1. RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RPP
Satuan Pendidikan : SMK
Kelas / Semester : XI TKR 3 / 1
Mata Pelajaran : Matematika
Topik : Matriks
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit
A. Kompetensi Inti
KI 1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
KI 2 : Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab,
peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsive dan
pro aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai
permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial
dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam
pergaulan dunia.
KI 3 : Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual,
prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan,
teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,
kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang
spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
KI 4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak
terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara
mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
B. Kompetensi Dasar
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa
percaya diri, sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan
menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
2. 2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh dalam menghadapi
masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar.
2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli
lingkungan.
3.1 Memahami dan menganalisis konsep dasar operasi matriks dan sifat-sifat operasi
matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.
C. Indikator Pencapaian Kompetensi
1. Terlibat aktif dalam pembelajaran matriks.
2. Bekerjasama dalam kegiatan kelompok.
3. Toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif.
4. Menentukan hasil operasi hitung pada matriks yang meliputi penjumlahan dua
matriks, pengurangan dua matriks dan perkalian suatu bilangan real dengan matriks.
5. Terampil menerapkan konsep / prinsip dan strategi pemecahan masalah yang
relevan yang berkaitan dengan operasi matriks.
D. Tujuan pembelajaran
Dengan kegiatan diskusi dan pembelajaran kelompok dalam pembelajaran matriks ini
diharapkan siswa dapat terlibat aktif dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung
jawab dalam menyampaikan pendapat, menjawab pertanyaan, memberi saran dan kritik,
serta dapat menentukan operasi hitung pada matriks yang meliputi:
1. Penjumlahan dua matriks dan sifat-sifatnya
2. Pengurangan dua matriks
3. Perkalian suatu bilangan real dengan matriks
E. Materi Pembelajaran
1. Operasi pada matriks dan sifat-sifatnya
a. Operasi penjumlahan matriks dan sifat-sifatnya
Jika matriks 퐴 = (푎푖푗) dan 퐵 = (푏푖푗) merupakan dua buah matriks yang
berordo n x n, maka jumlah kedua matriks yang dinotasikan dengan A + B
adalah suatu matriks baru 퐶 = (푐푖푗) yang juga berordo n x n dengan 푐푖푗 =
푎푖푗 + 푏푖푗 untuk setiap i dan j.
3. Contoh:
Jika 퐴 = (
푎11 푎12
푎21 푎22
) dan 퐵 = (
푏11 푏12
푏21 푏22
), maka
퐴 + 퐵 = (
푎11 + 푏11 푎12 + 푏12
푎21 + 푏21 푎22 + 푏22
)
Dengan demikian:
Jika 퐴 = (
푎11 푎12 푎13
푎21 푎22 푎23
푏11 푏12 푏13
푏21 푏22 푏23
) dan 퐵 = (
), maka
푎11 + 푏11 푎12 + 푏12 푎13 + 푏13
푎21 + 푏21 푎22 + 푏22 푎23 + 푏23
퐴 + 퐵 = (
)
b. Sifat komutatif dan penjumlahan dua matriks
Mari kita buktikan secara umum bahwa operasi penjumlahan pada matriks
memenuhi sifat komutatif. Misalkan matriks A dan B berordo n x k. Elemen-elemen
matriks A dan B adalah bilangan real yang disajikan sebagai berikut.
퐴 =
푎11 푎12 푎13
푎21 푎22 푎 . 23
.
푎푛1
(
.
.
푎푛2
.
.
푎푛3
. . . 푎1푘
. . . 푎2푘
. . .
. . .
. . .
.
.
푎푛푘)
dan
퐵 =
푏11 푏12 푏13
푏21 푏22 푏23 .
.
푏푛1
(
.
.
푏푛2
.
.
푏푛3
. . . 푏1푘
. . . 푏2푘
. . .
. . .
. . .
.
.
푏푛푘 )
퐴 + 퐵 =
푎11 푎12 푎13
푎21 푎22 푎23 .
.
푎푛1
(
.
.
푎푛2
.
.
푎푛3
. . . 푎1푘
. . . 12푘
. . .
. . .
. . .
.
.
푎푛푘)
+
(
푏11 푏12 푏13
푏21 푏푏.
22 .
23 .
.
