บทที่ 3 การแปรผัน

1บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
บทที่ 3 การแปรผัน
การแปรผัน แบ่งได้เป็น 3 ประเภท ดังนี้
1) การแปรผันตรง (Direct variation)
2) การแปรผกผัน (Invers variation)
3) การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (Joint variation)
1. การแปรผันตรง
การแปรผันตรง หมายถึง ถ้าสิ่งหนึ่งมีค่าเพิ่มขึ้น จะมีผลทาให้สิ่งหนึ่งมีค่าเพิ่มขึ้นด้วย และถ้าสิ่งหนึ่งมีค่าลดลงก็จะมี
ผลทาให้อีกสิ่งหนึ่งลดลงตามไปด้วยอัตราส่วนที่คงตัว เช่น กาไรแปรผันตรงกับราคาขาย และระยะทางแปรผันตรงกับ
เวลา เป็นต้น
บทนิยาม ถ้า x และ y แทนปริมาณใดๆ และ y แปรผันตรงกับ x แล้ว y
k
x
 หรือ y kx
โดยที่ k เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน เมื่อ 0k 
จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ y x นั่นคือ y kx เมื่อ 0k 
ตัวอย่างที่ 1 ถ้า y แปรผันตรงกับ x และ 45y  เมื่อ 60x 
จงหา 1) ค่าคงตัวของการแปรผัน 2) y เมื่อ 28x 
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า y เมื่อกาหนดให้ y แปรผันตรงกับ x และ 2 , 15k x  
ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้  1P Q  และ 5
125 ,
2
P k  จงหา Q

ตัวอย่างที่ 4 เมื่อเริ่มการทดลองมีแบคทีเรียชนิดหนึ่งอยู่ 75 ตัว หลังการทดลองไปได้ 3 วินาที แบคทีเรียเพิ่มขึ้นแปรผัน
ตรงกับกาลังสองของเวลาที่ทดลอง จงหาว่าทดลองไปกี่วินาที จานวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าของปริมาณเดิม
ตัวอย่างที่ 5 ปริมาตรของทรงกลมแปรผันตรงกับกาลังสามของรัศมีของทรงกลมนั้น ถ้ารัศมีของทรงกลมยาว
42 เซนติเมตร ปริมาตรของทรงกลมจะเท่ากับ 310,464 ลูกบาศก์เซนติเมตร
จงหาปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี 21 เซนติเมตร
ตัวอย่างที่ 6 ตุ้มน้าหนักอันหนึ่งห้อยอยู่ที่ปลายเชือกเส้นหนึ่ง พบว่าเวลาของการแกว่งครบรอบของลูกตุ้มแปรผันตรง
กับรากที่สองของความยาวของเส้นเชือก ถ้าเชือกยาว 25 เซนติเมตร จะแกว่งครบรอบใน 1 วินาที จงหาว่า
1) ถ้าเชือกยาว 1 เมตร ลูกตุ้มจะแกว่งครบรอบในเวลากี่วินาที
2) ถ้าต้องการให้ลูกตุ้มแกว่งได้นาทีละ 75 รอบ จะต้องแขวนลูกตุ้มด้วยเชือกยาวเท่าไร

2. การแปรผกผัน
การแปรผกผัน หมายถึง ความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งของตั้งแต่สองสิ่งขึ้นไปในทิศทางตรงข้ามกัน โดยที่ถ้าสิ่งหนึ่งเพิ่ม
ขึ้นจะมีผลทาให้อีกสิ่งหนึ่งมีค่าลดลงด้วย และถ้าสิ่งหนึ่งมีค่าลดลง ก็จะมีผลทาให้อีกสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นด้วยอัตราส่วนที่คงตัว
เช่น จานวนคนกับระยะเวลาในการทางานอย่างหนึ่งให้สาเร็จ เวลากับอัตราเร็ว เป็นต้น
บทนิยาม ถ้า x และ y แทนปริมาณใดๆ และ y แปรผกผันกับ x แล้ว
k
y
x
 โดยที่ k เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน เมื่อ 0k 
จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 1
y
x
 นั่นคือ k
y
x
 เมื่อ 0k 
ตัวอย่างที่ 1 ถ้า y แปรผกผันกับ x และ 8 , 3y x  แล้วค่าของ k เท่ากับเท่าใด
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ 5
2y
x
 เมื่อ 3y   จงหาค่าของ x
ตัวอย่างที่ 3 ถ้า x แปรผกผันกับ 2
y และ 5x  เมื่อ 3y  จงหาค่า x เมื่อ 6y 
ตัวอย่างที่ 4 ถ้า y แปรผกผันกับรากที่สองที่เป็นบวกของ x และ 5y  เมื่อ 16x 
จงหา 1) y เมื่อ 225x  2) x เมื่อ 2y 

