1. Cálculo Numérico
Aproximação de funções
Método dos mínimos quadrados
Kleber Jacinto
Eng Eletricista – Mestre em Ciência da computação
08/05/131

2. Método dos mínimos quadrados
08/05/132
Caso discreto ou Aproximação Linear
Onde qtd é o número de valores da amostra, F(x) a função
“desconhecida”, e a função de aproximação será

3. Método dos mínimos quadrados
08/05/133
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 1: Num experimento foram feitas 5 amostras com os
respectivos valores. Qual a função linear que melhor
representa os dados?
x 0 1 2 3 4
F(x) 0.98 -3,01 -6,99 -11,01 -15

4. Método dos mínimos quadrados
08/05/134
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 1 – Resolução:
Qtd é igual a cinco pois temos cinco amostras. Devemos
obter os valores dos somatórios.

5. Método dos mínimos quadrados
08/05/135
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 1 – Resolução:
xi F(xi) xi
2
F(xi). xi
0 0,98 0 0,00
1 -3,01 1 -3,01
2 -6,99 4 -13,98
3 -11,01 9 -33,03
4 -15,00 16 -60,00
Σ 10 35,03 30 -110,02

6. Método dos mínimos quadrados
08/05/136
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 1 – Resolução:
Solucionando o sistema:
a1=-3,9960 e a2=0,9860
Então:
g(x) = -3,9960.x + 0,9860
Se desejássemos prever o valor da décima amostra,
teríamos:
g(10) = -3,9960.10+0,0960 = -39,864

7. Método dos mínimos quadrados
08/05/137
Aproximação por polinômio de 2º Grau
Onde qtd é o número de valores da amostra, F(x) a função
“desconhecida”, e a função de aproximação será

8. Método dos mínimos quadrados
08/05/138
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 2: Num experimento foram feitas 6 amostras com os
respectivos valores. Qual o polinômio de segundo grau que
melhor representa os dados?
x -2 -1 0 1 2 3
F(x) 19,01 3,99 -1,00 4,01 18,99 45,00

9. Método dos mínimos quadrados
08/05/139
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 2 – Resolução:
Qtd é igual a 6 pois temos seis amostras. Devemos obter os
valores dos somatórios.

10. Método dos mínimos quadrados
08/05/1310
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 1 – Resolução:
xi xi
2
xi
3
xi
4
F(xi) F(xi).xi F(xi).xi
2
-2 4 -8 16 19,01 -38,02 76,04
-1 1 -1 1 3,99 -3,99 3,99
0 0 0 0 -1,00 0,00 0,00
1 1 1 1 4,01 4,01 4,01
2 4 8 16 18,99 37,98 75,96
3 9 27 81 45,00 135,00 405,00
Σ 3 19 27 115 90,00 134,98 565,00

11. Método dos mínimos quadrados
08/05/1311
Caso discreto ou Aproximação Linear
Exemplo 2 – Resolução:
Solucionando o sistema:
a1 = 5,0893 , a2 = 0,0515 e a3 = -1,1403
Então:
g(x) = 5,0893.x2
+ 0,0515.x -1,1403

12. Exemplos adaptados do livro
Cálculo Numérico: Aprendizagem Com Apoio
de Software
Selma Arenales
Artur Darezzo
08/05/13 12