1. Funciones Rosa Margarita López UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO Recinto de Ponce Departamento de Estudios Graduados

3. Funciones Inversas

5. Def. Una función f se dice que es uno a uno si, para cualquiera números x 1 y x 2 , x 1  x 2 , en el dominio de f , tenemos que f ( x 1 )  f ( x 2 ). Ejemplos: Determina si las funciones son 1-1. La función es u n o a u n o. 2. {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1)} La función n o es u n o a u n o . 1. {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}

6. Teorem a: Prueba de la línea Horizontal. Si alguna líne a horizontal intersec a la gr áfica de un a funci ó n f e n m á s de u n p u nt o , en tonces f no es una función 1-1.

7. Ej . Use la gr áfica para determin ar si la funci ó n es 1-1.

8. Def. Sea una función uno a uno. Decimos que es es la función inversa de si y para todo en el dominio de y todo en el dominio . Denotamos la inversa de por . Nota:

9. Domin io de f Alcance de f

11. Teorem a: La gr áfica de un a funci ó n f y la gr áfica de s u invers a son s i m é tric as con respect o a la líne a identidad y = x .

12. y = x (2, 0) (0, 2)

13. Ej. Verificar si las funciones son inversas.

15. Ej. Construir la tabla de la función inversa. x -6 -4 -2 0 2 4 6 -10 -8 -4 1 3 7 10 x -10 -8 -4 1 3 7 10

16. Ej. Halla la invers a de La funci ó n e s 1- 1 . 3 . f x x x ( ) ,    5 3

19. Ej. Encuentra la función inversa de:

20. Función Logarítmica

22. Tabla de contenido Definición de logaritmo Logaritmo natural Funición inversa exponencial Escribir ecuaciones logarítmicas como ecuaciones Determinar logaritmos comunes y naturales Función inversa logaritmo Evaluar logaritmos Logaritmo común Dominio y alcance de la función logaritmo Gráficas de funciones logarítmicas con base mayor que 1 Ecuaciones logarítmicas Problemas de Aplicación Gráficas de funciones logarítmicas con base menor que 1 Selecciona el tema que trabajarás Leyes de los logaritmos

23. Logaritmos El logaritmo de x con base b está definido por: Ej.

25. Ejemplos Ej. Resuelve cada ecuación

27. Notación: Logaritmo Común Logaritmo Natural Leyes de Logaritmos Conociendo las propiedades podrás evaluar los logaritmos Presiona aquí para continuar

28. Ejemplo Utilizando las leyes de logaritmo simplifica la expresión:

38. Función Logarítmica La función logarítmica de x con base b está definida por: Propiedades: 1. Dominio: ( 0,  ) 2. Rango: ( -  ,  ) 3. Intercepto en x : (1, 0) 4. Continua en (0,  ) 5. Creciente en (0,  ) si b > 1 6. Decresiente en (0,  ) si b < 1

41. Gráficas de Funciones Logarítmicas Ej. (1,0) x x y y (1,0) (0, 1) (0, 1)

56. Muy bien, felicitaciones.

57. Inténtalo nuevamente.

58. Funciones Trigonométricas Inversas

63. Arco Coseno

65. Gráfica de Arctan

66. Gráfica de Arctan

67. Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente utilizando la calculadora Localiza en la calculadora las teclas de sin, cos y tan. sin cos tan

68. Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente utilizando la calculadora Sobre estas teclas están sin -1 , cos -1 y tan -1 . sin -1 cos -1 tan -1