Inflação não-isentrópica e extensões de Starobinsky

Outline Por que Infla¸cão? Infla¸cão fria Infla¸cão não-isentrópica Starobinsky I Observa¸cões Starobinsky II Comentários
Infla¸cão Estocástica Não-Isentrópica
Leandro Alexandre da Silva
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica
Defesa de Tese
18/03/2013

1 Por que Infla¸cão?
2 Infla¸cão fria
3 Infla¸cão não-isentrópica
4 Estendendo Starobinsky I: análise perturbativa
5 Contato com as observa¸cões
6 Estendendo Starobinsky II: grandes escalas
7 Comentários finais

Por que Infla¸cão?
O modelo cosmológico padrão (MCP)
As leis f´ısicas são universais
Homogeneidade e isotropia em grandes escalas
Universo expande a partir de um estado quente e denso
Elemento de linha
ds2
= dt2
− a(t)2 dr2
1 − kr2
+ r2
(dθ2
+ sin2
θdφ2
)
Gµν =
8π
m2
pl
Tµν
νTµν
= 0

Equa¸c˜oes fundamentais do MCP:
Equa¸c˜ao de Friedmann:
H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
Equa¸cão de Acelera¸cão:
ä
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi)ρi
Equa¸cão de Estado:
pi = ωiρi

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
Conserva¸c˜ao de Energia
˙ρi = −3H(ρi + pi)
¨a
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi)ρi
pi = ωiρi

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
˙ρi = −3H(ρi + pi)
Parˆametro de densidade
Ωi = ρi/ρc
¨a
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi)ρi
pi = ωiρi

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
˙ρi = −3H(ρi + pi)
Parˆametro de densidade
Ωi = ρi/ρc
¨a
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi)ρi
pi = ωiρi
Densidade Cr´ıtica
ρc =
3m2
pl
8π
H2

MCP: boa descri¸cão para t 1s
Nucleoss´ıntese primordial
Recombina¸cão
Desacoplamento
Previsão da radia¸cão cósmica de fundo
Problemas (limita¸cões) do MCP
Planitude
Homogeneidade
Singularidade inicial
Horizonte
Monopolos
etc

Id´eias B´asicas:
Corrige (ou alivia) falhas do MCP

Idéias Básicas:
Problema: ä(t) > 0
ä
a
= −
4π
3m2
pl
(ρ + 3p) → ω < −
1
3

Idéias Básicas:
ä
a
= −
4π
3m2
pl
(ρ + 3p) → ω < −
1
3
Solu¸cão: usar um campo escalar (inflaton) para prover a
expansão acelerada

Idéias Básicas:
ä
a
= −
4π
3m2
pl
(ρ + 3p) → ω < −
1
3
Solu¸cão: usar um campo escalar (inflaton) para prover a
expansão acelerada
Transi¸cão de fase põe o inflaton em equil´ıbrio instável:

Infla¸cão fria:
Inflaton é um campo não interagente

Infla¸cão fria:
do MCP: fase de radia¸cão precede a domina¸cão por matéria

Infla¸cão fria:
Problema: sem intera¸cão → sem radia¸cão
Solu¸cão: fase de reaquecimento para conduzir à domina¸cão
por radia¸cão

Infla¸cão fria:
Problema: sem intera¸cão → sem radia¸cão
Solu¸cão: fase de reaquecimento para conduzir à domina¸cão
por radia¸cão
Equa¸cões básicas:
¨φ(t) + 3H(t) ˙φ = −V (φ)
ρφ =
1
2
˙φ2
+ V (φ) , pφ =
1
2
˙φ2
− V (φ)
ωφ ≡
1
2
˙φ2 − V (φ)
1
2
˙φ2 + V (φ)
.

Quanta Inﬂa¸c˜ao?
e-folds:
Ne ≡ ln
a(tf )
a(ti)
= −
8π
m2
pl
φf
φ0
V
V
dφ > 60 ,

Quanta Infla¸cão?
e-folds:
Ne ≡ ln
a(tf )
a(ti)
= −
8π
m2
pl
φf
φ0
V
V
dφ > 60 ,
↓
Restri¸cões sobre a forma do potencial:
(φ) ≡
m2
pl
16π
V
V
2
1 ,
|η(φ)| ≡
m2
pl
8π
V
V
1 .

