Integración de funciones complejas

Integración en el plano complejo
4.1. Funciones complejas de variable real
Una función compleja de variable real es una función w : [a, b] → C, donde
−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞. La parte real y la parte imaginaria de w son dos funciones
reales de variable real:
w(t) = u(t) + iv(t),
de modo que, a todos los efectos, w puede interpretarse como una función w :
[a, b] → R2
. Como tal, la definición lógica de derivada es
w′
(t) = u′
(t) + iv′
(t),
admitiendo que u y v son derivables en t.
Ejemplos 4.1.
(1) Si z0 = x0 + iy0 es constante y w(t) = u(t) + iv(t) es derivable, calcula la derivada de
z0w(t).
d
dt
z0w(t) =
d
dt
(x0 + iy0)(u + iv) =
d
dt
(x0u − y0v) + i(y0u + x0v)
=
d
dt
(x0u − y0v) + i
d
dt
(y0u + x0v) = (x0u′
− y0v′
) + i(y0u′
+ x0v′
)
= (x0 + iy0)(u′
+ iv′
),

38 4 Integración en el plano complejo
es decir,
d
dt
z0w(t) = z0w′
(t).
(2) Si z0 = x0 + iy0 es constante, calcula la derivada de ez0t
.
d
dt
ez0t
=
d
dt
ex0t
cos(y0t) + iex0t
sen(y0t)
= x0ex0t
cos(y0t) − y0ex0t
sen(y0t) + i x0ex0t
sen(y0t) + y0ex0t
cos(y0t)
= x0eiz0t
+ iy0ez0t
,
o sea,
d
dt
ez0t
= z0ez0t
.
Tal como ilustran los ejemplos, las reglas del cálculo de funciones reales se
mantienen para funciones complejas de variable real (linealidad, regla del produc-
to, regla del cociente y regla de la cadena). También se mantienen la mayor´ıa de
los resultados (con alguna excepción, como el teorema del valor medio, que no se
cumple para este tipo de funciones).
De manera análoga a las derivadas, las integrales de funciones complejas de
variable real se definen como
b
a
w(t) dt =
b
a
u(t) dt + i
b
a
v(t) dt,
donde se supone que u y v son funciones integrables en (a, b). Las integrales
pueden ser impropias. Esta definición se resume en las dos identidades
Re
b
a
w(t) dt =
b
a
Re w(t) dt, Im
b
a
w(t) dt =
b
a
Im w(t) dt.
Ejemplo 4.2. Evalúa la integral
1
0
(1 + it)2
dt.
1
0
(1 + it)2
dt =
1
0
(1 − t2
) dt + i
1
0
2t dt =
2
3
+ i.
Las propiedades de estas integrales están heredadas de las de las integrales de
funciones reales:
(a) Linealidad:
b
a
αw1(t) + βw2(t) dt = α
b
a
w1(t) dt + β
b
a
w2(t) dt.

4.1 Funciones complejas de variable real 39
(b) Aditividad:
b
a
w(t) dt =
c
a
w(t) dt +
b
c
w(t) dt.
(c) Acotación:
b
a
w(t) dt ≤
b
a
|w(t)| dt.
Merece la pena ver la demostración de la propiedad de acotación, ya que es
algo más elaborada que su equivalente real:
b
a
w(t) dt = ρeiφ
, ρ =
b
a
w(t) dt ,
por lo tanto
ρ =
b
a
e−iφ
w(t) dt = Re
b
a
e−iφ
w(t) dt =
b
a
Re e−iφ
w(t) dt
≤
b
a
e−iφ
w(t) dt =
b
a
|w(t)| dt.
As´ı pues,
b
a
w(t) dt ≤
b
a
|w(t)| dt.
El teorema fundamental del cálculo sigue siendo válido para este tipo de in-
tegrales. As´ı, si U(t) es una primitiva de u(t) y V (t) es una primitiva de v(t),
entonces W(t) = U(t) + iV (t) es una primitiva de w(t) = u(t) + iv(t) ya que
W′
(t) = w(t). Entonces,
b
a
w(t) dt = U(t)
b
a
+ iV (t)
b
a
= W(b) − W(a).
Por análogo motivo, la regla del cambio de variable y la integración por partes
siguen siendo válidas para estas integrales.
Ejemplos 4.3.
(1) Integra
π/4
0
eit
dt.
Como −ieit
es una primitiva de eit
,
π/4
0
eit
dt = −ieit
π/4
0
= −ieiπ/4
+ i =
1
√
2
− i
1
√
2
+ i =
1
√
2
+ i 1 −
1
√
2
.

(2) La integral del ejemplo 4.2 se puede hacer a partir de la relación
d
dt
−i
(1 + it)3
3
= (1 + it)2
.
Con ella,
1
0
(1 + it)2
dt = −i
(1 + it)3
3
1
0
= −i
(1 + i)3
3
+
i
3
=
−i
3
(1 + 3i − 3 − i − 1)
=
−i
3
(2i − 3) =
2
3
+ i.
4.2. Contornos
El objetivo de esta sección es definir integrales de funciones de variable com-
pleja sobre curvas del plano complejo, as´ı que tenemos que empezar por definir lo
que entendemos por una curva.
Una curva de C es una función γ : [a, b] → C que a cada a ≤ t ≤ b le asocia
el número complejo z(t) = x(t) + iy(t), donde x, y : [a, b] → R son funciones
continuas. Decimos que la curva γ es una curva simple si z(t1) = z(t2) cuando
t1 = t2. Cuando z(a) = z(b) se dice que γ es una curva cerrada, y si cumple la
condición de curva simple salvo en los extremos se dice que es una curva cerrada
simple.
Ejemplos 4.4.
(1) La l´ınea poligonal
z(x) =
x + ix si 0 ≤ x ≤ 1,
x + i si 1 ≤ x ≤ 2,
es una curva simple.
(2) La circunferencia de radio R y centrada en z0 ∈ C, z(θ) = z0 + Reiθ
, 0 ≤ θ ≤ 2π, es una
curva cerrada simple.
(3) La misma circunferencia parametrizada como z(θ) = z0 + Re−iθ
es una curva distinta,
porque está recorrida en sentido contrario.
(4) También la curva z(θ) = z0 + Rei2θ
es el mismo conjunto de puntos pero una curva
distinta, porque recorre dos veces la circunferencia. En este caso se trata de una curva cerrada
pero no simple.
Cuando la función z(t) es derivable, se dice que γ es una curva regular. La
longitud de una curva regular viene dada por la expresión
L(γ) =
b
a
|z′
(t)| dt, |z′
(t)| = x′(t)2 + y′(t)2.

