Projecto de habitação com 5 pisos em Coimbra

Projecto 1
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I
MEMÓRIA DESCRITIVA

Projecto 1
1-Introdução:
O trabalho apresentado insere-se no âmbito da disciplina de projecto 1 e teve como objectivo a
realização de um projecto de excussão, referente a um edifício de habitação constituído por duas
caves e por cinco pisos acima do solo, sendo a sua cobertura acessível. Como condicionalismos da
arquitectura o edifício é constituído para além das escadas, de um núcleo de betão armado destinado
á colocação de elevadores. A concepção do edifício foi equacionada de acordo com a
regulamentação existente e pensando num bom dimensionamento estrutural.
O presente edifício situa-se em Coimbra e ocupa uma área de construção bruta de
aproximadamente 614m2
. No presente projecto é apresentado o dimensionamento de um painel de
lajes pertencente ao 3º piso de duas vigas (pertencentes ao quarto piso), de um pilar e respectiva
fundação e de um troço do muro de contenção de terras existente ao nível das caves.
As duas caves do edifício destinam-se a estacionamento e cinco pisos acima do solo destinam-se
a habitação tendo o quinto piso acima da cota do terreno natural uma arquitectura diferente.
2 - Condicionalismos:
As fundações do edifício são fundações directas que assentam sobre um solo do tipo I, tendo o
solo uma tensão admissível de 0,4 MPa. O solo apresenta ainda uma massa volumica de 21 KN/m3
e um ângulo de atrito interno de 35º.
As duas caves do edifício encontram a uma cota inferior á do terreno natural que circunda o
edifício , mas considera-se no entanto que o nível freático encontra-se a uma cota que não
influência o comportamento estrutural .
Segundo ao anexo 3 do R.S.A. o edifício situa-se na Zona C, para efeitos da quantificação da
acção dos sismos (Artg. 28º R.S.A.).
3 - Solução estrutural:
A solução estrutural adoptada, para a execução deste edifício, foi a de um conjunto de pórticos
constituído por vigas, pilares que suportam os pavimentos constituídos por lajes maciças de betão
armado. As vigas recebem os esforços provenientes das lajes e encaminham-nos para os pilares que
por sua vez transmitem essas forças ás sapatas.
A estrutura do edifício foi concebida tendo em conta os condicionalismos de arquitectura
evitando-se, sempre que possível, que os elementos estruturais se destacassem da envolvente
arquitectónica. Para não existir uma desproporção das inércias o que levaria a uma instabilidade da
estrutura no caso da ocorrência de sismos, houve uma colocação cuidada dos pilares.
Todos os elementos estruturais são constituídos por betão armado, estes foram projectados com
o intuito de assegurar um bom comportamento aos diversos tipos de combinações de acções
previstas no Regulamento Segurança e Acções ( R.S.A. ). Foram também considerados os
condicionalismos previstos no Regulamento de Betão Armado e Pré-Esforçado (R.E.B.A.P.).
Tendo em conta as características geótecnicas do solo e a sua tensão de rotura o
dimensionamento das fundações foi projectado considerando que estava garantida a segurança
correspondente ao derrube e ao deslizamento.

Projecto 1
Para as fundações do edifício foram adoptadas as seguintes soluções:
- Para o muro dimensionado foi adoptada uma fundação directa com inclusão de viga de
fundação, tratando-se de uma sapata excêntrica.
- Para o pilar dimensionado foi adoptada uma fundação directa com inclusão de viga de
fundação, tratando-se de uma sapata centrada.
Os recobrimentos a adoptar são os seguintes:
• Lajes – 3,0 cm
• Vigas – 2,5 cm
• Escadas – 3,0 cm
• Pilares – 2.5 cm
• Fundações – 5 cm
Para uma melhor execução em obra e para uma boa reaplicação sistemática de cofragens tentou-
se uniformizar as secções dos elementos estruturais. ( O Pré-dimensionamento dos elementos
estruturais é apresentado em Anexo tal como as áreas de influencia dos pilares).
4 - Materiais utilizados:
Aço da classe A400 NR
Betão da classe B30
5 – Acções:
As acções intervenientes de acordo com o Regulamento Segurança e Acções são as seguintes:
Carga permanente;
Sobercarga;
Sismo;
Impulso de terras;
5.1 – Carga permanente:
Para a quantificação do peso próprio de cada elemento estrutural foi adoptado o valor para o
peso volumico do betão 25 KN/m3
(artgº14 R.S.A.).
De acordo com o Art. 15º do R.S.A. quantificou-se o peso das paredes divisórias considerando
o peso das paredes divisórias igual a 2 KN/m2
.
(afectado com o factor de 40% / Art. 15º R.S.A.) para o revestimento adoptou-se um peso de
1,5KN/m2
( Tabelas Técnicas ).

Projecto 1
5.2 – Sobrecarga:
As sobrecargas utilizadas foram quantificadas de acordo com o Art. 34º , Art. 35º e Art. 37º do
R.S.A.. Nestes artigos encontram-se definidos os valores característicos das sobrecargas, bem como
os coeficientes para a determinação dos valores das mesmas. As sobrecargas consideradas foram as
seguintes:
Pavimentos – 2KN/m2
(Art. 35º R.S.A.) (ψ2 = 0,2)
Escadas – 5 KN/m2
(Artg 37 R.S.A.) (ψ2 = 0,2)
Cobertura acessível – 2,0 KN/m2
( Art. 34º R.S.A.)
5.3 – Sismo:
A análise sísmica foi quantificada utilizando um processo simplificado de análise de acordo
com os artigos 30º, 31º e 32º, do R.S.A.
Para a quantificação da acção sísmica consideraram-se as acções vibratórias transmitidas pelo
terreno á estrutura, pois estas acções como provocam alterações físicas no terreno irão influenciar
negativamente a estabilidade do edifício, devido ao facto dos elementos estruturais absorverem os
esforços actuantes na estrutura.
Para um melhor comportamento estrutural do edifico tentou-se distribuir os elementos
estruturais o mais simétrico possível, para que o centro de rotação do edifício possa estar o mais
próximo possível do centro de massa por forma a que os esforços devidos á torção do edifício
aquando a acção sísmica sejam diminutos. Tentou-se também uniformizar todos os elementos
estruturais o que também resulta na diminuição dos esforços.
5.4 – Impulso de terras:
Para a quantificação do impulso de terras considerou-se para alem das características
geotécnicas, uma sobrecarga no terreno de 10 KN/m2
.

Projecto 1
5.5 – Outras considerações:
Devido ao facto do edifício se situar em Coimbra este está localizado, em termos de
quantificação da acção do vento, na zona A (Artg 20º R.S.A.). As acções devido a acção do vento
foram quantificadas, de acordo com o capitulo 5 do R.S.A., no entanto, a acção do vento não foi
considerada no cálculo devido ao facto de as forças provocadas pelo sismo serem superiores.
De acordo com o artgº26 do R.S.A., a localização do edifício obriga também á quantificação da
acção da neve (capitulo 6º do R.S.A.), no entanto as acções quantificadas não foram consideradas
no cálculo pois a sobrecarga considerada na cobertura é mais desfavorável.
O efeito das acções devido ás variações de temperatura e de retracção do betão não foram
consideradas, pois de acordo com o Artg 31.2º e 32.2º do R.E.B.A.P., a maior dimensão do edifício
em planta não excede os 30 metros.
No projecto apresenta apresentado foram adoptadas as disposições construtivas regulamentares
(R.E.B.A.P.), no que diz respeito aos artigos : 30º (Composição do betão ), 78º (Recobrimento
mínimo das armaduras), 90º (Armadura longitudinal mínima e máxima), 91º e 105º (Espaçamento
de varões), permitindo assim a dispensa da verificação ao Estado Limite de Utilização de
Fendilhação, como consta no artigo 70.3º (R.E.B.A.P.). Como se cumpriu as disposições
construtivas impostas nos artigos: 89º ( Altura mínima de vigas), 102º (Espessura mínima de lajes)
do R.E.B.A.P, considera-se que se fica dispensado da verificação ao Estado Limite de Utilização de
Deformação, como consta no Art. 72.3º R.B.A.P.
5.6 – Combinações de acções:
A verificação da segurança, foi realizada admitindo que todas as acções têm um efeito
desfavorável.
A combinação das acções para a determinação dos esforços de cálculo foram obtidas atendendo
ás disposições do art.º 9 do R.S.A., sendo as seguintes:
Combinação tendo em conta a acção variável base ser sobrecarga:
Sd = 1,5 x C.P. + 1,5 x S.C. ( E.L.U.)
Combinação tendo em conta a acção variável base ser sismo:
Sd1 = 1,0 x C.P. + 0,2 x S.C. + 1,5 x Sismo
Sd2 = 1,0 x C.P. + 0,2 x S.C. - 1,5 x Sismo

Projecto 1
6 – Método de cálculo:
No projecto apresentado para o cálculo dos esforços em pilares e vigas recorreu-se ao programa de
cálculo automático SAP 2000, baseado no método dos elementos finitos, para a utilização do
referido programa procedeu-se do seguinte modo:
1º Criou-se um novo modelo;
2º Definiu-se as secções materiais e acções bem como a combinação de acções;
3º Definiu-se geometricamente a estrutura, definindo-se os elementos de barra com as respectivas;
secções associadas e criaram-se nós atribuindo-lhes as restrições necessárias;
4º Aplicaram-se as acções nas barras e nos nós;
5º Calculou-se a estrutura;
6º Visualizou-se e analisou-se os resultados.
No auxilio á quantificação dos esforços em lajes recorreu-se ás tabelas de Barez, e para a
compatibilização desses esforços utilizou-se a regra de Marcus.

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7 – Bibliografia:
- Betão Armado – Esforços Normais e de Flexão – L.N.E.C.
- Desenho Técnico – Fundação Cáloust Gulbenkian, Lisboa 1997
- Folhas da cadeira de Projecto 1 – Engº Bruno Caldeira
- R.E.B.A.P. - Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré- Esforçado, Porto Editora,
Lda.
- R.S.A. – Regulamento de Segurança e Acções, Editora Rei dos livros
- Sebentas I.S.T.
- Sebentas I.S.E.L.
- Tabelas Técnicas- Engº Brasão Farinha e Vítor Monteiro,

Projecto 1
II
CÁLCULOS JUSTIFICATIVOS

Projecto 1
1-Acção sísmica:
1.1 - Zoneamento do território:
O edifício situa-se em Coimbra, que de acordo com o Art. 28º do R.S.A. corresponde á zona C, o
que implica um coeficiente de sismicidade: α = 0,5 ( Art. 29º R.S.A.)
1.2 - Tipo de terreno:
O terreno a considerar é do tipo I, o que significa que se tratam de rochas e de solos coerentes
rijos.
1.3 - Coeficiente sísmico:
O coeficiente sísmico β relativo á acção dos sismos numa dada direcção, é calculado pela
expressão:
ββββ = ββββ0 x αααα / ηηηη (artigo 31º do R.S.A.)
a) Coeficiente sísmico de referência ( ββββ0 )
O Coeficiente sísmico de referência (β0 ) depende do tipo de terreno e da frequência
própria fundamental da estrutura. Sendo esta dada pela seguinte expressão :
f = 12 / n (para estruturas em pórtico, em que n é o n.º de pisos acima do solo: n = 5)
,
logo,
f = 12 / 5 = 2.4 Hz
sendo:
Tipo de terreno I Art. 31.2 ( R.S.A.) => ββββ0= 0.17 x √√√√ f
f = 2.4 Hz
Conclui-se que:
β0= 0.17 x √2.4 = 0.263

Projecto 1
b) - Coeficiente de Sismicidade ( αααα ) => α = 0,5
c) – Coeficiente de comportamento ( ηηηη )
O Coeficiente de comportamento depende do tipo de estrutura e das suas características de
ductilidade e ainda do grau admitido na exploração dessa ductilidade. No caso de edifícios correntes
pode adoptar-se conforme o Art. 33.2º do REBAP :
η = 2.5 => Estruturas em pórtico, com ductilidade normal
Em suma,
β = 0.263 x 0.5 / 2.5 = 0.0526
1.4 – Centro de massa:
O centro de massa refere-se ao ponto onde actua a força sismica estática equivalente.
Para o cálculo das coordenadas do centro de massa foram utilizadas as seguintes expressões:
XCG=∑(mi*xi)/∑(mi)
YCG=∑(mi*yi)/∑(mi)
Em que;
mi – Representa a massa dos elementos estruturais (lajes, vigas e paredes
exteriores)
xi – Coordenada dos elementos estruturais em relação a um eixo x
yi – Coordenada dos elementos estruturais em relação a um eixo y
Para o cálculo do centro de massa das lajes uma combinação quase permanente (Art. 12º R.S.A.)
(Piso tipo) C.P. + ψ2 x S.C. = 8,74 + 0,2 x 2 = 9,14 KN/m2
(Cobertura) C.P. + ψ2 x S.C. = 6,5 + 0,2 x 2 = 6,90 KN/m2
No projecto realizado foi calculado o centro de massa apenas para o 3º Piso, dado que este tinha
uma geometria não ortogonal optou-se como critério de projecto por delimitar uma área ortogonal
(Figura 1) em torno do edifício simplificando assim o método de cálculo.

Projecto 1
( sem escala )
Figura 1 - Área considerada para o cálculo do centro de massa
Exemplo de Cálculo
O método de cálculo utilizado, consiste em considerar uma área simplificada que delimita uma
superfície ortogonal, neste caso um rectângulo, subtraindo-lhe as parcelas correspondentes ás
áreas : A, B, C, D, E, F, G, H, I ficando-se assim com os valores correspondentes aos da área de
construção.
a)- Lajes :
Exemplo para a ÁREA TOTAL ( Área do rectângulo que circunda todo o edifício) :
Area Total = 689.07 m^2
; Xi = 18.34 m ; Yi = 9.39 m
P.P. Laje / m^2
= C.P. + ψ2 x S.C. = 8,74 + 0,2 x 2 = 9,14 KN/m2
Massa da laje ( mi ) = P.P. Laje KN/ m^2
x Area ( m^2 )
= 9.14 x 689.07 = 6298.1 KN
mi x Xi = 6298.1 x18.34 = 115507.15 KN.m
mi x Yi = 6298.1 x 9.39 = 59139.16 KN .m m
A este ( mi x Xi) e ( mi x Yi ) calculado para a área total subtraiu-se os (mi x Xi) e ( mi x Yi )
correspondentes ás áreas : A, B, C, D, E, F, G, H, I.

