Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών “Πληροφορική” Μάθημα: Βιοπληροφορική

1. µοντέλα υπολογισµού επηρεασµένα από την
ϕύση και τη βιολογία
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών “Πληροφορική”
Μάθημα: Βιοπληροφορική
Κων/νος Γιαννάκης
kgiann@ionio.gr
23 Φεβρουαρίου 2016
Τμήμα Πληροφορικής, Ιόνιο Πανεπιστήμιο
QUIT- Quantum and UnconventIonal CompuTing group
0

2. κατευθύνσεις διάλεξης
⊙
Κλασικός Υπολογισμός
⊙
Μοριακός Υπολογισμός
⊙
Κβαντικός Υπολογισμός
⊙
Εμπνευσμένα από την φύση (Bio-inspired models) βασισμένα
στα παραπάνω
⊙
QUIT- Quantum and UnconventIonal CompuTing group
⇒ http://quit.di.ionio.gr/ ⇐
1

3. standard computation

4. ιστορικά στοιχεία
∙ Οι βάσεις της μπήκαν στα χρόνια πριν τον 2ο ΠΠ (κυρίως τη
δεκαετία του ’30).
∙ Πατέρας της Θεωρίας Υπολογισμού θεωρείται ο Alan Turing.
∙ Επιστήμονες με μεγάλη συμβολή την ίδια περίοδοσ είναι οι Kurt
Gödel, Alonzo Church, Stephen Kleene κ.ά.
∙ Τα αυτόματα και η θεωρία αυτών αναπτύχθηκαν κατά τις
δεκαετίες του ’40 και του ’50.
3

5. αυτόµατα
∙ Κλάδος της Θεωρίας Υπολογισμού που ασχολείται με
εξιδανικευμένα και αφαιρετικά υπολογιστικά μοντέλα.
∙ Πεπερασμένα αυτόματα.
∙ Όχι άπειρη μνήμη.
∙ Βασικά συστατικά οι καταστάσεις, οι μεταβάσεις και η
είσοδος-έξοδος.
Ρφθμιση ήχου
Ρφθμιση
εικόνας
Ένταση Άλλες ρυθμίσειςΆλλες ρυθμίσεις
Κάτω Κάτω Κάτω
Άλλες ρυθμίσεις
Πάνω ΠάνωΠάνω
Πάνω
Κάτω
4

6. ντετερµινιστικά αυτόµατα (dfa)
∙ Για μία δεδομένη είσοδο υπάρχει μία μοναδική κατάσταση που
μπορεί να επισκευθεί.
∙ (Q, Σ, δ : Q x Σ → Q, q0, F)
q0
1
1
0
0
q1
5

7. µη-ντετερµινιστικά αυτόµατα (νfa)
∙ Για μία δεδομένη είσοδο υπάρχει μία, περισσότερες ή και καμία
κατάσταση που μπορεί να επισκευθεί (ακόμα και για το ίδιο
σύμβολο).
∙ Επιτρέπονται και μεταβάσεις χωρίς την ανάγνωση κάποιου
συμβόλου.
∙ (Q, Σ, δ : Q x Σ ∪ {ϵ} → P(Q), q0, F)
q0 q1 Άλλες ρυθμίσειςΆλλες ρυθμίσεις
1 1
q2
0,1
0,1
6

8. η σχέση dfa και nfa
Αποδεικνύεται ότι:
Για κάθε μη ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο
υπάρχει ένα ισοδύναμο ντετερμινιστικό.
∙ Η μετατροπή από NFA σε DFA μπορεί να επιφέρει εκθετικά
περισσότερες καταστάσεις!
7

9. λογική
∙ Συλλογιστική λογική (500 π.Χ. - 19ος αιώνας)
∙ Συμβολική λογική (μέσα με τέλη του 19ου αιώνα)
∙ George Boole, Cantor κ.ά.
∙ Μαθηματική λογική (τέλη του 19ου αιώνα - μέσα του 20ου
αιώνα)
∙ Frege, Russel, Hilbert κ.ά.
∙ Η λογική στην επιστήμη των υπολογιστών
8

10. πιθανοτικά και µαρκοβιανά µοντέλα

11. στοχαστικές διαδικασίες
∙ Διαδικασίες που εμπεριέχουν τυχαιότητα (random processes).
∙ Poisson processes, Μαρκοβιανές διαδικασίες κ.ά.
∙ Εφαρμογή στην βιομηχανία και την οικονομία (π.χ.
χρηματιστήριο) όσο και σε ερευνητικό επίπεδο.
10

12. µαρκοβιανή ιδιότητα
* Η μετάβαση στην επόμενη κατάσταση δεν εξαρτάται από τις
προηγούμενες καταστάσεις.
* Μοναδικό ρόλο παίζει η τρέχουσα κατάσταση στην οποία
βρίσκεται μία δεδομένη στιγμή το σύστημα.
Ορισμός
P(Xn = xn|Xn−1 = xn−1 . . . X0 = x0) = P(Xn = xn|Xn−1 = xn−1)
* birth processes, gambling, random walkers, queueing theory,
information theory and information retrieval.
11

13. αλυσίδες markov
Πιθανότητα μετάβασης από μία κατάσταση i σε μία άλλη j
pij = P(X1 = j|X0 = i)
μετά απο n βήματα
p
(n)
ij = P(Xn = j|X0 = i)
12

14. µαρκοβιανές διαδικασίες αποϕάσεων
Διάκριση
∙ autonomous ή controlled
∙ fully ή partially observed
13

