Set

บทเรียนสําเร็จรูปวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 4
เรื่อง

โดย...นางมุกดา ภักดีพนธ์
ั
โรงเรียนท่าแซะรัชดาภเิ ษก จงหวดชุมพร สํานกงานเขตพนทการศึกษาชุมพร เขต 1
ั ั ั ื ้ ่ี

คํานํา
บทเรียนสาเร็จรูปวชาคณิตศาสตร์ ช้ นมธยมศึกษาปีท่ี 4 เรื่ อง เซต เล่มนี้ จัดทํา
ํ ิ ั ั
ขึ้ น เพื ่อ ใช้เ ป็ นส่ ว นหนึ่ ง ในการจัด การเรี ย นการสอนวิช าคณิ ต ศาสตร์ ใ นชั้น เรี ย น
และสามารถนาไปศึกษาเพิ่มเติมนอกเวลาเรียนได้ โดยเน้ื อหาที่ใชในการจดทาน้ นยึด
ํ ้ ั ํ ั
ตามแนวที่สถาบันส่ งเสริ มการสอนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิ การ
เป็ นผูก ําหนด และสอดคล้องกับ หลักสู ตรการศึ ก ษาขั้นพื้ นฐาน พุทธศักราช 2544
้
......... ในการจัดบทเรี ยนสําเร็ จรู ปครั้งนี้ ได้รับความร่ วมมืออย่างดีจากครู ของโรงเรี ยน
ท่าแซะรัชดาภิเษกและโรงเรี ยนอื่น ๆในจังหวัดชุมพร จึงขอขอบคุณเป็ นอย่างสู ง หวัง
เป็ นอย่างยิงว่าบทเรี ยนสําเร็ จรู ปเล่มนี้ จะเป็ นเครื่ องมือที่ทาให้นกเรี ยนเกิดการเรี ยนรู ้ได้
่ ํ ั
เต็มตามศักยภาพของตน อีกทั้งยังเป็ นแนวทางหนึ่ งที่ทาให้ครู สามารถจัดการเรี ยนรู ้ได้
ํ
่
อยางมีประสิทธิภาพ
มกดา ภกดีพนธ์
ุ ั ั

คําแนะนํา
1. บทเรี ยนสําเร็ จรู ปนี้สาหรับนักเรี ยนชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 4
ํ
2. นกเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียน ก่อนศึกษาบทเรียน
ั ํ
3. นกเรียนศึกษาบทเรียนท่ีละกรอบตามลาดบ ไม่ควรขามกรอบ เพราะเน้ือหามี
ั ํ ั ้
ความต่อเนื่องกัน
4. บางกรอบจะมีคาถามหรือแบบฝึก ใหนกเรียนตอบคาถามและทาแบบฝึก
ํ ้ ั ํ ํ
ดงกล่าวทุกขอ
ั ้
5. นกเรียนสามารถตรวจคาตอบไดเ้ องในกรอบถดไป แต่ควรมีความซ่ือสตยต่อ
ั ํ ั ั ์
ตนเองไม่เปิ ดดูคาตอบก่อนตอบคําถามหรื อทําแบบฝึ ก
ํ
6. ถาคาตอบของนกเรียนถกตอง ใหศึกษาบทเรียนต่อในกรอบถดไป หากคาตอบ
้ ํ ั ู ้ ้ ั ํ
ไม่ถกตองใหยอนกลบไปศึกษากรอบเดิมอีกคร้ ัง จนกวาจะไดคาตอบท่ีถกตอง
ู ้ ้้ ั ่ ้ ํ ู ้
7. นกเรียนทาแบบทดสอบหลงเรียน เม่ือศึกษาบทเรียนครบทุกกรอบแลว
ั ํ ั ้

สารบญ
ั
หนา
้
แบบทดสอบก่อนเรี ยน………………………………………. 1
เซต………………………………………………………....... 16
ผลการเรียนรู้ท่ีคาดหวง……………………………………… 17
ั
1. เซต ………………………………………………………. 18
้ ํ ่
1.1 การใชคาวา “เซต”…………………………………… 20
1.2 สมาชิก (element) ของเซต…………………………… 37
1.3 การเขียนแทนเซต……………………………………. 42
1.4 เซตว่าง……………………………………………….. 53
ํ ั
1.5 เซตจากดและเซตอนนต………………………………
ั ์ 57
1.6 เซตที่เท่ากัน………………………………………….. 68

สารบญ (ต่ อ)
ั
หนา
้
2. เอกภพสัมพัทธ์…………………………………………… 74
3. สับเซต…………………………………………………… 81
4. เพาเวอร์เซต……………………………………………… 103
5. แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์………………………………… 109
6. การดาเนินการของเซต……………………………………
ํ 123
6.1 ยเู นียน……………………………………………….. 125
6.2 อินเตอร์เซกชัน……………………………………… 129
6.3 คอมพลีเมนต์………………………………………... 133
6.4 ผลต่างระหวางเซต…………………………………..
่ 137
6.5 จานวนสมาชิกท่ีเกิดจากการดาเนินการของเซตจากด..
ํ ํ ํ ั 149

สารบญ (ต่ อ)
ั
หนา
้
7. การแกปัญหาเก่ียวกบการหาจานวนสมาชิกของเซต…….
้ ั ํ 163
แบบทดสอบหลังเรี ยน……………………………………… 184
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรี ยนและหลังเรี ยน…………………. 199
บรรณานุกรม……………………………………………….. 200

แบบทดสอบก่อนเรียน
คําชีแจง จงเลือกคาตอบท่ีถกท่ีสุดเพยงคาตอบเดียว
้ ํ ู ี ํ
้ ํ ่
(1) สิ่งท่ีสาคญท่ีสุดในการใชคาวา “เซต”
ํ ั ้ ้ ํ ่
(2) ขอความใดใชคาวา “เซต” ได้ถกต้อง
ู
กล่าวถึงกลุ่มของส่ิ งต่าง ๆ คือขอใด
้ ก. เซตของจํานวนนับที่มค่ามาก
ี
ก. มีสิ่งท่ีอยในกลุ่มมาก ๆ
ู่ ข. เซตของดอกไม้ท่ีมีสีสวย
ข. บอกลักษณะของสิ่ งที่อยูในกลุ่มได้
่ ค. เซตของจํานวนจริ ง
ค. บอกไดวาสิ่งท่ีอยในกลุ่มน้ นมีจานวน
้่ ู่ ั ํ ง. เซตของคนขยน ั
เท่าไร
่
ง. ทราบได้แน่นอนว่าสิ่ งใดอยูหรื อ ไม่
อยูในกลุ่มนั้น
่

(3) ถาใหสมาชิกของเซต B เป็นราก
้ ้ (4) ถา C={x | x เป็นจานวนคู,่ 3x ≤ 32 }
้ ํ
ที่สองของ 100 แล้ว เซต B คือเซตในข้อใด แล้วจะเขียนเซต C แบบแจกแจงสมาชิก
ก. {10} ได้อย่างไร
ข. {-10, 10} ก. {2, 4, 6, …}
ค. {50} ข. {2, 4, 6, 8, 10}
ง. {-50, 50} ค. {2, 4, 6, … ,30 }
ง. {… , -4, -2, 0, …,10}

(5) ถา D = {1, 2, 3, 4, 5} แลว
้ ้ (6) ถา E = {-2, 2} แลว
้ ้
จะเขียนเซต D แบบบอกเงื่อนไขของ จะเขียนเซต E แบบบอกเงื่อนไขของ
้ ่
สมาชิกไดอยางไร ้ ่
สมาชิกไดอยางไร
ก. {x | x ∈ I+, x < 6} ก. {x | x2 + 3 = 7 }
ข. {x | x ∈ I, x < 6} ข. {x | 2x2 + x = 2 }
ค. {x | x ∈ I, 1 < x < 5 } ค. {x | 4x2+ x = 18 }
ง. {x | x ∈ I, 1 < x < 6 } ง. {x | 5x2 − 5x = 10 }

(7) เซตใดเป็นเซตวาง่ ํ
(8) กาหนด
ก. {x | x ∈ I, x < 1} A ={x | x ∈ N, 0≤x ≤ 1}
ข. {x | x ∈ I+, x < 1} B ={x | x ∈ P, x เป็นจานวนคู่ }
ํ
ค. {x | x ∈ I−, x < 1} C ={x | x ∈ I−, x ≥ 0}
ง. {x | x ∈ I+, x ≤ 1} D ={x | x ∈ I, x2 ≤ 0}
ขอใดถก ตอง
้ ู ้
ก. A = ∅
ข. B = ∅
ค. C = ∅
ง. D = ∅

(9) เซตใดเป็นเซตจากด ํ ั (10) เซตใดเป็นเซตจากดํ ั
ก. {… , 0 , 1, 2 } ก. {x | x ∈ N, 2x ≥ 0}
ข. { 0, 1, 2, 3, … } ข. {x | x ∈ I−, x2 > 0 }
ค. {… , 0, 1, 2, … } ค. {x | x ∈ I+, x2− x >0}
ง. { 0, 1, 2, …, 100 } ง. {x | x ∈ I, 2x2 + x = 0}

(11) เซตใดเป็นเซตอนนต์ั ํ
(12) กาหนด
ก. {x | x ∈ I, x ≤ 10} A = {x | x ∈ I, 1 < x < 2}
ข. {x | x ∈ I+, x < 1 } B = {x | x ∈ I, 1 ≤ x ≤ 2}
ค. {x | x ∈ I−, x > 1 } C = {x | x ∈ I−, x > −5}
ง. {x | x ∈ I ,1 < x <10} D = {x | x ∈ I, x < 10}
้ ู ้
ก. เซต A เป็นเซตจากดํ ั
ข. เซต B เป็นเซตอนนต์ ั
ค. เซต C เป็นเซตอนนต์ ั
ง. เซต D เป็นเซตจากดํ ั

ํ
(13) กาหนด ํ
(14) กาหนด
A ={x | x เป็นพยญชนะในคาวา“มดแดง”}
ั ํ ่ A = {x | x2 = 100}
B ={x | x เป็นพยญชนะในคาวา“มืดดา”}
ั ํ ่ ํ B = {x | x > 9 }
C ={x | x เป็นพยญชนะในคาวา“แมงเม่า”}
ั ํ ่ C = {x | x − 9 = 1}
D ={x | x เป็นพยญชนะในคาวา“ดงไม้”}
ั ํ ่ D = {x | x = 100 }
้ ู ้ ขอใดถก ตอง
้ ู ้
ก. A = C ก. A = B
ข. A = D ข. B = C
ค. B = C ค. A = C
ง. B = D ง. C = D

(15) กาหนด U = {1, 2, 3, … ,9}
ํ (16) เซตใดเป็ นสับเซตของ {0,{5},6}
A = {x | x2 = 100} ก. {{0}, 5, 6}
้ ู ้ ข. {0,{5}}
ก. A = {10} ค. {5, 6}
ข. A = {50} ง. {5}
ค. A = { }
ง. A = {-10, 10}

(17) ถา A = {1, { 2, 5 }} แลว
้ ้ (18) ถา B = {4, 5, 6} แล้ว สับเซต
้
้ ู ้ ท้ งหมดของเซต B มีกี่เซต
ั
ก. {1} ⊂ A ก. 4
ข. {1, 2} ⊂ A ข. 8
ค. {2, 5} ⊂ A ค. 12
ง. {1, 2, 5} ⊂ A ง. 16

(19) ถา A = {{2}} แลว P(A) คือ
้ ้ (20) กาหนด A = {∅, 1, 2}
ํ
เซตใด เซตใดเป็นสมาชิกของ P(A)
ก. {{2}} ก. {{1}}
ข. {∅, 2} ข. {{2}}
ค. {∅, {2}} ค. {∅, 1}
ง. {∅, {{2}}} ง. {{∅, 1, 2}}

(21) ถา n (P(A)) = 32 แลว n(A)
้ ้ (22) U
เท่ากับเท่าไร
ก. 4 A
ข. 5 B
ค. 6 C
ง. 16
ํ ้ ั
แผนภาพที่กาหนดสอดคลองกบเซตในขอใด ้
ก. A ={1, 2}, B ={2, 3}, C ={1, 2, 3, 4}
ข. A ={1, 2}, B ={3, 4}, C ={1, 2, 3, 4}
ค. A ={1, 2}, B ={2}, C ={1, 2, 3, 4}
ง. A ={2}, B ={3}, C ={1, 2, 3, 4}

(23) U ใช้เซตต่อไปนี้ตอบคําถามข้อ 24
U = {-4, -3, -2, …, 9}
A = {-2, 1, 7, 9}
A B
B = {-3, 0, 1, 4, 9}
C
(24) A∪B คือเซตในข้อใด
ข้อใดเป็ นการแสดงความสัมพันธ์ของเซต ก. {-3, -2, 0, 1, 4, 7, 9}
ในแผนภาพ ข. {1, 7, 9}
ก. A ⊂ C, C ⊂ B และ A ∩ C =∅ ค. {1, 9}
ข. C ⊂ A, C ⊂ B และ A ∩ B =∅ ง. { }
ค. A ⊂ C, B ⊂ C และ A ∩ B =∅
ง. B ⊂ A, B ⊂ C และ A ∩ C =∅

ใช้เซตต่อไปนี้ตอบคําถามข้อ 25 – 26
U = {-4, -3, -2, …, 9}
A = {-2, 1, 7, 9}
B = {-3, 0, 1, 4, 9}

(25) A∩B คือเซตในข้อใด (26) A′ คือเซตในข้อใด
ก. {-3, -2, 0, 1, 4, 7, 9} ก. {-4, -3}
ข. {1, 4, 7, 9} ข. {0, 2, 3, 5, 6, 8}
ค. {1, 7, 9} ค. {-4, -3, -1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
ง. {1, 9} ง. {-4, -3, -1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}

ใช้เซตต่อไปนี้ตอบคําถามข้อ 27 (28) ถา n (U) = 60
้
U = {-4, -3, -2, …, 9} n (A) = 10
A = {-2, 1, 7, 9} n (B) = 5
B = {-3, 0, 1, 4, 9} n ( A∩B) = 2
แลว n ((A∪B)′) เท่ากับข้อใด
้
(27) A − B คือเซตในข้อใด ก. 13
ก. {-3, -2, 0, 1, 4, 7, 9} ข. 45
ข. {-2, 7} ค. 47
ค. {7, 9} ง. 49
ง. {-2}

กล้ วย เงาะ
(29) จากการสารวจนกเรียนหองหน่ ึงซ่ ึง
ํ ั ้ 9
16 15
่ ั
มี 50 คน พบวามีนกเรียนไดรับรางวล
้ ั 10
เรียนดี 23 คนไดรบรางวลความประพฤติดี
้ั ั 8 12
32 คน ไดรับรางวลเรียนดีและความ
้ ั 13
ทเุ รียน
ประพฤติดี 10 คน นกเรียนท่ีไดรับรางวล
ั ้ ั U
เรี ยนดีเพียงอย่างเดียวมีก่ีคน แผนภาพแสดงจานวนผลไม้ท่ีปลกของประชากร 100 คน
ํ ู
ก. 13 (30) จากแผนภาพ มีประชากรก่ีคนท่ี
ข. 15 ไม่ได้ปลกพชสามชนิดน้ ี
ู ื
ค. 22 ก. 8
ง. 23 ข. 12
ค. 14
ง. 17

กรอบที่ 1

ผลการเรียนรู้ ทคาดหวัง
ี่

1. สรุปความคดรวบยอดเกยวกบเซต สามารถหายูเนยน อนเตอร์เซกชัน
ิ ่ี ั ี ิ
คอมพลเี มนต์ และผลต่างของเซตได้
2. เขยนแผนภาพแทนเซต(Venn-Euler Diagram) และนําไปใช้ แก้ ปัญหา
ี
ที่เกี่ยวกับการหาสมาชิกของเซตได้

1 เซต กรอบที่ 2
( SET )
จุดประสงค์ การเรียนรู้
1) ใช้ คาว่ า “เซต” ได้ถูกต้อง
ํ
2) เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกเงอนไขของสมาชิกได้
ื่
3) บอกได้ ว่าเซตทีกาหนดเป็ นเซตว่ างหรือไม่
่ํ
4) บอกได้ว่าเซตทกาหนดเป็นเซตจากดหรือเซตอนนต์
ี่ ํ ํ ั ั
5) บอกได้ ว่าเซตทีกาหนดเท่ ากันหรือไม่
่ํ

1 เซต
( SET ) เกออร์ก คนทอร์ (George Cantor)
ั
นักคณิตศาสตร์ ชาวเยอรมัน เป็ นผู้
ริเร่ิมใช้คาว่า “เซต” เมือช่ วงปลาย
ํ ่
ศตวรรษท่ี 19 ความรู้ เรื่องเซต
สามารถนํามาเชื่อมโยงกับเนือหาทาง
้
คณิตศาสตร์ หลาย ๆ เรื่อง เช่ น การให้
เหตุผล ความน่ าจะเป็ น และฟังก์ ชัน
เป็ นต้ น

( “George Cantor.” 2008, Online) (สถาบนส่งเสริมการสอนวทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2547:1)
ั ิ

1.1 การใช้ คาว่ า “เซต”
ํ

ใช้ คาว่ า “เซต” เมอกล่าวถงกล่มของ ส่ิ ง
ํ ่ื ึ ุ
ต่าง ๆ และเมอกล่าวถงส่ิ งใดแล้ว
่ื ึ
สามารถทราบได้ แน่ นอนว่ าสิ่ งใดอยู่
หรือไม่อยู่ในกล่มน้ัน
ุ
(สถาบนส่งเสริมการสอนวทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2547:1)
ั ิ

พิจารณา การใช้ คาว่ า
ํ
“เซต” ในกรอบถัดไป

เซตของอําเภอในจังหวัดชุมพร
อาเภอของจงหวดชุมพรมี 8 อําเภอ ได้ แก่
ํ ั ั
ปะทิว ท่ าแซะ เมืองชุมพร สวี ทุ่งตะโก
หลังสวน พะโต๊ ะ และ...(1)
ดังนั้น ใช้ คาว่ า “เซต” กับอําเภอในจังหวัด
ํ
ชุมพรได้ เพราะสามารถทราบได้ แน่ นอนว่ าสิ่ง
ใดอยู่หรือไม่อยู่ในกล่มนี้
ุ
( “แผนทีจงหวัดชุมพร.” 2551, ออนไลน์)
่ ั

บอกหน่อยได้ไหม “คุริง” อยู่ในเซต
นีหรือไม่ ? เพราะอะไร ? (2)
้

เฉลย กรอบที่ 5

(1) ละแม
(2) “คุริง” ไม่ อยู่ในเซตนี้
เพราะคุริงไม่ใช่อาเภอ แต่เป็น
ํ
ตาบลอยู่ในอาเภอท่าแซะ
ํ ํ

ตอบถูกหมดเลยใช่ไหม......... เก่งมากเลยครับ

เซตของเดือนในหนึ่งปี กรอบที่ 7

หนึ่งปี มีสิบสองเดือน ได้ แก่ มกราคม กุมภาพันธ์
มีนาคม เมษายน พฤษภาคม มิถุนายน กรกฎาคม
สิ งหาคม กันยายน ตุลาคม พฤศจิกายน และ... (1)
ดังนั้น ใช้ คาว่ า “เซต” กับเดือนในหนึ่งปี ได้ เพราะ
ํ
..................................................................(2)

บอกหน่อยได้ไหม “วันอังคาร” อยู่
ในเซตนีหรือไม่ ? เพราะอะไร ?
้
(3)

เฉลย กรอบที่ 7 กรอบที่ 8

(1) ธันวาคม
(2) สามารถทราบได้ แน่ นอนว่ าสิ่ งใดอยู่
หรือไม่อยู่ในกล่มนี้
ุ (3) “วัน
อังคาร” ไม่ อยู่ในเซตนี้ เพราะวันอังคาร
ไม่ ใช่ เดือน แต่ เป็ นวัน

ตอบถูกอกแล้ว......... สุดยอดเลยครับ
ี

เซตของจํานวนนับ กรอบที่ 9

จํานวนนับ ได้ แก่ 1, 2, 3, …

ดังนั้น ใช้ คาว่ า “เซต” กับจํานวนนับ
ํ
......................(1) เพราะ
......................................................................(2)

บอกหน่อยได้ไหม “0” อยู่ในเซตนี้
หรือไม่ ? เพราะอะไร ? (3)

เฉลย กรอบที่ 9 กรอบที่ 10

(1) ได้
(2) สามารถทราบได้ แน่ นอนว่ าสิ่ ง
ใดอยู่หรือไม่อยู่ในกล่มนี้
ุ
(3) “0” ไม่ อยู่ในเซตนี้ เพราะ 0
ไม่ ใช่ จํานวนนับ

เห็นไหมล่ ะไม่ ยากเลย......... พยายามให้มาก ๆ นะครับ


ช่วยคดหน่อยซิว่า กล่มของส่ิ ง
ิ ุ
ต่ อไปนี้ ใช้ คาว่ าเซตได้ หรือไม่ ?
ํ
เพราะอะไร ?

ผลไม้ ทอร่ อยของประเทศไทย
ี่ กรอบที่ 12

ผลไม้ ในประเทศไทยมีหลายชนิด เช่ น ทุเรียน เงาะ มะม่ วง
และมังคุด เป็ นต้ น แต่ เราไม่ สามารถทราบได้ แน่ นอนว่ าชนิด
ใดเป็นผลไม้ทอร่อย ขนอยู่กบความชอบของแต่ละคน
่ี ึ้ ั

ดังนั้น ใช้ คาว่ า “เซต” กบผลไม้ท่ ี
ํ ั
อร่ อยของประเทศไทยไม่ได้
เพราะ.............................................
.......................................................


