Efeitos de memória em teoria de campos

Outline Motiva¸cão Objetivos Implementa¸cão Numérica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmônico Comentários Finais
Efeitos de Memória em Teoria de Campos
Leandro Alexandre da Silva
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Departamento de F´ısica Teórica
Seminário dos Alunos do PPGF
29/01/2009

1 Motiva¸cão
2 Objetivos
3 Implementa¸cão Numérica
4 Ornstein-Uhlenbeck Noise
5 Ru´ıdo harmônico
6 Comentários Finais

Um Breve Histórico
Origens da F´ısica fora do equil´ıbrio:
1827: Movimento Browniano observado de forma sistemática
(R. Brown)
1904: Primeira descri¸cão bem fundamentada (A. Einstein) →
eq. Fokker-Planck
1910: Abordagem focada na trajetória da part´ıcula (P.
Langevin) → Inclusão de um termo estocástico na segunda lei
de Newton

Um Breve Histórico
Origens da F´ısica fora do equil´ıbrio:
1827: Movimento Browniano observado de forma sistemática
(R. Brown)
1904: Primeira descri¸cão bem fundamentada (A. Einstein) →
eq. Fokker-Planck
1910: Abordagem focada na trajetória da part´ıcula (P.
Langevin) → Inclusão de um termo estocástico na segunda lei
de Newton
Abordagens equivalentes
Abordagens gerais → Processos Markovianos e cont´ınuos

Movimento Browniano
Eq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:
dp
dt
= −
∂V
∂x
− ηp + R(t)
dx
dt
=
p
m
,
Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸cão-dissipa¸cão
clássico
R(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )

Movimento Browniano
dp
dt
= −
∂V
∂x
− ηp + R(t)
dx
dt
=
p
m
,
cl´assico
R(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )
Aplica¸c˜oes de eqs. tipo Langevin: Biologia, Qu´ımica, Economia...

Movimento Browniano
dp
dt
= −
∂V
∂x
− ηp + R(t)
dx
dt
=
p
m
,
cl´assico
R(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )
Aplica¸c˜oes de eqs. tipo Langevin: Biologia, Qu´ımica, Economia...
Movimento Browniano → apenas um caso particular

Motiva¸cão
Por que equa¸cões tipo Langevin são importantes na F´ısica?

Motiva¸cão
Por que equa¸cões tipo Langevin são importantes na F´ısica?
Sistemas na natureza = isolados
↓
Intera¸cão com um meio, p.ex um banho térmico
↓
Intera¸cão conduz à dissipa¸cão e efeitos estocásticos
↓
Dinâmica via eq. tipo Langevin

Motiva¸cão
Problema: deriva¸cões mais realistas → termos não-Markovianos e
ru´ıdo colorido
Ex: modelo de Caldeira-Leggett (mec. estat´ıstica)
Sistema (q) em intera¸cão com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :
H =
p2
2
+ V (q) +
1
2
N
α=1
p2
α
mα
+ mαωα xα −
cα
mαω2
α
F(q)
2
Tomando a intera¸cão sistema-banho como sendo linear (∼ qxα
⇒ F(q) = q e eliminando os graus de liberdade do banho:

Motiva¸cão
¨q(t) +
t
0
dt γ(t − t )˙q(t ) + V [q(t)] = ξ(t) (1)
γ(t − t ) = Θ(t − t )
1
M
N
α=1
c2
α
mαω2
α
cos(ωαt)
⇒ Equa¸cão não-Markoviana (kernel não-local γ(t − t ), possui
memória da história passada) com ru´ıdo gaussiano e colorido:
ξ(t) ρ
(0)
B
= 0, ξ(t)ξ(t ) ρ
(0)
B
= kBTγ(t − t )

Motiva¸cão
Intera¸cões sistema-banho mais gerais → equa¸cões dinâmicas
mais complicadas
⇓
ru´ıdo multiplicativo e dissipa¸cão dependente do sistema