15. pomdp
∙ Μη αυτόνομα και μη παρατηρήσιμα μαρκοβιανά μοντέλα.
∙ Δεν γνωρίζει την ακριβή κατάσταση στην οποία βρίσκεται.
∙ Διατηρεί μία κατανομή πιθανότητας (belief state).
∙ NP-complete
14

16. πιθανοτική λογική και υπολογισµός

17. λογική και πιθανότητες
Κλασική λογική
ϕ1, ϕ2, . . . ϕn ψ
Πιθανοτική λογική
ϕX1
1 , ϕX2
2 , . . . ϕXn
n ψY
16

18. λογική και πιθανότητες (συν...)
Γένεση 18:32
Καί είπεν ο Αβραάμ, Ας μή παροξυνθή ο Κύριός μου, εάν λαλήσω έτι
άπαξ; εάν ευρεθώσιν εκεί δέκα; καί είπε, Δέν θέλω απολέσει αυτήν
χάριν τών δέκα.
Υποκειμενική vs Αντικειμενική θεώρηση πιθανοτήτων
17

19. πιθανοτικός υπολογισµός
* Μαζί με την είσοδο μπαίνει και πιθανότητα στο σύστημα
* Το παραγόμενο αποτέλεσμα εξαρτάται όχι μόνο από την είσοδο,
αλλά και από κάποιες τυχαίες ρίψεις ενός κέρματος.
P(w) :=
∑
p∈Acc(w)
∏n
i=1(pi, wi, pi+1)
∑
p∈Run(w)
∏n
i=1(pi, wi, pi+1)
. (1)
18

20. pfa (probabilistic finite automata)
∙ Προτάθηκαν από τον Rabin (1963)
∙ Μοιάζουν με απλές αλυσίδες Markov
19

21. membrane computing

22. membrane computing
∙ Known as P systems with several proposed variants.
∙ Evolution depicted through rewriting rules on multisets of the
form u→v
∙ imitating natural chemical reactions, u, v are multisets of objects.
∙ The hierarchical status of membranes evolves by constantly
creating and destroying membranes, by membrane division etc.
∙ Represented either by a Venn diagram or a tree.
∙ Types of communication rules:
∙ symport rules (one-way passing through a membrane)
∙ antiport rules (two-way passing through a membrane)
21

23. examples
◦ Membranes create hierarchical structures.
◦ Each membrane contains objects and rules.
(a) Hierarchical nested
membranes
(b) With simple objects and rules
22

24. p systems evolution and computation
∙ Via purely non deterministic, parallel rules.
∙ Characteristics of membrane systems: the membrane structure,
multisets of objects and rules.
∙ They can be represented by a string of labelled matching
parentheses.
∙ Use of rules =⇒ transitions among configurations.
∙ A sequence of transitions is interpreted as computation.
∙ Accepted computations are those which halt and a successful
computation is associated with a result.
23

25. p automata
∙ Variants of P systems with automata-like behaviour.
∙ Computation starts from an initial configuration.
∙ Acceptance is defined by a set of final states.
∙ They define a computable set of configurations satisfying certain
conditions.
∙ The set of accepted input sequences forms the accepted
language.
∙ A configuration of a P automaton with n membranes is defined
as a n-tuple of multisets of object in each membrane.
∙ A run of a P automaton is defined as a process of altering its
configurations in each step.
∙ Transition function depends on the computational mode
(maximally parallel mode, sequential mode, etc).
24

26. rules used in membrane computing
...
...
b)
a)
c) exo
(a,in)aa(b,in)ba
(a,out)
cab
c→a
bbbba
(a,out)
caa
c→bb
cca
=⇒
=⇒
=⇒
25

27. a case study
∙ A biological model of mitochondrial fusion by Alexiou et al,
expressed in BioAmbient calculus.
∙ Cell is divided into hierarchically nested ambients.
∙ 3 proteins are required (Mfn1, Mfn2 and OPA1) for the successful
fusion.
∙ Fusion can occur:
∙ by the merging of two membrane-bounded segments.
∙ when segments may enter or exit one another.
∙ Synchronized capabilities that can alter ambients’ state are:
entry, exit, or merge of other compartments.
26

28. our approach
∙ Every ambient ≡ membrane subsystem.
∙ Hierarchical structure of ambients ≡ membrane-like segments.
∙ Biomolecular rules from Bioambient calculus to P automata
rewriting rules.
∙ Actions altering ambients’ state (entry, exit, or merge).
Initial configuration:
[[[[[[]AO1[]K]PM1M2]RM1M2]GM1M2]OMOM1M2 [[[[[]BO1]PO1]RO1]GO1]IMOM1M2]skin/cell
Final configuration:
[[]PM1M2[]RM1M2[]GM1M2[]OMOM1M2[]PO1[]RO1[]GO1[]IMOM1M2[]K[]AO1[]BO1]skin/cell
27

29. the production of the the protein mfn1-mfn2
Initial config.
consecutive use of appropriate rule
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ final config. and halt.
∙ Initial configuration: [[[[]PM1M2]RM1M2]GM1M2]OMOM1M2
∙ Final configuration: []PM1M2[]RM1M2[]GM1M2[]OMOM1M2
∙ Halting configuration through consecutive exo operations.
[[[[]PM1M2]RM1M2]GM1M2]OMOM1M2
exo
−−→ [[[]PM1M2]RM1M2]GM1M2[]OMOM1M2
exo
−−→
[[]PM1M2]RM1M2[]GM1M2[]OMOM1M2
exo
−−→ []PM1M2[]RM1M2[]GM1M2[]OMOM1M2
∙ Similarly for the rest parts of the model.
28