4.3 Integrales de contorno 41
En una curva regular en la que z′
(t) = 0 para a ≤ t ≤ b, el complejo
τ(t) =
z′
(t)
|z′(t)|
representa el vector unitario tangente a la curva en z(t). Cuando z′
(t) es continua
decimos que γ es una curva suave. En este caso τ(t) cambia de manera continua
con t.
Finalmente, diremos que γ es un contorno si es una curva suave a trozos (z′
(t)
es continua a trozos) en el intervalo [a, b]. Del mismo modo que para las curvas se
definen contornos cerrados y contornos cerrados simples.
4.3. Integrales de contorno
Definición 4.1. Sea Ω un dominio de C, γ : [a, b] → Ω un contorno de dicho
dominio y f : Ω → C una función tal que f ◦ γ es continua a trozos en [a, b]. Se
define la integral de f sobre el contorno γ como
γ
f(z) dz =
b
a
f z(t) z′
(t) dt.
La integral de contorno as´ı definida es equivalente a dos integrales de l´ınea de
dos campos vectoriales sobre Ω, ya que si f(z) = u(x, y) + iv(x, y),
f(z)z′
= (u + iv)(x′
+ iy′
) = (ux′
− vy′
) + i(vx′
+ uy′
),
con lo que
γ
f(z) dz =
γ
P1 dx + Q1 dy + i
γ
P2 dx + Q2 dy,
siendo
P1 = u, Q1 = −v, P2 = v, Q2 = u.
La integral de contorno hereda, por tanto, las propiedades de las integrales de l´ınea
de campos vectoriales. As´ı:
(1) son invariantes bajo cambios de parametrización que mantengan la orientación
de la curva;
(2) si −γ denota la curva γ orientada en sentido opuesto,
−γ
f(z) dz = −
γ
f(z) dz;

(3) si γ1 + γ2 denota la concatenación de dos curvas tales que el extremo final de
la primera es el extremo inicial de la segunda,
γ1+γ2
f(z) dz =
γ1
f(z) dz +
γ2
f(z) dz.
También hereda las propiedades de las integrales de funciones complejas de
variable real:
(4) si α, β ∈ C y f y g son integrables sobre γ,
γ
αf(z) + βg(z) dz = α
γ
f(z) dz + β
γ
g(z) dz,
(5) y si |f(z)| ≤ M sobre γ,
γ
f(z) dz ≤ ML(γ).
La última propiedad se sigue de que
γ
f(z) dz ≤
b
a
f z(t) z′
(t) dt ≤ M
b
a
|z′
(t)| dt = ML(γ).
En cuanto a la propiedad (3), la forma más general en la que puede expresarse es
γ1∪···∪γn
f(z) dz =
γ1
f(z) dz + · · · +
γn
f(z) dz,
cuando γ1, . . . , γn son contornos tales que L(γi ∩ γj) = 0 si i = j.
Ejemplos 4.5.
(1) Halla la integral
γ
z dz, siendo γ = {z(θ) = 2eiθ
: −π/2 ≤ θ ≤ π/2}.
Como
z(θ) = 2e−iθ
, z′
(θ) = i2eiθ
,
la integral valdrá
γ
z dz =
π/2
−π/2
2e−iθ
2ieiθ
dθ = 4i
π/2
−π/2
dθ = 4πi.
(2) Halla la integral
γ
dz
z
siendo γ la circunferencia de radio R centrada en z = 0 y orientada
en sentido positivo.
Ahora
γ = {Reiθ
: 0 ≤ θ ≤ 2π},
luego
γ
dz
z
=
2π
0
iReiθ
Reiθ
dθ = i
2π
0
dθ = 2πi.

4.4 Independencia del contorno: primitivas 43
4.4. Independencia del contorno: primitivas
En general, las integrales de contorno dependen no sólo de la función integrada
sino también del contorno. En algunos casos eso no es as´ı, y resultan independien-
tes del contorno de integración. Vamos a estudiar en esta sección cuándo ocurre
esto.
Teorema 4.1. Sea Ω un dominio de C y f : Ω → C; entonces, son equivalentes:
(a) dados los puntos z1, z2 ∈ Ω,
γ1
f(z) dz =
γ2
f(z) dz
para todo par de contornos γ1, γ2 ⊂ Ω con origen en z1 y extremo final en z2;
(b) la integral de contorno
γ
f(z) dz = 0
para todo contorno cerrado γ ⊂ Ω.
Dem.: (a) ⇒ (b) Tomando dos puntos distintos z1, z2 ∈ γ cualesquiera, los dos
trozos en que dividen γ son dos contornos γ1, γ2 con origen en z1 y extremo final
z2. El contorno cerrado original se reconstruye como γ = γ1 − γ2. Entonces,
γ
f(z) dz =
γ1
f(z) dz −
γ2
f(z) dz = 0.
(b) ⇒ (a) Dados dos contornos γ1, γ2 como los de las hipótesis, el contorno γ =
γ1 − γ2 es cerrado. Entonces
γ1
f(z) dz −
γ2
f(z) dz =
γ
f(z) dz = 0.
Para indicar claramente que el contorno de una integral de contorno es cerrado
se utiliza a veces la notación
γ
f(z) dz.

Definición 4.2 (Primitiva). Sea Ω un dominio de C y f : Ω → C una función
continua. Si existe una función holomorfa F : Ω → C tal que F′
(z) = f(z) para
todo z ∈ Ω, decimos que F es una primitiva de f en Ω.
Como ocurre en R, dos primitivas, F y G, de la misma función f difieren en
una constante compleja aditiva. La razón es que (F − G)′
= 0, y si una función
holomorfa tiene derivada nula, las ecuaciones (CR) implican que tiene que ser
constante.
Cuando una función tiene primitiva, sus integrales de contorno verifican un
teorema fundamental del cálculo:
Teorema 4.2. Sea f : Ω → C, con Ω un dominio de C, una función continua
con una primitiva F en Ω. Entonces, si γ ∈ Ω es un contorno entre los puntos
z1, z2 ∈ Ω,
γ
f(z) dz = F(z2) − F(z1).
Dem.: La razón de este resultado es la identidad
d
dt
F z(t) = F′
z(t) z′
(t) = f z(t) z′
(t),
gracias a la cual, si γ es una curva suave,
γ
f(z) dz =
b
a
f z(t) z′
(t) dt =
b
a
d
dt
F z(t) dt
= F z(b) − F z(a) = F(z2) − F(z1).
Para un contorno general γ, cuyos trozos se unen en los puntos z′
1, . . . , z′
n, corres-
pondientes a valores del parámetro a < t′
1 < . . . < t′
n < b, denotando t′
0 = a y
t′
n+1 = b,
γ
f(z) dz =
n
k=0
t′
k+1
t′
k
f z(t) z′
(t) dt =
n
k=0
t′
k+1
t′
k
d
dt
F z(t) dt
=
n
k=0
F z(t′
k+1) − F z(t′
k) = F z(b) − F z(b)
= F(z2) − F(z1).

