Skrypt dla studentów matematyki. Autor: Maciej Czarnecki. Tytuł: Przekształcenia

1. Maciej Czarnecki
Geometria szkolna
skrypt dla studentów matematyki
Rozdział IV
Przekształcenia
Rozważamy przestrzeń afiniczną En ze standardowym iloczynem skalarnym. Norma
wektorów i odległość punktów pochodzą od tego iloczynu.
Definicja 1. Niech f bedzie funkcją działającą ze zbioru En w zbiór En . Funkcję f
nazywamy przekształceniem afinicznym, jeżeli środek ciężkości dowolnego skończonego
układu punktów z En przekształca na środek ciężkości ich obrazów o tych samych
wagach. Innymi słowy, dla p0 , . . . , pk ∈ En oraz a0 , . . . , ak ∈ R, gdzie a0 + . . . + ak = 1,
f (a0 p0 + . . . + ak pk ) = a0 f (p0 ) + . . . + ak f (pk ).
Twierdzenie 2. Przekształcenie afiniczne przekształca podprzestrzeń afiniczną H
przestrzeni afinicznej En na podprzestrzeń afiniczną przestrzeni afinicznej En wymiaru
nieprzekraczającego dim H.
W szczególności, przekształcenie afiniczne przekształca prostą na prostą lub punkt,
a płaszczyznę — na płaszczyznę, prostą lub punkt.
Różnowartościowe przekształcenie afiniczne przekształca podprzestrzeń k–wymiarową
na podprzestrzen k–wymiarową, w szcególności prostą na prostą a płaszczyznę na
płaszczyznę.
Twierdzenie 3. Funkcja f : En → En jest przekształceniem afinicznym wtedy i tylko
wtedy, gdy f przekształca środek ciężkości dowolnego układu dwupunktowego (p, q) na
środek ciężkości układu (f (p), f (q)) o tych samych wagach.
Twierdzenie 4. Funkcja f : En → En jest przekształceniem afinicznym wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieje przekształcenie liniowe f : Rn → Rn takie, że dla pewnego
(odpowiednio: dowolnego) punktu p ∈ En i dowolnego wektora v ∈ Rn zachodzi równość
f (p + v) = f (p) + f (v).
Definicja 5. Translacją (przesunięciem równoległym) o wektor v ∈ Rn nazywamy
przekształcenie Tv : En → En dane wzorem
Tv (x) = x + v dla x ∈ En .
1

2. 2
Uwaga 6. Często mówi się, że przekształcenie afiniczne jest złożeniem przekształce-
nia liniowego z translacją, co odpowiada twierdzeniu 5. po utożsamieniu przestrzeni
liniowej Rn z przestrzenią afiniczną p + Rn (odpowiednio przestrzenią f (p) + Rn ).
Twierdzenie 7. Każda translacja jest przekształceniem afinicznym.
Zbiór translacji z działaniem składania stanowi grupę izomorficzną z grupą (Rn , +).
Dowód: Aby wykazać, że Tv jest przekształceniem afinicznym wystarczy przyjąć
Tv = idRn .
Grupowość działania składania translacji wynika ze wzoru
Tu ◦ Tv = Tu+v
prawdziwego dla u, v ∈ Rn . Izomorfizm na grupę (Rn , +) jest dany wzorem Tv → v.
Definicja 8. Niech H bedzie podprzestrzenią afiniczną wymiaru k, a H podprze-
strzenią afiniczną taką, że S(H) ⊕ S(H ) = Rn (wynika stąd w szczególności, że
dim H = n − k). Rzutem równoległym na podprzestrzeń H w kierunku podprzestrzeni
H nazywamy przekształcenie πH : En → En takie, że dla każdego p ∈ En
H
H
πH (p) ∈ (p + S(H )) ∩ H.
Jeżeli H ⊥ H, to na oznaczenie rzutu piszemy πH .
Uwaga 9. Dowód poprawności definicji rzutu równoległego przebiega tak samo jak
dowód twierdzenia III.18. Określony w definicji III.19 rzut prostopadły na H jest
rzutem równoległym na H w kierunku q + S(H)⊥ , gdzie q ∈ En .
Twierdzenie 10. Każdy rzut równoległy jest przekształceniem afinicznym.
Dowód:
Twierdzenie 11. (Talesa) Stosunek długości rzutów równoległych odcinków nie-
zdegenerowanych pq i rs na podprzestrzeń H w kierunku podprzestrzeni H , gdzie
pq rs H , jest równy stosunkowi długości odcinków pq i rs. Innymi słowy
H H
|πH (p)πH (q)| |pq|
H (r)π H (s)|
= .
|πH H |rs|
Dowód:
Twierdzenie 12. (odwrotne do twierdzenia Talesa) Niech dane będą proste L i L
oraz punkty p, q, r, s ∈ L, p , q , r , s ∈ L parami różne z wyjątkiem być może par
(p, p ), (q, r) i (q , r ).
Jeżeli
|pq| |p q |
= ,
|rs| |r s |
to proste qq , rr i ss są równoległe.
Dowód:

3. 3
Definicja 13. Jednokładnością o środku p ∈ En i skali s = 0 nazywamy przekształ-
cenie Jp : En → En dane wzorem
s
Jp (x) = p + s · −
s →
px dla x ∈ En .
Twierdzenie 14. Każda jednokładność jest przekształceniem afinicznym.
Dla ustalonego punktu p zbiór wszystkich jednokładności o środku p z działaniem
składania tworzy grupę izomorficzną z grupą (R {0}, ·).
s
Dowód: Aby wykazać, że Jp jest przekształceniem afinicznym wystarczy przyjąć
s
Jp = s · idRn .
s
Grupowość działania składania jednokładności w zbiorze {Jp ; s = 0} wynika ze
wzoru
s
Jp 1 ◦ Jp 2 = Jp 1 s2
s s
s
prawdziwego dla s1 , s2 = 0. Izomorfizm na grupę (R{0}, ·) jest dany wzorem Jp → s.
Definicja 15. Izometrią przestrzeni afinicznej E (z odległością d indukowaną przez
iloczyn skalarny) nazywamy każde przekształcenie E na E zachowujące odległość,
tzn. spełniające warunek
d(f (x), f (y)) = d(x, y) dla x, y ∈ E.
Zbiór wszystkich izometrii przestrzeni E oznaczamy przez Isom(E).
Twierdzenie 16. Zbiór Isom(E) z działaniem składania przekształceń tworzy grupę.
Dowód: Jeżeli f ∈ Isom(E), to warunek f (x) = f (y) pociąga za sobą kolejno
warunki d(f (x), f (y)) = 0, d(x, y) = 0, x = y. Oznacza to, że każda izometria jest
przekształceniem różnowartościowym. Wystarczy zatem sprawdzić, że Isom(E) jest
podgrupą grupy wszystkich bijekcji zbioru E na siebie.
Jeżeli f ∈ Isom(E), to dla x, y ∈ E
d(f −1 (x), f −1 (y)) = d(f (f −1 (x)), f (f −1 (y))) = d(x, y),
czyli odwzorowanie odwrotne do izometrii jest izometrią. Jeżeli teraz f1 , f2 ∈ Isom(E),
to dla x, y ∈ E
d(f1 ◦ f2 (x), f1 ◦ f2 (y)) = d(f1 (f2 (x)), f1 (f2 (y))) = d(f2 (x), f2 (y)) = d(x, y)
czyli także złożenie dwóch izometrii jest także izometrią.
Przykład 17. Każda translacja jest izometrią, bo dla v ∈ V oraz x, y ∈ E
−− − −→
−−−−
d(Tv (x), Tv (y)) = d(x + v, y + v) = x + v, y + v = |− y| = d(x, y).
→
x,
Rzut równoległy na podprzestrzeń wymiaru mniejszego niż n nie jest izometrią, bo
nie jest różnowartościowy (wszystkie punkty kierunku rzutowania H1 przekształcane
są na jeden punkt).
Jednokładność o skali ±1 jest izometrią. Jednokładności o innych skalach nie są
s s
izometriami, bo dla x, y ∈ E zachodzi d(Jp (x), Jp (y)) = |s|d(x, y).
Definicja 18. Niech H będzie podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej E, a
πH rzutem prostopadłym na tę podprzestrzeń. Przekształcenie sH : E → E dane
wzorem −− −
− −→
sH (x) = x + 2xπH (x) dla x ∈ E