ไม่สามารถทราบได้
แน่นอนว่าส่ิ งใดอยู่
หรือไม่อยู่ในกล่มนี้
ุ

เยยมมาก......... พยายามต่อนะครับ
่ี

คนหล่อในประเทศไทย กรอบที่ 14

คนหล่อ เราไม่ สามารถให้ คาจํากัดความได้ ว่าหมายถึงอะไร
ํ
ดังนั้นเราจึงไม่ สามารถทราบได้ แน่ นอนว่ าคนไหนเป็ นคนหล่อ
และคนหล่อของแต่ละคนไม่เหมอนกน ื ั

ดังนั้น ใช้ คาว่ า “เซต” กบคนหล่อใน
ํ ั
ประเทศไทย ............................(1)
เพราะ................................................
.....................................................(2)


(1) ไม่ ได้ (2) ไม่
สามารถทราบได้ แน่ นอนว่ าสิ่ งใด
อยู่หรือไม่อยู่ในกล่มนี้
ุ

เยยมมาก......... พยายามต่อนะครับ
่ี

คนสวยในประเทศไทย กรอบที่ 16

คนสวย เราไม่ สามารถให้ คาจํากัดความได้ ว่าหมายถึงอะไร
ํ
ดังนั้นเราจึงไม่ สามารถทราบได้ แน่ นอนว่ าคนไหนเป็ นคนสวย
และคนสวยของแต่ละคนไม่เหมอนกน ื ั

ดังนั้น ใช้ คาว่ า “เซต” กบคนสวยใน
ํ ั
ประเทศไทย ............................(1)
เพราะ................................................
.....................................................(2)


(1) ไม่ ได้ (2) ไม่
สามารถทราบได้ แน่ นอนว่ าสิ่ งใด
อยู่หรือไม่อยู่ในกล่มนี้
ุ

เก่งจริง ๆ......... แจ๋วครับ

แบบฝึก กรอบที่ 18
จงพิจารณาว่ าข้ อความต่ อไปนีใช้ คาว่าเซตได้ ถูกต้ องหรือไม่
้ ํ
โดยทําเครื่องหมาย หน้ าข้อทถูกและหน้ าข้ อที่ผด
่ี ิ

...... (1) เซตของจังหวัดทีอยู่ในภาคใต้ ของประเทศไทย
่
...... (2) เซตของคนเก่งในโรงเรียนของเรา
...... (3) เซตของดอกไม้ ทสวยงาม
ี่
...... (4) เซตของพยัญชนะในคําว่ า “สามัคคี”
...... (5) เซตของจํานวนนับทีมากกว่ า 5
่

อย่าลมนะ...จะใช้ คาว่ า “เซต” ได้น้น ต้องทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่หรือไม่อยู่ในกล่มน้น
ื ํ ั ุ ั


(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

คนเก่งของผม......ตอบถูกอยู่แล้ว


ขอยาอกคร้ัง......เราใช้ คาว่ า
้ํ ี ํ
“เซต” เมอกล่าวถงกล่มของ
่ื ึ ุ
สิ่ งต่ างๆ และเมือกล่าวถึงสิ่ ง
่
ใดแล้ว สามารถทราบได้
แน่นอนว่าส่ิ งใดอยู่หรือไม่
เข้ าใจแล้วนะคะ...ศึกษา อยู่ในกล่มน้ัน
ุ
เร่ืองต่อไปเลยค่ะ

1.2 สมาชิก (element) ของเซต กรอบที่ 21

เมือเราใช้ คาว่ า “เซต” กล่าวถงกล่มของ
่ ํ ึ ุ
สิ่ งใดแล้ว เรียกสิ่ งทีอยู่ในเซตว่ า
่
“สมาชิก” ของเซตน้ัน
ั ิ

บอกได้ไหม......สมาชิกของเซต
ของอาเภอในจงหวดชุมพรได้แก่
ํ ั ั
สิ่ งใดบ้ าง ?


อําเภอปะทิว อําเภอท่ าแซะ
อําเภอเมืองชุ มพร อําเภอสวี
อําเภอทุ่งตะโก อําเภอหลังสวน
อําเภอพะโต๊ ะ และอําเภอละแม

คงบอกสมาชิกได้ครบนะ เพราะคณเป็นคนเก่งอยู่แล้ว
ุ


“เป็ นสมาชิกของ” เขียนแทนด้ วยสั ญลักษณ์ ∈

“ไม่ เป็นสมาชิกของ” เขียนแทนด้ วยสั ญลักษณ์ ∉

ั ิ

เช่น กําหนดให้ A = { 1, 2, 3 } กรอบที่ 24

จะได้ว่า 1 เป็นสมาชิกของ A เขียนด้ วย 1 ∈ A
2 เป็นสมาชิกของ A เขียนด้ วย 2 ∈ A

3 เป็นสมาชิกของ A เขียนด้ วย ........(1)

แต่ 4 ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนด้ วย 4 ∉ A
5 ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนด้ วย ........(2)


(1) 3 ∈ A
(2) 5 ∉ A

ถูกต้อง...เก่ งมากครับ

1.3 การเขยนแทนเซต
ี

เขียนได้ 2 แบบ

ตั้งใจศึกษานะ
จะได้ เข้ าใจ

แบบท่ี 1 แบบแจกแจงสมาชิก กรอบที่ 27

เขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บปี กกา
และใช้ เครื่องหมายจุลภาค ( , )คันระหว่ างสมาชิกแต่ ละตัว
่
ั ิ

เช่ น
1) {1 , 2 , 3 , 4 , 5}
2) {ก, ข, ค, ง} 3)
{เหลือง, แดง, นําเงิน}
้

เช่ น 1)
ในกรณีท่ไม่ สามารถเขียน
ี {1 , 2 , 3 , …} 2)
สมาชิกได้ครบทุกตว หรือแม้
ั {a, b, c, …, z}
เขียนได้ กยาวเกินไปจะใช้ จุด
็
สามจุด (...) เพอแสดงว่ามี
่ื แต่ จะไม่ เขียน
สมาชิกต่อไปอก แต่ต้องมี
ี {1, 2, 9, …, 100}
ระบบ ทีรู้ แน่ ชัดว่ าสมาชิก
่ เพราะ ไม่ทราบว่า
ตวต่อไปคออะไร
ั ื จํานวนใดอยู่ถัดจาก 9
(ณรงค์ ปั้นนิ่ม และคณะ, 2545 :3)

ใช้ตวอกษรภาษาองกฤษตวพมพ์ใหญ่
ั ั ั ั ิ
เช่น A, B, C แทนเซต และแทน
สมาชิกของเซต ด้ วยตัวพิมพ์เล็ก
เช่น a, b, c
ั ิ

เช่น
1) A = {1, 2, 3} อ่านว่ า เอ เป็ นเซตทีมหนึ่ง สอง และสาม เป็ นสมาชิก
่ ี
2) B ={m, n, o} อ่านว่ า บี เป็ นเซตทีมเี อ็ม เอ็น และโอ เป็ นสมาชิก
่

แบบท่ี 2 แบบบอกเงอนไขของสมาชิก
่ื กรอบที่ 30

ใช้ ตัวแปรเขียนแทนสมาชิก แล้วบรรยายสมบัติของ
สมาชิกแต่ ละตัวในรู ปของตัวแปร
ั ิ

เช่น A = {x | x เป็ นสระในภาษาอังกฤษ}

อ่านว่า เอ เป็นเซตทประกอบด้วยสมาชิก
่ี
เอ็กซ์ โดยทีเ่ อ็กซ์ เป็ นสระในภาษาอังกฤษ

ให้ B แทนเซตของจังหวัดในประเทศไทย
ทีขนต้ นด้ วยพยัญชนะ “ก”
่ ึ้

จะเขยนเซต B แบบแจกแจง
ี
สมาชิก... (1) และแบบบอก
เงื่อนไขของสมาชิก...(2)
ได้ อย่ างไรนะ ?