Regime de rolamento lento
Equa¸c˜oes aproximadas:
3H ˙φ ≈ −V (φ) ,
H2
≈
8π
3m2
pl
V (φ) .
Ex:
V (φ) = m2
φ2
/2
a(t) = a0 exp
4π
3
m
mpl
φ0 −
mmplt
√
48π
t
φ(t) = φ0 −
mmplt
√
12π
φf =
mpl
2
√
π
, φ0 > 3.1mpl

Questão:
Sistemas na natureza = isolados
⇓
Intera¸cão com um meio, p.ex um banho térmico
⇓
Coarse-graining conduz à dissipa¸cão e efeitos estocásticos
⇓
Dinâmica via eq. tipo Langevin

Intera¸cão sistema-banho
Exemplo padrão em mecânica estat´ıstica:

Exemplo:
Modelo de Caldeira-Leggett
Sistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :
H =
p2
2
+ V (q) +
1
2
N
α=1
p2
α
mα
+ mαωα xα −
cα
mαω2
α
F(q)
2

Exemplo:
Modelo de Caldeira-Leggett
Sistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :
H =
p2
2
+ V (q) +
1
2
N
α=1
p2
α
mα
+ mαωα xα −
cα
mαω2
α
F(q)
2
Tomando a intera¸c˜ao sistema-banho como sendo linear (∼ qxα
⇒ F(q) = q e eliminando os graus de liberdade do banho:

¨q(t) +
t
0
dt Λ(t − t ) ˙q(t ) + V [q(t)] = ξ(t)
Λ(t − t ) = Θ(t − t )
1
M
N
α=1
c2
α
mαω2
α
cos(ωαt)
⇒ Equa¸cão não-Markoviana (kernel não-local Λ(t − t ), possui
memória da história passada) com ru´ıdo gaussiano e colorido:
ξ(t) ρ
(0)
B
= 0, ξ(t)ξ(t ) ρ
(0)
B
= kBTΛ(t − t )

TQC:
L[φ, χ, σ] = L[φ] + L[χ] + L[σ] + Lint[φ, χ] + Lint[χ, σ]
φ → campo em cuja dinâmica estamos interessados
χ → campo intermediário que se acopla à σ e φ
σ → campo em equil´ıbrio térmico à temperatura T

TQC:
Procedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.
Dinˆamica fora do equil´ıbrio → Formalismo de tempo real

TQC:
Aproxima¸cão markoviana (dissipa¸cão local) → Escala de tempo do
sistema escala de tempo de relaxa¸cão

TQC:
Aproxima¸cão markoviana (dissipa¸cão local) → Escala de tempo do
sistema escala de tempo de relaxa¸cão
Equa¸cão de Movimento Efetiva:
∂2
∂t2
+ (3H + Υ)
∂
∂t
−
1
a2
2
Φ +
∂Veff(Φ)
∂Φ
= ξT

Infla¸cão não-isentrópica:
Mesmos mecanismos básicos da infla¸cão padrão

Inflaton interage com outros campos → produ¸cão de radia¸cão
durante infla¸cão

Não necessita de uma fase de reaquecimento
Transi¸cão “suave” para a fase de radia¸cão

Não necessita de uma fase de reaquecimento
Transi¸cão “suave” para a fase de radia¸cão
Equa¸cões básicas:
∂2
∂t2
+ (3H + Υ)
∂
∂t
−
1
a2
2
Φ +
∂V (Φ)
∂Φ
= ξT
ξT (x, t)ξT (x , t ) = 2ΥTa−3
δ(x − x )δ(t − t )
ä = −
8π
3m2
pl
ρr + ˙Φ2
− V (Φ) a
˙ρΦ = −3
˙a
a
˙Φ2
− Υ ˙Φ2
+ ξT
˙Φ , ˙ρr = −4
˙a
a
ρr + Υ ˙Φ2
− ξT
˙Φ

=
m2
pl
16π
V
V
2
, η =
m2
pl
8π
V
V
, β =
m2
pl
8π
Υ V
ΥV
< 1 + Q, η < 1 + Q e β < 1 + Q , Q ≡
Υ
3H