Projecto 1
Portanto ;
Lajes => mi x Xi = 84267.99 KN.m
Total mi x Yi = 47792.09 KN.m
∑ mi = 4336.93 KN
b) – Vigas
Exemplo para a Viga V1
Lviga = 11.2 m ; Xi = 4.85 m ; Yi = 14.46 m ; b= 0.25 ; h = 0.2 ( retirando a altura da laje )
Peso volumico do betão – 25 KN / m3
P.P. Viga / m = b x h x 25 = 0.25 x 0.2 x 25 = 1.25 KN / m
Massa da viga = P.P. Viga / m x Lviga = 1.25 x 11.2 = 14 KN
Viga V1 => mi x Xi = 14 x 4.85 = 67.8 KN.m
mi x Yi = 14 x 14.46 = 202.44
A este (mi x Xi) e (mi x Yi) calculado para a viga V1, adicionou-se os (mi x Xi) e ( mi x Yi )
correspondentes ás vigas : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
Obtendo –se os seguintes resultados :
Vigas => mi x Xi = 4973.975 KN.m
∑ mi = 253.2 KN
c) – Pilares
Exemplo para o pilar P1
Xi = 0.32 m ; Yi = 11.03 m ; Área da secção do pilar = 0.165 ( retirando a altura da laje ) ;
Considerando o pilar com um comprimento igual a metade do pé direito para cima e para baixo em
relação ao nível em que se encontra a laje ( Comp Pilar = 3 m ).
Peso volumico do betão – 25 KN / m3
P.P. Pilar / m = b x h x 25 = 0.165 x 25 = 4.13 KN / m
Massa da viga = P.P. Pilar / m x Comp. Pilar = 4.13 x 3 = 12.4 KN

Projecto 1
Pilar P1 => mi x Xi = 12.4 x 0.32 = 3.96 KN.m
mi x Yi = 12.4 x 11.03 = 136.496 KN.m
A este (mi x Xi) e (mi x Yi) calculado para o pilar P1, adicionou-se os (mi x Xi) e ( mi x Yi )
correspondentes aos Pilares : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,
23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 e Caixa do elevador.
Obtendo –se os seguintes resultados :
Pilares => mi x Xi = 11229.795 KN.m
∑ mi = 575.625 KN
d) – Paredes exteriores
Exemplo para a parede Pa1
Xi = 4.85 m ; Yi = 14.46 m ; Lparede exterior = 11.2 m ; H parede = 2.6 m ( retirando a espessura
Considerando coeficiente de aberturas = 0.5 das 2 lajes adjacentes )
γparede = 2.9 KN / m^2
PPparede exterior = 9.05 KN / m
Massa da parede = P.P. Parede KN / m x Lparede = 9.05 x 11.2 = 101.34 KN
Parede Pa1 => mi x Xi = 101.34 x 0.32 = 3.96 KN.m
mi x Yi = 101.34 x 11.03 = 136.496 KN.m
A este (mi x Xi) e (mi x Yi) calculado para a parede Pa1, adicionou-se os (mi x Xi) e ( mi x Yi )
correspondentes ás Paredes : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Obtendo –se o seguinte resultado :
Paredes => mi x Xi = 21813.05 KN.m
∑ mi = 1096.62 KN
De acordo com as alíneas a, b, c e d pode-se concluir que :
XCG = ( 84267.99 + 4973.97 + 11229.8 + 21813.05 ) / (4336.93 + 253.25 + 575.63 + 1096.62 )
YCG = (47792.09 + 2670.558 + 5904.818 + 11024.43) / (4336.93 + 253.25 + 575.63 + 1096.62 )

Projecto 1
logo:
XCG ( Final ) = 19.53 m
YCG ( Final ) = 10.76 m
Nota: A tabela de cálculo do Centro de Massa é apresentada em Anexo (Anexo 9 )
1.5 – Centro de Rotação:
O Centro de Rotação é calculado apenas para os elementos verticais, pilares e caixa de
elevador, pois, a torção só se verificará nestes elementos aquando a ocorrência de um sismo. O
Centro de Rotação define-se como sendo o ponto onde se verifica a torção da estrutura, durante a
ocorrência de um sismo.
Neste projecto o Centro de Rotação foi calculado em relação ao mesmo referencial utilizado
no calculo do Centro de Massa. As coordenadas do Centro de Rotação foram calculadas através das
seguintes expressões :
XCR = ∑(Iyi*xi)/∑(Iyi)
YCR = ∑(Ixi*yi)/∑(Ixi)
Sendo :
yi => Distância, segundo o eixo yy, que vai desde o centro do elemento ao eixo concorrente;
xi => Distância, segundo o eixo xx, que vai desde o centro do elemento ao eixo concorrente;
Ixi => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo xx
Iyi => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo yy
Nota : No projecto apresentado o centro de rotação foi calculado para o 3º Piso
Exemplo de Cálculo
- Exemplo para o pilar P1 :
Dimensões : a = 0.55 m ; b = 0.3 m
Xi = 0.284 m ; Yi = 11.04 m Iy x Xi = 7.38 x 10 -4
m5
Ix = 2.8 x 10 -3
m4
; Iy = 2.6 x 10 -3
m4
Ix x Yi = 3.09 x 10 -2
m5
Calculou-se todo estes parâmetros para cada elemento vertical de onde se conclui que :
XCR = ∑(Iyi*xi)/∑(Iyi) = ( 5.59 x 101
) / 2.76 = 20.26 m
YCR = ∑(Ixi*yi)/∑(Ixi) = 9.98 / 1.09 = 9.12 m

Projecto 1
XCR = 20.26 m ; YCR = 9.12 m
Nota: A tabela de cálculo do Centro de Rotação é apresentada em Anexo (Anexo 11)
Em suma,
( sem escala )
Figura 2 - Marcação do centro de massa e do centro de rotação do edifício.

Projecto 1
1.6 – Forças Estáticas Aplicadas Por Piso :
As forças estáticas podem supor-se aplicadas aos níveis dos pisos, bastando na maior parte dos
casos considerar apenas a sua actuação em direcções horizontais, Art. 32º R.S.A..
As forças Estáticas Aplicadas Por Piso foram calculadas através da seguinte expressão:
Fki = β*hi*Gi* ∑(Gi) / ∑(hiGi)
Sendo :
β ⇒ coeficiente sísmico correspondente à direcção considerada;
hi ⇒ Altura a que se situa o piso i acima do nível do terreno;
Gi ⇒ Soma dos valores das cargas permanente e dos valores quase permanentes das cargas
variáveis correspondentes ao piso i;
O somatório refere-se ao nº de pisos acima do nível do terreno.
O parâmetro β foi calculado anteriormente. ( item : 1.3 )
- Para o projecto apresentado:
Piso tipo => G = 4336.93 + 253.25 + 575.625 + 1096.618 = 6262.423 KN
Cobertura => G = 3084.25 + 278.15 + 287.813 = 3650.21 KN
Andar beta Gi Hi ( m ) hi . Gi Fki ( KN )
1º 0,0526 6262,42 3 18787,27 41,435
2º 0,0526 6262,42 6 37574,54 82,870
3º 0,0526 6262,42 9 56361,81 124,305
4º 0,0526 6262,42 12 75149,08 165,740
5º (cob) 0,0526 3650,21 15 54753,15 120,757
Somatório 9912,63 242625,84
Quadro 1 - Quadro resumo das forças estáticas aplicadas por piso
Nota: As tabela de auxilio ao cálculo das Forças estáticas aplicadas por piso estão apresentadas em
Anexo (Anexo 9 e 10 ).

Projecto 1
1.7 – Forças De Translação :
As forças de translação traduzem-se em forças aplicadas ao nível de cada piso segundo as duas
direcções ortogonais consideradas. No projecto apresentado as Forças de translação foram
calculadas pelas seguintes expressões:
Ftx = ( Fki x Iy ) / ∑ Iy
Fty = ( Fki x Ix ) / ∑ Ix
Em que :
Fki => Valor característico da força estática aplicada ao nível de cada piso
Ix => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo xx
Iy => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo yy
Para o edifício foram calculadas as forças de translação em todos os pilares nas duas direcções e em
seguida calcularam-se as forças de translação aplicadas nos 2 pórticos de projecto.
Exemplo de Cálculo
- Força de translação do pilar P1 – 2º Andar
Sabendo que para P1 : Ix = 0.0028 m4
; Iy = 0.0026 m4
; Fki = 82.87 KN
E que : ∑ Ix = 1.095 m4
; ∑ Iy = 2.758 m4
Ftx = ( 82.87 x 0.0026 ) / 2.76 = 0.078 KN
Fty = ( 82.87 x 0.0028 ) / 1.095 = 0.213 KN
- Força de translação - 2º Andar – Portico X
Sabendo que os pilares pertencentes ao pórtico X são os seguintes : P26 , P27 , P28
Tem-se que :
P26 => Ix = 0.0042 m4
; Iy = 0.0012 m4
; Fki = 82.87 KN
P27 => Ix = 0.0042 m4
; Iy = 0.0012 m4
; Fki = 82.87 KN
P28 => Ix = 0.0041 m4
; Iy = 0.0013 m4
; Fki = 82.87 KN

Projecto 1
De onde se conclui :
2º Andar – Pórtico X => Ftx = ((0.0012 + 0.0012 + 0.0013) x 82.87) / 2.76 = 0.111 KN
- Força de translação - 2º Andar – Pórtico Y
Sabendo que os pilares pertencentes ao pórtico y são os seguintes : P10 , P20 , P26, P35
Tem-se que :
P10 => Ix = 0.0008 m4
; Iy = 0.0011 m4
; Fki = 82.87 KN
P20 => Ix = 0.0063 m4
; Iy = 0.009 m4
; Fki = 82.87 KN
P26 => Ix = 0.0042 m4
; Iy = 0.0012 m4
; Fki = 82.87 KN
P35 => Ix = 0.0013 m4
; Iy = 0.0005 m4
; Fki = 82.87 KN
Calculou-se :
2º Andar – Pórtico y => Fty = ((0.0008+ 0.0063 + 0.0042 + 0.0013) x 82.87) / 1.095 = 0.954 KN
Nota: A tabela de cálculo das Forças de translação é apresentada em Anexo (Anexo 13).
1.8 – Forças De Rotação :
Foram calculadas forças de rotação para todos os pisos, devido ao facto de o centro de massa
não ser coincidente com o centro de rotação. Para o calculo foram consideradas excentricidades
adicionais, com o objectivo de corrigir assimetrias devidas ao comportamento não linear da
estrutura e a movimentos de rotação do solo durante a ocorrência de um sismo. Para o cálculo do
projecto só se consideraram as excentricidades quando a força aplicada tinha um sentido idêntico ao
da força de translação, ou seja, para o caso mais desfavorável. Os valores da força de rotação por
piso foram obtidos através das seguintes expressões :
Frx = Ix * yí / (∑ (Ix * yí2
+Iy*xí2
)) * Mt
Fry = Iy* xí / (∑ (Ix * yí2
+Iy*xí2
)) * Mt
Em que:
Ix – momento de inércia dos pilares em relação ao eixo dos XX .
Iy – momento de inércia dos pilares em relação ao eixo dos YY .
yí , xí – Coordenadas do centro de gravidade do pilar em relação ao centro de rotação
Mt – momento torsor provocado pela aplicação da força horizontal com excentricidade adicional
mais desfavorável.

Projecto 1
Exemplo de Cálculo
a)- Força de rotação do pilar P1 – 2º Andar
Sabendo que para P1 : Ix = 0.0028 m4
; Iy = 0.0026 m4
; Fki = 82.87 KN
∑ Ix = 1.095 m4
; ∑ Iy = 2.758 m4
; Xi =0.284 m ; Yi=11.04 m
XCG = 19.53 m ; YCG = 10.76 m
XCR = 20.26 m ; YCR = 9.12 m
∑ Ix * yí2
+ Iy * xí2
= 11.95
a.1) - Cálculo de Frx:
- xí = xi – Xcr = 0.284 – 20,26 = -19.976 m
- yí = yi – Ycr = 11.04 – 9.12 = 1.92 m
- Ix * yí = 0.0028 * 1.92 = 0.005376 m5
- Ix * yí 2
= 0.0028 * 1.92 = 0.01032 m6
- Iy * xí = 0.0026 * -19.976 = - 0.0519 m5
- Iy * xí2
= 0.0026 * -19,9762
= 1.038 m6
- Ix * yí2
+ Iy * xí2
= 0.01032 + 1.038 = 1.05
- Momento torçor: - Para o calculo do momento torçor só foi considerada uma
excentricidade e2i pois como ilustra a figura seguinte, para esta
direcção trata-se da excentricidade mais desfavorável.

Projecto 1
( Sem escala )
Figura 3 – Excentricidades mais desfavoráveis em relação ao centro de massa ( Pórtico X )
e2i = 0.05 x a = 0.05 x 18.78 = 0.94 m ( Artº 32 do REBAP)
logo : Mtx = e2i x Fk = 0.94 x 82.87 = 77.9 KN.m
de onde se conclui que: Frx = ( 0.0054 x 77.9 ) / 11.95 = 0.0 35 KN
a.2) - Cálculo de Fry:
- xí = xi – Xcr = 0.284 – 20,26 = -19.976 m
- yí = yi – Ycr = 11.04 – 9.12 = 1.92 m
- Ix * yí = 0.0028 * 1.92 = 0.005376 m5
- Ix * yí 2
= 0.0028 * 1.92 = 0.01032 m6
- Iy * xí = 0.0026 * -19.976 = - 0.0519 m5
- Iy * xí2
= 0.0026 * -19,9762
= 1.038 m6
- Ix * yí2
+ Iy * xí2
= 0.01032 + 1.038 = 1.05

Projecto 1
- Momento torçor: - Para o calculo do momento torçor só foi considerada uma
excentricidade e2i pois como ilustra a figura seguinte, para esta direcção trata-se da
excentricidade mais desfavorável.
( Sem escala )
Figura 4 – Excentricidades mais desfavoráveis em relação ao centro de massa ( Pórtico Y )
e2i = 0.05 x 36.69 = 1.84 m ( Artº 32 do REBAP)
logo : Mty = e2i x Fk = 1.84 x 82.87 = 153.23 KN.m
de onde se conclui que : Fry = ( 0.052 x 153.23) / 11.95 = 0.67 KN
Nota: Para o cálculo das forças de rotação aplicadas no pórtico x calculou-se para os pilares
pertencentes a esse pórtico as forças de rotação (da mesma forma que o exemplo de cálculo
descrito) correspondentes á direcção x, adicionando-se essas forças de rotação, resulta a força
de rotação aplicada no pórtico x. Para a direcção y procedeu-se de forma análoga ao referido
para a direcção x.
A tabela de cálculo das Forças de Rotação é apresentada em Anexo (Anexo 14).