(1) B ={กรุงเทพฯ, กระบ่,ี กาฬสินธ์ ุ, กาญจนบุรี, กาแพงเพชร}
ํ
(2) B ={x | x เป็ นจังหวัดในประเทศไทยทีขนต้ นด้ วยพยัญชนะ“ก”}
่ ึ้

เก่ งมากครับ

แบบ กรอบที่ 33
ฝึ ก จงเขยนเซตต่อไปนีแบบแจกแจงสมาชิก
ี ้

(1) เซตของจังหวัดประเทศไทยทีขนต้ นด้ วยพยัญชนะ “จ”
่ ึ้
(2) เซตของจํานวนนับทีน้อยกว่ า 3
่ (3)
เซตของจํานวนเต็มลบทีมากกว่ า -4
่
(4) เซตของจํานวนเต็มบวกทีอยู่ระหว่ าง 11 กับ 20
่
(5) เซตของจํานวนเต็มทีมากกว่ า 70
่

อย่าลมนะ... เขียนสมาชิกทุกตวของเซตลงในเครื่องหมายวงเลบปีกกา และใช้เครื่องหมาย
ื ั ็
จุลภาค ( , )คันระหว่ างสมาชิกแต่ ละตัว
่


(1) {จันทบุรี}
(2) {1, 2}
(3) {-3, -2, -1}
(4) {12, 13, 14, …,
19} (5) {71, 72, 73,
…}

สุดยอดเสมอคนเก่งของผม......เยยมจริงๆ
่ี

จงเขยนเซตต่อไปนีแบบบอกเงอนไขของสมาชิก
ี ้ ่ื

(1) {กุมภาพันธ์ , กรกฎาคม, กันยายน}
(2) {1, 2, 3}
(3) {-4, -3, -2, -1}
(4) {10, 11, 12, …, 99}
(5) {…, 5, 10, 15, …}

อย่าลมนะ... ใช้ ตวแปรเขียนแทนสมาชิก แล้ วบรรยายสมบัตของสมาชิกแต่ ละตัวในรู ป
ื ั ิ
ของตัวแปร


(1) {x | x เป็ นเดือนทีขนต้ นด้ วยพยัญชนะ “ก }
่ ึ้
(2) {x | x เป็ นจํานวนนับทีน้อยกว่ า 4}
่
(3) {x | x เป็ นจํานวนเต็มทีมากกว่ า -5 แต่น้อยกว่า 0}
่
(4) {x | x เป็ นจํานวนเต็มบวกทีมสองหลัก}
่ ี
(5) {x | x เป็ นจํานวนเต็มทีหารด้ วย 5 ลงตว }
่ ั

นักเรียนอาจเขียนเงอนไขแตกต่างจากนี้ ซึ่งบางคร้ังมได้หมายความว่าเขียน
ื่ ิ
ผดนะ เพราะการเขยนเงอนไขสามารถเขยนได้หลายแบบครับ อย่าตกใจ
ิ ี ่ื ี

1.4 เซตว่าง

Empty set หรือ Null set

สั ญลักษณ์ ทใช้ แทนเซตว่ าง คือ
ี่

{ } หรือ
∅

พจารณาเซตต่อไปนี้
ิ

A = {x | x เป็ นจํานวนเต็มทีอยู่ระหว่ าง 2 กับ 3}
่

จะเห็นว่ าไม่ มจํานวนเต็ม ใดอยู่ระหว่ าง 2 กับ 3
ี
แสดงว่าเซต A ไม่มสมาชิก
ี

เรียก เซตทีไม่ มสมาชิกว่ า
่ ี เซตว่าง
ั ิ


จงพิจารณาว่ าเซตต่ อไปนี้ เป็ นเซตว่ างหรือไม่ เพราะเหตุใด

(1) A = {x | x เป็ นเดือนทีขนต้ นด้ วยพยัญชนะ “น }
่ ึ้
(2) B = {x | x เป็ นจํานวนนับทีน้อยกว่ า 0}
่
(3) C = {x | x เป็ นจํานวนคู่ทน้อยกว่ า 2}
ี่
(4) D = {x | x เป็ นจํานวนเฉพาะบวกทีหารด้ วย 2 ลงตว}
่ ั
(5) E = {x | x เป็ นจํานวนเต็มทีอยู่ระหว่ าง 9 กับ 10 }
่

อย่าลมนะ... เซตว่ างเป็ นเซตทีไม่มสมาชิก
ื ่ ี


(1) เป็น เพราะไม่มเี ดือนใดทีขนต้ นด้ วยพยัญชนะ “น”
่ ึ้
(2) เป็น เพราะไม่มจํานวนนับทีน้อยกว่ า 0
ี ่
(3) ไม่ เป็ น เพราะมจํานวนคู่ทน้อยกว่ า 2 ได้แก่ 0, -2, -4,…
ี ี่
(4) ไม่ เป็ น เพราะมีจํานวนเฉพาะบวกทีหารด้ วย 2 ลงตวคอ 2
่ ั ื
(5) เป็น เพราะไม่ มจํานวนเต็มทีอยู่ระหว่ าง 9 กับ 10
ี ่

ต้องใช้ความรู้ พนฐานในเรื่องต่าง ๆ และต้องวเิ คราะห์ให้มากหน่อยนะ
ื้
แล้วทุกอย่างกจะสําเร็จ เอาใจช่วยนะ......
็

1.5 เซตจากดและเซตอนนต์
ํ ั ั กรอบที่ 41

เซตทีมจํานวนสมาชิกเท่ ากับจํานวนเต็มบวก
่ ี
หรือศูนย์ เรียกว่า “เซตจํากัด” ( finite set )
ั ิ

เช่น A = {0, 2, 4, 8}
จะเห็นว่ าเซต A มีสมาชิก 4 ตัว
ดังนั้น เซต A เป็ นเซตจํากัด


เซตทีไม่ ใช่ เซตจํากัด เรียกว่ า “เซตอนันต์” (Infinite set)
่
ั ิ

เช่น A = {0, 2, 4, 6, ...}

จะเห็นว่ าเราไม่ สามารถบอกได้ ว่าเซต A มีสมาชิกกีตัว
่

ดังนั้น เซต A เป็นเซตอนันต์

ข้อตกลงเกยวกบเซต
่ี ั

1) เซตว่างเป็นเซตจากด
ํ ั

2) เขียนสมาชิกแต่ ละตัวเพียงครั้งเดียว

เช่ น เซตของพยัญชนะในคําว่ า “กตัญ�ู”

คือ {ก, ต, ญ}

3) ใช้สัญลกษณ์ต่อไปนีแทนเซตต่าง ๆ
ั ้

I แทนเซตของจํานวนเต็ม

I+ แทนเซตของจํานวนเต็มบวก
I- แทนเซตของจํานวนเต็มลบ
N แทนเซตของจํานวนนับ
P แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวก

จะได้ว่า

I = {… ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

I = {0, ±1, ±2, ±3, … }

I = {0, -1, 1, -2, 2, … }

จะได้ว่า กรอบที่ 46

I+ = {1, 2, 3, … }

I- = {-1, -2, -3, … }

N = {1, 2, 3, … }

P = {2, 3, 5, 7, … }

เพิ่มเติมอีกนิด

A = { x| x เป็ นจํานวนนับทีน้อยกว่ า 6 }
่

สามารถเขียนโดยใช้ สัญลักษณ์ ได้ ดังนี้

A = { x| x∈N , x < 6 }

แบบฝึก
จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตต่ อไปนี้

(1) {2468}
(2) {a, bb, ccc, dddd}
(3) {1, 3, 5, …, 19 }
(4) {x | x เป็ นเดือนทีลงท้ ายด้ วยคําว่ า “ยน }
่
(5) {x | x เป็ นจํานวนเต็มทีอยู่ระหว่ าง 6 กับ 7 }
่

คดให้รอบคอบนะ
ิ


(1) 1 ตัว
(2) 4 ตัว
(3) 10 ตัว
(4) 4 ตัว
(5) 0 ตัว

เก่ งมากครับ


จงพิจารณาว่ าเซตต่ อไปนี้ เซตใดเป็ นเซตจํากัด เซตใดเป็ นเซตอนันต์

(1) {-2, -4, -6, -8}
(2) {0, 1, 2, …, 100}
(3) {…, 0, 1, 2, 3}
(4) {x | x ∈ N , x > 6 }
(5) {x | x ∈ I+ , x < 0}

อย่าลมนะ... เซตทมจานวนสมาชิกเท่ากบจานวนเตมบวกหรือศูนย์
ื ี่ ี ํ ั ํ ็
เรียกว่า “เซตจํากัด”


(1) เซตจํากัด
(3) เซตอนันต์
(4) เซตอนันต์

พิจารณาเป็ นแล้ วใช่ ไหม........ยอดไปเลย สู้ ..สู้

1.6 เซตทีเ่ ท่ ากัน
(equal set or identical set)

นักเรียนคิดว่ า เซตต่ อไปนี้ เซตใดเป็นเซตทเ่ี ท่ากน
ั

A = {1, 2, 3 } B = {1, 2, 3, … }

D = {2, 3, 4 } C = {2, 3, 1 }

จะเห็นว่ า

เซตทมสมาชิก เหมอนกนทุกตวคอ เซต A และ เซต C
่ี ี ื ั ั ื

กล่าวว่า เซต A เท่ากบ เซต C
ั

แต่ เซต A ไม่ เท่ ากับ เซต B และเซต D

เซต A เท่ ากับ เซต B หมายถึง
สมาชิกทุกตวของเซต A เป็ น
ั
สมาชิกของเซต B และสมาชิก
ทุกตวของเซต B เป็นสมาชิกของ
ั
เซต A
ั ิ

เขียนแทนด้ วย A= B

เซต A ไม่ เท่ ากับ เซต B หมายถึง
มีสมาชิกอย่ างน้ อยหนึ่งตัวของ
เซต A ทไม่เป็นสมาชิกของเซต B
่ี
หรือมสมาชิกอย่างน้อยหน่ึงตว
ี ั
ของเซต B ทีไม่ เป็ นสมาชิกของ
่
เซต A
ั ิ

เขียนแทนด้ วย A≠B


จงพิจารณาว่ าเซตในแต่ ละข้ อต่ อไปนี้ เท่ ากันหรือไม่

(1) A = {-2, -4, -6, -8}, B = {-8, -6, -4, -2}
(2) C = {0, 1, 2, …, 100}, D = {x | x เป็ นจํานวนนับทีน้อยกว่ า 101}
่
(3) E = {x | x เป็ นพยัญชนะในคําว่ า “ความดี }
(4) F = {x | x เป็ นพยัญชนะในคําว่ า “มีดคมวาว }
(4) G = {5, 10, 15, … }, H = {x | x = 5n และ n ∈ N}
(5) J = {x | x ∈ I , x2=100}, K = {10}

อย่าลมนะ... เซตทเี่ ท่ากนจะต้องมสมาชิกเหมอนกนทุกตวนั่นเอง
ื ั ี ื ั ั


(1) A=B
(2) C≠D
(3) E=F
(4) G=H
(5) J≠ K

เยยมไปเลยครับ
่ี


เอกภพสั มพัทธ์
2
(Relative Universe)


6) เขยนเซตเมอกาหนดเอกภพสัมพทธ์ต่าง ๆ กนได้
ี ่ื ํ ั ั

เอกภพสั มพัทธ์
2
(Relative Universe)

ในการเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชิก จะต้อง
ี ่ื
กําหนดเซตขึนมาหนึ่งเซต เรียกว่ า เอกภพสัมพทธ์
้ ั
เขียนแทนด้ วยสั ญลักษณ์ U โดยมข้อตกลงว่าเมอกล่าวถง
ี ่ื ึ
สมาชิกของเซตใด ๆ จะไม่ กล่าวถึงสิ่ งอืนทีนอกเหนือจาก
่ ่
สมาชิกในเอกภพสั มพัทธ์ น้ัน
ั ิ

เช่น
กําหนดให้ U คือเซตของจํานวนนับ

A = {x | x < 5}

จะได้

A = {1, 2, 3, 4}

แต่
กําหนดให้ U คือเซตของจํานวนเต็ม

A = {x | x < 5}

จะได้

A = {… , 1, 2, 3, 4} หรือ A = {4, 3, 2, …}

หมายเหตุ ถ้ากล่าวถึงเซตของจํานวนและไม่ ได้ กาหนด
ํ กรอบที่ 62
ว่าเซตใดเป็นเอกภพสัมพทธ์ ให้ถอว่าเอกภพ
ั ื
สัมพทธ์คอเซตของจํานวนจริง ซึ่งเขียนแทน
ั ื
ด้ วยสั ญลักษณ์ R

เช่น ให้ A = {x | x2 = 25}

จะได้ A = {-5, 5}

เพราะเมอไม่ได้กาหนดเอกภพสัมพทธ์ แสดงว่าเอกภพสัมพทธ์คอเซตของจานวนจริง
่ื ํ ั ั ื ํ
ซึ่งจํานวนจริงที่ยกกําลังสองแล้ วมีค่าเท่ ากับ 25 มสองจานวนคอ -5 และ 5
ี ํ ื


จงเขยนเซตต่อไปนีแบบแจกแจงสมาชิก
ี ้

(1) กําหนด U = { x | x ∈ N }, A = {x | x2 = 64}
(2) กําหนด U = { x | x ∈ I }, B = {x | x < 4}
(3) กําหนด U = { x | x ∈ I−}, C = {x | x > 3}
(4) กําหนด U = { x | x ∈ P}, D = {x | x ≤ 15}
N แทนเซตของจานวนนับ
ํ
I แทนเซตของจานวนเตม
ํ ็
คงจําได้นะ…
I−แทนเซตของจานวนเตมลบ
ํ ็
P แทนเซตของจานวนเฉพาะบวก
ํ


(1) A = {8}
(2) B = {3, 2, 1, …}
(3) C={ }
(4) D = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

เยยมไปเลยครับ
่ี


3 สับเซต (Subsets)


