1. การแปลงทางเรขาคณิต การเลื่อนขนาน ( Translation ) การสะท้อน ( Reflection ) การหมุน (Rotation)

2. การแปลงทางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิต คือ การเคลื่อนไหวของรูปเรขาคณิต โดยการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุนของรูปหนึ่ง ๆ ( เราเรียกรูปนั้นว่า รูปต้นแบบ และเรียกรูปที่เกิดจากการแปลงว่า ภาพ ) กำหนดรูป A เป็นรูปต้นแบบ และรูป B เป็นภาพที่เกิดจากการแปลงรูป A ................................... P P’ จากรูป ถ้า P เป็นจุดจุดหนึ่งบนรูป A จุด ( อ่านว่า พีไพร์ม ) เป็นภาพที่ได้จากการแปลงจุด P เรากล่าวว่า จุด P และจุด เป็นจุดที่สมนัยกัน รูป A รูป B พิจารณารูปต่อไปนี้ กำหนดให้ เป็นภาพที่ได้จากการแปลง ABC A B C โดยจุด A และ จุด เป็นจุดที่สมนัยกัน จุด B และ จุด เป็นจุดที่สมนัยกัน และจุด C และ จุด เป็นจุดที่สมนัยกัน เรากล่าวว่า กับ เป็นด้านที่สมนัยกัน กับ เป็นด้านที่สมนัยกัน กับ เป็นด้านที่สมนัยกัน

3. การเลื่อนขนาน (Translation) การเลื่อนขนานต้องมีรูปต้นแบบ ทิศทางและระยะทางที่ต้องการเลื่อนรูป การ เลื่อนขนานเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการเลื่อนรูปต้นแบบไปในทางทิศทางใดทิศทางหนึ่งด้วยระยะทางที่กำหนด จุดแต่ละจุดบนรูปที่ได้จากการเลื่อนขนานระยะห่างจากจุดที่สมนัยกันบนรูปต้นแบบเป็นระยะทางเท่ากัน การเลื่อนในลักษณะนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “สไลด์ (slide)” ดังตัวอย่าง ตัวอย่าง 1 กำหนดให้ PQR เป็นรูปต้นแบบ เมื่อเลื่อนขนาน PQR ในทิศทางและระยะทาง ตามที่กำหนดดังรูป เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนาน P S Q R จากการวาดจะเห็นว่า มีการเลื่อนจุด P ไปที่จุด เลื่อนจุด Q ไปที่จุด และเลื่อนจุด R ไปที่จุด ทิศทางเดียวกันและเป็นระยะเท่ากัน จะได้ว่า , , และ ขนานกันและยาวเท่ากัน ในการบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนขนาน จะใช้ เวกเตอร์เป็นตัวกำหนด

4. จากตัวอย่างข้างต้นอาจใช้เวกเตอร์ AB เพื่อบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนขนานดังรูป P S Q R B A เวกเตอร์ AB อาจเขียนแทนด้วย ซึ่ง AB จะมีทิศทางจาก จุดเริ่มต้น A ไปยัง จุดสิ้นสุด B และขนานเท่ากับความยาวของ จากตัวอย่างการเลื่อนขนานข้างต้น จะได้ว่า , , และ จะขนานกันกับ = = = = ข้อสังเกตของการเลื่อนขนาน 1. รูปต้นแบบจะเท่ากันทุกประการกับภาพที่ได้จากการแปลง 2. จุดที่สมนัยกันบนรูปที่ได้จากการเลื่อนขนานกับรูปต้นแบบจะมีระยะห่างเท่ากัน 3. ภายใต้การเลื่อนขนานจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงรูปร่างและขนาดของรูปต้นแบบ

5. ตัวอย่างการเลื่อนขนาน

7. การสะท้อน (Reflection) การสะท้อนต้องมีรูปต้นแบบที่ต้องการสะท้อนและเส้นสะท้อน (reflection line หรือ Mirror line) การสะท้อนรูปข้ามเส้นสะท้อนเสมือนกับการพลิกรูปข้ามเส้นสะท้อนหรือการดูเงา สะท้อนบนกระจกเงาที่วางบนเส้นสะท้อน การสะท้อนเป็นการแปลงที่มีการจับคู่กันระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อน โดยที่ 1. รูปที่เกิดจากการสะท้อนมีขนาดและรูปร่างเช่นเดิม หรือกล่าวว่ารูปที่เกิดจากการสะท้อนเท่ากันทุกประการกับรูปเดิม 2. เส้นสะท้อนจะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อนที่สมนัยกัน นั่นคือระยะระหว่างจุดต้นแบบและเส้นสะท้อนเท่ากับระยะระหว่างจุดสะท้อนและเส้นสะท้อน ตัวอย่างการสะท้อนที่มีเส้นตรง L เป็นเส้นสะท้อน ตัวอย่างที่ 1 ทุกจุดบนรูปต้นแบบไม่อยู่บนเส้นสะท้อน ตัวอย่างที่ 2 หลักการสะท้อน กำหนด ABC เป็นรูปต้นแบบ เมื่อสะท้อน ABC บนเส้นสะท้อน PQ และได้ เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อน