Contribui¸cões para o espectro de potência
Importante caracter´ıstica dos modelos inflacionários: mecanismo natural
para a gera¸cão de perturba¸cões de densidade aproximadamente
invariantes de escala, o que concorda com as observa¸cões.
Infla¸cão fria: contribui¸cão proveninente das flutua¸cões quânticas
Infla¸cão não-isentrópica: contribui¸cão proveninente das flutua¸cões
térmicas

Contribui¸cões para o espectro de potência
Importante caracter´ıstica dos modelos inflacionários: mecanismo natural
para a gera¸cão de perturba¸cões de densidade aproximadamente
invariantes de escala, o que concorda com as observa¸cões.
Infla¸cão fria: contribui¸cão proveninente das flutua¸cões quânticas
Infla¸cão não-isentrópica: contribui¸cão proveninente das flutua¸cões
térmicas
⇓
casos extremos... Questões:
Como descrever flutua¸cões térmicas e quânticas dentro de um
mesmo quadro geral?
Em que circunstâncias as flutua¸cões térmicas se tornam dominantes
sobre as quânticas?
Como as restri¸cões observacionais impostas sobre a infla¸cão fria
respondem à presen¸ca de flutua¸cão térmica e dissipa¸cão?

A abordagem estocástica para a infla¸cão não-isentrópica
Poss´ıvel resposta: Infla¸cão estocástica não-isentrópica
Extensão do programa denominado “infla¸cão estocástica”
(Starobinsky ∼ 1987)
Leva em conta explicitamente flutua¸cões quânticas e térmicas
de uma maneira transparente
Recupera os resultados canônicos da infla¸cão tomando-se
limites apropriados

Abordagem original de Starobinsky
Idéia central da abordagem de Starobinsky:
Φ(x, t) → Φ>(x, t) + Φ<(x, t)
Separa¸cão implementada através de uma fun¸cão janela ou
filtro: W(k, t) ≡ θ(k − aH)
Objetivo: dinâmica efetiva para os modos de grande
comprimento de onda ( k kh ≈ aH)
Φ<(x, t) ≡ φq(x, t) =
d3k
(2π)3/2
W(k, t) φk(t)e−ik·x
âk + φ∗
k(t)eik·x
â†
k
φk(t)
H
√
2k
τ − i
1
k
e−ikτ
, φ∗
k(t)
H
√
2k
τ + i
1
k
eikτ

Abordagem original de Starobinsky
∂2Φ>
∂t2
+ 3H
∂Φ>
∂t
−
1
a2
2
Φ> + V,φ(Φ>) = ξq ,
ξq = −
∂2
∂t2
+ 3H
∂
∂t
−
1
a2
2
+ V,φφ(Φ>) φq .
ξq(x, t), ξq(x , t ) = 0 ⇒ c-number
Correla¸c˜ao:
ξq(x, t)ξq(y, t ) =
H3
4π2
δ(t − t )
sin τ | x − y |
τ | x − y |
.

Estendendo Starobinsky I: análise perturbativa
Novo split:
Φ(x, t) = ϕ(t) + δϕ(x, t) + φq(x, t) ,
onde
ϕ(t) =
1
Ω Ω
d3
xΦ(x, t) ,
e denovo,
φq(x, t) =
d3k
(2π)3/2
W(k, t) φk(t)e−ik·x
âk + φ∗
k(t)eik·x
â†
k
Equa¸cão mais geral para os modos:
φk(τ) =
H
√
π
2
(|τ|)3/2
H(1)
µ (k|τ|) ,
onde µ = 9/4 − 3η.

∂2
ϕ
∂t2
+ [3H + Υ(ϕ)]
∂ϕ
∂t
+ V,ϕ(ϕ) = 0 ,
∂2
∂t2
+ [3H + Υ(ϕ)]
∂
∂t
−
1
a2
2
+ Υ,ϕ(ϕ) ˙ϕ + V,ϕϕ(ϕ) δϕ = ˜ξq + ξT ,
˜ξq = −
∂2
∂t2
+ [3H + Υ(ϕ)]
∂
∂t
−
1
a2
2
+ Υ,ϕ(ϕ) ˙ϕ + V,ϕϕ(ϕ) φq ,
˜ξq → termo de ru´ıdo quântico modificado
˜ξq(x, t), ˜ξq(x , t ) = 0 → comportamento clássico mantido
Equa¸cão de movimento em termos de z = k/(aH):
δϕ (k, z) −
1
z
(3Q + 2)δϕ (k, z) + 1 + 3
η − βQ/(1 + Q)
z2
δϕ(k, z) =
1
H2z2
ξT (k, z) + ˜ξq(k, z) .