ตัวอย่างที่ 5 แรงดึงดูดระหว่างมวลของอนุภาค 2 อนุภาค แปรผกผันกับกาลังสองของระยะทางระหว่างอนุภาคทั้งสอง
ถ้าอนุภาค 2 อนุภาคอยู่ห่างกัน 1 เซนติเมตร แรงดึงดูดระหว่างมวลเป็น 8
6.67 10
 ไดน์ จงหาแรงดึงดูด
ระหว่างมวลของอนุภาค 2 อนุภาคนี้ เมื่ออยู่ห่างกัน 1 เมตร
ตัวอย่างที่ 6 เวลาที่ใช้ในการเดินทางโดยเครื่องบินในระยะทางที่กาหนดให้ แปรผกผันกับอัตราเร็วของเครื่องบิน
เมื่อเครื่องบินลาหนึ่งเพิ่มอัตราเร็ว จาก 640 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เป็น 1,200 กิโลเมตรต่อชั่วโมงทาให้ใช้เวลา
ในการเดินทางเพียง 9 ชั่วโมง อยากทราบว่าถ้าเครื่องบินลานี้ยังคงบินด้วยอัตราเร็วเดิมจะใช้เวลาในการเดินทาง
เท่าไร และจงหาอัตราเร็วเมื่อเครื่องบินใช้เวลาบิน 1
7
5
ชั่วโมง

3. การแปรผันเกี่ยวเนื่อง
การแปรผันเกี่ยวเนื่อง หมายถึง การแปรผันที่มีสิ่งใดสิ่งหนึ่งสามารถแปรผันออกไปและเกี่ยวเนื่องกับสิ่งอื่นๆ
โดยเฉพาะปรากฏอยู่ในรูปการคูณ เช่น จานวนดอกเบี้ยจะแปรผันเกี่ยวเนื่องกับเงินต้นและเวลา กาลังไฟฟ้าแปรผัน
เกี่ยวเนื่องกับปริมาณกระแสไฟกับแรงเคลื่อนไฟฟ้า เป็นต้น
บทนิยาม ถ้า 1 2 3, , , . . . , nx x x x และ y เป็นปริมาณใดๆ
และ y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ 1 2 3, , , . . . , nx x x x แล้ว 1 2 3 . . . ny kx x x x    
เมื่อ k เป็นค่าคงตัว และ 0k 
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ y แปรผันตรงกับ x และ z และ แปรผกผันกับรากที่สองของ t
ถ้า 64y  เมื่อ 16 , 2x z  และ 1t  จงหา
1) y เมื่อ 15 , 4x z  และ 9t 
2) x เมื่อ 48 , 8y z  และ 16t 

ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ a แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ 2
b และ 1
c
ถ้า 64a  และ 5c 
จงหา a เมื่อ 3b  และ 4c 
ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ S แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x และ y และแปรผกผันกับ z ถ้า x เพิ่มขึ้น 50%
y ลดลง 50% และ z เพิ่มขึ้น 20% แล้ว S จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงกี่เปอร์เซ็นต์
ตัวอย่างที่ 4 ความต้านทานไฟฟ้าของลวดเส้นหนึ่งแปรผันโดยตรงกับความยาวของเส้นลวด และแปรผกผันกับกาลังสอง
ของความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของหน้าตัด เมื่อความยาวของเส้นลวดเท่ากับ 1 เมตร ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง
ของหน้าตัดเท่ากับ 1 มิลลิเมตร ความต้านทานไฟฟ้าของเส้นลวดเท่ากับ 0.5 โอห์ม จงหาความต้านทานของเส้นลวด
ยาว 100 เมตร เมื่อเส้นผ่านศูนย์กลางของหน้าตัดยาว 0.25 มิลลิเมตร

การนาไปใช้
การนาไปใช้สามารถสรุปได้เป็น 3 แบบ ดังนี้
1. เมื่อจานวนหนึ่ง เท่ากับ ผลบวกของสองจานวน โดยที่จานวนหนึ่งคงที่แต่อีกจานวนหนึ่งแปรผันไป
เช่น y A B  โดยที่ A คงที่ และ B x หรือ B kx
จะได้ว่า y A kx  เมื่อ k เป็นค่าคงตัว และ 0k 
ตัวอย่างที่ 1 ถ้าส่วนหนึ่งของ y คงที่ อีกส่วนหนึ่งแปรผันตรงกับ x ถ้า 17y  เมื่อ 1
3
x  และ 42y 
เมื่อ 2x  จงหาสมการแสดงความเกี่ยวข้องของ x และ y
ตัวอย่างที่ 2 ค่าใช้จ่ายในการพิมพ์หนังสือออกจาหน่าย ส่วนหนึ่งขึ้นอยู่กับการจัดพิมพ์แบบ อีกส่วนหนึ่งขึ้นอยู่กับ
ค่าพิมพ์ซึ่งแปรผันโดยตรงกับจานวนเล่มที่พิมพ์ถ้าพิมพ์หนังสือได้ 630 เล่ม จะขาดทุน 10% ถ้าพิมพ์980 เล่ม
จะได้กาไร 12% จะต้องพิมพ์กี่เล่มจึงจะพอดีทุน