Para funciones cuya integral no depende del contorno, sino sólo de los extre-
mos, tiene sentido utilizar la notación
z2
z1
f(z) dz =
γ
f(z) dz,
siendo γ cualquier contorno que una los puntos z1 y z2.
Teorema 4.3. Sea Ω un dominio de C y f : Ω → C una función continua. Enton-
ces, existe una primitiva de f en Ω si y sólo si
γ
f(z) dz = 0 para todo contorno
cerrado γ ⊂ Ω.
Dem.: ⇒ Si F′
(z) = f(z) en Ω, entonces, por el teorema 4.2,
γ
f(z) dz = F(z2) − F(z1),
siendo z1 y z2 los extremos del contorno γ. Si γ es cerrado, z1 = z2 y el miembro
de la derecha se anula.
⇐ Por el teorema 4.1, si
γ
f(z) dz = 0 para todo contorno cerrado γ ⊂ Ω, las
integrales a lo largo de cualquier contorno no dependen del camino, sino sólo de
los extremos. Tomemos z0, z ∈ Ω y definamos
F(z) =
z
z0
f(ζ) dζ.
Vamos a probar que F′
(z) = f(z). Para ello tomemos un entorno de z lo bastante
pequeño como para que esté en Ω, y tomemos h ∈ C tal que z + h esté en ese
entorno. Entonces,
F(z + h) − F(z) =
z+h
z0
f(ζ) dζ −
z
z0
f(ζ) dζ =
z+h
z
f(ζ) dζ.
Como
z+h
z
dζ = h
(lo que puede probarse tomando, por ejemplo, el contorno z(t) = z + th, con
0 ≤ t ≤ 1),
F(z + h) − F(z)
h
− f(z) =
1
h
z+h
z
f(ζ) − f(z) dζ.

Acotando esta expresión,
F(z + h) − F(z)
h
− f(z) ≤
1
|h|
z+h
z
f(ζ) − f(z) dζ .
Ahora bien, como f(z) es continua en Ω, dado un ǫ > 0 arbitrario, podemos hacer
que |f(ζ)−f(z)| < ǫ sin más que tomar h de modo que |h| sea lo suficientemente
pequeño, con lo que
F(z + h) − F(z)
h
− f(z) ≤
1
|h|
ǫ|h| = ǫ,
lo que implica que
l´ım
h→0
F(z + h) − F(z)
h
− f(z) = 0
y de ah´ı que
F′
(z) = l´ım
h→0
F(z + h) − F(z)
h
= f(z).
Ejemplos 4.6.
(1) La integral
γ
ez
dz = 0
porque ez
tiene como primitiva ez
en C.
(2) La integral
γ
dz
z2
= 0
para todo contorno cerrado γ que no pase por z = 0, ya que una primitiva de 1/z2
en C−{0}
es −1/z.
(3) Vamos a hallar la integral
γ
dz
z − a
para cualquier contorno cerrado simple γ que rodee el punto z = a en sentido positivo, sin
pasar por él. No podemos sin más decir que vale 0 alegando que log(z − a) es una primitiva
de 1/(z − a), ya que la función log(z − a) no es continua en todo C − {a} debido al corte
que define la rama del logaritmo que uno adopte. As´ı que hay que adoptar otra estrategia
para hallar la integral.
Para ello vamos a dividir la curva γ en dos trozos, como indica la figura: uno pequeño que
corte la semirrecta Re(z − a) < 0, que denotaremos γǫ, y el resto, que denotaremos γ′
,
ambos orientados en sentido positivo. Denotemos los puntos de división z1 y z2, tal como se
indica en la figura.

z1
γ
a
ε
εz2
Consideremos primero γ′
. Como ésta no cruza la semirrecta Re(z − a) < 0, una primitiva
de 1/(z − a) que nos sirve para calcular
γ′
dz
z
es F1(z) = log(z − a) tomada sobre la rama
principal. Entonces,
γ′
dz
z − a
= F1(z1) − F1(z2) = ln |z1 − a| + i(π − ǫ) − ln |z2 − a| − i(−π + ǫ)
= ln
z1 − a
z2 − a
+ i2(π − ǫ).
Para obtener la integral sobre γǫ tenemos que cambiar la rama del logaritmo. Entonces,
F2(z) = log(z − a), tomando la rama [0, 2π), es una primitiva de 1/(z − a) con la que
podemos calcular esa integral, luego
γǫ
dz
z − a
= F2(z2) − F2(z1) = ln |z2 − a| + i(π + ǫ) − ln |z1 − a| − i(π − ǫ)
= − ln
z1 − a
z2 − a
+ i2ǫ.
Sumando las dos integrales,
γ
dz
z − a
=
γ′
dz
z − a
+
γǫ
dz
z − a
= ln
z1 − a
z2 − a
+ i2(π − ǫ) − ln
z1 − a
z2 − a
+ i2ǫ = 2πi.
(4) Hallemos la integral
γ
√
z dz,
donde γ es el contorno cerrado de la figura, que corta al eje real en 3 y en −3, orientado en
sentido positivo, y la ra´ız está tomada sobre la rama
√
z =
√
reiθ/2
, 0 ≤ θ < 2π.