Projecto 1
1.9 – Calculo das forças sísmicas para utilização no calculo automático
(SAP2000):
De acordo com os Anexos 13 e 14 pode - se determinar as forças sísmicas a aplicar nos pórticos:
Quadro 2 – Quadro resumo das forças sísmicas a aplicar nos pórticos
Exemplo de Cálculo Piso 1
Força sismica = Ft + Fr = 0.056 + 0.13 = 0.19 KN
Pórtico x Pórtico y
Piso Ft ( KN ) Fr ( KN )
Força
sismica
aplicada
( KN )
Ft
( KN )
Fr
(KN)
Força
sismica
aplicada
(KN)
1 0.056 0.13 0.19 0.48 0.64 1.12
2 0.111 0.26 0.27 .954 1.27 2,22
3 0.17 0.39 0.56 1,43 1,91 3,34
4 0.22 0.52 0.74 1,91 2,55 4,46
Cobertura 0.16 0.38 0.54 1,39 1,86 3,25

Projecto 1
2 – Acção do vento:
Para efeitos de quantificação da acção do vento, de acordo com o Art. 20º / RSA a zona a
considerar é a Zona A. Em relação á rugosidade aerodinâmica do solo, de acordo com o Art. 21º /
REBAP, considerou-se que este possuía uma rugosidade do tipo I.
Para a quantificação dos esforços devido á acção do vento foi utilizado um método simplificado,
supondo aplicadas às superfícies do edifício pressões estáticas obtidas multiplicando a pressão
dinâmica do vento, definida no Artº 24º / RSA, por adequados coeficientes de forma.
Pressões dinâmicas - Artº 24 / RSA
Zona A Wk = 0.7 KN / m2
Rugosidade – Tipo I
Altura do edifício acima do solo = 5 x 3 = 15 m
Determinação dos coeficientes de forma :
- Coeficiente de pressão exterior para paredes δpe
H = 15 m h/b = 15 / 18.78 = 0.798 => ½ < 0.789 ≤ 3/2
a = 36.69 m ( maior dimensão )
b = 18.78 m ( menor dimensão ) a/b = 36.69 / 18 .78 = 1.954 => ½ < a/b ≤ 3/2
Anexo I / RSA
Considerando: α = 0
Acção global sobre o edifício => A = + 0.7 ( valor em modulo mais desfavorável )
δpe = 0.7
Determinação da resultante ( F ) das pressões do vento sobre a construção
F = δpe x Wk x A ( Anexo 3.1 / RSA )
Em que :
δpe => Coeficiente de pressão exterior para paredes
Wk => Valore característico da pressão dinâmica do vento
A => Área de referencia, relacionada com a superfície exposta.
- Direcção x:
A = 3 x 18.78 = 56.34
Logo: Fx = 0.7 x 0.7 x 56.34 = 27.6 KN

Projecto 1
- Direcção y:
A = 3 x 36.69 = 110.07
Logo: Fy = 0.7 x 0.7 x 110.07 = 53.93 KN
Comparando as forças estáticas aplicadas (Fki) por piso provenientes do sismo com as do vento,
verifica-se que para a direcção x as forças provenientes do sismo em todo os pisos são mais
desfavoráveis. No que se refere á direcção y apenas se verifica que no 1º piso a força devido acção
do vento é superior, no entanto como para os restantes pisos (2º,3º,4º, cobertura) as forças sísmicas
mostraram ser mais desfavoráveis optou-se por desprezar a acção do vento.

Projecto 1
3 - Acção da neve:
De acordo com o Artº 26 /RSA, como o edifício será implantado no distrito de Coimbra a uma
altitude de 200m, a acção da neve deve ser tida em conta.
De acordo com artº 27 /RSA para a quantificação da acção da neve , considerou-se uma carga
uniformemente distribuída cujo valor característico por metro quadrado em plano horizontal é
calculado pela da seguinte expressão:
Sk = µµµµ x Sok
em que; Sok = 1/400 x (h – 50)
sendo:
h - a altitude do local expressa em metros, arredondadas ás centenas;
Sok - representa o valor característico, por metro quadrado, da carga da
neve ao nível do solo;
µ - é o coeficiente que depende da forma da superfície sobre a qual se
deposita a neve.
Como h = 200m, então:
Sok = 1/400 x (200 – 50) = 0.375
De acordo com o Anexo II do RSA ;
Considerando => 0 ≤ β ≤ 30 => µ = 0.8 => Sk =0.8 x 0.375 = 0.3 KN/m2
Nota: Sendo a sobrecarga devida á neve ( 0.3 KN / m2
) inferior á sobrecarga considerada na
cobertura devido ao facto de esta ser acessível ( 2 KN / m2
), foi adoptado como critério de
projecto uma sobrecarga na cobertura de 2 KN/ m2
, ou seja, “desprezou-se a acção da neve.

Projecto 1
4 – Dimensionamento das lajes
O painel de laje dimensionado pertence ao 3º piso.
Os exemplos de cálculo apresentados para o dimensionamento das lajes referem-se ás lajes L10 e
L13.
Exemplo de Cálculo ( L10 ; L13 )
4.1 - Pré- dimensionamento:
a) - Geometria
• Laje L10
Lmaior = 7.3 m
Lmenor = 6.2 m
• Laje L13
Lmaior = 9.7 m
Lmenor = 6.2 m
b)- relação entre vãos / comportamento da laje:
γ = Lmaior / Lmenor ≥ 2 => a laje será armada numa direcção só
(segundo a menor direcção)
γ = Lmaior / Lmenor < 2 => laje armada nas duas direcções
• Laje L10
γ = 7.3 / 6.2 = 1.18 < 2 =>Laje armada nas duas direcções
• Laje L13
γ = 9.7 / 6.2 = 1.56 < 2 =>Laje armada nas duas direcções

Projecto 1
c) - Condição de dispensa de verificação de segurança ao estado limite de
utilização/ deformação com base no Art. 72º/ REBAP:
hmin ≥ li / (30 x η) =( α x l ) / (30 x η) (m) (Artg102.2 / REBAP)
Áço A400 => η = 1.0 (Artº 89 /REBAP)
Coeficiente α => Artº 102.2 /REBAP (Quadro XV )
• Laje L10
hmin ≥ 0.6 x 6.2 / (30 x 1) = 0.12 m
• Laje L13
hmin ≥ 0.6 x 6.2 / (30 x 1) = 0.12 m
d) - Espessura de cálculo:
hcálculo = li / ( 21x η ) = (α x lmenor) / ( 21 x η ) (m)
Áço A400 => η = 1.0 (Artº 89 /REBAP)
Coeficiente α => Artº 102.2 /REBAP (Quadro XV )
• Laje L10
hcálculo = 0.6 x 6.2 / ( 21 x 1 ) = 0.18 m > 0.12 m , logo
Está garantida a condição do artº 72 /REBAP que dispensa a
verificação da segurança ao E.L.U. (deformação)
• Laje L13
hcálculo = 0.6 x 6.2 / (21 x 1) = 0.18 m > 0.12 m , logo
Está garantida a condição do artº 72 /REBAP que dispensa a
verificação da segurança ao E.L.U. (deformação)

Projecto 1
e) - Espessura adoptada:
Com base nos valores obtidos de hmin e hcálculo , foi adoptada uma espessura de laje.
• Laje L10
h adop. = 0.20 m
• Laje L13
h adop. = 0.20 m
Nota: Apresenta-se em seguida o pré-dimensionamento de todas as lajes do painel do Piso 3. O pré-
dimensionamento de outras lajes que não pertençam a este painel é apresentado no Anexo 5
Laje
Lmaior
(m)
Lmenor
(m)
Coeficiente
γγγγ
direcção
Coeficiente
αααα
hmin
(m)
hcálculo
(m)
hadop.
(m)
L1 7,2 6,15 1,17 DUAS 0,6 0,12 0,18 0,2
L2 8,5 6,4 1,33 DUAS 0,6 0,13 0,18 0,2
L4 7,2 4,1 1,76 DUAS 0,5 0,07 0,10 0,2
L5 6,3 4,2 1,50 DUAS 0,6 0,08 0,12 0,2
L7 4,2 2,2 2,00 UMA 0,5 0,04 0,05 0,2
L9 8,2 5,4 1,52 DUAS 0,5 0,09 0,13 0,2
L10 7,3 6,2 1,18 DUAS 0,6 0,12 0,18 0,2
L11 7,9 6,3 1,25 DUAS 0,6 0,13 0,18 0,2
L12 12 6 2,00 UMA 0,8 0,16 0,23 0,2
L13 9,7 6,2 1,56 DUAS 0,6 0,12 0,18 0,2
Quadro 3 – Quadro resumo do pré-dimensionamento de todas as lajes do painel do Piso 3

Projecto 1
4.2 - Acções:
a) Permanentes:
- Peso Próprio (laje) = h adop. x γ betão = 0.20 x 25 = 5,0 KN/m2
- Revestimento = 1.5 KN/m2
- Paredes divisórias = P.P.div. x Pé-direito x 40% = 2.0 x 2.8 x 0.4 =
= 2.24 KN/m2 (Artº 15 / RSA )
C.P. (Total) = 5,0 + 1.5 + 2.24 = 8.74 KN/ m2
b) Variáveis:
- Sobrecarga de utilização => 2.0 KN/m2 (Artº35 / RSA)
c) Combinações de acções:
- Estado Limite Ultimo / Combinação fundamental:
qsd, fund. = 1.5 x C.P. + 1.5 x S.C. = 1.5 x 8.74 + 1.5 x 2.0 = 16.11 KN/m2
- Estado limite de Utilização / Combinação frequente:
qsd, freq. = C.P. x 1.0 + S.C x ψ1 = 8.74 x 1.0 + 2.0 x 0.3 = 9.34 KN/m2

Projecto 1
4.3 – Verificação da segurança
4.3.1 – Verificação em Relação aos Estados Limites Últimos
a) - Verificação da segurança em relação ao Estado Limite Ultimo de
rotura por esforço transverso (Artº 53.2 /REBAP):
Para a verificação da segurança em relação ao estado limite ultimo de rotura por esforço transverso,
analisou-se a laje mais mais desfavorável do painel, depois de se traçar as linhas de rotura nas lajes
constatou-se que a laje mais desfavoravel do painel era a laje L2.
Laje - L2
( Sem escala )
Figura 5 – Linhas de rotura da Laje L2 para verificação da segurança ao esforço transverso
Sendo:
- h(laje) = 0.2 m
- recobrimento = 0.03 m
- d = 0.2 – 0.03 = 0.17 m
Vrd = Vcd + Vwd ≥ Vsd
Vwd = 0 ( Não considerando armadura de esforço transverso)
Vcd ≥ Vsd
Vcd = 0.6 x (1.6 – d ) x τ1 x d x bw = 0.6 x(1.6 – 0.17 ) x 0.75 x103
x 0.17 x1=
= 109.4 KN/m
Vsd = qsd, fund. x a = 16.11 x 4.22 = 67.98 KN/m
Vcd > Vsd => 109.4 > 67.98 Verifica, logo está garantida a segurança ao
esforço transverso

Projecto 1
Nota: Apresenta-se em seguida o traçado das linhas de rotura de todas as lajes do painel do piso 3.
( Sem escala )
Figura 6 - Linhas de rotura das Lajes do painel do piso 3, para verificação da segurança ao esforço transverso
b) -Verificação da segurança em relação ao Estado Limite Ultimo de rotura por Flexão
b.1) - Esforços
b.1.1)– Verificação da necessidade de fazer passeio de sobrecargas
0.4 x C.P. = 0.4 x 8.74 = 3.5 KN/m2
S.C. = 2.0 KN/m2
=> S.C. < 0.4 x C.P. ; logo: Não é necessário fazer
passeio de sobrecargas

Projecto 1
b.1.2) – Cálculo de Esforços
Para o exemplo de cálculo ( L10;L13), utilizando as Tabelas De Barez :
Laje L10
γ = a/ b = 6.6 / 6.4 = 1.03
( Sem escala )
Figura 7 – Modelo de cálculo da laje L10 para consulta das tabelas de Barez
Calculando:
Mys = 0.0269 x 16.11 x 6.62
= 18.88 KN/m
Myvmin
= -0.0699 x 16.11 x 6.62
= -49.05 KN/m
Mxs = 0.0269 x 16.11 x 6.42
= 17.75 KN/m
Mxvmin
= -0.0699 x 16.11 x 6.42
= -46.13 KN/m

Projecto 1
Laje 13
γ = a/ b = 6.1 / 9.9 = 0.62
( Sem escala )
Figura 8 – Modelo de cálculo da laje L13 para consulta das tabelas de Barez
Calculando,
Mys = 0.046 x 16.11 x 6.12
= 27.56 KN/m
Myvs = -0.0998 x 16.11 x 6.12
= -59.83 KN/m
Mxs = -0.0089 x 16.11 x 9.92
= 14.05 KN/m
Mxvmin
= -0.0309 x 16.11 x 9.92
= -48.79 KN/m

Projecto 1
Nota: Procedeu-se de forma análoga para as restantes lajes, adaptando-se os modelos das tabelas de
Barez a cada caso especifico, de onde resulta os seguintes resultados :
( Sem escala )
Figura 9 – Figura resumo dos momentos calculados pelas tabelas de Barez
b.1.3) - Compatibilização dos esforços
- Para o exemplo de cálculo ( L10 - L13):
Foram calculados os momentos nas lajes, com o apoio das tabelas de Barez.
A compatibilização dos momentos em lajes adjacentes, foi feita recorrendo á regra de Marcos
Nota: no exemplo de calculo a compatibilização indicada é para a direcção x).

Projecto 1
Como os vãos são semelhantes:
Média simples (MA;MB) = (MA + MB) / 2
MAB = máx. =>
0.8 x máx. (MA;MB)
(-48.79 - 46.13) / 2 = -47.46 KN.m
=> MAB = -47.46 KN.m
0.8 x máx.(-48.79; - 46.12) = -39.03 KN.m
Figura 10 – Figura exemplo para a compatibilização de esforços
Na compatibilização de momentos, o momento a meio vão da laje L10 deveria ser 16,42 no
entanto considerou-se 17.75 por uma questão de segurança.
No que se refere ao momento a meio vão e ao momento do apoio esquerdo da laje L13
representado na figura, (respectivamente 15.38 e –48.79), esses momentos ainda terão de ser
compatibilizados com os momentos da laje adjacente L12 (na direcção x).

