คู่อันดับ, ผลคูณคาร์ทีเซียน

1. เว็บไซต http://krupraiwan.wordpress.com
อีเมล krupraiwan@gmail.com
เฟซบุค www.facebook.com/krupraiwan
ทวิตเตอร www.twitter.com/krupraiwan (@krupraiwan)

2. คูอนดับ
 ั
(Ordered Pairs)

3. ความหมายของคูอันดับ
คูอันดับ เปนลักษณะของการจับคูกันของสิ่งที่มีความเกี่ยวของกันภายใต
เงื่อนไขอยางใดอยางหนึ่ง
เชน คูอันดับแสดงการจับคูของสินคากับราคาสินคา
นักเรียนกับหองเรียน
นิยาม คูอันดับ (a, b) = (c, d) ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d
เชน (a, 3) = (4, b) จะได a = ………. และ b = ………..
4 3

4. ตัวอยางที่ 1 จงหาคา x และ y จากคูอันดับตอไปนี้

1) ถา (x–3, y+5) = (2x+1, 20–2y)
2) ถา (x+y, 2x–3y) = (1, 12)

5. ผลคูณคารทีเซียน
(Cartesian Product)

6. ผลคูณคารทีเซียน
ผลคูณคารทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคูอันดับ (a, b) ทั้งหมด
โดยที่ a ∈ A และ b ∈ B เขียนแทนดวยสัญลักษณ A × B
∴ A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B }

7. ตัวอยางที่ 1 ให A = { 2, 4, 6 } และ B = { 3, 4 } จงหา
1. A × B
{ (2, 3), (2, 4), (4, 3), (4, 4), (6, 3), (6, 4) }
2. B × A
{ (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6) }
3. A × A
{ (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6) }
4. B × B
{ (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4) }

8. ตัวอยางที่ 2 ให A = { x∈I | 1 ≤ x ≤ 5 } { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 6, 7, 8, 9 }
C = {x | x เปนจํานวนคูบวกที่นอยกวา 10} { 2, 4, 6, 8 }
จงหา 1) A × (B∩C)
2) (A∩C) × B
(B∩C) = { 6, 8 }
A × (B∩C)
= { (1, 6), (1, 8), (2, 6), (2, 8), (3, 6), (3, 8), (4, 6), (4, 8), (5, 6), (5, 8) }
(A∩C) = { 2, 4 }
(A∩C) × B
= { (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9) }

9. ลองทําดู ☺
กําหนด A = { 1, 2 }, B = { 1 }, C = { 1, 3 } จงหา
1) A×(B∪C)
2) (A×B) ∪ (A×C)
3) A×(B∩C)
4) (A×B) ∩ (A×C)

10. ลองทําดู...อีกครั้งครับ ☺
กําหนด A = { 1, 2, 3, …, 20 },
B = { 2, 4, 6, …, 20 },
C = { 5, 10, 15, 20 }
จงหาจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้
1) (A×B)∩ (A×C)
2) A×(B∪C)
3) (A∩B)×C
4) (B×A)∩(C×A)

11. สมบัติที่สําคัญของผลคูณคารทีเซียน
1) ถา A มีสมาชิก m ตัว และ B มีสมาชิก n ตัว
∴ A × B มีสมาชิก mn ตัว
2) AB = φ ก็ตอเมื่อ A = φ หรือ B = φ
3) A × (B∪C) = (A×B) ∪ (A×C)
4) A × (B∩C) = (A×B) ∩ (A×C)
5) A × (B – C) = (A×B) – (A×C)
6) A × B ≠ B × A