푏푛1
푏푛2
.
.
푏푛3
. . . 푏1푘
. . . 푏2푘
. . .
. . .
. . .
.
.
푏푛푘)
=
(
푎11 + 푏11 푎12 + 푏12 푎13 + 푏13
푎21 + 푏21 푎22 + 푏22 푎23 + 푏23 .
.
푎푛1 + 푏푛1
.
.
푎푛2 + 푏푛2
.
.
푎푛3 + 푏푛3
. . . 푎1퐾 + 푏1푘
. . . 푎. . .
2푘 + 푏.
2푘
. . .
.
. . .
푎푛푘 + 푏푛푘)
Karena nilai 푎푖푗 dan 푏푖푗 untuk setiap i dan j adalah bilangan real, maka nilai
푎푖푗 + 푏푖푗 sama dengan nilai 푏푖푗 + 푎푖푗 atau 푎푖푗 + 푏푖푗 = 푏푖푗 + 푎푖푗 . Dengan
demikian hasil penjumlahan 퐴 + 퐵 = 퐵 + 퐴.
4. Sifat 1:
Misalkan matriks A dan B berordo n x k. penjumlahan matriks A dan B
memenuhi sifat komutatif jika dan hanya jika 퐴 + 퐵 = 퐵 + 퐴
c. Sifat asosiatif penjumlahan matriks
Misalkan
퐴 = (
3 −3
2 −5
0 4
8 −3
6 −2
4 −4
) , 퐵 = (
0 −1
−5 8
0 2
) , 푑푎푛 퐶 = (
)
3 −3
2 −5
0 4
퐴 + (퐵 + 퐶 ) = (
) + ((
8 −3
6 −2
4 −4
) + (
0 −1
−5 8
0 2
))
= (
3 −3
2 −5
0 4
8 −4
1 6
4 −2
) + (
)
11 −7
3 1
4 2
퐴 + (퐵 + 퐶 ) = (
)
3 −3
2 −5
0 4
(퐴 + 퐵) + 퐶 = ((
) + (
8 −3
6 −2
4 −4
)) + (
0 −1
−5 8
0 2
)
= (
11 −6
8 −7
4 0
) + (
0 −1
−5 8
0 2
)
11 −7
3 1
4 2
(퐴 + 퐵) + 퐶 = (
)
Berdasarkan contoh diatas dapat disimpulkan bahwa hasil penjumlahan matriks
퐴 + (퐵 + 퐶 ) = (퐴 + 퐵) + 퐶 = (
11 −7
3 1
4 2
)
Sifat 2:
Misalkan matriks A, B dan C berordo n x k. penjumlahan matriks A, B dan C
memenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika 퐴 + (퐵 + 퐶 ) = (퐴 + 퐵) + 퐶.
2. Pengurangan dua matriks
Rumusan penjumlahan dua matriks diatas dapat diterapkan untuk memahami
konsep pengurangan matriks A dengan matriks B. Misalkan A dan B adalah
5. matriks-matriks berordo m x n. pengurangan matriks A dengan matriks B dapat
didefinisikan sebagai jumlah matriks A dan lawan matriks –B, ditulis:
A – B = A + (-B).
3. Perkalian suatu bilangan real dengan matriks
Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Oleh
karena itu perkalian real terhadap matriks juga disebut sebagai perkalian skalar
dengan matriks.
Sebelumnya, pada kajian pengurangan dua matriks, A – B = A + (-B), (-B)
dalam hal ini sebenarnya hasil kali bilangan -1 dengan semua elemen matriks B.
Artinya, matriks (-B) dapat kita tulis sebagai:
-B = k.B, dengan k = -1.
Secara umum, perkalian skalar dengan matriks dirumuskan sebagai berikut.
Misalkan A suatu matriks berordo m x n dengan elemen-elemen aij dan k
adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k dengan
matriks A, dinotasikan C = k.A, bila matriks C berordo m x n dengan elemen-elemennya
ditentukan oleh:
푐푖푗 = 푘. 푎푖푗 (untuk semua i dan j)
Beberapa pertanyaan penggugah:
Apa saja sifat yang muncul dari penjumlahan elemen-elemen matriks?
Apakah sifat-sifat operasi penjumlahan matriks masih berlaku dalam operasi
pengurangan dua matriks? Coba jelaskan!
