6. พิจารณาการหาผลคูณต่อไปนี้
34x33 = (3x 3x 3x 3) x (3x 3x 3)
= 37
การหาผลคูณตามแบบตัวอย่างข้างต้นเป็ นไปตามสมบัติขอที่ 1 ดังนี้
้
สมบัติขอที่ 1 ให้aเป็ นจานวนใดๆ m และ n เป็ นจานวนเต็มบวกแล้ว
้
am x an = a m + n
หมายเหตุ am x an อาจเขียนในรู ป am an หรื อ (am) (an) หรื อ am .an
7. พิจารณาการหาผลคูณต่อไปนี้
(1) (3x6)3 = (3x6) x (3x6) x (3x6)
= (3x3x3)x (6x6x6)
= 3 3 x 36
= 27 x 216
= 5,832
(2) [2x(-3)]4 = [2x(-3)] x [2x(-3)] x [2x(-3)] x [2x(-3)]
= (2x2x2x2)x[(-3) x (-3) x (-3) x (-3) ]
= 24 x (-3)4
= 16 x 81
= 1,296
24. 3.a4 x a-6 = a 4 x 1
a6
= a4-6
= a-2 หรื อ a4+(-6)
4.a-5 x a-3 = 1 x 1
a5 a3
= 1
a8
= a-8 หรื อ a-5+(-3)
25. จากการหาผลคูณของเลขยกกาลังข้างต้นจะเห็นว่าการคูณเลขยกกาลังที่มีฐานเป็ นจานวนใดๆ ที่ไม่
เท่ากับศูนย์ จะได้ผลคูณเป็ นเลขฐานเดิมที่มีเลขชี้กาลังเป็ นผลบวกเลขชี้กาลังของเลขยกกาลังที่
นามาคูณกัน ซึ่งเป็ นไปตามสมบัติการคูณของเลขยกกาลัง ดังนี้
เมื่อ a เป็ นจานวนใดๆ ที่ a ≠ 0 และ m , n เป็ นจานวนเต็มแล้ว am x a n = a m + n
ตัวอย่างที่ 11 จงหาผลคูณต่อไปนี้ในรู ปสมของเลขยกกาลัง
(1) 128 x 2-10 (2) (-5)-4 x 5 -6
วิธีทา (1) 128 x 2-10 = 27 x 2 -10
= 2 7+(-10)
= 2-3
(2) (-5)-4 x 5-6 = 1 x 5-6
(-5)-4
= 1 x 5-6
54
= 5-4 x 5-6
= 5-4+(-6)
= 5-10
26. ตัวอย่างที่ 12 จงหาค่าของ 45 x (-64) x (-4)-3 ในรู ปของเลขยกกาลัง
วิธีทา 45 x (-64) x (-4)-3 = 45 x 42 x (-4) x (-4)-3
= 45+2 x (-4)1+(-3)
= 47x(-4)-2
= 47 x 4-2
= 47+(-2)
= 45
27. จากสมบัติของการหารเลขยกกาลังเมื่อเลขชี้กาลังเป็ นจานวนเต็มบวกที่ได้กล่าวไปแล้ว
ต่อไปนี้จะพิจารณาสมบัติดงกล่าวในเมื่อเลขชี้กาลังเป็ นจานวนเต็มใดๆ
ั
พิจารณาการหารเลขยกกาลังต่อไปนี้ เมื่อ a เป็ นจานวนใดๆ ที่ a ≠ 0
(1) a 0 = 1 = a -4 หรื อ a 0-4
a4 a4
(2) a -4 = a-4 = a -4 หรื อ a-4-0
a0 1
(3) a 6 = a 6 = a6 x a3 = a9 หรื อ a 6-(-3)
a-3 1
a3
(4) a-5 = a -5 = a-5 x a2 =a-3 หรื อ a -5-(-2)
a-2 1
a2
28. จากการหาผลหารของเลขยกกาลังข้างต้นพบว่า การหารเลขยกกาลังทีมีฐานของ
เลขยกกาลังเป็ นจานวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ จะได้ผลหารเป็ นเลขฐานเดิมที่
มีเลขชี้กาลังเป็ นผลลบของเลขชี้กาลังของตัวตั้งกับเลขชี้กาลังของตัวหาร ซึ่ ง
เป็ นไปตามสมบัติการหารของเลขยกกาลังดังนี้
เมื่อ a เป็ นจานวนใดๆ ที่ a ≠ 0 และ m , n เป็ นจานวนเต็มแล้ว
a m = a m-n
an
30. ตัวอย่างที่ 14 จงหาค่าของ 125 x 5-5 ในรู ปของเลขยกกาลัง
55 x 5-6
วิธีทา 125 x 5-5 = 53 x 5-5
55 x 5-6 55 x 5-6
= 5 3+(-5)
5 5+(-6)
= 5-2
5-1
= 5 -2-(-1)
= 5-1
= 1
5
31. จากที่นกเรี ยนได้เรี ยนมาแล้วว่า เมื่อ a เป็ นจานวนใดๆ ที่ a ≠ 0 และ n เป็ นจานวนเต็มบวก
ั
a-n = 1
an
่
เราสามารถแสดงให้เห็นจริ งได้วา a-n = 1 เมื่อ n เป็ นจานวนเต็มได้ดงนี้ ั
an
จากสมบัติการหารเลขยกกาลัง am = a m – nเมื่อ a เป็ นจานวนใดๆที่ a ≠ 0และm , nเป็ นจานวนเต็ม
an
เมื่อ m = 0 จะได้ a0 = a0-n = a-n
an
และ a0 = 1
an a n
นันคือ a-n = 1
่
an
่
ถ้าให้ n = -p จะสรุ ปได้วา a p = 1
a-p
เมื่อ a เป็ นจานวนใดๆ ที่ a = 0 และ n เป็ นจานวนเต็มแล้ว
a-n = 1
an
37. • (3) (4x9)0 ซึ่ งเป็ นเลขยกกาลังที่มี 4x9 เป็ นฐานและ 0 เป็ นเลขชี้กาลัง
( 4x9 )0 = 1 หรื อ 40 x 90
่ ่
จากค่าของเลขยกกาลังข้างต้นสรุ ปได้วาเลขยกกาลังที่มีฐานอยูในรู ปผลคูณของ
่
จานวนหลายๆ จานวน จะมีคากับจานวนต่างๆ ที่คูณกันนั้นมีเลขชี้กาลังเท่ากับเลขชี้
กาลังของเลขยกกาลังนั้น ซึ่ งเป็ นไปตามสมบัติของเลขยกกาลัง ดังนี้
เมื่อ a และ b เป็ นจานวนใดๆ ที่ a ≠ 0 , b ≠ 0 และ n เป็ นจานวนเต็มแล้ว
(ab) n = anbn
่
ตัวอย่างที่ 17 จงเขียน(210) -5 ให้อยูรูปเลขยกกาลังที่มีฐานเป็ นจานวนเฉพาะ
วิธีทา (210) -5 = ( 2x3x5x7) -5
= 2 -5 x 3 -5 x 5 -5 x 7 -5
38. สรุ ปสมบัติของเลขยกกาลัง
เมื่อ a และ b เป็ นจานวนใดๆ ที่ a ≠ 0 , b ≠ 0 และ m , nเป็ นจานวนเต็มแล้ว
1. am × an = a m+ n 2. (am)n = am n
3. (a b)n = an b n 4. am = am-n
an
ต่อไปนี้เป็ นการนาสมบัติของเลขยกกาลังข้างต้นไปใช้ในการคานวณเกี่ยวกับการดาเนินการของเลข
ยกกาลัง
่
ตัวอย่างที่ 20 จงทาให้อยูในรู ปอย่างง่ายและมีเลขชี้กาลังเป็ นบวก
(1) (8-2x25x2-1)2 (2) (92x3-2x273)-2
วิธีทา (1) (8-2x25x2-2)2 = [(23)x-2x25x2-1]2
= (2-6x25x2-1)2
= (2-2)2
=1
24
40. (2) 3x5y6 x 6x-1y-3 = (3x5y6) x (6x-1y-3)
2 9 24x32
= 18x4y3
24x32
= x4y3
23
จากบทนิยามและสมบัติของเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็ นจานวนเต็มสามารถสร้าง
สมบัติของเลขยกกาลังเพิ่มเติมได้ดงต่อไปนี้
ั
สาหรับจานวน a และ b ใดๆที่ไม่เป็ นศูนย์ และ m , n และ p เป็ นจานวนเต็มแล้วจะได้
(1) (am x b n) p = amp x b n p (2) a-m = b n
b -n am