γ
3−3
Una integral as´ı no puede realizarse directamente debido al corte sobre el eje real positivo,
as´ı que, para hacerla, dividimos la curva en dos mitades, la que cae sobre el semiplano
Im z ≥ 0, que denotaremos γ+, y la que cae sobre el semiplano Im z ≤ 0, que denotaremos
γ−.
Para hacer la integral sobre γ+ buscamos una rama de la ra´ız que tenga el corte en Im z ≤ 0
y que coincida con nuestra definición de
√
z sobre el semiplano Im z ≥ 0. Dicha rama
corresponde a la determinación −π/2 ≤ θ < 3π/2. Para esa rama hay una primitiva válida
en Im z ≥ 0:
F+(z) =
2
3
r3/2
ei3θ/2
, −π/2 ≤ θ < 3π/2.
Utilizándola,
γ+
√
z dz = F+(−3) − F+(3) =
2
3
3
√
3(ei3π/2
− 1) = −2
√
3(i + 1).
Para hacer la integral sobre γ− buscamos una rama de la ra´ız que tenga el corte en Im z ≥ 0
y que coincida con nuestra definición de
√
z sobre el semiplano Im z ≤ 0. Dicha rama
corresponde a la determinación π/2 ≤ θ < 5π/2. Para esa rama hay una primitiva válida en
Im z ≤ 0:
F−(z) =
2
3
r3/2
ei3θ/2
, π/2 ≤ θ < 5π/2.
Utilizándola,
γ−
√
z dz = F−(3) − F−(−3) =
2
3
3
√
3(ei3π
− ei3π/2
) = −2
√
3(1 − i).
Sumando las dos contribuciones,
γ
√
z dz =
γ+
√
z dz +
γ−
√
z dz = −4
√
3.

4.5 Teorema de Cauchy-Goursat 49
4.5. Teorema de Cauchy-Goursat
Ya hemos visto al introducir las integrales de contorno que la integral de una
función f(z) = u(x, y) + iv(x, y) sobre un contorno cerrado simple γ orientado
en sentido positivo equivale a dos integrales de l´ınea reales:
γ
f(z) dz =
γ
u dx − v dy + i
γ
v dx + u dy.
Si u y v tienen derivadas parciales continuas en un dominio que contenga tanto
γ como la región R delimitada por γ, podemos aplicar el teorema de Green y
transformar la expresión anterior en
γ
f(z) dz = −
R
(vx + uy) dxdy + i
R
(ux − vy) dxdy.
El resultado interesante es que si f(z) es holomorfa, entonces, por las ecuaciones
(CR), los dos integrandos se anulan y tenemos que
γ
f(z) dz = 0.
Este resultado es bastante más general de como lo acabamos de obtener. Para
empezar, no es necesario pedir que u y v tengan derivadas continuas (eso es algo
que, como veremos, está garantizado por el hecho de que f(z) es holomorfa).
Además, el resultado se puede generalizar a contornos cerrados no simples. Eso
es evidente si tales contornos constan de un número finito de “lazos”, ya que en
ese caso se descomponen en una suma de un número finito de contornos cerrados
simples; pero ya no es evidente cuando el número de “lazos” es infinito, y sin
embargo el resultado sigue siendo cierto en esos casos.
El teorema más general que proporciona este resultado fue obtenido en una
primera versión por Cauchy y expresado en su forma actual por Goursat, y es
conocido por ello como teorema de Cauchy-Goursat.
Teorema 4.4 (Cauchy-Goursat). Sea f : Ω → C una función holomorfa en un
dominio simplemente conexo Ω ⊂ C; entonces, para cada contorno cerrado γ ⊂
Ω,
γ
f(z) dz = 0.
Una consecuencia importante de este teorema es el siguiente resultado, conse-
cuencia del teorema 4.3 combinado con el de Cauchy-Goursat:

Corolario 4.1. Toda función f(z) holomorfa en un dominio Ω ⊂ C simplemente
conexo tiene primitiva.
El teorema de Cauchy-Goursat admite una extensión a dominios múltiplemente
conexos:
Teorema 4.5. Sea Ω un dominio de C, y sean
(a) γ ⊂ Ω un contorno cerrado simple orientado positivamente, y
(b) γ1, . . . , γn ⊂ Ω un número finito de contornos cerrados simples orientados po-
sitivamente, situados en el interior de γ y cuyos interiores tienen intersección
vac´ıa dos a dos.
Si f(z) es holomorfa en la región cerrada formada por los n + 1 contornos y la
región interior de γ excluidas las regiones interiores de γ1, . . . , γn, entonces
γ
f(z) dz =
n
k=1 γk
f(z) dz.
Dem.: La demostración pasa por introducir unas curvas poligonales, que denota-
remos l0, l1, . . . , ln, que unan el contorno γk con el γk+1 para todo k = 1, . . . , n, y
los contornos γ1 y γn con el γ, como ilustra la figura.
0l
3l
2l
1lγ1
Γ1γ γ2
γ3
Γ2
El resultado son dos contornos cerrados simples, Γ1 y Γ2, tales que
Γ1 + Γ2 = γ −
n
k=1
γk +
n
j=0
lj −
n
j=0
lj = γ −
n
k=1
γk.
Para cada uno de estos dos contornos se verifican las condiciones del teorema de
Cauchy-Goursat, de modo que
Γ1
f(z) dz =
Γ2
f(z) dz = 0,

4.5 Teorema de Cauchy-Goursat 51
y, por tanto,
γ−
n
k=1 γk
f(z) dz =
γ
f(z) dz −
n
k=1 γk
f(z) dz = 0.
Hay una manera más compacta de expresar este resultado. Sea A una región
cerrada de C; su frontera, que denotaremos ∂A, es, en general, la unión de varios
contornos cerrados simples, orientados de tal manera que el interior de A quede
siempre a la izquierda de los contornos. Entonces, si f es holomorfa en A,
∂A
f(z) dz = 0.
Esto incluye también el caso en que A sea simplemente conexo y su frontera un
único contorno.
En el caso particular en que A sea una región “anular”, cuya frontera consta de
un contorno exterior y otro interior, tenemos el siguiente resultado:
Corolario 4.2 (Principio de deformación de caminos). Sean γ1 y γ2 dos contornos
cerrados simples orientados en sentido positivo, donde γ2 está en el interior de
γ1. Si f(z) es holomorfa en la región cerrada formada por esos contornos y los
puntos situados entre ellos, entonces
γ1
f(z) dz =
γ2
f(z) dz.
El nombre de este corolario alude al hecho de que esta situación corresponde
al caso en que el contorno γ1 se pueda deformar continuamente hasta el γ2 sin que
en ningún momento nos salgamos de la región en que f es holomorfa.
Ejemplos 4.7.
(1) Para hallar la integral
γ
dz
z − a
sobre un contorno cerrado simple γ orientado en sentido positivo, trazamos la circunferencia
C = {z ∈ C : |z − a| = ρ}, donde ρ > 0 es lo suficientemente pequeño como para que la
circunferencia esté completamente en el interior de γ. Como 1/z es holomorfa entre γ y C,
incluidos ambos contornos,
γ
dz
z − a
=
C
dz
z − a
.