7) หาสับเซตของเซตทีกาหนดได้
่ํ
8) หาความสัมพันธ์ ระหว่ างจํานวนสับเซตกับจํานวนสมาชิกของเซตจํากัดได้

3 สับเซต (Subsets)
เซต A เป็นสับเซตของเซต B กต่อเมอ สมาชิกทุกตว
็ ่ื ั
ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B

เขียนแทนด้ วย A ⊂B

เซต A ไม่ เป็ นสับเซตของเซต B กต่อเมอ มสมาชิก
็ ่ื ี
อย่ างน้ อยหนึ่งตัวของเซต A ทไม่เป็นสมาชิกของเซต B
่ี

เขียนแทนด้ วย A ⊄B
ั ิ

กําหนด A = {1, 2, 3, 4, 5 }

พจารณา เซตต่อไปนีว่าเป็นสับเซตของเซต A หรือไม่ เพราะเหตุใด
ิ ้

(1) B = {1, 2, 3 } (2) C = {2, 3, 6 }

(3) D = {4 } (4) E = {1, 4, 7 }

(5) F = {5 }
อย่าลมนะ... เซต A เป็นสับเซตของเซต B กต่อเมอ สมาชิกทุกตว
ื ็ ื่ ั
ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B


(1) B ⊂ A เพราะ สมาชิกทุกตวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A
ั
(2) C ⊄ A เพราะ 6 เป็นสมาชิกของเซต C แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A
(3) D ⊂ A เพราะ สมาชิกทุกตวของเซต D เป็นสมาชิกของเซต A
ั
(4) E ⊄ A เพราะ 7 เป็นสมาชิกของเซต E แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A
(5) F ⊂ A เพราะ สมาชิกทุกตวของเซต F เป็นสมาชิกของเซต A
ั

เก่ งครับ

จํานวนสั บ
เซต
พจารณาสับเซตของเซตต่อไปนี้
ิ
กําหนด A = {1}
สับเซตท้งหมดของเซต A คือ
ั

{1} {}

จํานวนสั บเซต 2


กําหนด B = {1, 2}

สับเซตท้งหมดของเซต B คือ
ั

{1} {2} {1, 2} {}


กําหนด C = {1, 2 , 3}
สับเซตท้งหมดของเซต C คือ
ั

{1} {2} {3}

{1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} {}


กําหนด D ={1, 2, 3, 4} สับเซตท้งหมดของเซต D คือ
ั

{1} {2} {3} {4} {1, 2} {1, 3} {1, 4}

{2, 3} {2, 4} {3, 4} {1, 2, 3} {1, 2, 4}

{1, 3, 4} {2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {}


กําหนด E = {1, 2, 3, 4 , 5} สับเซตท้งหมดของเซต E คือ
ั

{1} {2} {3} {4} {5}

{1, 2} {1, 3} {1, 4} {1, 5}

{2, 3} {2, 4} {2, 5}
{3, 4} {3, 5}

{4, 5}

{1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 2, 5} {1, 3, 4}

{1, 3, 5} {1, 4, 5} {2, 3, 4} {2, 3, 5} {2, 4, 5}
{3, 4, 5} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 5} {1, 2, 4, 5}

{1, 3, 4, 5} {2, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} {}


ข้อสังเกต กรอบที่ 75

1) เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตวเอง ั
นั่นคือ ถ้ า A เป็ นเซตใด ๆ แล้ว A ⊂ A
2) เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
3) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ A แล้ว A = B

พิจารณาตารางต่ อไปนี้ และเติมคําตอบลงในช่ องว่าง กรอบที่ 76

จํานวนสมาชิกของเซต จํานวนสั บเซต แบบรู ปของจํานวนสั บเซต
1 2 21
2 4 22
3 8 23
4 16 24
5 ……(1) …….(3)
6 …...(2) …….(4)
n …….(5)


(1) 32
(2) 64
(3) 25
(4) 26
(5) 2n

ถูกต้องครับ

ถ้ าเซต A มีสมาชิก n ตัว แล้ว
จํานวนสั บเซตทั้งหมดของเซต
A เท่ากบ 2n
ั

เช่ น
1) ถ้าเซต A มีสมาชิก 10 ตัว แล้ว
จํานวนสั บเซตทั้งหมดของเซต A เท่ากบ 210
ั
2) ถ้าเซต A มีสมาชิก 25 ตัว แล้ว
จํานวนสั บเซตทั้งหมดของเซต A เท่ากบ 225
ั

จํานวนสมาชิกของเซต A

เขียนแทนด้ วย n(A)

เช่น

กําหนด A = {0, 2, 4}

จะได้ n(A) = 3

พจารณาการหาสับเซตของเซตต่อไปนี้
ิ กรอบที่ 80

กําหนด A = {0, {1, 2 }}

จะได้ n(A) = 2 และสมาชิกของเซต A ได้แก่ 0 และ {1, 2}

จํานวนสั บเซตทั้งหมดของเซต A มี 22 เท่ากบ 4 คือ
ั

{0} {{1, 2}} อย่าสับสนนะ... ลองศึกษา
กรอบต่อไป แล้วจะเข้าใจดี
{0,{1, 2}} {} ข ึน
้

ถ้า เซต 1 เซต เปรียบเสมอนกบ กล่อง 1 ใบ
ื ั

{0, {1, 2}}
0, 1, 2

การสร้ างสั บเซตเปรียบเสมือนนํา
สมาชิกของเซตมาใส่กล่องใหม่...
ดังแผนผังต่ อไปนี้

{{1, 2} } 0 {0}

0 , 1, 2 0, 1, 2
1, 2

{} {0,{1, 2} }

แผนผงแสดงการหาสับเซตของ {0, {1, 2}}
ั

จงหาสับเซตของเซต B = {1,{3, 5, 7}}

จะได้ n(B) =…….(1)

จํานวนสั บเซตทั้งหมดของเซต B เท่ากบ ........(2)
ั

สับเซตท้งหมดของเซต B ได้แก่.....................(3)
ั

เขยนสับเซตให้ครบนะ พจารณาให้รอบคอบ
ี ิ


(1) 2
(2) 4
(3) {1}, {{3, 5, 7}}, {1, {3, 5, 7}}, { }

สุ ดยอด....ครับ แน่มาก

จงพิจารณาว่ าข้ อความต่ อไปนีถูกหรือผิด
้
กําหนด A = {0, {1, 3 }, 5 }

(1) {1} ⊂ A (5) {0, 5} ⊂ A
(2) {1, 3} ⊂ A (6) {5} ⊂ A
(3) {{1, 3}} ⊂ A (7) {{3}} ⊂ A

(4) {0, 3}⊂ A (8) { }⊂ A


(1)  (5) 
(2)  (6) 
(3)  (7) 

(4)  (8) 