Projecto 1
Em seguida apresenta-se em esquema os momentos compatibilizados:
( Sem escala )
Figura 11 – Esquema resumo dos momentos compatibilizados
b.1.4)-Verificação da segurança em relação ao Estado Limite Ultimo de rotura por flexão:
a) Armadura Principal:
A armadura principal foi calculada a partir dos momentos actuantes
redistribuidos.
• Laje L10
V= 0.85 x fcd x b x d = 0.85 x 16700 x 1 x 0.17 = 2413.15 (KN/mlaje)
Vd = V x d = 2413.15 x 0.17 = 410.24 (KN.m/mlaje)
µ = Msd / Vd = 17.75 x 410.24 = 0.043 < 0.31
(y/d) = 1- √ (1- 2 µ) = 1 - √ (1- 2 x 0.043) = 0.044
As = ((y/d) x V )/ fsyd = (0.044 x 2413.15) / 34.8 = 3.07 (cm2
/m)

Projecto 1
• Laje L13
V= 0.85 x fcd x b x d = 0.85 x 16700 x 1 x 0.17 = 2413.15 (KN/mlaje)
Vd = V x d = 2413.15 x 0.17 = 410.24 (KN.m/mlaje)
µ = Msd / Vd = 17.27 / 410.24 = 0.042 < 0.31
(y/d) = 1- √ (1- 2 µ) = 1 - √ (1- 2 x 0.042) = 0.043
As = ((y/d) x V )/ fsyd = (0.043 x 2413.15) / 34.8 = 2.98 (cm2
/m)
Na Figura 12 pode vêr-se os resultados da armadura, para todos os esforços das lajes do painel e
no Anexo 18 a tabela de cálculo utilizada para o cálculo dessa armadura.
( Sem escala )
Figura 12 – Resultados da armadura calculada

Projecto 1
b) - Armadura de Distribuição
A armadura de distribuição para todas as lajes, quando necessária, foi calculada fazendo
20 % da armadura principal, de acordo com o artº 108 º do REBAPE.
c)- Armadura de Controle de Fendilhação:
A armadura de controle de fendilhação é aplicada nos bordos com liberdade de rotação, com o
objectivo de minimizar a fendilhação. No projecto apresentado foi contabilizada do seguinte
modo:
As fissuração = 20 % x Asprincipal
d) - Armadura de canto:
A armadura de canto depende da liberdade de rotação dos apoios, ou seja, para cantos com dois
bordos com liberdade de rotação a armadura é igual á armadura do vão, para cantos com um
bordo com liberdade de rotação e um bordo encastrado a armadura é igual a metade da
armadura do vão, no caso de o canto ter dois bordos encastrados não leva armadura de reforço.
A distribuição da armadura de canto é feita num comprimento de:
d = 0.25 x Lmenor + Larg. Apoio /2 ( a contar da face exterior da parede )
e)- Comprimento dos varões :
As canto = As fissuração => L = 0.25 x L menor + 35 ∅
As sobre o apoio => L = 0.2 x L menor + 1.5 x d + 35 ∅

Projecto 1
4.3.2 – Verificação em Relação aos Estados Limites De Utilização:
a) – Verificação da segurança em relação ao Estado Limite
De Utilização / Fendilhação;
Adoptar-se-ão as disposições construtivas regulamentares que permitem a dispensa da
verificação da segurança a este estado limite. Artigos 70.3º,103º,91º /REBAP.
1.5 x hlaje =1.5 x 0.2 = 0.30 m
s ≤ 0.35 m => smáx. = 0.25m
2 x 0.125 = 0.25 m
b) – Verificação da segurança em relação ao Estado Limite
De Utilização / Deformação;
A verificação da segurança em relação ao estado limite de utilização/deformação, foi feita para
a laje mais desfavoravel ( laje L12 => l = 13.1 ).
b.1) - Flecha a curto prazo:
Artigo 72º REBAP
L/400 6.0/400 = 0.015 m
ac Máx. ≤ min ⇒ ac Máx. ≤ min
0.015 m 0.015 m
ac Máx. ≤ 0.015 m
Calculo da flecha instantânea (ac):
ac = (qsd,freq x l4
)/(185xEI) = (9.34 x 64
)/(185 x 20343.5) = 3.9x10-3
ac ≤ ac Máx. Verifica a flecha a curto prazo

Projecto 1
b.2) - Flecha a longo prazo:
Elementos de base:
Asa = 11.81 cm2/m
Asb = 9.63 cm2/m
Lt = 6 m
L2 = 0.75 x vão = 0.75 x 6 = 4.5 m
L1 = 6 – 4.5 = 1.5 m
I = (bx h3
)/12 = (1 x 0.23
) / 12 = 6.67 x10-4
m4
E = 30.5 x 106
EI = 20343.5

Projecto 1
Calculo do Mcrit. :
- Percentagem geométrica média das armaduras:
ρm tracção = (l1 / lt) x (Asa /b.d) + (l2 /lt) x (Asb/b.d) =
= (1.5 / 6) x (11.81x10-4
/ 1x 0.17) + (4.5/6) x (9.63 x10-4
/ 1 x 0.17) = 0.005985
ρm compressão = (l1 / lt) x (Asb /b.d) = (1.5/6) x (9.63x10-4
/ 1x 0.17) = 0.001416
fctm(tracção)
= 2.5 MPa (artº 16 /REBAP)
fctm(flexão)
= fctm(tracção)
x [0.6 + (0.4/ 4
√ h)] = 2.5 x [0.6 + (0.4/ 4
√ 0.2)] =2.99 Mpa
fctm(flexão)
= Mcrit./W ⇔ Mcrit. = fctm(flexão)
x W ⇔ Mcrit. = fctm(flexão)
x (b.h2
/6)
⇔ Mcrit. = 2.99x103
x (1 x 0.202
/6) = 24.7 KN.m/m
Msd,freq = (qsd,freq. x l2
)/14.2 = (9.34 x 62
/ 14.2) = 19.9 KN.m/m
logo, Mcrit > Msd,freq , então a flecha a longo prazo é dada por:
a∞∞∞∞ = ac x (1 + ϕϕϕϕ) , considerando um coeficiente de fluência de 2.5
a∞ = 3.9x10-3
x (1 + 2.5) = 0.01365 m
Verificando a flecha : ( Art. 72.2º / REBAP )
L / 400 = 13.1 / 400 = 0.03275 m
δmax <
0.015 m
Como a∞ = 0.01365 m < 0.03275 m Está garantida a segurança em relação
ao estado limite de deformação

Projecto 1
5 - Dimensionamento da Laje de escadas
As lajes de escada foram calculadas como lajes armadas numa só direcção e ao contrário das
lajes convencionais, foram armadas segundo o maior vão de acordo com os modelos de cálculo
indicados.
a) - Pré - Dimensionamento da Laje :
h ≥ l / 25
h ≥ 3,95 / 25 = 0.16 m
h laje adot. = 0.20 m
b) - Geometria:
Espelho = Altura a subir(total) / nº de fucinhos(total) = 3,20 x 21= 0.153 m
Cobertor = comprimento do lanço / nº de degraus = 1,76 / 8 = 0.22 m
α=arc tg ( 0.153 / 0.22 ) = 35,44°
( Sem Escala ) ( Sem Escala )
Figura 13 – Definição geométrica do degrau Figura 14 – Definição geométrica das escadas e modelo
de cálculo adoptado

Projecto 1
c) -Acções:
Revestimento => 1,5 KN/m 2
S.C. Escada => 5 KN/m 2
Peso Próprio (laje) => 5 KN/m 2
Peso Próprio (degraus) => 2,5 KN/m 2
d) -Cálculo dos esforços:
Lanço B – C:
( Sem escala )
Figura 15 – Modelo de cálculo do lanço B - C
∑ MA = 0 ⇔ -5 x 1,63 x 0,815 – 2,5 x 0,53 x 0,815 – 1,5 x 0,55 x 1,35 – 5x 0,55 x 0,27
– 1,84 x 0,53 x 0,815 – 5 x 0,55 x 1,35 – 5 x 0,55 x 0,27 – 6,14 x 0,53 x 0,815 + R2 x
1,63 =0 ⇔ R2 = 9,26 (KN)
∑ Fv = 0 ⇔ 9,29 – 5x1,36 – 2,5 x 0,53 – 1,5 x 0,55 – 5 x 0,55 – 1,84 x 0,53 – 5 x 0,55 –
5 x 0,55 – 6,14 x 0,53 + R1 = 0 ⇔ R1 = 12,14 (KN)

Projecto 1
Mmáx. =12,14 x 0,92 – 5x 0,92 x 0,46 – 2,5 x 0,37 x 0,185 – 1,5 x 0,55 x 2,125 – 1,84 x
0,37 x 0,1845 – 5 x 0,55 x 2,125 – 6,14 x 0,37 x 0,185 = 0,74 (KN.m)
Msd = 1,5 x 0,74 = 1,11(KN.m)
Vsd = 1,5 x 12,14 = 18,21 (KN)
Lanço C – D:
( Sem escala )
Figura 16 – Modelo de cálculo do lanço C - D

Projecto 1
∑ MA = 0 ⇔ -5 x 4,33 x 2,165 – 2,5 x 2,139 x 2,069 – 1,5 x 1,19 x 3,734 – 1,5 x 1 x
0,5 – 1,83 x 2,139 x 2,069 – 5x 1,19 x 3,734 – 5 x 1 x 0,5 x 6,1 x 2,139 x 2,069 – 9,26
x1 x0,5 + RB x 4,33 = 0 ⇔ RB = 29,98 (KN)
∑Fv = 0 ⇔ 29,98 – 5 x 4,33 – 2,5 x 2,139 – 1,5 x 1,19 – 1,5 x1 –1,83 x 2,139 – 5 x 1,19
– 5x1 –6,1 x 2,139 – 9,26 x 1 + RA= 0
Mmáx. = 37,47 x 2,4 – 5 x 2,4 x 1,2 – 2,5 x 1,4 x 0,7 – 1,5 x 1 x 1,9 – 1,83 x 1,4 x 0,7 –
5 x 1x 1,9 – 6,1 x 1,4 x 0,7 – 9,26 x 1x 1,9 = 35,36 KN.m
Msd = 1,5 x 35,36 = 53,04 KN.m
Vsd = 1,5 x 37,47 = 56,21 KN
e) - Verificação da segurança ao E.LU. :
e.1) -Flexão:
rec. = 0,03m
d = 0,20 – 0,03 = 0,17 m
B30 => fcd = 16700
A400 => fsyd = 348000
Lanço 2 – 3 :
Msd = 1,11 KN.m
µ = 0.003 < 0.31
As = 2,55 (cm2
/m) => φ 8 // 0,10
As,dist. =0.2 x 2,55 = 0.51(cm2
/m) => φ 6 // 0,20
As,min.= (0,15 x 0,17 x 1) /100 = 2,55 (cm2
/m)
As, fend. =0.2 x As = 0.2 x 2.55 =0.51 (cm2
/m) =>
=> As, fend = As,min.= 2,55 (cm2
/m) => φ 8 // 0,10

Projecto 1
Lanço 1 – 2 :
Msd = 53.04 KN.m
µ = 0.129 < 0.31
As = 9.64 (cm2
/m) => φ 12 // 0,10
As,dist. =0.2 x 9.64 = 1.93 (cm2
/m) => φ 8 // 0,20
As,min.= (0,15 x 0,17 x 1) /100 = 2,55 (cm2
/m)
As, fend. =0.2 x As = 0.2 x 9.64 =1.928 (cm2
/m) =>
=> As, fend = As,min.= 2,55 (cm2
/m) => φ 8 // 0,10
e.2)– Esforço transverso :
Lanço 2 – 3:
Vsd = 18,21 KN
Vrd = 0,6 x ( 1,6 – d ) x τ1 x d x b = 0,6 x (1,6 – 0,17) x 750 0,17 x 1=109,40 KN
Vrd > Vsd => Dispensa-se a armadura de esforço transverso
Lanço 1 – 2:
Vsd = 56,21 KN
Vrd = 0,6 x ( 1,6 – d ) x τ1 x d x b = 0,6 x (1,6 – 0,17) x 750 0,17 x 1=109,40 KN
Vrd > Vsd => Dispensa-se a armadura de esforço transverso

Projecto 1
f )-Verificação da segurança ao E.L.Utilização
f.1) - Deformação:
Tendo-se cumprido as condições impostas nos artigos 102º ( li / h < 30 η), e no artº 113,
ficamos dispensados da verificação do estado limite de deformação, como consta no artº 72.3
(R.E.B.A.P.).
f.2) - Fendilhação:
Tendo-se adoptado as disposições construtivas regulamentares que permitem a dispensa da
verificação da segurança a este estado limite Art. 70.3º , 105º, 91º / R.E.B.A.P. .
Pode-se dispensar a verificação de fendilhação desde que se verifique os espaçamentos
impostos pelos artigos referidos anteriormente.
Espaçamento máximo entre varões (armadura principal):
s ≤ 1,5 x h s ≤ 1,5 x 0.2 s ≤ 0.30 m
=> s ≤ 0.30 m
s ≤ 0,35 s ≤ 0,35 s ≤ 0.35 m
Espaçamento mínimo, artº 77(R.E.B.A.P.):
s ≥ φ varões s ≥ 0,010 m
=> s ≥ 0.02 m
s ≥ 0,02 s ≥ 0,02 m