Dapatkah kita menemukan sifat-sifat lain pada operasi penjumlahan matriks?
F. Model / Metode Pembelajaran
Pembelajaran kooperatif (cooperative learning) menggunakan kelompok diskusi yang
berbasis masalah (Problem Based Learning).
G. Media Pembelajaran
1. Worksheet atau Lembar Kerja Siswa
2. Kalender
6. H. Sumber Belajar
1. Buku Guru Mata Pelajaran Matematika Kelas XI hal 45 – 88
2. Referensi lain yang mendukung
3. Lingkungan
I. Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Deskripsi Kegiatan
Alokasi
Waktu
Pendahuluan 1. Guru memulai pembelajaran dengan salam.
2. Guru menanyakan kabar siswa.
3. Guru mengecek kehadiran siswa.
4. Sebagai apersepsi siswa diingatkan kembali
tentang matriks dan ordo suatu matriks.
5. Siswa mendengarkan dan menanggapi cerita
guru tentang manfaat belajar matriks.
6. Guru menginformasikan cara belajar yang akan
ditempuh (pengamatan disertai tanya jawab,
penugasan dan diskusi kelompok, pembahasan
tugas secara klasikal, pemajangan hasil tugas
dengan sintaks model pembelajaran Problem
Based Learning).
7. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang
ingin dicapai yaitu menentukan operasi hitung
pada matriks.
10 menit
Inti Langkah-langkah pembelajaran kooperatif tipe
Problem Based Learning:
Mengamati
1. Guru bertanya tentang bagaimana
menjumlahkan dua matriks dengan memberi
suatu masalah yang dapat diubah dalam bentuk
matriks.
70 menit
7. Menanya
2. Dengan tanya jawab, siswa diajak membuat
kesimpulan definisi penjumlahan dua matriks.
3. Guru memberikan beberapa matriks, siswa
diberi tugas untuk menjumlahkan dan dengan
tanya jawab siswa diarahkan untuk
menyimpulkan syarat dua matriks dapat
dijumlahkan.
4. Selanjutnya, dengan menggunakan rumusan
penjumlahan dua matriks siswa menerapkan
pada pengurangan dua matriks.
5. Dengan tanya jawab, siswa diarahkan untuk
menunjukkan sifat komutatif yang berlaku untuk
penjumlahan, tetapi tidak berlaku untuk
pengurangan dua matriks.
Mengumpulkan Data
6. Guru membagi siswa ke dalam 8 kelompok
dengan tiap kelompok terdiri atas 5 siswa.
7. Tiap kelompok mendapat tugas untuk
mengerjakan lembar kerja siswa.
8. Selama siswa bekerja di dalam kelompok, guru
memperhatikan dan mendorong semua siswa
untuk terlibat diskusi, dan mengarahkan bila ada
kelompok yang pekerjaannya melenceng jauh
dari jawaban.
9. Salah satu kelompok diskusi (tidak harus yang
terbaik) diminta untuk mempresentasikan hasil
diskusinya ke depan kelas. Sementara kelompok
lain, menanggapi dan menyempurnakan apa
yang telah dipresentasikan.
Mengasosiakan
10. Guru mengumpulkan semua hasil diskusi tiap
kelompok.
8. Mengkomunikasikan
11. Guru memberikan dua (2) soal yang terkait
dengan penjumlahan dan pengurangan dua
matriks. Dengan tanya jawab siswa dan guru
menyelesaikan kedua soal yang telah diberikan
dengan menggunakan strategi yang tepat.
12. Guru memberikan lima (5) soal untuk dikerjakan
tiap siswa, dan dikumpulkan.
Penutup 1. Siswa diminta menyimpulkan mengenai sifat-sifat
pada operasi penjumlahan dan pengurangan
matriks, serta perkalian suatu bilangan real
(skalar) dengan suatu matriks.
2. Guru mengakhiri kegiatan pembelajaran dengan
memberikan pesan untuk tetap belajar dan
memberi salam.
10 menit
J. Penilaian Hasil Belajar
1. Teknik Penilaian : Pengamatan, Tes Tertulis.
2. Prosedur Penilaian
No Aspek yang Dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian
1. Sikap
a. Terlibat aktif dalam
pembelajaran matriks.
b. Bekerja sama dalam
kegiatan kelompok.
c. Toleran terhadap proses
pemecahan masalah yang
berbeda dan kreatif.