Através da solu¸cão, definimos o espectro de potência do inflaton:
Pδϕ =
k3
2π2
d3
k
(2π)3
δϕ(k, z)δϕ(k , z) = P
(th)
δϕ (z) + P
(qu)
δϕ (z) .
P
(th)
δϕ (z) =
ΥT
π2
∞
z
dz z 2−4ν
G(z, z )2
, P
(qu)
δϕ = [2n(k) + 1]
k3
2π2
|Fk(z)|2

Através da solu¸cão, definimos o espectro de potência do inflaton:
Pδϕ =
k3
2π2
d3
k
(2π)3
δϕ(k, z)δϕ(k , z) = P
(th)
δϕ (z) + P
(qu)
δϕ (z) .
P
(th)
δϕ (z) =
ΥT
π2
∞
z
dz z 2−4ν
G(z, z )2
, P
(qu)
δϕ = [2n(k) + 1]
k3
2π2
|Fk(z)|2
Fk(z) =
π3/2
zν
H
4k3/2
∞
z
dz (z )3/2−ν
[Jα(z)Yα(z ) − Jα(z )Yα(z)]
×
βQ
1 + Q
W,z (z )H(1)
µ (z ) + z W,z (z )H
(1)
µ−1(z )
−
3Q
z
βQ
1 + Q
+ η W(z )H(1)
µ (z ) − 3QW(z )H
(1)
µ−1(z )
−
π3/2
zν
H
4k3/2
∞
z
dz (z )5/2−ν
[Jα(z)Yα−1(z ) − Jα−1(z )Yα(z)] W,z (z )H(1)
µ (z )

Aspectro da ﬁltragem com W(k, t) = 1 − exp − k2
2( aH)2 :
Figure: Linhas pontilhada, tracejada e cheia indicam, respectivamente,
um parˆametro igual a 0.1, 0.3 e 0.5.

Usando o ﬁltro step:
Fk(z) ≈ −i
z3/2−µH
√
2k3/2
1 + O( 2
)

Usando o filtro step:
Fk(z) ≈ −i
z3/2−µH
√
2k3/2
1 + O( 2
)
Fraca dependência em
Fraca dependência em Q: O( 3)

Pδϕ(z) ≈
HT
4π2
3Q
2
√
π
22α
z2ν−2α Γ (α)
2
Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)
Γ ν − 1
2 Γ (α + ν − 1/2)
+
H
T
coth
zH
2T
z2η
,
onde
ν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +
3βQ
1 + Q
− 3η

Pδϕ(z) ≈
HT
4π2
3Q
2
√
π
22α
z2ν−2α Γ (α)
2
Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)
Γ ν − 1
2 Γ (α + ν − 1/2)
+
H
T
coth
zH
2T
z2η
,
onde
ν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +
3βQ
1 + Q
− 3η
Todos os fatores obtidos diretamente, sem a necessidade de ajustes
ad hoc como ´e usual (ex: Graham and Moss JCAP07(2009)013)
Aproximadamente invariante de escala, como esperado

Pδϕ(z) ≈
HT
4π2
3Q
2
√
π
22α
z2ν−2α Γ (α)
2
Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)
Γ ν − 1
2 Γ (α + ν − 1/2)
+
H
T
coth
zH
2T
z2η
,
onde
ν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +
3βQ
1 + Q
− 3η
Todos os fatores obtidos diretamente, sem a necessidade de ajustes
ad hoc como ´e usual (ex: Graham and Moss JCAP07(2009)013)
Aproximadamente invariante de escala, como esperado
Deriva¸c˜ao alternativa para o termo de enhancement, encontrado por
Mohanty et al (Phys. Rev. Lett. 97, 251301 (2006)) em um
contexto similar

Pδϕ(z) ≈
HT
4π2
3Q
2
√
π
22α
z2ν−2α Γ (α)
2
Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)
Γ ν − 1
2 Γ (α + ν − 1/2)
+
H
T
coth
zH
2T
z2η
,
onde
ν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +
3βQ
1 + Q
− 3η
Recupera todos os resultados da infla¸cão fria e não-isentrópica:

Pδϕ(z) ≈
HT
4π2
3Q
2
√
π
22α
z2ν−2α Γ (α)
2
Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)
Γ ν − 1
2 Γ (α + ν − 1/2)
+
H
T
coth
zH
2T
z2η
,
onde
ν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +
3βQ
1 + Q
− 3η
Q 1 e T H ⇒ Pδϕ ∝ HT (Berera and Fang, Phys. Rev.
Lett. 74, 1912-1915 (1995))

Pδϕ(z) ≈
HT
4π2
3Q
2
√
π
22α
z2ν−2α Γ (α)
2
Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)
Γ ν − 1
2 Γ (α + ν − 1/2)
+
H
T
coth
zH
2T
z2η
,
onde
ν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +
3βQ
1 + Q
− 3η
Lett. 74, 1912-1915 (1995))
Q 1 e T H ⇒ Pδϕ ∝ T
√
HΥ (Hall, Moss and Berera,
Phys. Rev. D 69, 083525 (2004) )

Pδϕ(z) ≈
HT
4π2
3Q
2
√
π
22α
z2ν−2α Γ (α)
2
Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)
Γ ν − 1
2 Γ (α + ν − 1/2)
+
H
T
coth
zH
2T
z2η
,
onde
ν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +
3βQ
1 + Q
− 3η
Lett. 74, 1912-1915 (1995))
Q 1 e T H ⇒ Pδϕ ∝ T
√
HΥ (Hall, Moss and Berera,
Phys. Rev. D 69, 083525 (2004) )
Q 1 e T H ⇒ Pδϕ ∝ H2
(inﬂa¸c˜ao fria)

V (φ) =
λM4
pl
p
φ
Mpl
p
, Υ(φ, T) = Cφ
φ2a
Tc
m2b
X
, c + 2a − 2b = 1
Figure: linhas azuis, Υ(φ), vermelhas Υ = cte. Linhas tracejadas p = 2,
cheias p = 4, pontilhadas p = 6

Parâmetros cosmológicos
Amplitude das perturba¸cões de curvatura
∆2
R =
H2
˙φ2
Pδϕ = ∆2
R(k0)
k
k0
ns−1
∆2
h =
8
M2
pl
H2
4π2
Índice espectral (e running ns):
ns − 1 =
d ln ∆2
R
d ln k
ns ≡
dns
d ln k
Razão tensorial para escalar:
r ≡
∆2
h
∆2
R
=
4 H2
(1 + Q)2π2Pδϕ

Amplitude das perturba¸c˜oes de curvatura
∆2
R =
H2
˙φ2
Pδϕ = ∆2
R(k0)
k
k0
ns−1
∆2
h =
8
M2
pl
H2
4π2
coth
z∗H
2T
´Indice espectral (e running ns):
ns − 1 =
d ln ∆2
R
d ln k
ns ≡
dns
d ln k
r ≡
∆2
h
∆2
R
=
4 H2
(1 + Q)2π2Pδϕ
coth
z∗H
2T

Alguns limites interessantes:
´Indice espectral:
Q → 0 e T → 0 ⇒ ns = 1 + 2η − 6ε
Q 1 e T H ⇒
ns = 1 +
1
Q
−
9
4
ε −
9
4
β +
3
2
η + O(1/Q3/2
) + O(1/(Q3/2
T2
))
(Hall, Moss and Berera, Phys. Rev. D 69, 083525 (2004) )
Q 1 e T H ⇒ ns = 1 + 2η − 6ε + (8ε − 2η)Q + O(Q2
)

Alguns limites interessantes:
Q 1 e T H ou T H ⇒ r ≈ 16
Q 1 e T H ⇒ r ≈
32
√
3πQ5/2
Q 1 e T H ( sem enhancement) ⇒ r ≈
16 H
√
3πTQ5/2
(Hall, Moss and Berera, Phys. Rev. D 69, 083525 (2004) )

Parâmetros cosmológicos: WMAP-9yr (arXiv:1212.5226)
Figure: Região verde, eCMB, região vermelha, eCMB+BAO+H0. Cores
claras → 95% CL, regiões escuras → 68% CL.

Parˆametros cosmol´ogicos: WMAP-9yr (arXiv:1212.5226)

Resultados: V ∝ φ2
68%CL

68%CL (sem enhancement)

95%CL

Estendendo Starobinsky II - Grandes escalas
Prescri¸cão semelhante: Φ(x, t) = ϕ(x, t) + φq(x, t)
Grandes escalas ( H−1): dinâmica ≈ homogênea, ¨Φ ≈ 0
(rolamento lento)
Equa¸cão de movimento resultante:
˙ϕ = −
V,ϕ(ϕ)
3H(1 + Q)
+ η(x, t) ,
η(x, t) ≡
∂
∂t
−
1
3H(1 + Q)
2
a2
φq(x, t) .
Fun¸cão de dois pontos:
η(t)η(t ) =
H3
4π2
1 +
2
eH/T − 1
δ(t − t ) .

T H:
η(t)η(t ) T H =
H3
4π2
δ(t − t ) ,
T H:
η(t)η(t ) T H =
H2T
2π2
δ(t − t ) .

Equa¸cão de Fokker-Planck associada:
∂
∂t
P(ϕ, t) = −
∂
∂ϕ
D(1)
P(ϕ, t) +
1
2
∂2
∂ϕ2
D(2)
P(ϕ, t)
≡ LFP P(ϕ, t)
Coeficientes de arraste e de difusão:
D(1)
= −
V,ϕ(ϕ)
3H(1 + Q)
≡ −f(ϕ) ,
D(2)
=
H3
4π2
1 +
2
eH/T − 1
.

Infla¸cão eterna:
Processo inflacionário não tem um fim global
Presen¸ca de regime de auto-reprodu¸cão de regiões-H:
f(ϕ)
H(ϕ)
D(2)
H(ϕ)
→
T
H
4π2
M2
p
ε/H2
Q2

Solu¸cão estacionária:
Pst
(ϕ) ∝
8π2
H3 1 +
2
eH/T − 1
exp



− dϕ
8π2
3H4(1 + Q)
V,ϕ(ϕ)
1 +
2
eH/T − 1




Q → 0 e T → 0:
Pst
(ϕ) ∝
8π2
H3
exp − dϕ
8π2
3H4
V,ϕ(ϕ)
Solu¸cão geral:
P(ϕ, t) =
n
CnPn(ϕ)eΛnt
LFP Pn(ϕ) = ΛnPn(ϕ)

σ →
dϕ
D(2)(ϕ)
∂
∂ϕ
→
1
D(2)(ϕ)
∂
∂σ
Pn(ϕ) →
1
D(2)(ϕ)−3/4
exp
1
2
dϕ
D(1)(ϕ)
D(2)(ϕ)
ψn(ϕ) ,
Eq. tipo Schr¨odinger
−
∂2
∂σ2
ψn(σ) + VS(σ)ψn(σ) = −Λnψn(σ) ,
com
VS(σ) =
3
16
(D
(2)
,ϕ )2
D(2)
−
D
(2)
,ϕϕ
4
−
D
(2)
,ϕ D(1)
2D(2)
+
D
(1)
,ϕ
2
+
(D(1))2
4D(2)
.

Distribui¸c˜ao de probabilidades com´ovel:P(ϕ, t)

Distribui¸c˜ao de probabilidades f´ısica: PV (ϕ, t)
∂PV
∂t
= [LFP +3H] PV
VS(σ) =
3
16
(D
(2)
,ϕ )2
D(2)
−
D
(2)
,ϕϕ
4
−
D
(2)
,ϕ D(1)
2D(2)
+
D
(1)
,ϕ
2
+
(D(1))2
4D(2)
−3H .

Distribui¸c˜ao de probabilidades f´ısica: PV (ϕ, t)
∂PV
∂t
= [LFP +3H] PV
VS(σ) =
3
16
(D
(2)
,ϕ )2
D(2)
−
D
(2)
,ϕϕ
4
−
D
(2)
,ϕ D(1)
2D(2)
+
D
(1)
,ϕ
2
+
(D(1))2
4D(2)
−3H .
D(1)
= −
V,ϕ(ϕ)
3H(1 + Q)
≡ −f(ϕ) ,
D(2)
=
H3
4π2
1 +
2
eH/T − 1
.

