การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

1. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
1
ใบความรู้
เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้ น
ระบบสมการเชิงเส้ นและคาตอบของระบบสมการเชิงเส้ น
บทนิยาม
ให้ a, b, c, d, e, f เป็ นจานวนจริ งใด ๆ ที่ a, b ไม่เป็ นศูนย์พร้อมกัน และ c, d ไม่เป็ นศูนย์พร้อมกัน
ax  by  e
เรี ยก 
ว่ าเป็ นระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร
cx  dy  f

โดยที่ x และ y เป็ นตัวแปร
คาตอบของระบบสมการนี้คือค่าของ x และ y ที่ทาให้สมการทั้งคู่เป็ นจริ ง
ตัวอย่ างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ
x+y=0
2x – y = 3
x + y = 0 ………..(1)
x–y = 3 ………..(2)
(1)+(2) ; x + y + 2x – y = 0 + 3
3x = 3
วิธีทา
x=
3
3
=1
แทนค่า x = 1 ในสมการ (1) จะได้
1+y= 0
y = 0 – 1 = –1
คาตอบของสมการคือ x = 1 และ y = –1 หรื อ (1, –1)
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

2. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
2
วิธีแก้ระบบสมการ
วิธีการแก้ ระบบสมการ สามารถทาได้ 2 วิธี คือ
1) การกาจัดตัวแปรโดยวิธีการบวกลบสมการ (elimination by addition or subtraction ) ทาได้โดยการนา
สมการมาบวกหรื อลบกันเพือกาจัดตัวแปรให้เหลือตัวแปรเดียว แล้วหาค่าตัวแปรนั้นจากสมการที่ได้
่
จากนั้นให้นาค่าของตัวแปรที่ได้ไปแทนในสมการเดิมสมการใดสมการหนึ่ ง เพื่อหาค่าของตัวแปรที่
เหลือ
2) การกาจัดตัวแปรโดยวิธีการแทนค่า (elimination by substitution) ทาได้โดยเลือกสมการใดสมการ
่
หนึ่ง แล้วหาค่าตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้อยูในรู ปของอีกตัวแปรหนึ่ง นาผลที่ได้ไปแทนในอีกสมการ
หนึ่ง แล้วจะเหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว จึงหาค่าของตัวแปรนั้นได้ เมื่อหาตัวแปรหนึ่งได้ก็จะหาตัว
แปรที่เหลือได้
ระบบสมการเชิงเส้ นและคาตอบของระบบสมการเชิงเส้ น
ในหัวข้อนี้จะศึกษาระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปร โดยที่ n  2
บทนิยาม
ให้ a1 ,a 2 ,a 3 ,...a n , b เป็ นจานวนจริ งใด ๆ ที่ a1 ,a 2 ,a 3 ,...a n ไม่เป็ นศูนย์พร้อมกัน เรี ยกสมการ
a1x1  a 2 x 2  a3x 3  ...  a n x n  b เป็ นสมการเชิงเส้น n ตัวแปร โดยที่ x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n เป็ นตัวแปร
บทนิยาม
ระบบสมการเชิงเส้นที่มี x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n เป็ นตัวแปร หมายถึงชุดของสมการเชิงเส้นที่ประกอบด้วยสมการ
เชิงเส้นที่มี x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n เป็ นตัวแปรจานวน m สมการ โดยที่ m  2
คาตอบของระบบสมการนี้คือ ค่าของ x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n ที่ทาให้สมการทั้ง m สมการเป็ นจริ ง
โดยทัวไปแล้ว เมื่อกาหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มี m สมการ และ n ตัวแปร
่
a11x1  a12 x 2  a13 x3  ...  a1n x n  b1
a 21x1  a 22 x 2  a 23x 3  ...  a 2n x n  b 2
a m1x1  a m2 x 2  a m3x 3  ...  a mn x n  b m
เมื่อ a i1x1  a i2 x 2  a i3x 3  ...  a in x n  b i เป็ นสมการเชิงเส้นทุก i  {1, 2, 3, …, m} นันคือ
่
a i1 ,a i2 ,a i3 x 3 ,...,a in ,b i เป็ นจานวนจริ งใด ๆ ที่ a i1 ,a i2 ,a i3 x 3 ,...,a in ,b i ไม่เป็ นศูนย์พร้อมกัน
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

3. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
3
ในระบบสมการเชิงเส้นที่มี n ตัวแปร มักนิยมแทนตัวแปรดังนี้
ถ้า n = 2 แล้ว จะให้ x, y
แทนตัวแปร
ถ้า n = 3 แล้ว จะให้ x, y, z
แทนตัวแปร
ถ้า n = 4 แล้ว จะให้ x, y, z, t แทนตัวแปร
ถ้า n  5 แล้ว จะให้ x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n แทนตัวแปร
อาจใช้ x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n แทนตัวแปร กรณี n = 2, 3 หรื อ 4 ก็ได้
สาหรับคาตอบของระบบสมการมักนิยมเขียนในรู ปของ n สิ่งอันดับ (ordered n-tuple) เช่น (x, y) , (x, y, z),
(x, y, z, t), ( x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n )
ตัวอย่ างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ
x+y+z = 2
x+y–z = 4
x + 2y + z = 4
วิธีทา
x+y+z = 2
…………………..(1)
x+y–z = 4
…………………..(2)
x + 2y + z = 4
…………………..(3)
(1) – (2) จะได้ 2z = –2
z = –1
(3) – (1) จะได้ y = 2
แทนค่า y = 2 และ z = –1 ลงใน (1)
จะได้ x + 2 – 1 = 2
x=1
อย่าลืม!ตรวจคาตอบนะจ๊ะ
ตรวจคาตอบโดยการนาค่า x = 1 , y = 2 และ z = –1 แทนลงใน (2) และ (3)
ได้ค่าเป็ นจริ งทั้งสองสมการ
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ (1, 2, –1)
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

4. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
4
ตัวอย่ างที่ 2 จงแก้ระบบสมการ
x + y + z = –2
x – 2y – 2z = 1
x + 2y + z = 0
วิธีทา
x + y + z = –2
…………………..(1)
x – 2y – 2z = 1
…………………..(2)
x + 2y + z = 0
…………………..(3)
(1) – (2) จะได้
(x + y + z) – (x – 2y – 2z) = –2 – 1
x + y + z – x + 2y + 2z = –3
(3) – (1) จะได้
3y + 3z = –3
y + z = –1 …………………..(4)
(x + 2y + z) – (x + y + z) = 0 – (–2)
x + 2y + z – x – y – z = 2
y= 2
แทนค่า y = 2 ลงใน (4)
จะได้
2 + z = –1
z = –3
แทนค่า y = 2 และ z = –3 ลงใน (1)
จะได้
x + 2 + (–3) = –2
x = –1
อย่าลืม!ตรวจคาตอบนะจ๊ะ
ตรวจคาตอบ โดยการนาค่า x = –1 , y = 2 และ z = –3 แทนลงใน (2) และ (3)
ได้ค่าเป็ นจริ งทั้งสองสมการ
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ (–1, 2, –3)
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

5. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
5
ตัวอย่ างที่ 3 จงแก้ระบบสมการ
x + 2y + 7z = 10
x + y + 5z = 7
2x – y + 4z = 5
วิธีทา
x + 2y + 7z
x + y + 5z
2x – y + 4z
(1) – (2) จะได้
2(1) จะได้
(5) – (3) จะได้
5 (4)
(6) – (7)
2  (4) จะได้
(1) – (8) จะได้
= 10
= 7
= 5
y + 2z = 3
2x + 4y + 14z = 20
5y + 10z = 15
5y + 10z = 15
0 = 0 เป็ นจริ ง
2y + 4z = 6
x + 3z = 4
…………………..(1)
…………………..(2)
…………………..(3)
…………………..(4)
…………………..(5)
………………….(6)
………………….(7)
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการมีหลายคาตอบ
…………………..(8)
…………………..(9)
จาก (4) จะได้
y = 3 – 2z และจาก (9) จะได้
x = 4 – 3z
แทน x = 4 – 3z และ y = 3 – 2z ลงใน (3)
จะได้
2(4 – 3z) – (3 – 2z) + 4z = 5
5=5
แทน x = 4 – 3z และ y = 3 – 2z ลงใน (1)
จะได้
(4 – 3z) + 2(3 – 2z) + 7z = 10
10 = 10
แทน x = 4 – 3z และ y = 3 – 2z ลงใน (2)
จะได้
(4 – 3z) + (3 – 2z) + 5z = 7
7=7
ดังนั้น x = 4 – 3z , y = 3 – 2z สอดคล้องสมการ (1), (2), (3)
่
จะได้วา คาตอบของระบบสมการคือ (4 – 3z, 3 – 2z, z) เมื่อ z  R
หรื อเซตคาตอบของระบบสมการคือ {(x, y, z) | x = 4 – 3z , y = 3 – 2z , z  R}
หรื อ {(4 – 3z, 3 – 2z, z) | z  R}
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

6. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
6
ตัวอย่ างที่ 4 จงแก้ระบบสมการ
x + 2y – 2z = 1
2x + 2y – z = 4
3x + 4y – 3z = 6
วิธีทา
x + 2y – 2z = 1
…………………..(1)
2x + 2y – z = 4
…………………..(2)
3x + 4y – 3z = 6
…………………..(3)
(1) + (2) จะได้
3x + 4y – 3z = 5
…………………..(4)
ถ้า (x, y, z) เป็ นคาตอบของระบบสมการที่กาหนดแล้ว (x, y, z) ต้องสอดคล้องกับ
สมการ (1), (2), (3) และถ้า (x, y, z) สอดคล้องกับสมการ (1), (2) แล้ว (x, y, z) ต้องสอดคล้อง
กับสมการ (4)
จาก (3)
3x + 4y – 3z = 6
จาก (4)
3x + 4y – 3z = 5
(3) – (4) จะได้
0 = 1 เป็ นเท็จ
่
ซึ่งเห็นได้วา ไม่มี x, y, z ที่ทาให้สมการ (3) และ (4) เป็ นจริ งพร้อมกัน
ดังนั้น ระบบสมการที่กาหนดไม่มีคาตอบ
ตัวอย่ างที่ 5 จงแก้ระบบสมการ
2x – y + 3z – w = –3
3x + 2y – z + w = 13
x – 3y + z – 2w = –4
–x + y + 4z + 3w = 0
วิธีทา
2x – y + 3z – w = –3 …………………..(1)
3x + 2y – z + w = 13 …………………..(2)
x – 3y + z – 2w = –4 …………………..(3)
–x + y + 4z + 3w = 0 …………………..(4)
(2) + (1) จะได้ (3x + 2y – z + w) + (2x – y + 3z – w) = –2 – 1
3x + 2y – z + w + 2x – y + 3z – w = 13 + (–3)
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

7. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
7
5x + y + 2z = 10 …………………..(5)
2(1) – (3) จะได้ 2(2x – y + 3z – w) – (x – 3y + z – 2w) = 2(–3) – (–4)
4x – 2y + 6z – 2w – x + 3y – z + 2w = –6 + 4
3x + y + 5z = –2 …………………..(6)
3(1) + (4) จะได้ 3(2x – y + 3z – w) + (–x + y + 4z + 3w) = 3(–3) + 0
6x – 3y + 9z – 3w – x + y + 4z + 3w = –9
5x – 2y + 13z = –9 …………………..(7)
5x + y + 2z = 10 …………………..(5)
3x + y + 5z = –2 …………………..(6)
(5) – (6) จะได้
2x – 3z = 12 …………………..(8)
2(6) + (7) จะได้
11(8)
2(9)
(10) – (11)
11x + 26z
22x – 33z
22x – 52z
19z
=
=
=
=
–13 …………………..(9)
132 …………………..(10)
–26 …………………..(11)
158
z = 158
19
แทนค่า z = 158 ลงใน (8)
19
จะได้
2x – 3( 158 ) = 12
19
x = 351
19
351 และ z = 158 ลงใน (6)
แทนค่า x = 19
19
จะได้
3x + y + 5z = 10
3( 351 ) + y + 5( 158 ) = 10
19
19
y =  1653
19
อย่าลืม!ตรวจคาตอบนะจ๊ะ
ตรวจคาตอบ โดยการนาค่า x = 351 , y =  1653 และ z = 158 แทนลงใน (2)
19
19
19
และ (3)ได้ค่าเป็ นจริ งทั้งสองสมการ
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ ( 351 ,  1653 , 158 )
19 19 19
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

8. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
8
ใบงาน
ชื่อ
กิจกรรมที่
....................................................................................
...........................ชั้น ม.4/..........เลขที่............
1
คาชี้แจง
จงแก้ ระบบสมการต่ อไปนี้
1)
x+y–z = 2
3x – y – 2z = –1
x – 3y – 3z = 4
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

9. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
9
2)
2x + y – z = 5
3x – 2y + 2z = –3
x – 3y – 3z = –2
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

10. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
10
3)
2x + 3y + z = 3
x + 2y + z = 1
–x + 4y = –2
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

11. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
11
4)
4x + 3y + 2z = 5
3x – y – z = 6
–x + 2y + z = 1
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

12. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
12
เฉลยใบกิจกรรม
ที่ 1
จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
1)
x+y–z = 2
3x – y – 2z = –1
x – 3y – 3z = 4
วิธีทา
x+y–z = 2
3x – y – 2z = –1
x – 3y – 3z = 4
2(1) – (2) จะได้ –x + 3y = 5
3(1) – (3) จะได้ 2x + 6y = 2
(5) – 2(4) จะได้
4x = –8
x = –2
แทนค่า x = –2 ลงใน (4)
จะได้ –(–2) + 3y = 5
y=1
…………………..(1)
…………………..(2)
…………………..(3)
…………………..(4)
…………………..(5)
แทนค่า x = –2 และ y = 1 ลงใน (1)
จะได้ –2 + 1 – z = 2
z = –3
วิธีทามีได้หลาย
วิธนะจ๊ะ
ี
ตรวจคาตอบ
หรือยังจ๊ะ
ตรวจคาตอบ โดยการนาค่า x = –2 , y = 1และ z = –3 แทนลงใน (2) และ (3)
ได้ค่าเป็ นจริ งทั้งสองสมการ
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ (–2, 1, –3)
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

13. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
2)
13
2x + y – z = 5
3x – 2y + 2z = –3
x – 3y – 3z = –2
วิธีทา
2x + y – z = 5
3x – 2y + 2z = –3
x – 3y – 3z = –2
2(1) + (2) จะได้
7x = 7
…………………..(1)
…………………..(2)
…………………..(3)
…………………..(4)
x=1
3(1) – (3) จะได้ 5x + 6y = 17 …………………..(5)
แทนค่า x = 1 ใน (5) จะได้ 5(1) + 6y = 17
y=2
แทนค่า x = 1 และ y = 2 ลงใน (3)
ตรวจคาตอบ
จะได้ 1 – 3(2) – 3z = –2
หรือยังจ๊ะ
z = –1
ตรวจคาตอบ โดยการนาค่า x = 1 , y = 2และ z = –1 แทนลงใน (1) และ (2)
ได้ค่าเป็ นจริ งทั้งสองสมการ
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ (1, 2, –1)
3)
2x + 3y + z = 3
x + 2y + z = 1
–x + 4y = –2
วิธีทา
2x + 3y + z
x + 2y + z
–x + 4y
(1) – (2) จะได้
(3) + (4) จะได้
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
=3
=1
= –2
x+y=2
5y = 0
y=0
…………………..(1)
…………………..(2)
…………………..(3)
…………………..(4)
วิธีทามีได้หลาย
วิธนะจ๊ะ
ี
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

14. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
14
แทนค่า y = 0 ใน (4) จะได้ x + 0 = 2
x=2
แทนค่า x = 2 และ y = 0 ลงใน (1)
จะได้ 2(2) + 3(0) + z = 3
z = –1
อย่าลืม! ตรวจ
คาตอบทุกครั้ง
นะจ๊ะ
ตรวจคาตอบ โดยการนาค่า x = 2 , y = 0และ z = –1 แทนลงใน (2) และ (3)
ได้ค่าเป็ นจริ งทั้งสองสมการ
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ (2, 0, –1)
4)
4x + 3y + 2z = 5
3x – y – z = 6
–x + 2y + z = 1
วิธีทา
4x + 3y + 2z = 5
3x – y – z = 6
–x + 2y + z = 1
(2) + (3) จะได้ 2x + y = 7
…………………..(1)
…………………..(2)
…………………..(3)
…………………..(4)
(1) – 2(3) จะได้
(4) + (5) จะได้
…………………..(5)
6x – y = 3
8x = 10
x=
5
4
วิธีทามีได้หลาย
วิธนะจ๊ะ
ี
แทนค่า x =
จะได้
5
ลงใน (4)
4
2 5 + y = 7
 
4
y = 7–
แทนค่า
5
=9
2
2
5
9
x = และ y = ลงใน (3)
4
2
จะได้ –  5  + 2  9  + z = 1
 
 
4
2
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม

15. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
15

5
4
+9+z=1
31
+z=1
4
z = 1 – 31 =  27
4
4
ตรวจคาตอบ โดยการนาค่า x =
ได้ค่าเป็ นจริ งทั้งสองสมการ
5
4
อย่าลืม! ตรวจ
คาตอบทุกครั้ง
นะจ๊ะ
, y = 9 และ z =  27 แทนลงใน (2) และ (3)
2
4
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ ( 5 , 9 ,  27 ) หรื อ ( 1 1 , 4 1 , 6 3 )
4 2
4
4
2
4
เก่งจัง ทา
ได้หมด
เลย
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม