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HISTÓRIA DA ÁLGEBRA
(uma visão geral)
Fonte: Tópicos de História da Matemática - John K. Baumgart
Estranha e intrigante é a origem da palavra "álgebra". Ela não se sujeita a uma etimologia
nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos ("número").
Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada
no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo
matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de
Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr.
Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e
redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"- ou,
conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e "o
cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Assim,
dada a equação:
2 3
x + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x
al-jabr fornece
x2 + 7x + 4 = 4 + 5x3
e al-muqabalah fornece
2 3
x + 7x = 5x
Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".
Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado
muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:
(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.
(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos,
anéis e corpos - para mencionar apenas algumas.
De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases,
uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.
Equações algébricas e notação
A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C.,
aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de
equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos
pouco importantes até a resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado
tratamento das equações polinomiais em geral feito por François Viète, também conhecido por
Vieta (1540-1603).
O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou
verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último
estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente
estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que, mesmo hoje, não há total
uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" como
aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem "3,1416". Em alguns países europeus, o
símbolo "÷" significa "menos". Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece
apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte
mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de
problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo
do rei Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação
decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece as
passagens correspondentes em notação moderna. Eis o exemplo:
[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252.
Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.
x+y=k
[2] [Dado] 32 soma; 252 área.
xy=P } ... (A)
[3] [Resposta] 18 comprimento; 14 largura.
[4] Segue-se este método: Tome metade de
k/2
32 [que é 16].
2
16 x 16 = 256 (k/2)
2 2
256 - 252 = 4 (k/2) - P = t } ... (B)
A raiz quadrada de 4 é 2.
16 + 2 = 18 comprimento. (k/2) + t = x.
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16 + 2 = 18 comprimento. (k/2) + t = x.
16 - 2 = 14 largura (k/2) - t = y.
[5] [Prova] Multipliquei 18 comprimento por
((k/2)+t) ((k/2)-t)
14 largura. 2 2
= (k /4) - t = P = xy.
18 x 14 = 252 área
Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são apresentados, na [3] a
resposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com números e, finalmente, na [5] a
resposta é testada.
A "receita" acima é usada repetidamente em problemas semelhantes. Ela tem significado
histórico e interesse atual por várias razões.
Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o sistema (A). O procedimento
padrão nos atuais textos escolares de álgebra é resolver, digamos, a primeira equação para y
(em termos de x), substituir na segunda equação e, então, resolver a equação quadrática
resultante em x; isto é, usaríamos o método de substituição. Os babilônios também sabiam
resolver sistemas por substituição, mas frequentemente preferiam usar seu método
paramétrico. Ou seja, usando-se notação moderna, eles concebiam x e y em termos de uma
nova incógnita (ou parâmetro) t fazendo x=(k/2)+t e y=(k/2)-t.
Então o produto
2 2
xy = ((k/2) + t) ((k/2) - t) = (k/2) - t = P
levava-os à relação (B):
2 2
(k/2) - P = t
Em segundo lugar, o problema acima tem significado histórico porque a álgebra grega
(geométrica) dos pitagóricos e de Euclides seguia o mesmo método de solução - traduzida,
entretanto, em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por figuras geométricas.
Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem paramétrica em seu
trabalho com equações "diofantinas". Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindo
abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da álgebra geométrica.
Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não usavam o método
empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e
expressar tudo em termos de palavras e números.
Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram capazes de resolver uma
variedade surpreendente de equações, inclusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas
- todas com coeficientes numéricos, naturalmente.
Álgebra no Egito
A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas faltavam à álgebra
egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações
resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de
cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um
período anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução
consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os
europeus posteriormente deram o nome umtanto abstruso de "regra da falsa posição". A
álgebra do Egito, como a da Babilônia, era retórica.
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos
babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos
europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de
poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações.
Álgebra geométrica grega
A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Por
exemplo, o que nós escrevemos como:
2 2 2
(a+b) = a + 2ab + b
era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era
curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4:
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual
aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes
2 2 2
contém. [Isto é, (a+b) = a + 2ab + b .]
2
Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a era realmente um
quadrado.
Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam
os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses
resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema
babilônio considerado acima.
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Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada):
Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo com
uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade
"preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado
retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].
Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exatamente
paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath /
EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:
Bissecte AB em M: k/2
2
Construa o quadrado MBCD: (k/2)
Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG
com área igual ao excesso de MBCD sobre a t2 = (k/2) 2 - P
área dada P:
Então é claro que y = (k/2) - t
Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso,
x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.
É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido "refeitos"
desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta
formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com
frações e números irracionais.
Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as
como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz
quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando
descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja,
diag/lado é diferente da razão de dois inteiros).
Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta
como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser
expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento
de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um
gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear.
De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos
ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais
geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os
cursos universitários de hoje.
A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não
encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura
grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente
na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o
fluxo de idéias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as
escolas de instrução direta não sobreviveram.
Álgebra na Europa
A álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci e traduções) havia regredido
tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e
Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuir
para uma eventual irrupção da álgebra.
A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos seguintes
fatores:
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fatores:
facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração
indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do
ábaco;
invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo
mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição;
ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada do
comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de idéias tanto quanto de bens.
Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o renascimento
algébrico na Europa efetivamente teve início.
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