Primeira aproxima¸c˜ao: H ≈ cte, Q ≈ cte
ϕn
≡
φpl
φf
dϕϕn
P(φ, t)
∂
∂t
ϕn
= n(n − 1)
H3
8π2
1 +
2
eH/T − 1
ϕn−2
−
n
3H(1 + Q)
ϕn−1
(t)V,ϕ(ϕ)
Ex: n = 2 e potencial com p = 2
ϕ2
(t) =
3
8π2
H4
(1 + Q)
λM2
p
1 +
2
eH/T − 1
1 − exp −
2λM2
p
3H(1 + Q)
t
+ ϕ(0)2
exp −
2λM2
p
3H(1 + Q)
t
Tomando o limite frio:
ϕ2
(t) =
3H4
8π2λM2
p
1 − exp −
2λM2
p
3H
t (Phys.Rev.D 50, 6357-6368 (1994))

Eq. tipo Schr¨odinger se reduz a:
−
1
2
∂2
∂ϕ2
+ VS(ϕ) ψn(ϕ) = Λnψn(ϕ)
onde

Eq. tipo Schr¨odinger se reduz a:
−
1
2
∂2
∂ϕ2
+ VS(ϕ) ψn(ϕ) = Λnψn(ϕ)
onde
VS(ϕ) =
1
2
v(ϕ) 2
− v(ϕ) ,
v(ϕ) =
4π2
3H4(1 + Q) 1 +
2
eH/T − 1
V (ϕ) ,
Λn =
4π2
H3 1 +
2
eH/T − 1
Λn .

Usando o potencial quadrático:
VS(ϕ) =
ω2
2
ϕ2
−
ω
2
, ω ≡
4π2λM2
p
3H4(1 + Q) 1 +
2
eH/T − 1
Definindo os operadores de aniquila¸cão e cria¸cão
b =
√
2
2
∂
∂χ
+ χ , b†
=
√
2
2
−
∂
∂χ
+ χ , χ ≡
√
ωϕ

Usando o potencial quadrático:
VS(ϕ) =
ω2
2
ϕ2
−
ω
2
, ω ≡
4π2λM2
p
3H4(1 + Q) 1 +
2
eH/T − 1
Definindo os operadores de aniquila¸cão e cria¸cão
b =
√
2
2
∂
∂χ
+ χ , b†
=
√
2
2
−
∂
∂χ
+ χ , χ ≡
√
ωϕ
⇒ Oscilador harmônico
Autovalores: Λn = nω, com n ∈ Z+.
Autoestados: ψn(ϕ) = ω
π
1/4 1√
2nn!
Hn(χ)e−χ2/2

Comentários finais
Generalizamos os resultados já obtidos para o espectro de potência
do inflaton. Infla¸cão fria e não-isentrópica → casos particulares
A forma geral do espectro foi obtida de maneira direta, sem a
necessidade de ajustes posteriores de parâmetros.
Obtivemos a dependência em T na parte quântica do espectro, o
que condiz com o resultado obtido, de maneira alternativa, por
Mohanty et al.
Mostramos que o espectro quântico depende fracamente tanto do
parâmetro que aparece na fun¸cão filtro, quanto de Q.

Região de domina¸cão das flutua¸cões térmicas e térmicas são pouco
dependentes de V (ϕ) e da forma de Υ.
Contrastamos os resultados teóricos com as observa¸cões: dissipa¸cão
e banho térmico torna potenciais polinomiais compat´ıveis com os
parâmetros cosmológicos.
Estendemos alguns resultados relacionados ao cenário da infla¸cão
eterna. Introduzimos efeitos dissipativos na dinâmica de grande
escala do inflaton e obtivemos as modifica¸cões necessárias nas
equa¸cão de Langevin e de Fokker-Planck usuais, originalmente
desenvolvidas no contexto da infla¸cão fria.

Programa desenvolvido ´e facilmente extens´ıvel para outras formas
de potencial e dissipa¸c˜ao.

Programa desenvolvido é facilmente extens´ıvel para outras formas
de potencial e dissipa¸cão.
Não-gaussianidade? Mais restri¸cões? PLANCK: 21/03/2013

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