Projecto 1
6 – Pórticos
As viga (V9.1 ; V9.2 ; V9.3), o Pilar (P26) assim como os respectivos pórticos escolhidos para o
dimensionamento, são os indicados na figura seguinte :
V6.1
P35
V9.1
P26 V6.2
P27
P20
V9.2V9.3
P28
Portico y
Portico x
P10
Planta Piso 4
( Sem escala )
Figura 17 – Definição dos pórticos
O cálculo dos esforços nas estruturas foi efectuado recorrendo ao programa de cálculo automático
SAP2000 que se baseia no método dos elementos finitos, para a utilização do referido programa
procedeu-se do seguinte modo:
1º Criou-se um novo modelo;
2º Definiu-se as secções materiais e acções bem como a combinação de acções;
3º Definiu-se geometricamente a estrutura, definindo-se os elementos de barra com as respectivas;
secções associadas e criaram-se nós atribuindo-lhes as restrições necessárias;
4º Aplicaram-se as acções nas barras e nos nós;
5º Calculou-se a estrutura;
6º Visualizou-se e analisou-se os resultados.
Para o dimensionamento da viga foram utilizados os diagramas resultantes da envolvente de
esforços e para o dimensionamento dos pilares foram utilizados os diagramas provenientes da
combinação fundamental correspondente ao Estado Limite Ultimo, pois este em todos os aspectos,
mostrou-se mais desfavoravel, do que a combinação devido ao sismo.
Os resultados do SAP 2000 são apresentados em Anexo. ( Anexos : 15 , 16 )

Projecto 1
7 - Dimensionamento das Vigas
As vigas a dimensionar são as vigas V6 (V6.1,V6.2) e V9 (V9.1,V9.2,V9.3), pertencentes ao 4º
piso, cujas dimensões foram obtidas do pré-dimensionamento, tendo em conta o artº 89/REBAP
(ver em Anexo 6 ).
As referidas vigas serão calculadas para a flexão simples, embora exista esforço normal resultante
do modelo de cálculo.
Os esforços obtidos para as várias secções são os retirados do pórtico X e do pórtico Y, através da
resolução estrutural a duas dimensões efectuada no programa de cálculo automático SAP2000. Os
esforços utilizados para o dimensionamento das vigas é referente á envolvente de esforços.
7.1) -Viga do Pórtico x ( V6.1-V6.2 )
A – Armadura Inferior
A viga será armada uniformemente, ou seja, verificamos para a viga qual o momento máximo
positivo, conseguindo assim evitar interrupções da armadura e perlongando esta armadura nos
apoios de continuidade sem ser necessário efectuar amarrações em secções intermédias ( só se faz
armação no início e no fim da viga aquando na amarração ao pilar ).
Comprimento total da viga => L = 3.3 + 4.5 = 7.8 m
Os esforços resultantes do SAP 2000 são apresentados em Anexo.
Vigas do 4º Piso
Esforços
M Secção da viga
V
(Sem escala)
Figura 18 – Diagrama da envolvente de momentos e esforço transverso da viga V6
0.2
0.4

Projecto 1
7.1.1) -Cálculo da armadura para resistir a flexão
M máx
+
= 33.74 ( tabelas do LNEC)
Considerando 2.5 cm de recobrimento : d = 0.4 – 0.025 = 0.375 m
As mín = ( ρ b d) / 100 = ((0.15 x 0.2 x 0.375) / 100) x 104
= 1.125 cm2
As máx = 0.04 x b x h = 0.04 x 0.2 x 0.4 =3.2 x 10-3
= 32 cm2
Tabela nº 2 ( tabelas do LNEC)
m = (M s d ) / (b d2
) = 33.74 / (0.2 x 0.3752
x 1000) = 1.2
m = 1.3
B30
α = 0.146 => x = 0.146 x 0.375 = 0.055
ρ = 0.364
As = ((0.364 x 0.2 x 0.375) / 100) x 104
= 2.73 cm2
=> A s adopt = 2.73 cm2
resoluvel com : 4 Ø 10( A s = 3.14 cm2
)
• Espaçamento mínimo
Ø escolhido s ≥ 1 cm
s ≥ s min ≥ 2 cm
2 cm s ≥ 2 cm
• Espaçamento máximo (Artº 91/ REBAPE)
Ambiente moderadamente agressivo
s máx ≤ 0.075 m = 7.5 m
b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.008 = 0.134 m
s = (b’ – n x Ø ) / (n-1) = (0.134 - 4 x 0.010) / (4 – 1) = 0.0313 m = 3.13 cm
s = 3.13 cm > s min e < s máx
Admitindo Est Ø 8
0.20
4 Ø 10

Projecto 1
7.1.2) -Calculo da armadura para resistir ao esforço transverso (Artº 53 /REBAP)
Vsd máx = 83.85 KN
Segurança em relação à compressão das escoras da treliça de Morsch( Art 53.4 / REBAP )
• Vrd máx. = ?
Vrd máx = τ2 x b w x d =5 x 103
x 0.2 x 0.375 = 375 KN > Vsd = 83.85 KN, logo
conclui-se que fica garantida a segurança das escoras da treliça de Morsch.
• Vcd = ?
Vcd = τ1 x b w x d = 0.75 x 103
x 0.2 x 0.375 = 56.25 KN = 0 ,
De acordo com o Art 143.5 / REBAP numa zona de extensão igual a 2d ( 2 x 0.375 = 0.75 ), o
termo Vcd = 0 (a secção de Vsd máx é perto do apoio).
• Vwd = ?
Vrd > Vsd
Vrd = Vwd + Vcd
Vwd ≥ Vsd – Vcd Vwd ≥ 83.85 KN
• (Asw / s) = ?
(Asw / s) ≥ (Vwd / 0.9 d x f s y d ) = 83.85 / (0.9 x 0.375 x 348 x 103
) = 7.139 x 10-4
m2
/m
(Asw / s) min ≥ ( ρw x sen α x bw) / 100 = (0.1 x sen 90 x 0.2) / 100 = 2 x 10-4
m2
/m
(Asw / s) adot ≥ 7.139 cm2
/m

Projecto 1
7.1.3)- Afastamento dos estribos: ART 94º / REBAP
Vsd = 83.85 KN
(1/6) τ2 x b w d = (1/6) x 5 x 103
x 0.2 x 0.375 = 62.5
(2/3) τ2 x b w d = (2/3) x 5 x 103
x 0.2 x 0.375 = 250
=> Zona em que (1/6) τ 2 x b w d = 62.5 < Vsd = 83.85 ≤ (2/3) τ 2 x bw x d = 250
s ≤ 0.5 d com o máximo de 25 cm
Art 94.3
s ≤ 0.5 x 0.375 = 0.1875 m
s ≤ 0.1875 m = 18.75 cm
Contudo, de acordo com o artigo 143.6, os estribos para as zonas junto aos pilares devem ter um
espaçamento máximo de 0.25 d com o máximo de 15 cm.
0.25 x 0.375 = 0.1
logo s ≤ 0.1 cm → com o primeiro estribo a situar-se a uma distância da face do pilar não superior
a 5 cm.
sadot = 10 cm

Projecto 1
7.1.4-Estribos:
a) O primeiro estribo será colocado a uma distância nunca superior a 5 cm da face do pilar
(Art 143.6).
Seja s = 0.10 m
então (Asw / s) = 7.139 Asw = 7.139 x 0.10 = 0.714 cm2
utilizando 2 Ø 8 // 0.10 (1.01 cm2
)
com dois ramos.
Note-se que a distância entre os dois ramos de cada estribo não excede os 60 cm nem excede a
altura útil da viga, tal como é exigido no terceiro parágrafo da Art 94.1 da REBAP.
b) Zona Central
Na zona central da viga existe um troço no qual a segurança em relação ao esforço transverso
fica garantida com os estribos correspondentes à percentagem mínima regulamentar.
Este troço fica limitado pelas secções onde o valor de cálculo do esforço transverso é
Vsd = Vcd + Vwd,min = 56.25 +0.9 d x (Asw / s) x f s y d = 56.25 + 0.9 x 0.375 x 0.0002 x 348 x
103
= 79.74KN
Vendo qual a diagrama mais desfavorável
V 6.1
Como se indica no diagrama Vsd, o referido troço situa-se na zona central da viga apresentando um
comprimento
V 6.2
(Sem escala)
Figura 19 - Diagrama da envolvente de esfoço transverso a meio vão da viga V6

Projecto 1
Verifica-se que no lado direito não se chega a atingir os 79.74 KN, logo ficamos condicionados
apenas pelo lado esquerdo. No entanto iremos colocar estribos correspondentes à percentagem mínima
num troço algo menor centrado.
L = 1.5 m ( para cada lado a contar do eixo de simetria)
Adoptando para estes estribos (s = 0.20) teremos
(Asw / s) = 0.0002 Asw ≥ 0.0002 x 0.20 x 104
Asw ≥ 0.4 cm2
Note-se que a distância entre os dois ramos de cada estribo não excede 60 cm nem excede a
altura útil da viga, como se exige no 3º parágrafo do Artº 94/REBAP.
B- Armadura superior:
Esforços
(Sem escala)
Figura 20 – Momentos mais desfavoráveis considerados para o cálculo da armadura
7.1.5 - Cálculo da armadura
Calculou-se a armadura para os momentos mais desfavoráveis nos apoios;
• M1 = -25.4 KN ( tabelas do LNEC – Nº2)
m = 25.4 / (0.2 x 0.3752
x 1000) = 0.9
m = 0.9 α = 0.123 => x = 0.123 x 0.375 = 0.04613
B30 ρ = 0.271
As = ((0.271 x 0.2 x 0.375) / 100) x 104
=2.0325 cm2
As1 = 2.0325 cm2

Projecto 1
• M2 = -48.85
m= 48.85 / (0.2 x 0.3752
x 1000) = 1.737
m = 1.737 α = 0.1854 => x = 0.1854 x 0.375 = 0.07
B30 ρ = 0.535
As = ((0.535 x 0.2 x 0.375) / 100) x 104
= 4.013 cm2
As2 = 4.013 cm2
• M3 = -61.71
m = 61.71 / (0.2 x 0.3752
x 1000) = 2.2
m = 1.737 α = 0.222 => x = 0.222 x 0.375 = 0.0833
B30 ρ = 0.694
As = ((0.694x 0.2 x 0.375) / 100) x 104
= 5.21 cm2
As3 = 5.21 cm2
2 Ø 12 => As = 2.26 cm2
7.1.6) - Escolha de diâmetros para a armadura superior:
• M1 → Pondo de inicio uma armadura de 2 Ø 12 ( 2.26) a correr toda a face superior da viga como
do cálculo só preciso de As = 2.033, não é necessário reforço.
• M2 → As = 4.013 cm2
4.013 – 2.26 = 1.753 => reforço 2 Ø 12 → 2.26 cm2
L2 = 0.2 x 4.5 + 1.5 x 0.375 = 1.2 m
Lt = L1 +L2 = 1.2 + 1.5 = 2.7 m

Projecto 1
• M3 → As = 5.21
5.21 – 2.26 = 2.95 => reforço 2 Ø 16 → 4.02 cm2
L = (1/4) l + 35 Ø = (1/4) x 4.5 + 35 x 0.016 = 1.545m => L = 2 m ( corte certo )
1.2 cm
s ≥
2 cm
b’ = 0.2 – 2 x 0.025 – 2 x 0.008 = 0.134cm
s = (0.134 – 5 x 0.012 ) / (5 – 1) = 0.0165 ⇒ 1.88 ≈ 2 cm
7.1.7 - Verificação do espaçamento mínimo entre varões:
Nota : A dobra dos ferros deverá ser executada de acordo com o Art 79 / REBAP.
Corte 1 (Vêr em peças desenhadas)
• Inferior
1 cm
s ≥
2 cm
b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.025 –2 x 0.008 = 0.13cm
s = (b’ – n x Ø estribos) / (n-1) = (0.134 – 4 x 0.010) / 3 = 3.13 cm
• Superior
1.2 cm
s ≥ s ≥ 2 cm
2 cm
2 Ø 12
4 Ø 10

Projecto 1
Corte 2 e 5 (Vêr em peças desenhadas)
• Inferior
s= 3.13 cm
• Superior
s = 10.2 cm
Corte 3 e 4 (Vêr em peças desenhadas)
• Inferior
s = 3.13 cm
• Superior
1.2 cm
s ≥ s ≥ 2 cm
2 cm
Corte 6
• Inferior
s = 3.13 cm
• Superior
Ø n = √ (0.0122
– 0.0162
)= 0.02 m
s ≥
2 cm
4 Ø 12
4 Ø 10
4 Ø 10
2 Ø 12
2 Ø 12
4 Ø 10

Projecto 1
7.2) - Viga do Pórtico Y ( V9.1 ; V9.2 , V9..3 )
A) - Armadura Inferior
Optou-se por armar a viga uniformemente, ou seja, analisaram-se os momentos máximos positivos
do tramo V9.3 (M = 169.20 KN m), uniformizou-se a armadura inferior ao longo de toda a viga (em
relação à armadura superior) e analisaram-se os momentos máximos negativos dos tramos.
Comprimento total da viga, L = 1.8 + 6.3 + 6.1 = 14.2
M
V
(Sem escala)
Figura 21 - Diagrama da envolvente de momentos e esforço transverso da viga V9
0.5
0.2

Projecto 1
7.2.1) -Cálculo da armadura para resistir a flexão
M máx
+
= 169.20 (KN m)
rec = 0.025 m
d = 0.5 – 0.025 = 0.475 m
As mín = ( ρ b d) / 100 = ((0.15 x 0.2 x 0.475) / 100) x 104
= 1.43 cm2
As máx = 4% x b x h = 0.04 x 0.2 x 0.5 x 104
= 40 cm2
Tabela nº 2 (LNEC “livro azul”) => Flexão simples
m = (M s d ) / (b d2
) = 169.20 / (0.2 x 0.4752
x 1000) = 3.75
m = 3.75 α = 0.3895
B30 ρ = 1.2865
As = (ρ b d) / 100 = ((1.2865 x 0.2 x 0.475) / 100) x 104
= 2.73 cm2
As = 12.22 cm2
As adot = 12.22 cm2
=> 4 Ø 20 (12.57cm2
)
7.2.2) - Cálculo da armadura para resistir ao esforço transverso:
• Vsd máx. = ?
Vsd máx = 235.95 KN
Segurança em relação à compressão das escoras da treliça de Morsch ( Art 53.4 / REBAP ).
• Vrd máx = ?
Vrd máx = τ2 x b w x d =5 x 103
x 0.2 x 0.475 = 475 KN > Vsd = 235.95
Conclui-se que fica garantida a segurança das escoras da treliça de Morsch.

Projecto 1
• Vcd = ?
Vcd = τ1 x b w x d = 0.75 x 103
x 0.2 x 0.475 = 71.25
No entanto, de acordo com o Art 143.5 / REBAP numa zona de extensão igual a 2d
(2 x 0.475 = 0.95 ), o termo Vcd = 0, pois a secção onde ocorre Vsd máx é perto do apoio.
Vcd < Vsd
• Vwd = ?
Vrd > Vsd
Vrd = Vwd + Vcd
Vwd ≥ Vsd – Vcd Vwd ≥ 235.95 KN
• (Asw / s) = ? (Art 53.3 / REBAP)
(Asw / s) ≥ (Vwd / 0.9 d x f s y d ) = 235.95 / (0.9 x 0.475 x 348 x 103
) = 1.59 x 10-3
m2
/m
(Asw / s) min ≥ ( ρw x sen α x bw) / 100 = (0.1 x sen 90 x 0.2) / 100 = 2 x 10-4
m2
/m
(Asw / s) adot ≥ 1.59 x 10-3
m2
/m = 15.86 cm2
/m
7.2.3)- Afastamento dos estribos: ART 94º / REBAP
Vsd = 235.95 KN
(1/6) τ 2 x b w d = (1/6) x 5 x 103
x 0.2 x 0.475 = 79.17 KN
(2/3) τ2 x b w d = (2/3) x 5 x 103
x 0.2 x 0.475 = 316.67 KN ,
assim;
(1/6) τ 2 x b w d = 79.17 KN < Vsd =235.95 ≤ (2/3) τ 2 x b w d = 316.67 KN
s ≤0.5 d com o máximo de 25 cm
Art 94.3
s ≤ 0.5 x 0.475 = 0.2375 m
s máx =0.2375 m

Projecto 1
Contudo, de acordo com o artigo 143.6, os estribos para as zonas junto aos pilares devem ter
um espaçamento máximo de 0.25 d com o máximo de 15 cm.
0.25 x d = 0.25 x 0.475 = 0.11875m
logo s máx = 11.875 cm ► com o primeiro estribo a situar-se a uma distância da face do pilar
não superior a 5 cm.
s adot = 10 cm = 0.10 m
7.2.4 )- Estribos
a ) O primeiro estribo será colocado a uma distância nunca superior a 5 cm da face do pilar (Art 143.6).
Seja s = 0.10
então (Asw / s) = 15.86 Asw = 15.86 x 0.10 = 1.57 cm2
utilizando 2 Ø 10 // 0.70 (1.57) com dois
ramos.
Note-se que a distância entre os dois ramos de cada estribo não excede os 60 cm nem excede a altura
útil da viga, tal como é exigido no terceiro parágrafo da Art 94.1/ REBAP.
b ) Zona Central
Na zona central da viga existe um troço no qual a segurança em relação ao esforço transverso fica
garantida com os estribos correspondentes à percentagem mínima regulamentar.
Este troço fica limitado pelas secções onde o valor de cálculo do esforço transverso é
Vsd = Vcd + Vwd,min = 71.25 + 0.9 x d x (Asw / s) x fsyd =
= 71.25 + 0.9 x 0.475 x 0.0002 x 348 x 103
= 101 KN
Vendo qual a diagrama mais desfavorável
V9.2

Projecto 1
V9.3
(Sem escala)
Figura 22 - Diagrama da envolvente de esforço transverso a meio vão da viga V9
Nota : Adopta-se 0.8 m para cada lado em ambas as vigas (V9.2 e V9.3), para a armadura mínima
dos estribos. No entanto para a V9.1 a armadura dos estribos é a de cálculo.
• Cálculo para a armadura mínima dos estribos (para a dispensa)
Adoptando para estes estribos (s = 0.20) teremos
(Asw / s) mín = 0.0002 Asw ≥ 0.0002 x 0.20 x 104
Asw ≥ 0.4 cm2
=> Est Ø 8 // 0.20 com
dois ramos.
Note-se que a distância entre os dois ramos de cada estribo não excede 60 cm nem excede a altura
útil da viga, como se exige no Art 94 / REBAP.
B- Armadura superior
7.2.5) - Cálculo da armadura
• M1 => Msd = -225.5 (constante nas tabelas do LNEC – nº2)
m = 225.5 / (0.2 x 0.4752
x 1000) = 5.00
m = 5.00 α = 0.571 => x = 0.571 x 0.475 = 0.271
B30 ρ = 1.884
As = (ρ b d) / 100 = ((1.884 x 0.2 x 0.475) / 100) x 104
= 17.9 cm2
As = 17.9 cm2

Projecto 1
• M2 => Msd = -316.58 KN.m
m = 316.58 / (0.2 x 0.4752
x 1000) = 7.00
V = 0.85 x 16700 x 0.2 x 0.475 = 1348.52
Vd = 1348.52 x 0.475 = 640.54
M = 316.58 / 640.54 = 0.49 > 0.31
=> A rotura dá-se por esmagamento do betão logo, temos de pôr armadura superior de compressão.
Tabela 6 (LNEC)
a = 0.025 a / d ≈ 0.05
d = 0.475
µ = ( Mrd ) / (b.d2
.fcd) = 316.58 / (0.2 x 0.4752
x 16.7 x 103
) = 0.420
A / A’ = 0.30 α = 0.511 => x = 0.511 x 0.475 = 0.24m
µ = 0.420 ρ = 0.502
A = (ρ x b x d x f c d) / (f s y d) = ((0.502 x 0.2 x 0.475 x 16.7) / 348) x 104
=21.88 cm2
A’ = 0.3 x 21.88 = 6.56 cm2
=> Armadura inferior de reforço
• M3 => Msd = -237.98
m = 237.98 / (0.2 x 0.4752
x 1000) = 5.30
m = 5.30 α = 0.622 => x = 0.622 x 0.475 = 0.295
B30 ρ = 2.055
As = (ρ b d) / 100 = ((2.055 x 0.2 x 0.475) / 100) x 104
= 19.52 cm2
7.2.6)- Escolha de diâmetro para a armadura superior :
• M1 => As = 17.9 cm2
17.9 – 2.26 = 15.64 cm2
=> 4 Ø 25 (19.64cm2
)
L1 = 0.2 lV9.1 + 1.5 d = 0.2 x 1.8 +1.5 x 0.475 = 1.01 ≈ 1.2m
L2 = 1.8 x 35 x 0.025 =2.68m
Ltotal = 3.75 ≈ 4 m
A
A’

Projecto 1
• M2 => As = 21.88 cm2
21.88 – 2.26 = 19.62 cm2
=> 4 Ø 25 (19.64cm2
)
L1 = 0.2 lV9.2 + 1.5 d = 0.2 x 6.3 +1.5 x 0.475 ≈ 2 m
L2 = 0.2 lV9.3 + 1.5 d = 0.2 x 6.1 +1.5 x 0.475 ≈ 2 m
Ltotal = 4 m
A’ => Armadura inferior de reforço
A’ = 6.56 cm2
=> Devido ao facto da armadura para a M máx
+
= 169.20 (KN m) de
12.22 cm2
, fica garantida sobre o apoio a armadura A’
• M3 => As = 19.52 cm2
(apoio com liberdade de rotação)
19.52 – 2.26 = 17.26 cm2
=> 6 Ø 20 (18.85)
L = 0.25 lV9.3 + 1.5 d + 35 Ø = 0.2 x 6.1 +1.5 x 0.475 + 35 0.025 = 3,37 m
Ltotal ≈ 4.00 m
7.2.7) -Verificação do espaçamento mínimo entre varões:
Nota : A dobra dos ferros deverá ser executada de acordo com o Art 79 / REBAP.
Corte 1, 2, 4, 5, 7 (vêr em peças desenhadas)
• Superior
Ø n1 = √ (0.022
+ 0.0122
)= 0.023
s ≥ Ø n2 = √ (0.622
x 2)= 0.028 s ≥ 2.8 cm2
2 cm
b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.025 –2 x 0.010 = 0.13 m
s = (b’ – n x Ø estribos) / (n-1) = (0.13 – 2 x 0.023 + 0.028) / 2 = 0.028 m
4 Ø 20
4 Ø 25
2 Ø 12

Projecto 1
• Inferior
Ø n = √ (0.022
x 2)= 0.028
s ≥ s ≥ 2 cm
2 cm
s = (b’ – n x Ø estribos) / (n-1) = (0.134 – 2 x 0.02) / 1 = 0.094 m
Corte 3, 6 (vêr em peças desenhadas)
• Superior
1.2 cm
s ≥ s = 2 cm
2 cm
b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.025 –2 x 0.008 = 0.134 m
• Inferior
Ø n = √ (0.022
x 2)= 0.028
s ≥ s ≥ 2.8 cm
2 cm
Nota : Os esforços para as vigas, resultantes do SAP2000 podem ser vistos com mais pormenor em
anexo ( Anexos 19 , 20 )
2 Ø 12
4 Ø 20

Projecto 1
8 - Dimensionamento do pilar
No projecto apresentado foi feito um pré-dimensionamento dos pilares com base na seguinte
expressão:
Ac ≥ Nsd / ( 0.85 x fcd )
É de referir que de acordo com o Artº 120 / REBAP, a dimensão mínima da secção
transversal não deve ser inferior a 20 cm. Para um melhor comportamento estrutural, uma melhor
optimização da mão de obra optou-se, como critério de projecto, não alterar a secção do pilar em
toda a sua extensão. O pré-dimensionamento e as secções dos pilares é apresentada em Anexo.
( Anexo 7 ).
Utilizou-se o programa de cálculo automático SAP2000 para obter os esforços que actuam
nas várias secções do pilar na direcção X e na direcção Y.
Recorrendo-se ao artigo 59º do REBAP, calculou-se o comprimento efectivo (l0 = η * l ),
em seguida a esbelteza da peça ( λ = l0/ i , i – raio de giração ).
Para a Verificação da segurança dos pilares verificou-se as disposições regulamentares nos
Artigos : 61º, 62º, 63º / REBAP.
No que se refere ao cálculo da armadura utilizou-se as tabelas de cálculo
Esforços Normais de Flexão ( LNEC ) e tentou-se uniformizar a armadura do pilar em toda a sua
extensão.
O exemplo de cálculo apresentado em seguida refere-se ao dimensionamento do pilar P26
( Piso 1).
Exemplo de cálculo Pilar P26
Secção:
(Sem escala)
Figura 23 – Secção do pilar P26

Projecto 1
a) Classificação da estrutura
Com base no estipulado no Art 58 / REBAP procedeu-se á classificação da estrutura:
h tot × √ ((∑ N) / (∑E I)) ≤ η => Nós Fixos
B30 => E = 30.5 × 106
KPa
η = 0.6 => o número de andares do edifício é superior a 4
h tot = 7 × 3 = 21 m
∑ E I = 30.5 × 106
× Ix
• Direcção x
∑ N = 37502.8 KN
E Ix = 1.0946 m4
21 × √ ((-37502.8) / (30.5 × 106
× 1.0946)) = 0.704
0.704 > 0.6 => Nós móveis
• Direcção y
∑ N = 37502.8 KN
E Iy = 2.76 m4
21 × √ ((-37502.8) / (30.5 × 106
× 2.76)) = 0.44325
0.44325 < 0.6 => Nós fixos
Nota : Uma vez que na direcção X, h tot × √ ((Σ N) / (Σ E I)) = 0.704 > 0.6 , o que implicaria ser
uma estrutura de nós móveis ( embora a diferença não seja substancial), poder-se-á
considerar que a estrutura é de nós fixos. Como critério de projecto a análise posterior será
feita, quer na direcção x quer na direcção y, para uma estrutura de nós fixos.

Projecto 1
b) Cálculo dos coeficientes αααα
- Direcção x
I pilar = (b x h3
) / 12 = (0.55 x 0.33
) / 12 =0.00124 m4
I viga = (b x h3
) / 12 = (0.2 x 0.43
) / 12 =0.00107 m4
E I pilar = 30.5 x 106
x 0.00124 = 37743.8
E I viga = 30.5 x 106
x 0.00107 = 32533.33
α2 = (((E Ix pilar) / 3) + ((E Ix pilar) / 3)) / ((E Ix viga) / 3.3) =2.55
α2 ( cobertura ) = ((E Ix pilar) / 3) / ((E Ix viga) / 3.3) =1.28
- Direcção y
I pilar = (b x h3) / 12 = (0.553
x 0.3) / 12 =0.00416 m4
I viga = (b x h3) / 12 = (0.2 x 0.53
) / 12 =0.00208 m4
EI pilar = 30.5 x 106
x 0.00416 = 126880.00
EI viga = 30.5 x 106
x 0.00208 = 63440.00
α2 = (((E Iy pilar) / 3) + ((E Iy pilar) / 3)) / ((E I viga) / 3.3) + ((E I viga) / 6.3) =1.87
α2 (cobertura ) = ((E Iy pilar) / 3) / (((E Iy viga) / 3.3) + ((E Iy viga) / 6.3)) = 0.933
Nota : O α1 ao nível da fundação é igual a 1.