สุ ดยอด....ครับ แน่มาก


4 เพาเวอร์ เซต


9) หาเพาเวอร์ เซตของเซตทีกาหนดได้
่ํ

4 เพาเวอร์ เซต กรอบที่ 88

เพาเวอร์เซตของเซต A คอ เซตของสับเซตท้งหมดของเซต A
ื ั

สั ญลักษณ์ ของ
เพาเวอร์เซตของเซต A P(A)
คือ

พจารณาการหาเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี้
ิ กรอบที่ 89

กําหนด A = {1, 2}

สับเซตท้งหมดของเซต A คือ
ั

{1} {2} {1, 2} {}

ดัง นั้น
P(A) = { {1}, {2}, {1, 2},{ }}

กําหนด B = {1 ,{3 , 5 }}

จะได้ n(B) = 2
สับเซตท้งหมดของเซต B คือ
ั

{1} {{3, 5}} {1,{3, 5}} {}

P(B) = { {1}, {{3, 5}} , {1,{3, 5}},{ }}

จงหาเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี้

(1) A = {a, b }
(2) B = {-1, 0, 1 }
(3) C = {{1, 3}, 5}

เขยนสับเซตให้ครบก่อนนะ แล้วจงนาเซต
ี ึ ํ
ดงกล่าวมาสร้างเพาเวอร์เซต
ั


(1) P(A) = {{a}, {b}, {a, b}, ∅}
(2) P(B) = {{-1}, {0}, {1}, {-1, 0}, {-1, 1}, {0, 1},
…………… {-1, 0, 1}, ∅}
(3) P(C) = {{{1, 3}}, {5}, {{1, 3}, 5}, ∅}

ต้องใช้ความรอบคอบมากหน่อยนะ แต่กไม่เกน
็ ิ
ความสามารถของคุณใช่ ไหมครับ


แผนภาพเวนน์ -ออยเลอร์
5
(Venn-Euler Diagram)


10) เขียนแผนภาพแสดงความสัมพนธ์ของเซตทกาหนดได้
ั ี่ ํ

5 แผนภาพเวนน์ -ออยเลอร์ กรอบที่ 94

(Venn-Euler Diagram)
แผนภาพเวนน์ -ออยเลอร์ เป็นการเขยน ี
แผนภาพแทนเซตเพือให้ เข้ าใจ
่
ความสั มพันธ์ ระหว่ างเซตต่ าง ๆ ได้ ชัดเจน
ขึน โดยตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ ชาว
้
อังกฤษคือ จอห์ น เวนน์ (John Venn) และ
นักคณตศาสตร์ชาวสวส คอ เลออนฮาร์ด
ิ ิ ื
( “Leonhard Euler and John Venn.” 2008, Online) ออยเลอร์ (Leonhard Euler)
(ณรงค์ ป้ ันน่ิม และคณะ, 2545:15)

แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์
(Venn-Euler Diagram

เราสามารถเขียนแทนเซตโดยใช้ แผนภาพ โดยมีเงื่อนไขของการเขียนดังนี้

1. นิยมใช้ รูปสี่ เหลียมผืนผ้ าแทนเอกภพสั มพัทธ์
่

2. ใช้ รูปปิ ดทีมพนทีจํากัดใด ๆ แทนเซตต่ าง ๆทีเ่ ป็ นสั บ
่ ี ื้ ่
เซตของเอกภพสั มพัทธ์ เช่ น วงกลม วงรี เป็ นต้ น

ข้อสังเกต ความสั มพันธ์ ระหว่ างเซต A และเซต B กรอบที่ 96
สามารถแบ่ งได้ เป็ น 4 กรณี ดังนี้

U
1)

A B

แสดงว่าเซต A และเซต B ไม่ มสมาชิกร่ วมกันเลย (disjoint sets)
ี

เช่น U = {1, 2, 3, … ,10} กรอบที่ 97

A = {3, 4, 5 } B = {6, 7}

U
แผนภาพ

A B


U

2)

A B

แสดงว่าเซต A และเซต B มีสมาชิกบางส่ วนซํ้ากัน

เช่น U = {1, 2, 3, … ,10} กรอบที่ 99

A = {3, 4, 5 } B = {3, 5, 7}

U

แผนภาพ

A B


U
A
3)

B

แสดงว่าเซต A ⊂ B แต่ A ≠ B

กําหนด U = {1, 2, 3, … ,10} กรอบที่ 101

A = {3, 4 } B = {3, 4, 5 }

U
แผนภาพ A
B

กําหนด U = {1, 2, 3, … ,10}

A = {1, 2, 3, 4, 5 } B = {4, 5 }

U
แผนภาพ B
A


A B U

4)

แสดงว่าเซต A = B

กําหนด U = {1, 2, 3, … ,10} กรอบที่ 104

A = {1, 2, 3} B = {x | x < 4 }

A B U
แผนภาพ

จงเขียนแผนภาพแทนเซตต่ อไปนี้ เมือกําหนดให้
่
U แทนเซตของจํานวนนับ

A = {1, 2, 3,…, 10 }
B = {3, 5, 7}
C = {6, 8, 10, 12}

พิจารณาให้ ดนะ ว่ าแต่ ละเซตมีความสัมพันธ์ กน
ี ั
หรือไม่และอย่างไร


U

B
A C

เขยนถูกใช่ไหมครับ.......เก่ งมาก
ี

การดําเนินการของเซต
6
(Operation of sets)
11) หายูเนียนของเซตทีกาหนดได้
่ํ
12) หาอินเตอร์ เซกชันของเซตทีกาหนดได้
่ํ
13) หาคอมพลีเมนต์ ของเซตทีกาหนดได้
่ํ
14) หาผลต่ างของเซตทีกาหนดได้
่ํ
15) บอกจานวนสมาชิกของเซตทเี่ กดจากการ
ํ ิ
ดาเนินการของเซตจากดได้
ํ ํ ั

การดําเนินการของเซต
6
(Operation of sets)
เราสามารถสร้ างเซตใหม่ จากเซตทีกาหนดให้ ซึ่งมี
่ํ
เอกภพสั มพัทธ์ เดียวกันได้ 4 แบบ ดังนี้

1) ยูเนียน (Union)
2) อนเตอร์เซกชัน (Intersection)
ิ
3) คอมพลเี มนต์ (Complement)
4) ผลต่างของเซต (Difference of sets)

6.1 ยูเนียน

เซตทประกอบด้วยสมาชิกทเ่ี ป็นสมาชิกของเซต A
่ี
หรือเซต B หรือของทั้งสองเซต เรียกว่ า ยูเนียนของ
เซต A และเซต B

เขียนแทนด้ วยสั ญลักษณ์ A∪B

A∪B = {x| x∈A หรือ x∈B หรือ x เป็นสมาชิกของท้งสองเซต}
ั

A = {1, 2, 3, 4}
กําหนด
B = {3, 4, 5 }

ให้ C = {1, 2, 3, 4, 5 }

ลองพิจารณาว่ า เซต C มีความสัมพนธ์
ั
กบเซต A และเซต B อย่ างไร
ั

จะเห็นว่ าสมาชิกของเซต C เป็นสมาชิกของเซต A กรอบที่ 111
หรือเซต B หรือเป็นสมาชิกของท้งสองเซต
ั

เรียก

เซต C
ว่า

ยูเนียนของเซต A
และเซต B

แผนภาพแสดง A∪B

U

A B

ส่ วนทีแรเงาคือ A∪B
่

6.2 อนเตอร์เซกชัน
ิ

เซตทีประกอบด้ วยสมาชิกทีเ่ ป็ นสมาชิก
่
ท้งของเซต A และเซต B เรียกว่า
ั
อนเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B
ิ

เขียนแทนด้ วยสั ญลักษณ์ A∩B

A∩B = {x| x∈A และ x∈B }

Set

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (15)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Set

Similaire à Set (20)

Plus de Laongphan Phan

Plus de Laongphan Phan (14)

Set