30. definition i
A generic P system (of degree m, m ≥ 1) with the characteristics described above can be defined as a construct
Π=(V, T, C, H, µ, w1, ..., wm, (R1, ..., Rm), (H1, ..., Hm) i0) ,
where
1. V is an alphabet and its elements are called objects.
2. T ⊆ V is the output alphabet.
3. C ⊆ V, C ∩ T = ⊘ are catalysts.
4. H is the set {pino, exo, mate, drip} of membrane handling rules.
5. µ is a membrane structure consisting of m membranes, with the membranes and the regions labeled in a one-to-one way with
elements of a given set H.
6. wi, 1 ≤ i ≤ m, are strings representing multisets over V associated with the regions 1,2, ... ,m of µ.
7. Ri , 1 ≤ i ≤ m, are finite sets of evolution rules over the alphabet set V associated with the regions 1,2, ... , m of µ. These object
evolution rules have the form u → v.
8. Hi , 1 ≤ i ≤ m, are finite sets of membrane handling rules rules over the set H associated with the regions 1,2, ... , m of µ.
9. i0 is a number between 1 and m and defines the initial configuration of each region of the P system.
29

31. definition ii
Formally, a one-way P automaton with n membranes (n ≥ 1) and
antiport rules is a construct
Π=(V, µ, P1, ..., Pn, c0, F),
where:
1. V is a finite alphabet of objects,
2. µ is the underlying membrane structure of the automaton with
n membranes,
3. Pi is a finite set of antiport rules for membrane i with 1≤i≤n
without promoters/inhibitors, where each antiport rule is of the
form (a, out; b, in) with a, b being multisets consisting of
elements of the set V,
4. c0 is the initial configuration of Π , and
5. F is the set of accepting configurations of Π.
30

32. schematic view
Figure: The step by step process through consecutive exo operations.
31

33. schematic view
32

34. discussion
Inherent compartmentalization, easy extensibility and direct
intuitive appearance for biologists.
Suitable in cases when few number of objects are involved or
slow reactions.
Need for deeper understanding of mitochondrial fusion
◦ Connections with neurodegenerative diseases and malfunctions.
Probability theory and stochasticity (many biological functions
are of stochastic nature).
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
Drp1
Mff Fis1
33

35. dna computing

36. adleman’s experiment i
35

37. adleman’s experiment ii
36

38. more on dna computing
∙ DNA is found in almost all living organisms.
∙ Storing information.
∙ DNA is stored as a code made of four chemical bases (A, T, G ,C).
∙ Adenine(A) with Thymine(T)
∙ Guanine(G) with Cytosine(C)
∙ DNA computer is a molecular computer that works
biochemically to solve complex problems and different
possible solutions are created all at once.
∙ Its computation process is achieved using enzymes that react with
DNA strands and cause chain reactions.
37

39. more on dna computing
∙ First Practical DNA computer: 2002 (used in gene analysis).
∙ Dense data storage.
∙ Massively parallel computation.
∙ Energy efficient.
∙ 1 gram of DNA = 2.2 Petabytes
∙ 1 PB = 1000 terabytes
∙ Modern supercomputers = 109 operations/joule
∙ DNA computer = 2*1019
operations/joule
38

40. advantages and disadvantages
∙ Cheap resource.
∙ DNA biochips are eco-friendly.
∙ Small size.
∙ Not completely accurate.
∙ Short life-span
∙ Solutions could dissolve away before the end of the process.
39

41. quantum computing

42. ένα κβαντικό παιχνίδι - captain picard vs q
∙ Το παιχνίδι “PQ Penny Flip” το επινόησε ο φυσικός David A. Meyer
το 1999.
∙ Το διαστημόπλοιο Enterprise βρίσκεται σε κίνδυνο. Ο Q
προσφέρεται να βοηθήσει με την προϋπόθεση ο Captain Picard
καταφέρει να τον κερδίσει στο ακόλουθο παιχνίδι:
∙ Ο Picard τοποθετεί ένα νόμισμα σε ένα κουτί στη θέση “κεφάλι”.
∙ Ο Q επιλέγει είτε να επιδράσει στο νόμισμα είτε όχι.
∙ Μετά ο Picard επιλέγει αν θα αναποδογυρίσει το νόμισμα είτε όχι.
∙ Στο τέλος πάλι ο Q επιλέγει είτε να επιδράσει στο νόμισμα είτε όχι.
∙ Αν ανοίγοντας το κουτί το νόμισμα είναι στη θέση “κεφάλι”, κερδίζει
ο Q. Διαφορετικά κερδίζει ο Captain Picard.
41

43. το αποτέλεσµα
∙ Ο Picard, πιστεύοντας ότι έχει πιθανότητα 0,5 να κερδίσει,
δέχεται να παίξει.
∙ Παίζουν και ο Q κερδίζει το παιχνίδι.
∙ Ο Picard, επικαλούμενος ότι ο Q κάνει δύο κινήσεις, ενώ ο ίδιος
μία, πείθει τον Q να παίξουν το ίδιο παιχνίδι άλλες 9 φορές.
∙ Ο Q δέχεται.
∙ Ο Q κερδίζει όλες τις φορές.
∙ Ο Captain Picard αναρωτιέται αν ο Q κλέβει. Τι ακριβώς
συμβαίνει;
42

44. ο νόµος του moore
∙ Το 1965 ο Gordon Earle Moore, συνιδρυτής της Intel,
παρατήρησε ότι οι πυκνότητες τρανζίστορ στα ολοκληρωμένα
κυκλώματα διπλασιάζονται περίπου κάθε 24 μήνες.
∙ “The number of transistors incorporated in a chip will
approximately double every 24 months.”
∙ Ο 8086 (1978) ήταν 16-bit, είχε 29.000 τρανζίστορ και για την
κατασκευή χρησιμοποιήθηκε τεχνολογία ολοκλήρωσης 3.2 μm.
∙ Στο σήμερα, η προηγούμενη γενιά της Intel (Haswell-E)
κατασκευάστηκε με τεχνολογία ολοκλήρωσης 22nm και περιείχε
2,6 δισεκατομμύρια τρανζίστορ.
∙ Η τελευταία γενιά (Skylake) κατασκευάζεται με τεχνολογία
ολοκλήρωσης 14nm.
43

45. συνέπειες του νόµου του moore
∙ Μία εμπειρική παρατήρηση που αντέχει εδώ και 50 χρόνια!
∙ Λόγω της ολοένα και περισσότερο σμίκρυνσης της τεχνολογίας
ολοκλήρωσης, φαίνεται πως βρισκόμαστε στο προοίμιο μιας
νέας εποχής, όπου τα τρανζίστορ θα τείνουν να φτάσουν το
μέγεθος των ατόμων.
∙ Τότε οι σημερινές τεχνικές σχεδίασης δεν θα είναι εφαρμόσιμες.
44

46. κβαντικά bits και κβαντικές πύλες
∙ Στους κλασικούς υπολογιστές τα δεδομένα κωδικοποιούνται σε
bits.
∙ Για τους κβαντικούς υπολογιστές και τον κβαντικό υπολογισμό το
αντίστοιχο του κλασικού bit είναι το κβαντικό bit, ή πιο απλά
qubit (η στοιχειώδης μονάδα κβαντικής πληροφορίας).
∙ Ένας κβαντικός υπολογιστής επενεργεί στα qubits μέσω των
κβαντικών πυλών που υλοποιούν κβαντικούς μετασχηματισμούς.
∙ Στο τέλος του υπολογισμού μέσω της μέτρησης θα προκύψει το
τελικό αποτέλεσμα.
45

47. qubits
∙ Ένα bit μπορεί να βρίσκεται σε μόνο μια από δύο δυνατές
καταστάσεις (0 ή 1).
∙ Ένα qubit βρίσκεται σε επαλληλία (ή υπέρθεση) και των δύο
καταστάσεων ταυτόχρονα.
∙ Αν μετρήσουμε ένα qubit, τότε αυτό “καταρρέει ” σε μία από τις
δύο καταστάσεις με κάποια πιθανότητα. Το άθροισμα των
πιθανοτήτων είναι ίσο με 1.
∙ ΠΡΟΣΟΧΗ! Ένα qubit δεν είναι ισοδύναμο με ένα κλασικό bit
ακόμη και αν η πιθανότητα το bit να είναι στην κατάσταση 0 ή 1
είναι ίση με την πιθανότητα το qubit να βρεθεί στην ίδια
κατάσταση όταν μετρηθεί.
∙ Στην υπέρθεση υφίσταται και μια σχετική φάση μεταξύ των
καταστάσεων.
∙ εμφάνιση φαινομένων συμβολής των δύο καταστάσεων.
46

48. ο συµβολισµός του dirac
∙ Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό που εισήγαγε ο διάσημος
φυσικός Paul Dirac.
∙ Η κατάσταση 0 συμβολίζεται με το ket |0⟩ και η κατάσταση 1
συμβολίζεται με το ket |1⟩.
∙ Κάθε ket αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα ενός (κατάλληλου) χώρου
Hilbert. Στη συγκεκριμένη περίπτωση τα kets |0⟩ και |1⟩ μπορούν
να αντιστοιχηθούν σε διανύσματα στήλες, όπως φαίνεται
παρακάτω:
|0⟩ =
[
1
0
]
, |1⟩ =
[
0
1
]
. (2)
47

49. kets και bras
∙ Στη γενική περίπτωση ένα qubit βρίσκεται στην κατάσταση |ψ⟩
που περιγράφεται από την παρακάτω σχέση:
|ψ⟩ = c0 |0⟩ + c1 |1⟩ (3)
όπου c0 και c1 ονομάζονται πλάτη πιθανότητας (probability
amplitudes) και είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει
|c0|2
+ |c1|2
= 1.
∙ Σε κάθε ket |ψ⟩ αντιστοιχεί ένα bra ⟨ψ| ώστε να ισχύει:
⟨ψ| = c∗
0 ⟨0| + c∗
1 ⟨1| (4)
όπου c∗
0 και c∗
1 οι συζυγείς των c0 και c1.
48

50. ορολογία και συµβολισµοί
∙ Με Hn συμβολίζουμε ένα χώρο Hilbert διάστασης n.
∙ Cn×n
είναι το σύνολο των πινάκων n × n με στοιχεία μιγαδικούς
αριθμούς.
∙ Αν U είναι ένας τετραγωνικός πίνακας n × n, τότε ¯U είναι ο
συζυγής του και U†
ο ανάστροφος συζυγής του (adjoint).
∙ Η χρονική εξέλιξη των κβαντικών συστημάτων περιγράφεται από
ορθομοναδιαίους τελεστές (unitary operators).
49

51. ορολογία και συµβολισµοί
∙ Οι ορθομοναδιαίοι πίνακες έχουν πολλές χρήσιμες ιδιότητες:
∙ Διατηρούν το μέγεθος (norm) των διανυσμάτων στα οποία
επενεργούν.
∙ Έχουν αντίστροφο πίνακα για τον οποίο ισχύει U−1
= U†
, ή αλλιώς,
U†
U = UU†
= I.
∙ Κάθε παρατηρήσιμο (observable) φυσικό μέγεθος αντιστοιχεί σε
έναν ερμιτιανό, αλλιώς αυτοσυζυγή (self-adjoint), τελεστή
(U = U†
).
∙ Το αποτέλεσμα μιας μέτρησης είναι πάντα μία από τις ιδιοτιμές
(eigenvalues) του ερμιτιανού πίνακα.
50