Pengamatan Selama pembelajaran
dan saat diskusi.
2. Pe ngetahuan
Menentukan operasi hitung
pada matriks yang meliputi:
1) Penjumlahan dua matriks
Pengamatan dan
tes tertulis
Penyelesaian tugas
individu dan kelompok
9. 2) Pengurangan dua matriks
3) Perkalian suatu bilangan
real dengan matriks
3. Keterampilan
Terampil menerapkan konsep /
prinsip dan strategi pemecahan
masalah yang relevan yang
berkaitan dengan operasi hitung
pada matriks yang meliputi:
1) Penjumlahan dua matriks
2) Pengurangan dua matriks
3) Perkalian suatu bilangan
real dengan matriks
Pengamatan dan
tes tertulis
Penyelesaian tugas (baik
individu maupun
kelompok) dan saat
diskusi
K. Instrumen Penilaian Hasil Belajar
Tes Tertulis
1. Diketahui matriks 퐴 = (
−2 3
3 0
2 4
) , 퐵 = (
4 8
3 2
−1 0
) 푑푎푛 퐶 = (
2 −5 6
3 2 −1
).
Tentukan matriks yang diwakili oleh (퐴 + 퐵)푡 + 퐶
2. Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut ini:
(
3 3푥
4 푦
) − (
2 푦 + 푥
푦 + 2 푥
) = (
1 7
3 −4
)
3. Tentukan matriks P dari operasi matriks berikut:
a. 푃 + (
3 −2
0 4
−1 3
2 5
) = (
)
b. (
10 −3
6 −4
) − 푃 = (
4 0
−5 −6
)
3 0
−2 4
4. Diketahui matriks-matriks 퐴 = (
) , 퐵 = ( 1 5
−3 2
) 푑푎푛 푓(푥, 푦) = 2푥 − 3푦.
Tentukan 푓(퐴, 퐵)
10. Catatan:
Penyekoran bersifat holistic dan komprehensif, tidak saja memberi skor untuk
jawaban akhir, tetapi juga proses pemecahan terutama meliputi pemahaman,
komunikasi matematis (ketepatan penggunaan symbol dan istilah), penalaran (logis),
serta ketepatan strategi memecahkan masalah.
Pekalongan, 22 September 2014
Mengetahui,
Guru Mapel Matematika Mahasiswa PPL Matematika
(Arie Dwi Prabowo, S.Pd) (Kristalina Kismadewi)
12. LEMBAR KERJA SISWA
Satuan Pendidikan : SMK MA’ARIF NU KAJEN
Kelas / Semester : XI TKR 3
Mata Pelajaran : Matematika
Topik : Matriks
Waktu Pengamatan : 15 Menit
Kelompok : ………………………………
Nama Anggota Kelompok : 1.
2.
3.
4.
5.
Kerjakan soal berikut ini dengan tepat:
1. Diberikan matriks-matriks 퐴 = (
2 4
5 6
−2 0
4 −1
) , 퐵 = (
) , 푑푎푛 퐶 = (
0 1
2 3
). Tentukan:
a. A + O dan O + A, dimana O merupakan matriks nol berordo 2.
Apakah A + O = O + A
b. (A + B) + C dan A + (B + C). Apakah (A + B) + C = A + (B + C)
2. Diberikan matriks-matriks 퐴 = (
1 2
3 4
) 푑푎푛 퐵 = (
4 −3
−2 1
). Tentukan:
a. A + A
b. 2A
c. 5(A + B)
d. 5A + 5B
13. LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN SIKAP
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Semester : XI TKR 3 / 1
Tahun Pelajaran : 2014/2015
Waktu Pengamatan : Selama pembelajaran dan saat diskusi
Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No Nama Siswa
Sikap
Aktif Bekerjasama Toleran Kreatif
K
B
B S
B
K
B
B S
B
K
B
B S
B
K
B
B S
B
1. Abdullah Zainudin
2. Adi Nur Ridwan
3. Agung Laksono
4. Agus Suprayitno
5. Ahmad Murtadho
6. Aji Purnomo
7. Alip Sutriyo
8. Andreyono
9. Annaj Mussaqib
10. Bagus Fernando
11. Bayu Adi Wiguna
12. Burhan Nudin
13. Dian Saputra
14. Eko Priyatno
15. Fiqi Nur Ikhsan
16. Gatot Prakoso
17. Hastoro
18. Indra Kurniawan
19. Iwan Sapi’i
20. Khairur Razikin
21. Luki Kurniawan
14. 22. M. Apri Zainurrofiq
23. M. Nurul Fathurozi
24. M. Syafik
25. Masrukhin
26. Muchamad Yunus
27. Muhamad Mizan Ali
28. Nasirudin
29. Nur Kholis Majid
30. Restu Anggita
31. Riski Purnomo
32. Rustianto
33. Saiful Hadi
34. Sigit Wahono
35. Sugiyono
36. Teguh Suirul
37. Triarso
38. Wardi
39. Yoga Dwi Prasetyo
Keterangan:
KB : Kurang Baik B : Baik SB : Sangat Baik
Indikator sikap aktif dalam pembelajaran matriks
1. Kurang baik jika menunjukkan sama sekali tidak ambil bagian dalam pembelajaran
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam pembelajaran tetapi belum
konsisten
3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam menyelesaikan tugas individu
secara terus menerus dan konsisten
Indikator sikap bekerjasama dalam kegiatan kelompok
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk bekerjasama dalam kegiatan kelompok
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk bekerjasama dalam kegiatan kelompok
tetapi masih belum konsisten
15. 3. Sangat baik jika menunjukkan adanya usaha bekerjasama dalam kegiatan kelompok
sacara terus menerus dan konsisten
Indikator sikap toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif
1. Kurang baik jika sama sekali tidak bersikap toleran terhadap proses pemecahan masalah
yang berbeda dan kreatif
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk bersikap toleran terhadap proses
pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif tetapi masih belum konsisten
3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk bersikap toleran terhadap proses
pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif secara terus menerus dan konsisten.
Indikator sikap kreatif terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif
1. Kurang baik jika sama sekali tidak memunculkan ide terhadap proses pemecahan masalah
yang berbeda dan kreatif
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk memunculkan ide terhadap proses
pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif tetapi masih belum konsisten
3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk memunculkan ide terhadap proses
pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif secara terus menerus dan konsisten.
16. LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN KETERAMPILAN
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Semester : XI TKR 3 / 1
Tahun Pelajaran : 2014/2015
Waktu Pengamatan : Saat mengerjakan tugas
Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No Nama Siswa
Keterampilan
Menerapkan konsep / prinsip dan
strategi pemecahan masalah
KT T ST
1. Abdullah Zainudin
2. Adi Nur Ridwan
3. Agung Laksono
4. Agus Suprayitno
5. Ahmad Murtadho
6. Aji Purnomo
7. Alip Sutriyo
8. Andreyono
9. Annaj Mussaqib
10. Bagus Fernando
11. Bayu Adi Wiguna
12. Burhan Nudin
13. Dian Saputra
14. Eko Priyatno
15. Fiqi Nur Ikhsan
16. Gatot Prakoso
17. 17. Hastoro
18. Indra Kurniawan
19. Iwan Sapi’i
20. Khairur Razikin
21. Luki Kurniawan
22. M. Apri Zainurrofiq
23. M. Nurul Fathurozi
24. M. Syafik
25. Masrukhin
26. Muchamad Yunus
27. Muhamad Mizan Ali
28. Nasirudin
29. Nur Kholis Majid
30. Restu Anggita
31. Riski Purnomo
32. Rustianto
33. Saiful Hadi
34. Sigit Wahono
35. Sugiyono
36. Teguh Suirul
37. Triarso
38. Wardi
39. Yoga Dwi Prasetyo
Keterangan:
KT : Kurang Terampil T : Terampil ST : Sangat Terampil
18. Indikator terampil menerapkan konsep / prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan
yang berkaitan dengan matriks.
1. Kurang terampil jika sama sekali tidak dapat menerapkan konsep / prinsip dan strategi
pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan matriks
2. Terampil jika menunjukkan sudah ada usaha untuk menerapkan konsep / prinsip dan
strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan matriks tetapi belum
tepat
3. Sangat terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk menerapkan konsep / prinsip dan
strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan matriks dan sudah tepat
