42. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
42
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 10 ในจานวนเด็ก 12 คน มีเด็กถนัดซ้าย 4 คน ถ้าเลือกเด็ก 5 คน โดยการสุ่มจากเด็กเหล่านี้ แล้วความน่าจะ
่
เป็ นที่จะมีเด็กถนัดซ้ายอยูในกลุ่มที่เลือกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก.
ข.
ค.
ง.
35
99
47
99
63
99
92
99
สมบัตบางประการของความน่ าจะเป็ น
ิ
1. ความน่าจะเป็ นของยูเนียนของเหตุการณ์
ให้ S เป็ นแซมเปิ ลสเปซ A , B เป็ นเหตุการณ์ใดๆ และ A S , B S , C S
1. P A B P A P B P A B
2. P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C
2. ความน่าจะเป็ นของผลต่างและคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ ถ้า A , B เป็ นเหตุการณ์ในแซมเปิ ลสเปซ S แล้ว
1. P A B P A B P B P A B
2. P A P A 1
3.
4.
5.
P A B P A B
P A P A
P A B P A B
45. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
45
ครู เสวตร
ทฤษฎีบททวินาม ( Binomial Theorem )
บทนิยาม ถ้า
a
และ b เป็ นจานวนจริ ง และ n เป็ นจานวนเต็มบวก แล้ว
a
b
n
n n1
a b
1
an
n
ab n
n 1
1
n n 2 2
a b
2
n n 3 3
a b
3
...
n n r r
a b
r
...
bn
หมายเหตุ
1. จานวน
n n n
, , ,…,
0 1 2
n
n
ที่ปรากฏในการการะจาย a b n เหล่านี้
เรี ยกว่า สั มประสิ ทธิ์ทวินาม ( binomial coefficient )
2. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ทวินาม =
n
0
+
n
+
1
n
+…+
2
n
n
= 2
n
3. จานวนพจน์ที่ได้จากการกระจายมี n 1 พจน์
4. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของพจน์ทุกพจน์ที่ได้จากการกระจาย mx ky n เมื่อ
n
m k
5. ถ้า
n n
r k
แล้ว
rk n
ตัวอย่ างที่ 1 ในข้อต่อไปนี้ จงกระจายโดยใช้ทฤษฎีบททวินาม
1. 3a 2b 4
2. x 2 y 5
m,k
เป็ นค่าคงตัวใดๆ คือ
46. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
การหาพจน์ ใดพจน์ หนึ่งจากการกระจาย a b
จากบทนิยาม พจน์ที่ r คือ
ถ้าให้
หรื อ
Tr
แทน พจน์ที่
r
46
n
n n ( r 1) r 1
b
a
r 1
ดังนั้น
n n ( r 1) r 1
Tr
b
a
r 1
n
Tr 1 a n r b r ………………
r
ตัวอย่ างที่ 2 จงหาพจน์ที่ 6 จากการกระจาย 3x 2 y 10
ตัวอย่ างที่ 3 จงหาพจน์กลางของการกระจาย x 2 y 6
ตัวอย่ างที่ 4 จงหาพจน์กลางจากการกระจาย 2x y 9
ครู เสวตร