52. κβαντικός υπολογισµός
∙ Μια βασική κατάσταση συνήθως αναπαρίσταται από το ket
|i⟩ = (0, . . . , 1, . . . , 0)T
.
∙ Πρόκειται για το ket που έχει 0 σε κάθε θέση εκτός από τη θέση i
όπου υπάρχει η τιμή 1.
∙ Γενικότερα, κάθε κατάσταση |ψ⟩ του συστήματος μπορεί να
περιγραφεί ως μια επαλληλία από kets της μορφής:
|ψ⟩ =
n∑
i=1
ci |i⟩ , (5)
όπου:
∙ n ο αριθμός των βασικών καταστάσεων,
∙ |i⟩ είναι η βασική κατάσταση i και
∙ ci ∈ C είναι τα πλάτη πιθανότητας που ικανοποιούν τη σχέση
|c1|2
+ |c2|2
+ · · · + |cn|2
= 1.
51

53. κβαντικός υπολογισµός
∙ Μετά τη μέτρηση το σύστημα θα βρίσκεται σε μία από τις
βασικές καταστάσεις |i⟩ (κατάρρευση της υπέρθεσης).
∙ Η πιθανότητα το σύστημα να βρεθεί στην κατάσταση |i⟩ είναι
|ci|2
.
∙ Πολλές φορές χρησιμοποιούμε το τανυστικό γινόμενο (tensor
product) μεταξύ διανυσμάτων και μεταξύ πινάκων. Το τανυστικό
γινόμενο των kets |0⟩ και |1⟩ συμβολίζεται με |0⟩ ⊗ |1⟩ και δίνει ως
αποτέλεσμα το ket |01⟩.
52

54. ο αλγόριθµος του deutsch
∙ Ο πρώτος κβαντικός αλγόριθμος αναπτύχθηκε από τον Deutsch
(1985, 1989). Ο αλγόριθμος αυτός, αν και λύνει ένα τετριμμένο
πρόβλημα, δείχνει ξεκάθαρα τη διαφορά ανάμεσα σε κλασικό και
κβαντικό υπολογισμό.
∙ Δίνεται μία συνάρτηση f(x) : {0, 1} −→ {0, 1}. Για κάθε τέτοια
συνάρτηση υπάρχουν δύο περιπτώσεις: (1) f(0) = f(1), οπότε η
συνάρτηση ονομάζεται σταθερή και (2) f(0) ̸= f(1), οπότε η
συνάρτηση ονομάζεται ισορροπημένη.
∙ Ζητούμενο: Δεν γνωρίζουμε τη συνάρτηση f(x) και θέλουμε να
μάθουμε αν είναι σταθερή ή ισορροπημένη υπολογίζοντας την
τιμή της μόνο μία φορά.
53

55. ο αλγόριθµος του deutsch
∙ Με έναν κλασικό υπολογιστή πρέπει να υπολογίσουμε και τις δύο
τιμές f(0) και f(1) και να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα. Αν όμως
χρησιμοποιήσουμε το κβαντικό κύκλωμα που φαίνεται
παρακάτω μπορούμε, κάνοντας έναν μόνο υπολογισμό της f(x),
να μάθουμε αν είναι σταθερή ή ισορροπημένη.
Figure: Ο αλγόριθμος του Deutsch.
54

56. ο αλγόριθµος του deutsch
∙ Αν εκτελέσουμε τις πράξεις που φαίνονται στο προηγούμενο
διάγραμμα θα διαπιστώσουμε ότι η κατάσταση του κβαντικού
κυκλώματος ακριβώς πριν τη μέτρηση είναι:
∙ (±1) |0⟩ (|0⟩−|1⟩
√
2
), f(x), αν η f(x) είναι σταθερή.
∙ (±1) |1⟩ (|0⟩−|1⟩
√
2
), f(x), αν η f(x) είναι ισορροπημένη.
∙ Για να συμπεράνουμε αν η f(x) είναι σταθερή ή ισορροπημένη,
μετράμε το άνω qubit.
55

57. ο αλγόριθµος του shor
∙ Οι δημοφιλέστεροι αλγόριθμοι κρυπτογράφησης δημόσιων
κλειδιών (όπως ο RSA) βασίζονται στην δυσκολία της
παραγοντοποίησης μεγάλων αριθμών. Πιστεύεται ότι σήμερα
είναι υπολογιστικά ανέφικτη η ανάλυση μεγάλων αριθμών σε
παράγοντες πρώτων αριθμών.
∙ Με τον αλγόριθμο του Peter Shor (1994) ένας κβαντικός
υπολογιστής θα μπορούσε να λύσει αυτό το πρόβλημα
αποτελεσματικά (δηλαδή πολυωνυμικά).
56

58. ο αλγόριθµος του grover
∙ Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν αταξινόμητο πίνακα n στοιχείων
και ότι θέλουμε να βρούμε ένα συγκεκριμένο στοιχείο.
∙ Για να εντοπίσουν το συγκεκριμένο στοιχείο, οι γνωστοί κλασικοί
αλγόριθμοι χρειάζονται στη χειρότερη περίπτωση n βήματα και
n/2 βήματα κατά μέσο όρο.
∙ Ο Grover το 1997 παρουσίασε έναν κβαντικό αλγόριθμο
(”Quantum mechanics helps in searching for a needle in a
haystack”) που λύνει το πρόβλημα σε
√
n βήματα.
57