La segunda integral es fácil de parametrizar con z(θ) = a + ρeiθ
, 0 ≤ θ ≤ 2π, as´ı que
C
dz
z − a
=
2π
0
iρeiθ
ρeiθ
dθ = i
2π
0
dθ = 2πi,
un resultado que ya obtuvimos anteriormente, pero que obtenemos de nuevo aqu´ı de una
forma más sencilla.
(2) Halla las integrales
γ
dz
z2 + 1
,
γ
z
z2 + 1
dz,
donde γ es un contorno cerrado simple orientado positivamente que rodea los puntos ±i.
Como
1
z2 + 1
=
1
2i
1
z − i
−
1
z + i
,
z
z2 + 1
=
1
2
1
z − i
+
1
z + i
,
podemos escribir la primera integral como
γ
dz
z2 + 1
=
1
2i γ
dz
z − i
−
1
2i γ
dz
z + i
=
2πi
2i
−
2πi
2i
= 0,
y la segunda como
γ
z dz
z2 + 1
=
1
2 γ
dz
z − i
+
1
2 γ
dz
z + i
=
2πi
2
+
2πi
2
= 2πi.
4.6. Fórmula integral de Cauchy
Uno de los resultados más importantes de la teor´ıa de funciones de variable
compleja es la fórmula integral de Cauchy.
Teorema 4.6 (Fórmula integral de Cauchy). Sea f(z) una función holomorfa en un
dominio Ω ⊂ C que contiene el contorno cerrado simple orientado positivamente
γ y su interior. Si a es un punto del interior de γ, entonces
f(a) =
1
2πi γ
f(z)
z − a
dz.
Dem.: Como f es continua en a, para cada ǫ > 0 habrá un entorno D(a, δ) tal que
si z ∈ D(a, δ), entonces |f(z) − f(a)| < ǫ. Tomemos ahora un 0 < ρ < δ tal que
la circunferencia
C = {z ∈ C : |z − a| = ρ}

4.6 Fórmula integral de Cauchy 53
esté contenida ´ıntegramente en el interior de γ. Como f(z)/(z − a) es holomorfa
en γ, C y entre ambos contornos,
γ
f(z)
z − a
dz =
C
f(z)
z − a
dz.
Por otro lado, sabemos que
C
dz
z − a
= 2πi,
luego podemos escribir
γ
f(z)
z − a
dz − 2πif(a) =
C
f(z) − f(a)
z − a
dz.
Ahora bien, en C,
f(z) − f(a)
z − a
=
|f(z) − f(a)|
ρ
<
ǫ
ρ
,
y la longitud de C es 2πρ, luego
C
f(z) − f(a)
z − a
dz <
ǫ
ρ
2πρ
y, por tanto,
γ
f(z)
z − a
dz − 2πif(a) < 2πǫ.
Este resultado es válido para cualquier ǫ > 0, luego el valor absoluto de la izquier-
da debe valer 0, lo que prueba el resultado.
Ejemplo 4.8.
Este resultado permite hacer muchas integrales de contorno de una manera muy simple. Aunque
exploraremos esta v´ıa con más detalle más adelante, veamos aqu´ı un simple ejemplo.
Vamos a calcular la integral
∂D(0,2)
z dz
(9 − z2)(z + i)
.
Podemos escribir esta integral como
∂D(0,2)
f(z)
z − (−i)
, f(z) =
z
(9 − z2)
,
y, por la fórmula integral de Cauchy,
∂D(0,2)
z dz
(9 − z2)(z + i)
= 2πif(−i) = 2πi
(−i)
10
=
π
5
.

4.7. Aplicaciones de la fórmula integral de Cauchy
En esta sección vamos a extraer consecuencias de la fórmula integral de Cau-
chy. Como veremos, de esta sencilla fórmula se siguen varios de los resultados
más “potentes” de la teor´ıa de variable compleja.
4.7.1. Derivadas de funciones holomorfas
Para empezar, la fórmula integral de Cauchy ofrece una representación de una
función holomorfa en términos de una integral dependiente de un parámetro. Si
derivamos esa expresión, intercambiando derivada con integral sin preocuparnos
de si tal cosa es l´ıcita, obtenemos la expresión
f′
(z) =
1
2πi γ
f(ζ)
(ζ − z)2
dζ,
que da como resultado la derivada de f(z) como una integral que involucra a f(z).
Pero es más, podemos seguir haciendo sucesivas derivadas y encontrar la fórmula
f(n)
(z) =
n!
2πi γ
f(ζ)
(ζ − z)n+1
dζ.
Desde luego, esto no garantiza que las sucesivas derivadas de f(z) existan, pero
es muy sugerente el hecho de que el integrando sea, para cualquier n y cualquier
z en el interior de γ, una función integrable (ya que tanto f(ζ) como 1/(ζ − z)n+1
son continuas sobre γ). As´ı que vamos a tratar de demostrar que, efectivamente,
la derivada de orden n está dada por la expresión que acabamos de hallar.
Empezaremos por la primera derivada. Para ello tenemos que demostrar que
f(z + h) − f(z)
h
− f′
(z)
tiende a 0 cuando h → 0. Utilicemos las fórmulas integrales para transformar la
expresión anterior en
1
2πi γ
1
h
1
ζ − z − h
−
1
ζ − z
−
1
(ζ − z)2
f(ζ) dζ,
siempre que 0 < |h| < d, siendo d = m´ınζ∈γ |ζ − z| la distancia de z a γ (para
que z + h esté en el interior de γ). Centrémonos en el corchete del integrando