Projecto 1
c) Cálculo da esbelteza do pilar e da encurvadura
Pelas disposições do Art. 59º a esbelteza do pilar tal como o comprimento de encurvadura é
calculada da seguinte forma:
Direcção x:
Exemplo de cálculo Piso 1 ( P26 )
• Cálculo de (η; l0; i;λ )
α1 = 1
α2 = 2.55
Considerou-se o menor dos seguintes valores :
η = 0.7 + 0.05 x (α1+α2) = 0.7 + 0.05 x (1+2.55) = 0.88
η = 0.85 + 0.05*αmin = 0.85 + 0.05 x 1 = 0.9
logo : η = 0.88
l = 3 m
l0x = η * l = 0.88*3 = 2.64 m
Ix = 0.3 x 0.553
= 0.00416 m4
A= 0.3*0.55 = 0.165 m2
12
i= √(I/A) = √(0.00416)/0.0875) = 0.159 m
λx = l0x / i = 2.64/0.159 = 16.63
Art. 64 º / REBAP
λMÁX.= 140 como 16.63 < 140 Verifica (Art. 64º / REBAP)

Projecto 1
Direcção y:
• Cálculo de (η; l0; i;λ )
α1 = 1
α2 = 1.87
Considerou-se o menor dos seguintes valores :
η = 0.7 + 0.05 x (α1+α2) = 0.7 + 0.05 x (1+1.87) = 0.84
η = 0.85 + 0.05*αmin = 0.85 + 0.05 x 1 = 0.9
logo : η = 0.84
l = 3 m
l0y = η * l = 0.84*3 = 2.52 m
Iy = 0.5 x 0.33
= 0.001124 m4
A= 0.3*0.55 = 0.165 m2
12
i= √(I/A) = √(0.001124)/0.165) = 0.087 m
λy = l0y / i = 2.52 / 0.087 = 29.07
Art. 64 º / REBAP
λMÁX.= 140 como 29.07 < 140 Verifica (Art. 64º / REBAP)

Projecto 1
d) Consideração da Encurvadura
Os esforços de cálculo foram obtidos através do programa de cálculo automático SAP2000 (
resultados apresentados em Anexo ). Apenas se teve em conta os esforços devidos á combinação
dos Estados Limites Últimos , pois eram os esforços mais desfavoráveis. Para o exemplo de cálculo:
Esforços no P26 ( Piso 1)
Direcção X
Barra Combinação
ELU N V2 M3
0 -571,66 -1,78 -1,75
1,5 -543,14 -1,78 0,92
3 -514,62 -1,78 3,58
SISMMAIS
0 -362,20 -0,42 -0,41
1,5 -343,18 -0,42 0,22
3 -324,17 -0,42 0,84
1 SISMMENO
0 -372,99 -1,68 -1,65
1,5 -353,98 -1,68 0,87
3 -334,97 -1,68 3,39
ENVOLVE MAX
0 -362,20 -0,42 -0,41
1,5 -343,18 -0,42 0,92
3 -324,17 -0,42 3,58
ENVOLVE MIN
0 -571,66 -1,78 -1,75
1,5 -543,14 -1,78 0,22
3 -514,62 -1,78 0,84

Projecto 1
Direcção Y
Barra Combinação
ELU N V2 M3
0 -1746,33 -48,94 -47,49
1,5 -1737,05 -48,94 25,93
3 -1727,77 -48,94 99,34
SISMOMAI
0 -1024,33 -28,04 -27,29
1,5 -1018,14 -28,04 14,77
3 -1011,95 -28,04 56,83
8 SISMOMEN
0 -992,09 -27,85 -26,94
1,5 -985,91 -27,85 14,84
3 -979,72 -27,85 56,62
ENVOLVE MAX
0 -992,09 -27,85 -26,94
1,5 -985,91 -27,85 25,93
3 -979,72 -27,85 99,34
ENVOLVE MIN
0 -1746,33 -48,94 -47,49
1,5 -1737,05 -48,94 14,77
3 -1727,77 -48,94 56,62
Quadro 4 – Quadro de esforços no pilar P26 (Piso 1)
Em suma, ( esforços mais desfavoráveis para o piso 1 ):
Piso Secção Nsdx Nsdy Nsd tot Msdx Msdy
1 0 -571,66 -1746,33 -2317,99 -47,49 -1,75
3 -514,62 -1727,77 -2242,39 99,34 3,58

Projecto 1
Quadro 5 – Quadro dos esforços mais desfavoráveis no Pilar P26 (piso 1)
• Se uma das seguintes condições for verificada, pode-se dispensar a encurvadura.
Art. 61.4 º /REBAP
- 1ª condição :
Para λ ≤ 70 => Msd / Nsd ≥ 3.5* h
Para λ > 70 => ( Msd / Nsd) ≥ 3.5 x h x ( λ / 70 )
- 2ª condição
λ ≤ 50 – 15 x (Msd,b / Msda)
Análise
Piso Lamx Lamy
1 16.63 29.07 lamx e lamy < 70
Direcção X
1 ª condição: Msdx / Nsd ≥ 3.5* h
Msd / Nsd = 47.49 / 2317.99 = 0.02 0.02 < 1.925
3.5 x h = 3.5 x 0.55 = 1.925 Não verifica
2ª condição - λ ≤ 50 – 15 x (Msd,b / Msda)
λ = 29.07 29.7 < 81.4
Verifica
50 – 15 x (Msd,b / Msda) = 50 – 15 x (99.34 / 47.49) = 81.4
Dado que se tornou verdadeira uma das condições do Art 61.4, consideramo-nos
dispensados de ter em conta a curvatura na direcção X.

Projecto 1
Direcção Y
1 ª condição: Msd / Nsd ≥ 3.5* h
Msd / Nsd = 1.75 / 2317.99 = 0.001 0.001 < 1.05
3.5 x b = 3.5 x 0.3 = 1.05 Não verifica
2ª condição - λ ≤ 50 – 15 x (Msd,b / Msda)
λ = 29.07 29.7 < 81.38
Verifica
50 – 15 x (Msd,b / Msda) = 50 – 15 x (3.58 / -1.75) = 81.38
Dado que se tornou verdadeira uma das condições do Art 61.4, consideramo-nos
dispensados de ter em conta a curvatura na direcção Y
Nota: Devido às condições referidas anteriormente consideramo-nos dispensados de
ter em conta a encurvadura tanto na direcção x como na y, pelo que iremos
contabilizar apenas a excentricidade acidental.
e)- Excentricidades
Apenas se irá contabilizar a excentricidade acidental por razões referidas anteriormente e esta
irá ser contabilizada através da seguinte expressão:
ea = lo/300
ea => pode no mínimo ser tomado igual a 0.02
Direcção x.
Sabendo que lox = 2.64
eax= 2.64/300 = 0.009 => ea(adopt.) = 0.02
Direcção Y:
Sabendo qe loy = 2.52 m
eay = 2.52 / 300= 0.0084 =>ea(adop.) = 0.02

Projecto 1
f) Esforços finais
Os esforços finais resultam do seguinte modo:
Nsd =Nsd
Msd calc. = Msd + Nsd x ea
De onde se conclui que:
Esforços finais no P26 ( Piso 1)
Piso Secção
Nsd (final)-
KN Msdx (final)-KN.m Msdy (final)-KN.m
1 0 2317.99 =47.49 + 2317.99 x 0.02=93.85 =1,35 + 2317.99 x0.02 =48.11
3 2242.39 =99.34+ 2242.39 x 0.02=144.19 =3.58 + 2242.39x0.02 =48.43
Quadro 6 – Quadro de esforços finais no Pilar P26 (Piso 1)
g) Cálculo da armadura
Para o cálculo da armadura recorrendo ao ábaco 59 tabela do LNEC, considerando a1/h =a2/b=0.1.
Sabendo que b = 0.3 h =0.55 => Ac =0.165 m2
C25/30 fcd =16700 Kpa
Exemplo de cálculo - Piso1 secção 0:
Mx = 93.85 KN.m
My = 48.11 KN.m
N =2317.99 KN
Ábaco 59 (a1/h = a2/b = 0.1)
µx = ( MRd,x / Ac.h .fcd ) = (93.85 / 0.165 x 0.55 x 16700) = 0.06
µy = (MRd,y / Ac .b . fcd ) = (48.11 /0.165 x 0.30 x 16700) = 0.058
ν = (NRd/ Ac . h . fcd) = (2317.99 / 0.165 x 16700) = 0.9
η = µy /µx = 0.058 /0.06 = 0.9

Projecto 1
Para:
µx = 0.06
ν = 0.058 W = 0.25
η = 0.5 µx = 0.06
ν = 0.058 W = 0.28
η = 0.
µx = 0.06
ν = 0.058 W = 0.3
η = 1.0
As = W x Ac x (fcd / fsyd) = 0.28 x 0.165 x (16,7 /348) = 22.49 cm2
Em cada 7.5 metros uniformizou-se a armadura, ou seja, em cada dois pisos e meio.
O cálculo mais pormenorizado é apresentado em Anexo. ( Anexo 23 )
h) Calculo de diâmetros para a armadura uniformizada
1 – As = 29.2cm2
0.25 x As = 7.3 cm2
=> 4 φ16 x 4 =>16 φ 6
2 – As = 9.9 cm2
0.25 x As = 2.5 cm2
=> 4φ10 x 4 => 16 φ 10

Projecto 1
3 – As = 14.25 cm2
0.25 x As = 3.6 cm2
=> 4 φ12 x 4 => 16 φ12
i)-Espaçamento da armadura longitudinal
> φ existente
como não há agrupamentos => s ≥
2 cm
b` = b – 2 x rec. – 2 x φ estribos
s = ( b` - n x φ ) / (n –1 )
1 =>
b` = 0.3 – 2 x 0.025 – 2x 0.008 = 0.234 m
s = (0.234 –5 x 0.016)/4 = 0.0385 = 3.9 cm
> φ16 0.016
s ≥ => => s ≥ 2cm
2 cm 2 cm
2 =>
b` = 0.3 – 2 x 0.025 – 2x 0.008 = 0.234 m
s = (0.234 –5 x 0.010)/4 = 4.6 cm

Projecto 1
> φ10 0.010
s ≥ => => s ≥ 2 cm
2 cm 2 cm
3 =>
b` = 0.3 – 2 x 0.025 – 2x 0.008 = 0.234 m
s = (0.234 –5 x 0.012)/4 = 4.35 cm
> φ12 0.012
s ≥ => => s ≥ 2cm
2 cm 2 cm
j) -Estribos :
0.9 x d = 0.9 x 0.525 = 0.4725 m
Afastamento => s ≤
30cm
s ≤ 30 cm
Vsd máx. =103.7 KN
VRdmáx.= τ2 x b x d = 5 x103
x 0.3 x 0.525 = 787.5 KN > Vsd = 103.7 KN, conclui-se que fica
garantida a segurança das escoras da treliça de Morsch.
Vcd = τ1 x b x d = 0.75 x103 x 0.3 x 0.525 = 118.125 KN
Vwd ≥ Vsd – Vcd = 103.7 –118.125 = - 14.425 KN
(Asw/s) = Vwd/(0.9 x d x fsyd) = (14.425 x 104 )/(0.09 x 0.525 x 348 x 103) = 0.88 cm2/m
(Asw/s)min = (0.1 x 0.3)/ 100 = 3cm2/m
(Asw/s)adopt. = 3cm2/m
(1/6) x bw x τ1 x bw x d = (1/6) x 0.75 x 103 x 0.3 x 0.525 = 19.6875
(2/3) x bw x 0.3 x 0.525
Artº94.3 – ≤ 0.5 x d, com o máximo de 25 cm
0.5 x0.525 = 0.2625 m

Projecto 1
s ≤ => s ≤ 2.5 cm
25cm
(Asw/s) ≥ 3 => considerando s = 0.15 => Asw = 3 x 0.15 = 0.45, utilizando 2φ8 //0.15 com 2 ramos
k)-Cintas
s ≤ 12φ => s ≤ 12 x 0.016 = 0.192 m
s ≤ s ≤ menor dimensão do pilar = 0.3 m => s ≤ 0.192 m
s ≤ 30cm
As = 2 φ 6 artº 122.2 /REBAP , s = 0.15 m

Projecto 1
(Sem escala)
Figura 24 – Secções do pilar P26 adoptadas
Situação + desfavorável => Secção 2
Direcção y
b`= 0.55 – 2 x 0.025 – 2 x 0.008 = 0.484 m
s = ( 0.484 – 5x 0.010 ) / 4 =0.108m
0.484/2 – 0.108/2 – 0.010/2 = 0.183 , s = 0.183 > 0.15 , logo precisa de cintas, então iremos cintar
3 ferros apenas por disposição construtiva. Como critério de projecto optou-se por Cintar 3 varões
em todas as secções.

Projecto 1
9 – Dimensionamento da sapata S14 ( do pilar P26)
9.1 )-Esforços:
*Pórtico X *Portico Y
Nsd = - 571,66 KN Nsd = -1746,33 KN
Vsd = - 1, 78 KN Vsd = - 48,94 KN
Msd = - 47,49 KN.m Msd = - 1,75 KN.m
Ntotal = Nx + Ny = -571,66 - 1746,33 = - 2318 KN
σ adm solo = 0,4 Mpa = 400 Kpa
ϕ = 35 °
9.2) - Geometria :
( Pré - dimensionamento)
σ base da sapata = N / A ≤ σ adm
Área(sap) ≥ N / σ adm = 2318 / 400 = 5,795 m 2
Considerando a sapata quadrada tem- se que :
Área(sap) = A × B = 5,795 m² => A = B = sqrt ( 5,795) = 2,41 m
Adoptando ; A = B = 2,5 m

Projecto 1
(Sem escala)
Figura 25 – Geometria da sapata S14, em planta
9.3)- Determinação da altura H da sapata rígida:
Para ser uma sapata rígida temos que ;
H ≥ L / 2 , em que:
- H é a altura da sapata
- L = (A - a) / 2
Assim temos que;
H ≥ ( A - a ) / 4 <=> H ≥ ( 2,5 - 0,3 ) / 4 <=> H ≥ 0,55 m
=> Adoptou-se H= 0,7
(Sem escala)
Figura 26 – Geometria da sapata S14, em corte
9.4)-Direcção X :
a)- Cálculo do esforços:

Projecto 1
P.P. sapata = a × b × H × gama do betão = 2,5 × 2,5 × 0,7 × 25 = 109, 38 KN
N` = Nsd + P.P. sapata = 2318 + 109,38 = 2427, 38 KN
V` = - 1,78 KN
M` = Msd + V` × H = - 47,49 + 1,78 × 0,7 = - 46, 24 KN.m
b)- Comprimento da consola: (Método da consola)
L = A / 2 - 0,35 × a = 2,5 / 2 - 0,35 × 0,3 = 1,145 m
c) Tensão exercida sobre o solo:
σadm = Nsd / Área(sap) = 2427,38 / 6,25 = 388, 38 KN / m²
( Sem Escala )
Figura 27 – Modelo para a determinação de esforços na Sapata S14, direcção X
d)- Cálculo da armadura principal :
Considerou - se :
rec = 0,05 m => d = H - 0,05 = 0,7 -0,05 = 0,65 m
d.1) - Esforços actuantes:
Msd = ( P × L² ) / 2 = (388,38 × 1,145 2) / 2 = 254,59 KN m / m
Vsd = P × L = 388,38 × 1,145 = 444, 7 KN / m
d.2) - Método para o calculo da armadura:
V = 0,85 × fcd × b × d = 0,85 × 16,7 × 10 ³ × 1 × 0,65 = 9226,75 KN / m

Projecto 1
Vd = V × d = 9226,75 × 0,65 = 5997,39
µ = Msd / Vd = 1,5 × 254,54 / 5997,39 = 0,06368< 0,31
( Υ / d ) = 1- 1 – 2 × 0,06368 = 0,06584
As = ( 0,06584 × 9226,75 ) / 34,8 = 17,45 cm 2 /m
d.3) -Armadura mínima ( Art. 90 REBAP )
As min = ( ρ × b × d ) / 100 = ( 0,15 ×1 × 0,65 ) / 100 = 9,8 ×10 - 4
m² / m = 9,8 cm² /m
Norma espanhola => As min = ( 0,18 × 1 × 0,65 × 10 4
) /100 = 11,7 cm² /m
As adaptado = 17,45 cm² /m < = > Ø 16 // 0,10 ( 20,1 cm² /m )
e)-Verificação do esforço transverso ( Norma espanhola )
( Sem Escala )
Figura 28 – Modelo para verificação de eforço transverso para a Sapata S14, direcção X
b resistente = 2 × ( d /2 ) + a = 2 × (0,65 /2) + 0,55 = 1,2 m
Vrd = 2 × b resi × d × f vd = 2 × 1,2 × 0,65 × f vd
fvd = 0,5 × √(fvd) = 0,5×√(167) = 6,46 Kg /cm²
646 KN /cm²
V rd = 2 × 1,2 × 0,65 × 646 = 1007,76 KN
( ELU )
Vsd = 1,5 × 444,7 = 667,05 KN
Vrd = 781,66 KN
Vrd > Vsd => Verifica, logo está dispensada a armadura de esforço transverso.