59. κβαντική κρυπτογραϕία
∙ Η Alice επιθυμεί να επικοινωνήσει με ασφάλεια με τον Bob, ενώ η
Eve προσπαθεί να κρυφακούσει.
∙ Ας υποθέσουμε ότι η Alice χρησιμοποιεί qubits αντί για bits.
∙ Ακόμη και αν η Eve καταφέρει να υποκλέψει το μήνυμα, δεν
μπορεί να αποθηκεύσει αντίγραφα. Αυτό οφείλεται στο
εκπληκτικό θεώρημα της μη κλωνοποίησης (no-cloning
theorem).
∙ Για να διαβάσει τα qubits η Eve, έχει επέμβει με την πράξη της
μέτρησης δραστικά στο μήνυμα. Αυτή η επέμβαση μπορεί να
γίνει αντιληπτή από την Alice και τον Bob, οι οποίοι
καταλαβαίνουν την παρουσία της Eve.
58

60. θεώρηµα µη κλωνοποίησης (no-cloning theorem)
∙ Έστω ότι υπάρχει τρόπος να κλωνοποιήσουμε μια κβαντική
κατάσταση μέσω ενός τελεστή C.
∙ Αν εφαρμόσουμε τον C στην κατάσταση |x⟩+|y⟩
√
2
⊗ |0⟩, θα
προκύψει η κατάσταση |x⟩+|y⟩
√
2
⊗ |x⟩+|y⟩
√
2
.
∙ Οι τελεστές που δρουν στα κβαντικά συστήματα είναι γραμμικοί.
Αυτό σημαίνει αν γράψουμε την αρχική κατάσταση ως
(|x⟩⊗|0⟩)+(|y⟩⊗|0⟩)
√
2
και μετά δράσουμε με τον C, η νέα κατάσταση
που θα είναι η (|x⟩⊗|x⟩)+(|y⟩⊗|y⟩)
√
2
.
∙ Προφανώς |x⟩+|y⟩
√
2
⊗ |x⟩+|y⟩
√
2
̸= (|x⟩⊗|x⟩)+(|y⟩⊗|y⟩)
√
2
και άρα δεν μπορεί
να υπάρξει ένας τελεστής κλωνοποίησης.
∙ Αυτό που επιτρέπεται είναι η (τηλε)μεταφορά.
59

61. d-wave
∙ Η D-Wave Systems είναι η πρώτη εταιρεία που κατασκεύασε
εμπορικούς κβαντικούς υπολογιστές.
∙ Ο D-Wave One (Μάιος 2011) ήταν ο πρώτος εμπορικά διαθέσιμος
κβαντικός υπολογιστής και βασιζόταν σε έναν επεξεργαστή
128-qubit.
∙ Ο D-Wave Two (2013), βασιζόταν σε έναν επεξεργαστή 512-qubit.
∙ Ο D-Wave 2X (2015) χρησιμοποιεί έναν κβαντικό επεξεργαστή
1000+ qubits.
∙ Πρόκειται για υπολογιστή ειδικού σκοπού που σύμφωνα με τις
μετρήσεις της εταιρείας για συγκεκριμένες κατηγορίες
προβλημάτων υπερέχει των κλασικών υπολογιστών.
∙ Ο D-Wave μέχρι σήμερα είναι αμφιλεγόμενος, καθώς αρκετοί
ερευνητές από τον ακαδημαϊκό χώρο αμφισβητούν τους
ισχυρισμούς της εταιρείας.
60

62. γιατί κέρδισε ο q το παιχνίδι
∙ Η κατάσταση του νομίσματος μπορεί να παρασταθεί με ένα ket
από το δισδιάστατο χώρο Hilbert H2.
∙ Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η κατάσταση που αντιστοιχεί στη
θέση ”κεφάλι” είναι αυτή που φαίνεται παρακάτω:
|H⟩ = |0⟩ =
[
1
0
]
. (6)
∙ Οι επιλογές του Captain Picard αντανακλούν το κλασικό πεδίο
και είναι μόνο δύο: είτε θα αφήσει το νόμισμα ως έχει (επιλογή
I2) είτε θα το αναποδογυρίσει (επιλογή F). Οι επιλογές αυτές
μπορούν να παρασταθούν από τους ακόλουθους δύο πίνακες:
I2 =
[
1 0
0 1
]
, F =
[
0 1
1 0
]
. (7)
61

63. γιατί κέρδισε ο q το παιχνίδι
∙ O Q, σε αντιδιαστολή με τον Picard, έχει την ευχέρεια να παίξει σε
κβαντικό επίπεδο και, άρα, έχει περισσότερες επιλογές. Η επιλογή
του είναι να δράσει και τις δύο φορές πάνω στο νόμισμα μέσω
του ορθομοναδιαίου (unitary) τελεστή Hadamard που
περιγράφεται από τον πίνακα Hadamard U:
U =
1
√
2
[
1 1
1 −1
]
. (8)
∙ Αν ο Captain Picard επιλέξει να αφήσει το νόμισμα ως έχει
(επιλογή I2), τότε η τελική κατάσταση του νομίσματος θα είναι:
UI2U |H⟩ = U(I2(U |H⟩)) = |H⟩ . (9)
62

64. γιατί κέρδισε ο q το παιχνίδι
∙ Αν ο Captain Picard επιλέξει να αναποδογυρίσει το νόμισμα
(επιλογή F), τότε η τελική κατάσταση του νομίσματος θα είναι:
UFU |H⟩ = U(F(U |H⟩)) = |H⟩ . (10)
∙ Η επαλήθευση γίνεται εύκολα, κάνοντας τους αντίστοιχους
πολλαπλασιασμούς πινάκων.
∙ Το συμπέρασμα είναι ότι ο Picard με κλασική στρατηγική δεν θα
νικήσει ποτέ τον Q που χρησιμοποιεί κβαντική στρατηγική.
63