2. เมื่อจานวนหนึ่ง เท่ากับ ผลบวกของ 2 จานวน โดยแต่ละจานวนแปรผันไป
เช่น y A B 
2.1 ถ้า A แปรผันตรงกับ x และ B แปรผันตรงกับ z
จะได้ y kx nz  เมื่อ ,k n เป็นค่าคงตัว และ 0 , 0k n 
2.2 ถ้า A แปรผันตรงกับ x และ B แปรผกผันกับ z
จะได้ n
y kx
z
  เมื่อ ,k n เป็นค่าคงตัว และ 0 , 0k n 
2.3 ถ้า A แปรผกผันกับ x และ B แปรผกผันกับ z
จะได้ k n
y
x z
  เมื่อ ,k n เป็นค่าคงตัว และ 0 , 0k n 
ตัวอย่างที่ 3 ถ้า y เท่ากับผลบวกของ 2 จานวน จานวนหนึ่งแปรผันตรงกับ x อีกจานวนแปรผกผันกับ x
ถ้า 5y  เมื่อ 2x  และ 11
2
y  เมื่อ 4x  จงหา y เมื่อ 6x 
ตัวอย่างที่ 4 ให้ส่วนหนึ่งของ y แปรผันตรงกับ 3
x และอีกส่วนหนึ่งของ y แปรผกผันกับ 2
x โดย ถ้า 1x 
จะได้ 9y  และถ้า 1x   จะได้ 1y  แล้ว ค่าของ y เมื่อ 2x  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 33.25
ข. 32.25
ค. 28.75
ง. 12.75

3. เมื่อจานวนหนึ่งแปรผันตามผลบวกของ 2 จานวน และแต่ละจานวนแปรผันไป
เช่น  y A B  หรือ  y k A B  เมื่อ k เป็นค่าคงตัว และ 0k 
สมมติว่า A แปรผันตรงกับ x และ B แปรผกผันกับ 2
x
จะได้ว่า 2
n
y k mx
x
 
  
 
เมื่อ , ,k m n เป็นค่าคงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์
ตัวอย่างที่ 5 รายได้ของรถไฟแปรผันตรงกับอัตราความเร็วเฉลี่ยที่เกิน 20 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ส่วนรายจ่ายแปรผันตรง
กับกาลังสองของอัตราเร็วเฉลี่ยที่เกิน 20 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เช่นกัน ถ้าอัตราเร็วเฉลี่ยเป็น 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
รายได้และรายจ่ายจะเท่ากันพอดี อยากทราบว่าจะได้กาไรหรือขาดทุนร้อยละเท่าไร ถ้ารถไฟแล่นด้วยความเร็ว
35 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ตัวอย่างที่ 6 กาหนดให้ z
x
y
 โดยที่เมื่อ 2xy  จะได้ 5z  ถ้า 2 2
15x y  และ 3x y 
แล้ว ค่าของ 2
x yz เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 17
ข. 19
ค. 22
ง. 26

ตัวอย่างที่ 7 กาหนดให้ x แปรผันตรงกับกาลังสองของ y และแปรผกผันกับรากที่สองที่เป็นบวกของ z
ถ้า y และ z มีค่าเป็น 2 เท่าของค่าเดิม แล้วค่าของ x จะเป็นกี่เท่าของค่าเดิม
ตัวอย่างที่ 8 ต้นทุนในการผลิตสินค้าแยกได้ออกเป็น 2 ส่วน ส่วนหนึ่งคงตัว อีกส่วนหนึ่งแปรผันตามจานวนสินค้าที่ผลิต
ถ้าผลิต 700 ชิ้น และขายชิ้นละ 150 บาท เมื่อขายหมดจะได้เงินเท่าทุนพอดี แต่ถ้าผลิต 1,050 ชิ้น และขายชิ้นละ
120 บาท เมื่อขายหมดจะขาดทุน 10% ต้นทุนคงตัวเท่ากับเท่าใด

บทที่ 3 การแปรผัน

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (19)

Plus de sawed kodnara

Plus de sawed kodnara (16)

บทที่ 3 การแปรผัน