El principio de covariancia establece que las leyes de la física deben tomar la misma forma en todos los marcos de referencia. Si la ecuación de onda al ser sometida a una transformación de lorentz permanece invariante podemos decir que es covariante ante dicha transformación

1. COVARIANZA DE LA ECUACIÓN DE ONDA ANTE UNA TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ
El principio de covariancia establece que las leyes de la física deben tomar la
misma forma en todos los marcos de referencia. Si la ecuación de onda al ser
sometida a una transformación de lorentz permanece invariante podemos decir
que es covariante ante dicha transformación lo cual lo demostramos a
continuación.
Transformaciones de lorentz.
( ) , utx x 
( ) , uxt t 
Derivadas parciales de las transformaciones de lorentz.
 
x,


x
 x
,
; u
t
  

t ,

t
;  

,
t 
u

; 2
c
x
 

Ecuación de onda
0

1
x c t
,2
2
2 2
2





 
Primera derivada decon respecto a x
   
t
,




x x 
x
x
x t






,
,
,
u
 

= 


x , c 2 
t
, 

Segunda derivada decon respecto a x
















u
2 , , 2 ,
2
c t
x x x







2 
 

t











x











 



t




 





x













x
x t t
u
c x t
x
x t x
x x x
,
, ,
,
2 , ,
,
, ,
,
2 , ,

 









 



 



  

2

 
 



 





 

2

 
 



  



 





, 2
2
u
, , 2
u
, , 2
u
, 2 2
2
2
2
c t
c x t
c x t
x x



 



 


 



 



  

2

 
 



  

2

 
 



  



 





2
, 2
2
4
2
, ,
u
2
2
, ,
u
2
2
, 2
2
2
2
2
u
c t
c x t
c x t
x x



 






2. 
 



 



  

2

 
 



  



 





2
, 2
2
4
2
, ,
u
2
2
, 2
2
2
2
2
2
u
c t
c x t
x x
















 



  
 



  

2

 
 



  

 





,2
2
2
4
, ,
u
,2 2
2
2

2
2
2
u
c t
c x t

x x
Primera derivada de con respecto a t
   
t
,




t x 
t
x
t t






,
,
,


= 
u


x , 
t
, 



Segunda derivada decon respecto a x

















2 , , ,
2
x t
u
t t





=



2 
 


t













x













 




t













x












 


t
t t t
t x t
t t x
x x
u
t
,
, ,
,
, ,
,
, ,
,
2 , ,

 









 



 



  

2

 
 



  





 

2

 
 



  



 


  


, 2
2
, ,
, ,
, 2
2
2
2
x t t
u
x x t
u u
t



 



 


 



 



  

2

 
 



  

2

 
 



  



 





2
, 2
2
, ,
2
, ,
2
, 2
2
2 2
2
2
x t t
u
x t
u
x
u
t










 



 



  

2

 
 



  



 





2
, 2
2
, ,
2
, 2
2
2 2
2
2
2
x t t
u
x
u
t














 



 



   
2

 
 



  



 





, 2
2
, ,
, 2
2
2 2
2
2
2
x t t
u
x
u
t
  


2
 
Ahora remplazamos 2
x
2
 
y ,2
t
en la ecuación de onda
2
2


     



2 0
1
2
2




u
u
2 , 2
, ,
, 2
2
2
, 2 2
2
4
, ,
, 2 2
2


2  



 

 


 





 


x t t
u
x
u
c t c
c x t
x

2
2


     



2 0
1
2
2




u
u
2 , 2
, ,
, 2
2
2
, 2 2
2
4
, ,
, 2 2
2
 




 

 


 





 



x t t
u
x
u
c t c
c x t
x

3. 0
2
u
    2  1

2
2
2
2
2





u
u
u
2 , 2 2
, , 2
, 2
2
2
, 2
4
, ,
, 2 2
2



 





 



c x t c t
c x
c t
c x t
x
0
   1

2
, 2
, 2 2
2
2
2
2
, 2
2
4
, 2
2












u
c x c t
u
c t
x
0
   1

2
, 2
2
, 2 2
2
4
, 2
2
2
2
, 2
2












u
c t c t
u
c x
x
Hacemos
u
 
c
0

1
x x c t c t
2
, 2
2
, 2 2
2
2
, 2
2
2
, 2
2











   


2


2
x c t
(1 ) 0
1
(1 ) 2
, 2
2
, 2
2


  


 

0

1
x c t
,2
2
,2 2
2





 
Finalmente comprobamos que la ecuación de onda tiene la misma forma para
cualquier observador sea cual sea el estado de movimiento de éste, es decir
cumple el principio de covarianza.