65. basics of quantum computing
∙ QC considers the notion of computing as a natural, physical
process.
∙ It must obey to the postulates of quantum mechanics.
∙ Bit ⇒ Qubit.
∙ It was initially discussed in the works of Richard Feynman in the
early ’80s.
64

66. explanation forget about schrödinger’s cat!
(a) Bank’s
restrictions
(b)
Observing a
pocket
(c) Observing
credit cards
∙ We are in a superposition of having money and not having
money!
∙ We have to “measure” the person to know the exact state!
∙ Different “ways” to measure (we call them observables).
∙ System collapses to the measured “state”!
65

67. automata and computation (standard and quantum)
∙ Finite automata ⇒ simple models of computation.
∙ Finite quantum automata
∙ A quantum system where each symbol represents the application
of a unitary transformation.
∙ Proposed after the middle of the 1990s.
∙ They can be seen as a generalization of probabilistic finite
automata.
∙ Transitions are weighted with a probability amplitude ⇒ vectors in
a Hilbert space.
∙ Probability semantics under which automata accept or reject.
66

68. quantum automata variations
∙ Measure-many approach
∙ Measure-once approach
∙ There are regular languages not recognized by a quantum
automaton.
∙ We have to blame the reversibility of the quantum system!
∙ But they are space-efficient.
∙ 2-way variants are more powerful.
67

69. ω-computability receiving infinite inputs
∙ ω-automata.
∙ Infinite input
∙ Acceptance conditions
∙ E.g. Büchi automata.
∙ Büchi acceptance condition.
∙ They accept the runs ρ for which In(ρ) ∩ F ̸= ∅ (F ⊆ Q).
∙ Extension of the NFA with infinite inputs
∙ The acceptance condition Acc declares how the infinite runs are
accepted by the automaton.
∙ The class of languages recognized from (almost) all the above
machines are the ω-regular languages.
68

70. periodic quantum automata

71. terminology needed for clarification
∙ Σ ⇒ the alphabet
∙ Σ∗
⇒ the set of all finite strings over Σ
∙ Σω
⇒ the set of all infinite strings
∙ If U is a n × n square matrix , ¯U is its conjugate, and U†
its
transpose and conjugate.
∙ Cn×n
defines the set of all n × n complex matrices.
∙ A unitary operator (or matrix) U is an orthogonal matrix with
complex entries that preserves the norms of vectors.
∙ Equivalently, a matrix U is unitary if it has an inverse and if ∥Uψ∥
= ∥ψ∥ for every vector ψ.
∙ Hn is an n-dimensional Hilbert space.
∙ Bras ⟨ψ| and Kets |ψ⟩ in Dirac formalism for each state ψ.
70

72. quantum computation states and formalism
∙ Two types of quantum states: pure and mixed states.
∙ A pure state is a state represented by a single ket vector |ψ⟩ in a
Hilbert space over complex numbers.
∙ A mixed state is a statistical distribution of pure states (usually
described with density matrices).
∙ The evolution of a quantum system is described by unitary
transformations.
∙ The states of an n-level quantum system are self-adjoint
positive mappings of Hn with unit trace.
∙ An observable of a quantum system is a self-adjoint mapping
Hn → Hn.
∙ Each state qi ∈ Q with |Q| = n can be represented by a vector
ei = (0, . . . , 1, . . . , 0).
71

73. quantum computation applying matrices, observables, and projection
∙ Each of the states is a superposition of the form
n∑
i=1
ciei.
∙ n is the number of states
∙ ci ∈ C are the coefficients with |c1|2
+ |c2|2
+ · · · + |cn|2
= 1
∙ ei denotes the (pure) basis state corresponding to i.
∙ Each symbol σi ∈ Σ a unitary matrix/operator Uσi
and each
observable O an Hermitian matrix O.
∙ The possible outcomes of a measurement are the eigenvalues
of the observable.
∙ Transition from one state to another is achieved through the
application of a unitary operator Uσi
.
∙ The probability of obtaining a result p is ∥πPi∥, where π is the
current state (or a superposition) and Pi is the projection matrix
of the measured basis state.
∙ The state after the measurement collapses to the πPi
/
∥πPi∥.
72

74. towards quantum automata using dirac formalism
∙ Each state of the machine is a superposition of the basis states
|ψi⟩.
∙ They have the form |ψ⟩=c1 |ψ2⟩ + c2 |ψ2⟩ + · · · + cn |ψn⟩,
∙ The probability of observing the state
|ψ′
⟩=c1 |ψ′
2⟩ + c2 |ψ′
2⟩ + · · · + cn |ψ′
n⟩ is p, with p =
∑
ψ′∈F
|ci|2
(F is the
set of accepting states).
∙ In a MO-automaton the projection matrix P is applied strictly
once.
∙ In MM-automata, there are three disjoint sets of states: the Qa
(accepting states), the Qr (rejecting states) and the Qn of neutral
states.
∙ Measurement after reading each symbol.
73

75. towards quantum ω-automata definition
◦ A simple periodic, one-way quantum ω-automaton is a tuple (Q,
Σ, Uδ, q0, π0, F, P, Acc) where:
1. Q is a finite set of states,
2. Σ is the input alphabet,
3. Ua is the n × n unitary matrix that describes the transitions among
the states for each symbol a ∈ Σ,
4. q0 ∈ Q is the initial (pure) state,
5. π0 is the initial vector,
6. F ∈ Q is the set of final states,
7. P is the set [P0, P1, . . . , Pn] of the projection matrices of states, and
8. Acc is an acceptance condition.
74