4.7 Aplicaciones de la fórmula integral de Cauchy 55
(denotaremos w = ζ − z para abreviar):
1
h
1
w − h
−
1
w
−
1
w2
=
w2
− w(w − h) − h(w − h)
h(w − h)w2
=
h2
h(w − h)w2
=
h
(w − h)w2
.
Nos encontramos, pues, con que
f(z + h) − f(z)
h
− f′
(z) =
h
2πi γ
f(ζ)
(ζ − z − h)(ζ − z)2
dζ.
Para probar que el miembro derecho tiende a 0 cuando h → 0 vamos a acotar su
módulo. Por un lado, para todo ζ ∈ γ,
|ζ − z|2
≥ d2
, |ζ − z − h| ≥ ||ζ − z| − |h|| ≥ d − |h|,
con lo que
1
|(ζ − z − h)(ζ − z)2|
≤
1
(d − |h|)d2
.
Por otro lado, como f(ζ) es continua, sobre γ alcanzará su valor máximo M, de
modo que |f(ζ)| ≤ M para todo ζ ∈ γ. Entonces,
h
2πi γ
f(ζ)
(ζ − z − h)(ζ − z)2
dζ ≤
|h|ML(γ)
2π(d − |h|)d2
−−−−→
h→0
0,
quedando, pues, probado que la expresión integral reproduce, de hecho, la deriva-
da.
Vamos ahora a probar la fórmula para f(n)
(z) por inducción. Dado que ya he-
mos dado el primer paso de inducción (probar que es válida para n = 1), vamos a
probar que si la fórmula sirve para f(n−1)
(z), entonces la derivada f(n)
(z) existe y
está dada por la misma fórmula. Para ello tendremos que demostrar que
f(n−1)
(z + h) − f(n−1)
(z)
h
− f(n)
(z),
que utilizando las fórmulas se convierte en
(n − 1)!
2πi γ
1
h
1
(ζ − z − h)n
−
1
(ζ − z)n
−
n
(ζ − z)n+1
f(ζ) dζ,

tiende a 0 cuando h → 0. Como antes, el corchete se convierte en
1
h
1
(w − h)n
−
1
wn
−
n
wn+1
=
wn+1
− w(w − h)n
− hn(w − h)n
h(w − h)nwn+1
=
wn+1
− (w − h)n
(w + hn)
h(w − h)nwn+1
.
Ahora bien,
(w − h)n
= wn
− nhwn−1
+
n(n − 1)
2
h2
wn−2
+ h3
R(w, h),
donde R(w, h) es un polinomio en w y h, luego
wn+1
− (w − h)n
(w + hn) = wn+1
− wn+1
+ nhwn
−
n(n − 1)
2
h2
wn−1
− h3
wR(w, h) − nhwn
+ n2
h2
wn−1
−
n2
(n − 1)
2
h3
wn−2
− nh4
R(w, h)
=
n(n + 1)
2
h2
wn−1
+ h3 ˜R(w, h),
donde
˜R(w, h) = −wR(w, h) −
n2
(n − 1)
2
wn−2
− nhR(w, h)
es otro polinomio en w y h. Entonces el corchete se reescribe como
wn+1
− (w − h)n
(w + hn)
h(w − h)nwn+1
=
n(n + 1)
2
h
(w − h)nw2
+
h ˜R(w, h)
(w − h)nwn+1
.
Sobre γ, la función | ˜R(w, h)| es continua y, por tanto, su módulo alcanza un
valor máximo D. Por otro lado, como hemos visto antes,
|w − h| ≥ d − |h|, |w| ≥ d.
Sabiendo esto,
wn+1
− (w − h)n
(w + hn)
h(w − h)nwn+1
≤
n(n + 1)
2
h
(w − h)nw2
+
h ˜R(w, h)
(w − h)nwn+1
≤
n(n + 1)
2
|h|
(d − |h|)nd2
+
|h|D
(d − |h|)ndn+1
,

as´ı que
f(n−1)
(z − h) − f(n−1)
(z)
h
− f(n)
(z)
≤
(n + 1)!
2(d − |h|)nd2
+
(n − 1)!D
(d − |h|)ndn+1
|h|
L(γ)
2π
−−−−→
h→0
0.
Podemos, en consecuencia, enunciar el siguiente teorema:
Teorema 4.7. Sea f : Ω → C una función holomorfa en el dominio simplemen-
te conexo Ω ⊂ C; entonces, f ∈ C∞
(Ω) y todas sus derivadas son, por tanto,
holomorfas en Ω. Además, si γ es cualquier contorno cerrado simple orientado
positivamente de Ω, la derivada n-ésima se puede obtener mediante la fórmula
f(n)
(z) =
n!
2πi γ
f(ζ)
(ζ − z)n+1
dζ,
para todo z en el interior de γ. (Esta fórmula incluye, como caso n = 0, la fórmula
integral de Cauchy).
Una evidente consecuencia de este teorema es que si f(z) = u(x, y)+iv(x, y),
entonces u, v ∈ C∞
(Ω).
Ejemplos 4.9.
(1) Una consecuencia del teorema de las derivadas es que
γ
dz
(z − a)n+1
= 0,
para todo n ∈ N y para todo contorno cerrado simple γ. La razón es que el valor de esta
integral es ±2πif(n)
(z)/n!, siendo f(z) = 1 (el signo depende de la orientación de γ).
(2) Halla el valor de la integral
∂D(0,2)
z3
+ 2z + 1
(z − 1)3
dz.
Denotando f(z) = z3
+ 2z + 1, el resultado de esta integral es
∂D(0,2)
z3
+ 2z + 1
(z − 1)3
dz = πif′′
(1).
Como f′′
(z) = 6z,
∂D(0,2)
z3
+ 2z + 1
(z − 1)3
dz = 6πi.

4.7.2. Teorema de Morera
Si f(z) es continua en un dominio Ω (que puede ser múltiplemente conexo)
y la integral sobre cualquier contorno cerrado de Ω se anula, entonces sabemos,
por el teorema 4.3, que existe en Ω una función F(z) tal que F′
(z) = f(z) para
todo z ∈ Ω. La función F(z) es, por tanto, holomorfa en Ω, y como f(z) es su
derivada, por el teorema de las derivadas sabemos que f(z) tiene que ser también
holomorfa. Este resultado, que limitado a dominios simplemente conexos resulta
ser el rec´ıproco del teorema de Cauchy-Goursat, se debe a E. Morera, y se puede
formular as´ı:
Teorema 4.8 (Morera). Si f : Ω → C es continua en el dominio Ω ⊂ C y
γ
f(z) dz = 0
para todo contorno cerrado γ ⊂ Ω, entonces f(z) es holomorfa en Ω.
4.7.3. Teorema del valor medio de Gauss
Teorema 4.9. Sea f(z) una función holomorfa en un dominio Ω y sea z0 ∈ Ω.
Entonces f(z0) es igual al valor medio de f(z) sobre cualquier circunferencia de
Ω centrada en z0 y orientada positivamente.
Dem.: Denotemos Cr la circunferencia de Ω dada por |z − z0| = r orientada
positivamente. Entonces, por la fórmula integral de Cauchy,
f(z0) =
1
2πi Cr
f(z)
z − z0
dz,
y parametrizando Cr como z(θ) = z0 + reiθ
, con 0 ≤ θ ≤ 2π, la integral se
convierte en
f(z0) =
1
2π
2π
0
f z0 + reiθ
dθ.
Evidentemente, tomando la parte real e imaginaria de la fórmula del valor me-
dio de Gauss, llegamos a la conclusión de que la misma fórmula la verifican todas
las funciones armónicas.

Ejemplo 4.10. Para evaluar la integral
2π
0
ecos θ
cos(sen θ) dθ, razonamos de la siguiente manera:
ecos θ
cos(sen θ) = ecos θ
Re ei sen θ
= Re ecos θ+i sen θ
= Re eeiθ
.
Entonces, la integral se puede obtener como
2π
0
ecos θ
cos(sen θ) dθ = Re
2π
0
eeiθ
dθ = Re
2π
0
f eiθ
dθ,
definiendo f(z) = ez
. En consecuencia, según el teorema del valor medio de Cauchy,
2π
0
ecos θ
cos(sen θ) dθ = 2π Re f(0) = 2π.
El teorema del valor medio de Gauss se puede utilizar para resolver de forma
aproximada la ecuación de Laplace en un recinto, ya que la solución, u(x, y) (una
función armónica) se puede aproximar en (x0, y0) a partir de algunos de sus valores
sobre una circunferencia con centro en (x0, y0). Este es el fundamento del método
de diferencias finitas para resolver la ecuación de Laplace.
4.7.4. Principio del módulo máximo
En esta sección vamos a estudiar las curiosas propiedades que tiene el módulo
de una función holomorfa respecto a su valor máximo.
Lema 4.1. Sea f(z) una función holomorfa en D(z0, ǫ). Si |f(z)| ≤ |f(z0)| para
todo z ∈ D(z0, ǫ), entonces f(z) es constante en D(z0, ǫ).
Dem.: Dado 0 < ρ < ǫ, el teorema del valor medio de Gauss nos asegura que
f(z0) =
1
2π
2π
0
f z0 + ρeiθ
dθ,
de donde obtenemos la acotación
|f(z0)| ≤
1
2π
2π
0
f z0 + ρeiθ
dθ.
Por otro lado, como por hipótesis f z0 + ρeiθ
≤ |f(z0)| para todo 0 ≤ θ ≤ 2π,
2π
0
f z0 + ρeiθ
dθ ≤
2π
0
|f(z0)| dθ = 2π|f(z0)|,

luego
|f(z0)| ≥
1
2π
2π
0
f z0 + ρeiθ
dθ.
Por lo tanto,
|f(z0)| =
1
2π
2π
0
f z0 + ρeiθ
dθ,
o, lo que es lo mismo,
2π
0
|f(z0)| − f z0 + ρeiθ
dθ = 0.
Como el integrando es una función continua y no negativa en [0, 2π], para que la
integral se anule el integrando debe ser 0, y, por tanto,
|f(z)| = |f(z0)|
sobre la circunferencia de radio ρ centrada en z0. Este razonamiento es válido para
todo 0 < ρ < ǫ, luego |f(z)| = |f(z0)| para todo z ∈ D(z0, ǫ). Si el módulo de una
función holomorfa es constante en un dominio, entonces la función es constante
en ese dominio.
Con este lema podemos probar el siguiente resultado:
Teorema 4.10. Si una función f(z) es holomorfa y no constante en un dominio
Ω ⊂ C, entonces |f(z)| no tiene máximo en Ω.
Dem.: Probaremos el contrapositivo de este teorema, es decir, si f(z) es holomor-
fa en Ω y |f(z)| tiene máximo en Ω, entonces f es constante.
Supongamos que |f(z)| alcanza un máximo en z0 ∈ Ω. Sea z′
0 cualquier otro
punto de Ω. Como Ω es conexo, construyamos una curva γ desde z0 a z′
0. Sea d
la distancia de γ a ∂Ω. Elijamos n puntos sobre γ, z1, . . . , zn, de tal modo que
zn = z′
0 y
|zk − zk−1| < d, k = 1, 2, . . . , n.
Ahora construyamos los entornos Dk = D(zk, d), k = 0, 1, . . . , n. Todos ellos
están en Ω porque Ω es abierto y d es la distancia de γ a ∂Ω.
Por el lema anterior, f(z) es constante en D0, luego f(z1) = f(z0) ya que
z1 ∈ D0. Como |f(z0)| es máximo en Ω, también lo es |f(z1)|, luego otra vez por
el lema f(z) es constante en D1 y, por tanto, f(z2) = f(z0), ya que z2 ∈ D1.
Repitiendo el razonamiento llegamos a que f(z′
0) = f(z0). El punto z′
0 estaba
elegido arbitrariamente en Ω, luego f(z) = f(z0) para todo z ∈ Ω.

Y este teorema nos conduce a la siguiente conclusión:
Corolario 4.3 (Principio del módulo máximo). Sea Ω un dominio acotado de C
y f(z) una función holomorfa en Ω. Supongamos que f(z) es continua en Ω;
entonces |f(z)| alcanza su valor máximo en Ω, y éste se encuentra en ∂Ω.
Dem.: Como Ω es un conjunto cerrado y acotado, |f(z)|, que es una función conti-
nua, alcanza su valor máximo en Ω. Como por el teorema anterior |f(z)| no puede
ser máximo en Ω, el máximo debe estar en Ω − Ω = ∂Ω.
Ejemplo 4.11. Consideremos la función f(z) = sen z en el rectángulo 0 ≤ Re z ≤ π, 0 ≤ Im z ≤
1. Denotando z = z + iy, sabemos que
| sen z| = sen2 x + senh2
y;
entonces, | sen z| es máximo cuando lo son sen2
x en 0 ≤ x ≤ π, y senh2
y en 0 ≤ y ≤ 1,
independientemente. La primera es máxima en x = π/2, y la segunda en y = 1, y el punto
z = π
2
+ i está en la frontera del rectángulo.
Evidentemente, el principio del módulo máximo tiene una contrapartida para
el módulo m´ınimo si f(z) = 0, ya que entonces el m´ınimo de |f(z)| es el máximo
de la función |1/f(z)|.
También existe un principio de módulo máximo para funciones armónicas:
Corolario 4.4 (Principio del módulo máximo para funciones armónicas). Sea
u(x, y) una función armónica en el dominio acotado Ω de R2
. Supongamos que
u(x, y) es continua en ∂Ω; entonces el máximo de u(x, y) se alcanza sobre ∂Ω.
Dem.: Sea v(x, y) la armónica conjugada de u(x, y). Entonces f(z) = u(x, y) +
iv(x, y) es holomorfa en Ω y continua en ∂Ω, y lo mismo cabe decir de F(z) =
ef(z)
. Entonces, por el principio de módulo máximo |F(z)| = eu(x,y)
alcanza su
máximo sobre ∂Ω. Como la exponencial es monótona creciente estricta, lo mismo
ocurre con u(x, y).
4.7.5. Teorema de Liouville
Cuando la función f(z) es holomorfa en una región que contiene el disco ce-
rrado D(z0, R),
f(n)
(z0) =
n!
2πi CR
f(z)
(z − z0)n+1
dz,