Projecto 1
9.5)- Direcção Y:
a) Cálculo de esforços:
P.P. Sapata = 109,38 KN
N’ = 2318 + 109,38 = 2427,38 KN
M’ = - 1,75 + 48,94 × 0,7 = 32,51 KN
V’ = - 48,94 KN
b) Comprimento da consola:
L = 2.5/2 – 0.35 x 0.55 = 1.058 m
c) Tensão exercida sobre o solo:
σadm = Nsd / Área(sap) = 2427,38 / 6,25 = 388, 38 KN / m²
( Sem Escala )

Projecto 1
Figura 29 – Modelo para a determinação de esforços na Sapata S14, direcção Y
d)- Cálculo da armadura principal :
d.1) - Esforços actuantes:
rec = 0,05 d = 0,7- 0,05 = 0,65
Msd = (388,38 × 1,058²) / 2 = 217,37 KN /m²
Vsd = 388,38 × 1,058 = 410,91 KN /m²
d.2) - Método para o calculo da armadura:
V = 0,85fcd × b × d = 0,85 × 16,7 × 10³ × 1 × 0,65 = 9226,75 KN /m²
Vd = V × d = 7807,25 × 0,65 = 5997,39
µ = Msd /Vd = ( 1,5 × 217,37 ) / 5997,39 = 0,0544 < 0,31 => Verifica
( Y /d ) = 1 - 1 – 2 × 0,0544 = 0,056
As = ( 0,056 × 9226,75 ) / 34,8 = 14,83 > As min
As adopt = 15,00 cm² /m = > Ø16 // 0,10 ( 20,1 cm² / m )
d.3) -Armadura mínima ( Art. 90 REBAP )
As min = ( ρ × b × d ) / 100 = ( 0,15 ×1 × 0,65 ) / 100 = 9,8 ×10 - 4
m² / m = 9,8 cm² /m
Norma espanhola => As min = ( 0,18 × 1 × 0,65 × 10 4
) /100 = 11,7 cm² /m
As adaptado = 15.00 cm² /m < = > Ø 16 // 0,10 ( 20,1 cm² /m )
e)-Verificação do esforço transverso ( Norma espanhola ):

Projecto 1
( Sem Escala )
Figura 30 – Modelo para verificação de esforços transverso para a Sapata S14, direcção Y
b resist = 2 × ( d / 2 ) + b = 2 × ( 0,65/ 2 ) + 0,3 = 0,95 m
VRd = 2 × b resist × d × f Vd = 2 × 0,95 × 0,65 × 646 = 797,81 KN
fVd = 0,5 ×√fcd = 0,5 x√167 = 6,46 Kg /cm² = > 646 KN /cm²
Vsd = 1,5 × 410,91 = 616,37 KN
Vrd > Vsd = > Verifica, logo está dispensada a armadura de esforço transverso
9.6)-Verificação do Punsoamento (artº54/REBAP):
d = 0,65 m
(B 30) τ1 = 0,75 × 10³
η = 1,6 – d = 1,6 – 0,65 = 0,95
ν Rd = η × τ1 × d
ν Rd = 0,95 × 0,75 × 10³ × 0,65 = 463,13 KN
V Rd 1 = ν Rd × u
u = 2 ×0,3 + 2 × 0,55 + 2 π × 0,325
u = 3,74m
Vrd 1 = 463,13 × 3,74 = 1733,05 > Vsd = 408.26 + 441.833 = 850.1 KN, Verifica
Vrd máx = 1,6 × V Rd 1 = 2772,9 KN

Projecto 1
9.7)-Viga de fundação
a) Pré-dimensionamento (S2 Sapata do pilar P27)
N t = Nx
σ base da sapata = N t / A sapata ≤ σ adm
A sapata ≥ 962,28 / 400 = 2,406
Considerando sapata quadrada:
As = A × B => A = B =√(2,406) = > A = B = 1,55m
Adoptado A = B = 2,5m
b) Pré-dimensionamento da viga de fundação
As dimensões da viga considerou-se igual á viga dimensionada para o pórtico x, em a altura da
secção é 0.4m e a base de 0.2m. A viga tem um comprimento de L = 3.3m .

Projecto 1
( Sem escala )
Figura 31 – Viga de fundação e sapatas adjacentes
c) Dimensionamento da viga de fundação:
c.1)-Calculo da armadura:
( Sem escala )
Figura 32 – Modelo de cálculo da viga de fundação
rec = 0,05 d = 0,4 – 0,05 = 0,35
M sd = 1,75 ( KN )
As min = ( ρ × b × d ) / 100 = (0,15 × 0,2 × 0,35 ) / 100 × ( 10 4
) = 1,05 cm²
As máx = 0,04 × 0,2 × 0,4 = 3,2 cm²
Tabela nº2:

Projecto 1
m = 1,75 / ( 0,2 × 0,35² ) × ( 10 – 4 ) = 0,0714 B30
• Interpolação
m α ρ
0,050 0,027 0,015 α= 0,03171
0,0714 α ρ m = 0,0714 =>
0,100 0,038 0,029 ρ = 0,021
x = α × d = 0,03171 × 0,35 = 0,0111
As = ( 0,021 × 0,2 × 0,35 ) / 100 × ( 10 4
) = 0,147 cm² = >
= > As adopt = 1,05 cm² => 2Ø 10 ( 1,57 cm² )
c.2)- Espaçamento mínimo:
Ø = 1 cm
s ≥ s ≥ 2 cm
2 cm
c.3)- Espaçamento máximo ( art. 91 ):
Ambiente moderadamente agressivo:
s máx = 7,5 cm
b’ = b – 2 × rec – 2 × Ø
b’ = 0,2 – 2 × 0,05 – 2 × 0,008 = 0,084
s = ( b’ – n × Ø ) / ( n – 1 ) = (0,084 – 2 × 0,010) / (2 – 1) = 0,064 m = 6,4 cm
= > s = 6,4 cm

Projecto 1
c.4)- Verificação ao esforço transverso:
( Sem escala )
Figura 33 – Modelo para verificação de esforços transverso da Viga de fundação.
VA = Msd / l = 1,75 / 2,7 = 0,65 KN
VB = - Msd / l = - 0,65 KN
Vsd máx = 0,65 KN
Vrd máx = τ2 × bw× d = 5 × 10³ × 0,2 × 0,35 = 350 > Vsd
Então, fica garantido a segurança das escoras da traliça de Morsch.
Vcd = τ1 × bw × d = 0,75 × 10³ × 0,2 × 0,35 = 52,5 KN
Como Vcd > Vsd, fica garantido a segurança ao esforço transverso apenas com a armadura mínima.
( Asw / s ) ≥ ( ρw × sen α × bw ) / 100 = ( 0,1 × sen α × 0,2 ) / 100 = 0,0002 ( cm² / m )
( Asw / s ) adopt = 2 cm² / m
c.5)- Afastamento dos estribos
Vsd = 0,65 KN
1 / 6 × 2 × d = 1 / 6 × 5 × 10³ × 0,2 × 0,35 = 58,33
Vsd < 58,33 = > s ≤ 0,9 × d , com máximo de 30 cm
s máx = 30 cm
s adopt = 20 cm

Projecto 1
10- Dimensionamento do muro de conteção:
O muro dimensonado é o muro no qual descarregam os pilares P1 , P13 , P23 , P29. Para o cálculo
dos esforços do muro recorreu-se ao programa de cálculo automático SAP2000. Os resultados do
SAP2000 são apresentados em anexo. ( Anexo 17 ; 24 )
DADOS
• Tensão admissível : σadm = 0.4 Mpa
• Massa volúmica : γ = 21 KN/m3
• Ângulo de atrito interno : φ = 35º
• Tipo de terreno : 1
• SC : 10 KN/m
SC = 10 KN/m2
=> Impulso e Repouso :
K0 = 1 – sen φ = 1 – sen 35º = 0.426
=> Impulso de Sobrecarga
Isc = K0 x SC = 0.426 x 10 = 4.26 KN/m2
=> Impulso do Solo

Projecto 1
Is = γ x h x K0 = 21 x 6.405 x 0.426 = 57.30 KN/m2
a) Pré-dimensionamento da sapata do muro
- Pilares que descarregam no muro : P1 , P13 , P23 , P29
P1 = CPtotal + SCtotal = 346.66 + 41.6 = 388.26 KN
P13 = 735.75 + 78.3 = 814.05 KN
P23 = 1194.87 + 221.48 = 1416.35 KN
P29 = 514.24 + 72.78 = 587.72 KN
PPmuro = γbetão x h muro x 1 = 25 x (2 x 3 + 0.2) x 0.35 =54.25 KN
L = 16.59 m
Nsd = PPmuro + ((P1+ P13 + P23 + P29) / L) = 54.25 +((388.26 + 814.05 + 1416.35 +
587.72) / 16.59) = 247.52 KN/m
σ(base da sapata) = Nsd / (a x 1) ≤ σ adm sendo a - a largura da sapata do muro
=> a = 247.52 / 400 = 0.619 m (com L = 0.9 m)
Para ser uma sapata rígida
h ≥ (l / 2) para uma direcção, sendo h a altura da sapata
h ≥ (0.55 / 2) = 0.275 m => h adopt = 0.7 m para ficar em conformidade com a sapata
do pilar
b)- Modelo de Cálculo
L = 15% x 0.7 + 3 + 0.2 + 3 + (0.2 / 2) = 6.405 m
l1 = 15% x 0.7 + 3 + (0.2 / 2) = 3.205 m
l2 = 6.405 – 3.205 = 3.2 m

Projecto 1
( Sem escala )
Figura 34 – Modelo de cálculo do muro de contenção
c)- Cálculo da armadura do muro
( Sem Escala )
Figura 35 – Esforços de cálculo do muro de contenção
rec.= 0.05m
d = 0.35 – 0.05 = 0.30m
• M2 = 33.22 KN.m
0.35
1

Projecto 1
m = M / (b x d2
) = 33.22 / (1 x 0.32
x 1000) = 0.371 Mpa
x = 0.0722 x 0.3 = 0.02166 m
As = ((0.0485 x 1 x 0.3) / 100) x 104
= 2.96 cm2
/m
M α ρ
0.3 0.068 0.088
0.37 0.0722 0.0985
0.4 0.074 0.103
• M3 = -45.83 KN/m
m = M / (b x d2
) = 45.83 / (1 x 0.32
x 1000) = 0.51Mpa
x = 0.09 x 0.3 = 0.027 m
As = ((0.1476 x 1 x 0.3) / 100) x 104
= 4.43 cm2
/m
M α ρ
0.5 0.089 0.148
0.51 0.09 0.1476
0.55 0.094 0.163
• M4 = 12.79 KN/m
m = M / (b x d2
) = 12.77 / (1 x 0.32
x 1000) = 0.142 Mpa
x = 0.0456 x 0.3 = 0.0137 m
As = ((0.0416 x 1 x 0.3) / 100) x 104
= 1.25 cm2
/m
M α ρ
0.1 0.038 0.029
0.142 0.0456 0.0416
0.15 0.047 0.044
As min = ((0.15 x 1 x 0.3) / 100) x 10-4
=4.5 cm2
M2 => As = 4.5 cm2
/m

Projecto 1
M3 => As = 4.5 cm2
/m
M4 => As = 4.5 cm2
/m
d)- Verificação ao esforço transverso
( Sem escala )
Figura 35 – Modelo para verificação de esforços transverso do muro de contenção
Vsd máx. = 165.06 KN/m
Vrd = 0.6 x (1.6 – d) x τ1 x bw x d = 0.6 x (1.6 – 0.3) x 0.75 x 103
x 1 x 0.3
=175.5KN/m
Vrd < Vsd máx. , Verifica
e)- Cálculo da Sapata do Muro com viga de fundação
( Sem escala )
Figura 36 – Modelo para a determinação de esforços na sapata do muro
M1 = 69.71 KN/m
N’ = Nsd + Ppsapata = 247.52 + 25 x 0.9 x 0.7 x 1 = 263.27 KN/m

Projecto 1
σ = 263.27 / (0.9 x 1) =292.58 KN/m2
0.9 – (0.25 / 2) – 0.35 x 0.25 = 0.688 m
M = (292.52 x 0.6882
) / 2 = 69.23 KNm/m
R = 292.52 x0.688 = 201.25 KN
V = 0.85 x 16700 x 1 x 0.65 = 9226.75 KN/m
Vd = 9226.75 x 0.65 = 5997.39 KN.m/m
µ = (1.5x 69.71) / 5997.39 = 0.01744 < 0.31
(y / d) = 1 - √(1 - 2 x 0.02394) = 0.01759
As = (0.01759 x 9226.75) / 34.8 = 4.66 cm2
/m
As mín = (ρ x b x d) / 100 = ((0.15 x 1 x 0.65) / 100) x 10-4
= 9.8 cm2
/m
M1 => As = 9.8 cm2
/m => Ø 16 // 0.15
f) Verificação do Esforço Transverso da Sapata do Muro
rec = 0.05 m
d = 0.65 m
b resistente = 2 x (d / 2) + a = 2 x (0.65 / 2) + 0.35 = 1 m
Vrd = 2 x 1 x 0.65 x 646 = 839.8 KN/m
fvd = 0.5 x √(f cd) = 0.5 x √167 =6.46 Kg /cm2
=> 646 KN/ cm2
Vsd = 201.25 KN/m < Vrd = 646 KN/m logo está dispensada a armadura de esforço transverso
0.35 0.55

Projecto 1

Projecto de habitação com 5 pisos em Coimbra

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