76. their functionality explanation
∙ It starts at its initial pure state q0, i.e. the state vector of the
system is the π0.
∙ Transitions among the states are expressed with complex
amplitude.
∙ Acc defines the acceptance condition.
Periodic quantum acceptance condition
It defines that infinitely often the measurement of the quantum system
finds with some probability the automaton in one of the final states.
Almost-sure periodic quantum acceptance condition
It defines that infinitely often the measurement of the quantum system
finds the automaton in one of the final states with probability 1.
75

77. periodic quantum automaton
∙ A simple m-periodic, 1-way quantum ω-automaton with periodic
measurements is a tuple (Q, Σ, Uδ, q0, m, π0, F, P, Acc) where:
1. Q is a finite set of states,
2. Σ is the input alphabet,
3. Uα : Q × Σ −→ C[0,1] is the n × n unitary matrix that describes the
transitions among the states for each symbol a ∈ Σ,
4. q0 ∈ Q is the (pure) initial state,
5. m ∈ N defines the measurement period,
6. π0 is the vector of the initial pure state q0,
7. F ∈ Q is the set of final states,
8. P is the set [P0, P1, . . . , Pn] of the projection matrices of states, and
9. Acc is the almost-sure periodic quantum acceptance condition.
76

78. transitions on quantum periodic automata
∙ The transition matrix for every symbol has the form of: Uϕ = i(
cos(ϕ) sin(ϕ)
− sin(ϕ) cos(ϕ)
)
∙ ϕ defines the period (if m is the period of the transition, then
ϕ = π/m).
∙ Counter-clockwise rotation.
∙ We can reverse the rotation by transposing the Uϕ.
∙ Then we have UT
ϕ = i
(
cos(ϕ) − sin(ϕ)
sin(ϕ) cos(ϕ)
)
.
∙ Both return the system to its initial state after the same period.
77

79. quantum periodic automata periodicity
∙ After m applications of the transition matrix U, the state of the
system is Um
|ψ⟩, where |ψ⟩ is the state of the system before the
m transitions.
∙ But Um
=im
(
−1 0
0 −1
)
since Um
=im
(
cos(mϕ) sin(mϕ)
− sin(mϕ) cos(mϕ)
)
and
ϕ = π/m.
∙ In 2m timesteps we obtain the U2m
=
(
1 0
0 1
)
∙ It is the same!
∙ Their difference is a phase of π, since ϕ = 2mπ/m = 2π.
78

80. examples
q0 q1
i sin(ϕ)
i cos(ϕ)
i cos(ϕ)
−i sin(ϕ)
Figure: A general form for a 2-state quantum automaton.
q0 q1
a, i
√
2
a, i
√
2 b, −i
a, i
√
2 b, −i
a, −i
√
2
Figure: For period m = 5, it accepts the ω-language (a4
b)
ω
. Note that
i cos(π/(m − 1)) = i sin(π/(m − 1)) = i
√
2 for the symbol a, and
i cos(π/1) = −i for the symbol b.
79

81. transitions of the state vector
0
π/4
π/2
3π/4
π
5π/4 7π/4
3π/2
r = 1
ϕϕ
ϕ ϕ
Figure: The vector is in the initial state and for every phase transition with
angle ϕ = π/4 it is rotated counter-clockwise. After m − 1 (=4) transitions
the system is in the state that is symmetric to the initial.
80

82. discussion
∙ Quantum automata with infinite computation are still
unexplored.
∙ Different variants of machines, distinguished either by
movement orientation or by the measurement mode.
∙ Need for models and verification processes for infinite QC.
∙ Useful in the verification of quantum systems and the design of
quantum circuits.
∙ Space efficient for periodic ω-languages of the form (am
b)ω
.
∙ Consistency with the underlying quantum physics.
81

83. key references
Adleman, L. M.
Computing with dna.
Scientific american 279, 8 (1998), 34–41.
Giannakis, K., and Andronikos, T.
Membrane automata for modeling biomolecular processes.
Natural Computing (2015), 1–13.
Giannakis, K., and Andronikos, T.
Mitochondrial fusion through membrane automata.
In GeNeDis 2014. Springer, 2015, pp. 163–172.
Giannakis, K., and Andronikos, T.
Use of büchi automata and randomness for the description of biological processes.
International Journal of Scientific World 3, 1 (2015), 113–123.
Giannakis, K., Papalitsas, C., and Andronikos, T.
Quantum automata for infinite periodic words.
In Information, Intelligence, Systems and Applications, IISA 2015, The 6th International Conference on (2015), IEEE.
Giannakis, K., Papalitsas, C., Kastampolidou, K., Singh, A., and Andronikos, T.
Dominant strategies of quantum games on quantum periodic automata.
Computation 3, 4 (2015), 586–599.
Păun, G.
Computing with membranes.
Journal of Computer and System Sciences 61, 1 (2000), 108–143.
Sipser, M.
Introduction to the Theory of Computation, vol. 2.
Thomson Course Technology Boston, 2006.
Theocharopoulou, G., Giannakis, K., and Andronikos, T.
The mechanism of splitting mitochondria in terms of membrane automata.
In Signal Processing and Information Technology (ISSPIT), 2015 IEEE International Symposium on (2015), IEEE.
Yanofsky, N. S., Mannucci, M. A., and Mannucci, M. A.
Quantum computing for computer scientists, vol. 20.
Cambridge University Press Cambridge, 2008. 82

84. Ερωτήσεις;
83