siendo CR = ∂D(z0, R). Denotemos por MR el valor máximo de |f(z)| sobre CR.
Entonces,
|f(n)
(z0)| ≤
n!MR
Rn
.
Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Cauchy. Para el caso particular
n = 1 afirma que
|f′
(z0)| ≤
MR
R
,
una desigualdad que nos va a permitir obtener el siguiente resultado:
Teorema 4.11 (Liouville). Si f(z) es holomorfa y acotada en todo C, entonces es
constante.
Dem.: Al ser f holomorfa en todo C, la desigualdad de Cauchy es válida para
todo R y z0. Como |f(z)| ≤ M, para algún M > 0, en todo el plano complejo,
tenemos que
|f′
(z)| ≤
M
R
para todo z ∈ C y todo R > 0. En consecuencia, f′
(z) = 0 en todo C, y por tanto
f es constante.
4.7.6. Teorema fundamental del Álgebra
Uno de los resultados más importantes de la teor´ıa de variable compleja es que
todo polinomio de grado n tiene exactamente n ra´ıces complejas (contada cada
ra´ız tantas veces como sea su multiplicidad). Esto se conoce como teorema funda-
mental del Álgebra. El teorema es una consecuencia del teorema de Liouville.
Corolario 4.5 (Teorema fundamental del Álgebra). Todo polinomio
P(z) = a0 + a1z + · · · + anzn
(an = 0),
de grado n ≥ 1 tiene n ra´ıces complejas (contando su multiplicidad).
Dem.: En realidad basta probar que P(z) tiene al menos una ra´ız, ya que si z1
es una ra´ız de P(z), entonces Q1(z) = P(z)/(z − z1) es un polinomio de grado
n − 1.1
El mismo resultado asegura que Q1(z) tiene al menos una ra´ız z2 (igual o
distinta), con lo que Q2(z) = Q1(z)/(z − z2) es un polinomio de grado n − 2, y
as´ı sucesivamente hasta llegar a un polinomio de grado 0.
1
Para probarlo basta hacer una división por Ruffini y comprobar que el resto es P(z1) = 0.

Vamos, pues, a probar que P(z) tiene al menos una ra´ız. Procederemos por re-
ducción al absurdo, suponiendo que P(z) = 0 para todo z ∈ C. Entonces 1/P(z)
es holomorfa en C. Vamos a ver que también es acotada en C. Para ello escribamos
w =
a0
zn
+
a1
zn−1
+ · · · +
an−1
z
,
de modo que P(z) = (an + w)zn
. Como
|w| ≤
|a0|
|zn|
+
|a1|
|zn−1|
+ · · · +
|an−1|
|z|
,
podemos hacer que |w| sea arbitrariamente pequeño en la región |z| > R sin más
que tomar R suficientemente grande. Elijamos R de tal modo que |w| < |an|/2;
entonces
|an + w| ≥ |an| − |w| >
|an|
2
,
con lo que
1
|P(z)|
=
1
|an + w||z|n
<
2
|an|Rn
para todo |z| > R. As´ı que 1/P(z) es acotada fuera del disco cerrado D(0, R).
Pero en el disco cerrado también es acotada porque se trata de una función conti-
nua en un conjunto cerrado y acotado, as´ı que 1/P(z) es acotada en todo C. Por
el teorema de Liouville, 1/P(z) debe ser constante, luego P(z) = const., lo que
contradice el hecho de que ningún polinomio de grado n ≥ 1 es constante.
En conclusión, tiene que existir algún z1 ∈ C tal que P(z1) = 0.
4.7.7. Teorema de Taylor finito
Teorema 4.12. Sea f(z) una función holomorfa en el disco D(a, R); entonces,
para todo z ∈ D(a, R),
f(z) = f(a) + f′
(a)(z − a) +
f′′
(a)
2!
(z − a)2
+ · · · +
f(n)
(a)
n!
(z − a)n
+ Rn+1(z)(z − a)n+1
,
donde
Rn+1(z) =
1
2πi γ
f(ζ)
(ζ − z)(ζ − a)n+1
dζ,
siendo γ ⊂ D(a, R) un contorno cerrado simple que rodea los puntos a y z.

Dem.: Para el z dado y cualquier ζ ∈ γ, escribamos
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
1
1 −
z − a
ζ − a
.
Como ζ ∈ γ y z está en el interior de γ,
w =
z − a
ζ − a
= 1.
Si w ∈ C es tal que w = 1, entonces sabemos que
n
k=0
wk
=
1 − wn+1
1 − w
,
de donde
1
1 − w
=
n
k=0
wk
+
wn+1
1 − w
.
Haciendo w = (z − a)/(ζ − a) en esta expresión,
1
1 −
z − a
ζ − a
=
n
k=0
z − a
ζ − a
k
+
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
n+1
,
con lo que multiplicando por 1/(ζ − a) llegamos a la identidad
1
ζ − z
=
n
k=0
(z − a)k
(ζ − a)k+1
+
1
ζ − z
z − a
ζ − a
n+1
.
Multiplicando por f(ζ)/2πi e integrando sobre γ,
1
2πi γ
f(ζ)
ζ − z
dζ =
n
k=0
(z − a)k 1
2πi γ
f(ζ)
(ζ − a)k+1
dζ
+ (z − a)n+1 1
2πi γ
f(ζ)
(ζ − z)(ζ − a)n+1
dζ,
y aplicando la fórmula integral de Cauchy para f(z) y sus derivadas, e identifican-
do Rn+1(z), obtenemos la fórmula de Taylor.

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