse
Asintotas de la hipérbola
Hallar los ejes de una curva conica conoci-
dos algunos de sus elementos principales.
14. 14
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Curvas técnicas.
Las curvas tecnicas son aquellas que se utilizan comunmente en
ingenieria y construccion. Dentro de las curvas tecnicas podemos
encontrar dos subgrupos: los ovalos y las ciclicas.
Óvalos y ovoides.
Los ovalos son simetricos y los ovoides tienes una mitad en forma de
circunferencia y la otra mitad no simetrica.
Trazado de un ovoide
conociendo su anchura b.
TomandoAB como diámetro, trácese una
circunferencia. Perpendicularmente aAB trácese
otro diámetro. Unase con rectas indefinidas 2 y 4,
3 y 4. Haciendo centro sucesivamente en 2, 3 y 4,
llévense los tres arcos con un trazo continuo.
Trazar un ovoide de altura b y
anchura a conocidas.
TráceseA’B’igual aAB y tomándola como
diámetro trácese una circunferencia. Perpen-
dicularmente aAB, trácese otro diámetro y
prolónguese. Tómese desde D’, una altura D’C’
igual a la propuesta. Desde los puntos extremos
A’y B’llévense distancias iguales a C’E en F y G
respectivamente. Levántense las mediatrices de
EF y EG que cortan el diámetroA’B’en 3 y 2.
Los puntos 2, 3 y 4 son los centros de los arcos
que satisfacen el problema.
Trazar un óvalo o falsa
elipse conociendo el eje
mayor a.
Trácese el eje mayor y divídase en
tres secciones iguales. Descríbanse las
circunferencias O y O’. Unanse con
rectas indefinidas los puntos de inter-
sección de estas circunferencias con
los centros O y O’. Desde los puntos
1, 2, 3 y 4 como centro, trácense los
arcos que forman el óvalo.
Trazar un óvalo cono-
ciendo sus dos ejes a y b.
Levántese la mediatriz deA’B’. Desde
el punto O como centro, trácese una
semicircunferencia. Señálese sobre
la mediatriz la altura OC’del arco
igual al de un eje menor y únase el
punto C’con los extremosA’B’de la
anchura. Desde C’como centro y con
radio igual a C’F descríbase una cir-
cunferencia. En medio de cada uno de
los segmentosA’D y B’E levántense
perpendiculares que determinarán los
puntos 1, 2, 3 y 4 que son los cuatro
centros con los que se podrá construir
el óvalo propuesto.
Trazar un óvalo o falsa
elipse conociendo el eje
menor b.
Construimos la circunferencia de
diámetro CD y se trazan los diámetros
perpendiculares. Los puntos 1, 2, 3
y 4 son los centros de los arcos de
circunferencia que permiten construir
el óvalo.
15. 15
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Espirales.
Se llama espiral a la curva plana originada por un punto al despla-
zarse alrededor de otro punto de forma que con cada vuelta se aleja
de él. Paso es la distancia radial que existe entre dos espiras consecu-
tivas, es decir, la distancia existente entre las diferentes espiras de la
curva, la cuál permanece siempre constante y equivale al perímetro
del polígono.
Construir la espiral de dos centros
conocido el paso.
Sobre una recta se marca un segmento de longitud
igual a la mitad del paso, y se describen arcos suce-
sivos haciendo centro en cada uno de los extremos
1, 2, 1, 2, etc. con diámetros iguales a la mitad del
paso. Con centro en el punto 1 se dibuja el arco 2A.
Con centro en el punto 2, se dibuja el arcoAB, etc.
Construir la espiral de tres centros
conocido el paso.
Se construye un triángulo equilátero, cuyo lado mida
1/3 del paso dado. Se prolongan sus lados en un
sentido y se numeran sus vértices 1, 2, 3. Haciendo
centro en cada uno de los vértices, trazamos desde el
punto 3 el arco 1A, desde 1 el arcoAB, y con centro
en 2 describimos el arco BC; haremos la misma
operación para CD, DE, etc.
Construir la espiral de cuatro
centros conocido el paso.
Se dibuja un cuadrado de lado 1/4 del paso dado.
Se prolongan sus lados en un mismo sentido y se
describen arcos de centros en los vértices 2, 3, 4,
1, 2, etc. Con centro en el vértice 2 se traza el arco
A; con centro en 3 se dibuja el arco B; con centro en
4 el arco C, etc. Para dibujar más vueltas se repite
esta operación.
16. 16
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Curvas tecnicas cíclicas.
Las curvas cíclicas o de rodadura se generan por la rotacion de un
punto solidario a una circunferencia o recta, llamada generatriz o
ruleta, que rueda sin deslizar por una recta o circunferencia llamada
directriz o base.
Dependiendo de cual sea su generatriz o ruleta, y dependiendo de
donde se encuentre el punto solidario respecto de ella, o cual su base
directriz obtendremos unas curvas ciclicas u otras.
GENERATRIZ O
RULETA
Circunferencia
Circunferencia
Recta
DIRECTRIZ
O BASE
Recta
Circunferencia
Circunferencia
CURVA QUE
SE GENERA
Cicloide
Epicicloide (exterior)
Hipocicloide (interior)
Pericicloide (base
tangente exterior)
Envolvente
Clasificación de cíclicas.
Piensa algunos ejemplos que podemos encontrar en el
entorno cotidiano. Trata de ver como funcionan estas
curvas con un platillo, un lapiz y una cartulina. Contru-
yete un generador de ciclicas casero.
Construye
Cicloide
Epicicloide
Hipocicloide