8. P A O B C วิธีสร้าง 1. ที่จุด A ลากเส้นตั้งฉากกับ PQ ที่จุด O 2. ใช้ O เป็นจุดศูนย์กลางรัศมีเท่ากับ OA เขียน บน AO จะได้ AO = และ เป็นภาพที่เกิดจากการสะท้อน A ที่มีเส้น PQ เป็นเส้นสะท้อน 3. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1,2 จะได้ภาพของจุด B และ C เป็น และ 4. ลากเส้น และ จะได้ภาพ ABC ที่สะท้อนข้ามเส้นตรง PQ คือ เราสามารถสรุปสมบัติของการสะท้อนได้ดังนี้ 1. รูปที่เกิดจากการสะท้อนจะมีขนาดและรูปร่างเท่ากับรูปต้นแบบหรือเท่ากันทุกประการกับรูปต้นแบบ 2. รูปที่เกิดจากการสะท้อนกับรูปต้นแบบห่างจากเส้นสะท้อนเท่ากัน 3. จุดบนเส้นสะท้อนเป็นจุดคงที่ไม่มีการสะท้อน

9. P Q ตัวอย่างที่ 1 การสะท้อนของส่วนของเส้นตรง กำหนดให้ ส่วนของเส้นตรง PQ , เป็นเส้นสะท้อน จะพบว่า จุด และ เป็นภาพสะท้อนของ P และจุด Q ส่วนของเส้นตรง เป็นภาพสะท้อนของส่วนของเส้นตรง PQ ใช้วงเวียนหรือสันตรงหรือไม้บรรทัดวัดความยาว จะได้ว่า 1) ระยะจากจุด P ถึงเส้นสะท้อน เท่ากับระยะจาก จุด ถึงเส้น สะท้อน ระยะจากจุด Q ถึงเส้นสะท้อน เท่ากับระยะจากจุด ถึงเส้นสะท้อน 2) ความยาวของส่วนของเส้นตรง PQ เท่ากับความยาวของ ส่วนของเส้นตรง นั่นคือ PQ = 3) เส้นสะท้อน แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ P และ Q

10. ตัวอย่างที่ 2 การสะท้อนของรูปเรขาคณิต เช่น รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปห้าเหลี่ยมและอื่น ๆ A ……………………….. B……………. C ………………………………………………… ... กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง , เป็นเส้น สะท้อน จะพบว่า 1) จุด จุด และจุด เป็นภาพสะท้อน ของจุด A จุด B และจุด C ใช้วงเวียนหรือไม้บรรทัดวัดความยาวจะได้ว่า 2) ระยะจากจุด A ถึงเส้นสะท้อน เท่ากับระยะจากจุด ถึงเส้นสะท้อน ระยะจากจุด B ถึงเส้นสะท้อน เท่ากับระยะจากจุด ถึงเส้นสะท้อน ระยะจากจุด C ถึงเส้นสะท้อน เท่ากับระยะจากจุด ถึงเส้นสะท้อน 3) ความยาวของส่วนของเส้นตรงเท่ากัน นั่นคือ AB = BC = CA = 4)  ABC 5) เส้นสะท้อน แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ A , B และ C

11. ตัวอย่างการสะท้อนของรูปต่าง ๆ 1) B B 2) 3) 4)

12. การหมุน (Rotation) การหมุนจะต้องมีรูปต้นแบบ จุดหมุนและขนาดของมุมที่ต้องการในรูปนั้น การมุมเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการหมุน โดยที่จุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบเคลื่อนที่รอบจุดหมุนด้วยขนาดของมุมที่กำหนด จุดหมุนจะอยู่นอกรูปหรือบนรูปก็ได้ การหมุนจะหมุนตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกาก็ได้ โดยทั่วไปเมื่อไม่ระบุไว้การหมุนรูปจะเป็นการหมุนทวนเข็มนาฬิกา บางครั้งถ้าเป็นมุมที่เกิดจากการหมุนตามเข็มนาฬิกา การหมุนเป็นการสะท้อนต่อกันสองครั้ง ผ่านเส้นสะท้อนสองเส้นที่ตัดกัน ตัวอย่าง การหมุน ให้ O เป็นจุดหมุน จุด A หมุนไปที่จุด เป็นมุม ขนาดของมุมที่หมุนไปคือ จุด A หมุนไปที่จุด เป็นมุม ขนาดของมุมที่หมุนไปคือ

13. หมุนตามเข็มนาฬิกา มุมที่หมุนไปคือ ขนาดของมุมที่หมุน 30  ( จากการวัด ) หมุนตามเข็มนาฬิกา มุมที่หมุนไปคือ ขนาดของมุมที่หมุน 160  ( จากการวัด ) สมบัติของการหมุน 1. สามารถเลื่อนรูปต้นแบบทับภาพที่เกิดจากการหมุนได้สนิทโดยไม่ต้องพลิกรูปหรือกล่าวว่ารูปต้นแบบกับภาพที่ได้จากการหมุนเท่ากันทุกประการ 2. จุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบจะเคลื่อนที่รอบจุดหมุนด้วยขนาดของมุมที่กำหนดให้ทุกจุด 3. จุดหมุนเป็นจุดคงที่

14. ตัวอย่างการหมุน การหมุนเป็นการสะท้อนต่อกันสองครั้ง ผ่านเส้นสะท้อนสองเส้นที่ตัดกัน