4. 4
nazywamy symetrią względem podprzestrzeni H.
Symetrię wzgledem punktu nazywamy symetrią środkową, względem prostej —
symetrią osiową, a względem płaszczyzny — symetrią płaszczyznową.
Przykład 19. Jeżeli H = {p}, to rzut πH jest odwzorowaniem stałym πH : E → {p} i
symetria środkowa wyraża się wzorem
s (x) = x + 2− = p + (−1) · −
p
→
xp →
px,
czyli jest także jednokładnością o środku p i skali −1.
Jeżeli H jest hiperpłaszczyną przechodzącą przez punkt p o jednostkowym wektorze
normalnym u, to dla x ∈ E
−−→ −
−−
pπ (x) = px − − u · u,
H
→ →
px,
skąd
πH (x) = x − − u · u.
→
px,
Zatem
sH (x) = x − 2 − u u.
→
px,
W szczególności rozważając symetrię osiową w E2 wzgledem prostej L : y = mx + n
(m,−1)
otrzymujemy, że p = (0, n), u = √m2 +1 . Zatem dla dowolnego punktu (x, y) ∈ E2
(m, −1) (m, −1)
sL (x, y) =(x, y) − 2 (x, y − n), √ ·√
m2 + 1 m2 + 1
(1 − m 2 )x + 2my − 2mn 2mx − (1 − m2 )y + 2n
= ,
m2 + 1 m2 + 1
Jeżeli natomiast prosta L jest dana w E2 równaniem x = c, to
sL (x, y) = (2c − x, y) dla (x, y) ∈ E2 .
Twierdzenie 20. Niech H bedzie podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej E.
Symetria sH względem podprzestrzeni H ma następujące własności:
(1) sH jest inwolucją, tzn. sH ◦ sH = idE ,
(2) sH jest izometrią,
(3) podprzestrzeń H jest zbiorem wszystkich punktów stałych przekształcenia sH ,
tzn. sH (x) = x wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ H.
Dowód: Oznaczmy krótko przez s symetrię wzgledem podprzestrzeni H, a przez
π rzut prostopadły na tę podprzestrzeń.
(1) Dla x ∈ E mamy
−−
−→ −−
−→ − − − − −→− − − − −− →
− − −− − − − − − −− →
−− − − −−
s ◦ s(x) =s x + 2xπ(x) = x + 2xπ(x) + 2 x + 2xπ(x) π x + 2xπ(x)
−−
−→ − − −− − − − →
− − −− − − −
−−→ −−
−→ −−
−→
=x + 2xπ(x) + 2 x + 2xπ(x) π(x) = x + 2xπ(x) − 2xπ(x) = x.
(2) Zauważmy, że dla x, y ∈ E
−− −
− −→ − − −− − → −− −→ − − −
−−− −−→
s(x)s(y) =s(x)π(x) + π(x)π(y) + π(y)s(y)
− − −− − − − → − − − → − − −− − − − →
− − −− − − −
−− → −−− − − −− → − −
−−−
= x + 2xπ(x) π(x) + π(x)π(y) + y + 2yπ(y) π(y)
−−
−→ −− −→ −− −→
−−−
= − xπ(x) + xπ(x) + π(x)π(y)

5. 5
i ostatni wektor jako należący do S(H) jest prostopadły do sumu dwóch po-
zostałych (każdy z nich należy do S(H)⊥ ). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa
otrzymujemy
−− −
− −→ 2 −−
−→ −− 2 −→ −− −→
−−− 2
(d(s(x), s(y)))2 = s(x)s(y) = xπ(x) + xπ(x) + π(x)π(y)
−−
−→ −− − → −− −→
−−− 2
= xπ(x) + xπ(x) + π(x)π(y) = |− = (d(x, y))2 ,
→2
xy|
co wraz z (1) oznacza, że przekształcenie s jest izometrią.
−−
−→
(3) Dla x ∈ E następujące warunki są równoważne s(x) = x, 2xπ(x) = θ, x =
π(x), x ∈ H.
Twierdzenie 21. Składanie symetrii środkowych ma nastepujące własności:
(1) złożenie dwóch symetrii środkowych jest translacją, a dokładniej
sq ◦ sp = T2−
→
pq dla p, q ∈ E.
(2) złożenie trzech symetrii środkowych jest symetrią środkową, a dokładniej
sr ◦ sq ◦ sp = sr+−
→
pq dla p, q, r ∈ E.
(3) każda translacja jest złożeniem pewnych dwóch symetrii środkowych.
Dowód:
(1) Dla x ∈ E mamy
− − −→ →
−−− −
sq ◦ sp (x) =sq (x + 2− = x + 2− + 2(x + 2− q
→
xp) →
xp xp)
=x + 2− + 2 (− − 2− = x + 2− = T
→
xp →
xq →
xp) →
pq 2− (x).
→
pq
(2) Z (1) dla x ∈ E otrzymujemy
−− − −
− − →→
−
sr ◦ sq ◦ sp (x) =sr (x + 2− = x + 2− + 2(x + 2− r
→
pq) →
pq pq)
− − −→
−−− →
=x + 2− + 2 (− − 2− = x + 2x (r + − = sr+− (x).
→
pq →
xr →
pq) pq) →
pq
(3) Na mocy (1) wystarczy dla dowolnej translacji Tv i dowolnego punktu p ∈ E
przyjąć q = p + 1 v.
2
Definicja 22. Macierzą ortogonalną stopnia n nazywamy macierz kwadratową A
stopnia n spełniającą warunek A · AT = I.
Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych stopnia n oznaczamy przez O(n), a jego
podzbiór zawierający wszystkie macierze o wyznaczniku 1 — przez SO(n).
Twierdzenie 23. O(n) z działaniem mnożenia macierzy stanowi grupę, a SO(n) jej
podgrupę.
Dowód:

6. 6
a b
Przykład 24. Macierz A = jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy
c d
 2 2
 a +b =1
ac + bd = 0
c2 + d2 = 1

Wówczas przyjmując a = cos ϕ, b = − sin ϕ, c = sin ψ, d = cos ψ otrzymujemy, że
A ∈ O(2) wtedy i tylko wtedy, gdy sin(ψ − ϕ) = 0. Stąd
cos ϕ sin ϕ cos ϕ − sin ϕ
O(2) = ; ϕ∈R , SO(2) = ; ϕ∈R
sin ϕ ± cos ϕ sin ϕ cos ϕ
Twierdzenie 25. Przekształcenie liniowe przestrzeni liniowej Rn w siebie zachowuje
standardowy iloczyn skalarny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz należy do O(n).
Definicja 26. Obrotem przestrzeni En dookoła punktu p ∈ En nazywamy przekształ-
cenie postaci
−1
T− ◦ A ◦ T− ,
→
θp →
θp
gdzie A jest przekształceniem afinicznym, dla którego macierz przekształcenia linio-
wego należy do SO(n) i A(θ) = θ.
Inaczej mówiąc, obrót jest sprzężony za pomocą translacji ze specjalnym odwzoro-
waniem ortogonalnym.
Przykład 27. Z postaci grupy SO(2) wynika, że dowolny obrót płaszczyzny E2 dookoła
punktu (0, 0) wyraża się wzorem
Rϕ (x, y) = (x cos ϕ − y sin ϕ, x sin ϕ + y cos ϕ) dla (x, y) ∈ E2 .
Liczbę ϕ nazywamy wtedy kątem obrotu Rϕ .
Lemat 28. Dla dowolnych punktów x, , y, z ∈ E warunek z ∈ xy jest równoważny
warunkowi
d(x, y) = d(x, z) + d(z, y).
Dowód: Jeżeli którekolwiek dwa punkty są równe, to teza jest oczywista.
Załóżmy, że punkty x, y, z są parami różne Warunek
d(x, y) = d(x, z) + d(z, y)
jest równoważny równości
|− 2 = |− − 2 = |− 2 +|− 2 +2 − − = |− 2 +|− 2 +2|− − = (|− + |−
→
xy| → →
xz+ zy| →
xz| →
zy| → →
xz, zy →
xz| →
zy| → →
xz|·|zy| → → 2
xz| zy|) ,
która zgodnie z nierównością Schwarza zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory
niezerowe − − są zgodnie zorientowane.
→ →
xz, zy
1 r
To zaś jest równoważne istnieniu liczby r > 0 takiej, że z = r+1 x + r+1 y czyli
faktowi, że z ∈ xy {x, y}.
Definicja 29. Załóżmy, że grupa H działa na grupę G, tzn. istnieje homomorfizm Ψ
działający z H do grupy automorfizmów grupy G. Niech Ψ(h) = ϕh dla h ∈ H.
Iloczynem półprostym grup G i H nazywamy zbiór G × H z działaniem określonym
wzorem
(g, h) · (g , h ) = (gΨh (g ), hh ) dla (g, h), (g , h ) ∈ G × H.

7. 7
Twierdzenie 30. (klasyfikacja izometrii przestrzeni En ) Każda izometria przestrzeni
En jest przekształceniem afinicznym.
Co więcej, grupa Isom(En ) jest izomorficzna z iloczynem półprostym grup Rn i
O(n).
Dowód: Dla dowodu pierwszej części wystarczy wykazać, że każde przekształcenie
ϕ : Rn → Rn zachowujące θ oraz odległość d daną wzorem
d(u, v) = |u − v| dla u, v ∈ Rn
jest odwzorowaniem liniowym.
Wniosek 31. Każda izometria przestzreni En zachowuje kąt pomiędzy wektorami.
Dowód: Wynika z twierdzeń 25. i 30.
Wniosek 32. Każda izometria przestrzeni En zachowuje k–wymiarową objętość dla
k n, tzn. jeżeli P jest k–wymiarowym wielościanem w En a f izometrią, to
volk (f (P)) = volk (P).
Dowód: Objętość wielościanu jest sumą objętości sympleksów, a objętość sym-
pleksów zależy tylko od wyznacznika Grama wektorów je rozpinających.
Z twierdzeń 25 i 30 wynika, że izometria przestrzeni En zachowuje iloczyn skalarny,
a więc także wyznacznik Grama.
Definicja 33. Podobieństwem o skali s > 0 nazywamy każde przekształcenie f prze-
strzeni En na siebie takie, że dla x, y ∈ En
d(f (x), f (y)) = s · d(x, y).
Twierdzenie 34. Zbiór podobieństw przestrzeni En z działaniem składania stanowi
grupę.
Dowód: Wystarczy zauważyć, że złożenie podobieństwa o skali s1 z podobień-
stwem o skali s2 jest podobieństwem o skali s1 s2 .
Twierdzenie 35. Każde podobieństwo przestrzeni En jest złożeniem jednokładności
z izometrią.
1
Dowód: Jeżeli f jest podobieństwem w En o skali s > 0, to złożenie ϕ = Jθs ◦ f
jest izometrią przestrzeni En . Ale wtedy f = Jθ ◦ ϕ.
s
Wniosek 36. Każde podobieństwo przestrzeni En o skali s > 0 mnoży k–wymiarową
objętość przez sk dla k n, tzn. jeżeli P jest k–wymiarowym wielościanem w En a f
podobieństwem o skali s, to
volk (f (P)) = sk · volk (P).
Dowód: Na mocy wniosku 33. i twierdzenia 35. wystarczy sprawdzić tylko, że Jθ s
mnoży k–wymiarową objętość przez sk .
s
Przekształceniem liniowym dla Jθ jest s · idRn , które powoduje mnożenie wyznacz-
nika Grama przez s 2k . Objętość pojedynczego sympleksu jest równa stałej razy pier-
wiastek z wyznacznika Grama, czyli jednokładność mnoży ją przez sk .

8. 8
Przykład 37. Istnieją przekształcenia afiniczne, które nie są podobieństwami. Powi-
nowactwo prostokątne o osi x i skali l > 1 dane na E2 wzorem
F (x, y) = (x, ly)
zachowuje długość odcinków równoległych do osi x, a zwiększa długość tych równo-
ległych do osi y.