Motiva¸cão
Intera¸cões sistema-banho mais gerais → equa¸cões dinâmicas
mais complicadas
⇓
ru´ıdo multiplicativo e dissipa¸cão dependente do sistema
Modelo análogo em teoria de campos:
↓
Modelo de 2 ou mais campos em intera¸cão: interesse na dinâmica
de um dos campos (sistema) ⇒ eliminar outros campos (banho)
via integra¸cão funcional

Motiva¸cão
Exemplo:
L =
1
2
(∂µφ)2
−
1
2
m2
φφ2
−
λ
4!
φ4
+
1
2
(∂µχ)2
−
1
2
m2
χχ2
−
g2
4
φχ2
+ Lσ[χ, σj ]
Lσ[χ, σj ] inclui variáveis de campo adicionais que podem estar
acopladas a χ.
φ → campo clássico cuja dinâmica estamos interessados
χ → campo quântico termalizado à alguma temperatura T
A¸cão efetiva para φ determinada integrando o campo χ

Motiva¸cão
Equa¸cão de movimento resultante (Berera and Ramos, PRD63,
103509 (2001), Gleiser and Ramos, PRD50, 2441 (1994)):
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
(2)
onde ξ é um ru´ıdo gaussiano e colorido:
ξ = 0 , ξ(t)ξ(t ) = N(t, t )

Motiva¸cão
Rela¸cão entre D(t − t ) e N(t − t ): teorema de flutua¸cão-dissipa¸cão
generalizado no espa¸co de fourier(Berera, Moss and Ramos. PRD76,
083520 (2007)):
N(ω) = 2ω n(ω) +
1
2
D(ω) .
onde n(ω) = [exp(βω) − 1]
−1
.
No regime clássico, ω T
2ω [n(ω) + 1/2] → 2T
⇒ reobtemos o teorema de flutua¸cão-dissipa¸cão clássico.

Motiva¸cão
Forma genérica do kernel de dissipa¸cão em 0-d:
D(t, t ) = #1 e−τ−1
χ (t−t )
+ e−τ−1
χ (t−t )
#2 cos[mχ(t − t )] + #3 sin[mχ(t − t )]
τχ → tempo de relaxa¸cão do banho térmico.
Alterando a intera¸cão sistema-banho (p. ex ∼ φ2χ2) podemos
obter ru´ıdo multiplicativo na equa¸cão de movimento.

Motiva¸cão
Aplica¸cões t´ıpicas para esse tipo de EdM:
Descri¸cão microscópica da dinâmica fora do equil´ıbrio de
campos escalares à temperatura finita
Transi¸cões de fase −→ f´ısica de QGP e universo primordial
universo inflacionário
etc

Questões a serem respondidas:
Equa¸cões semelhantes à eq.(2) podem ser facilmente
resolvidas (numericamente)?
Se sim, qual a dinâmica obtida para o sistema?
Essa equa¸cão não-Markoviana pode ser bem aproximada por
uma equa¸cão Markoviana?

Aproxima¸c˜ao Local (Markoviana)
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
⇓
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) + η ˙φc(t) = ξ(t) , (3)
onde
η =
∞
0
dt D(t, t )
ξ = 0 , ξ(t)ξ(t ) = 2kBTηδ(t − t )

Implementa¸cão Numérica
Equa¸cão integro-diferencial original:
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,

Implementa¸cão Numérica
Equa¸cão integro-diferencial original:
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
Desenvolver uma abordagem numérica para essa ELG
↓
Que tipo de ru´ıdo??

Ornstein-Uhlenbeck (OU) Noise
→ Tipo de ru´ıdo bastante comum em sistemas f´ısicos não-lineares
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t)+
∞
t0
dt DOU(t, t ) ˙φc(t ) = ξOU(t) ,
ξOU(t) é um termo de ru´ıdo não-Markoviano que satisfaz
ξOU(t) = 0 ,
ξOU(t)ξOU(t ) = TDOU(t − t ) . (4)
DOU(t − t ) = γQe−γ(t−t )
. (5)

Ornstein-Uhlenbeck Noise
Pode ser facilmente mostrado que o kernel OU pode ser gerado
por:
˙ξOU(t) = −γ ξOU(t) − 2TQηOU , (6)
onde ηOU in Eq. (6) ´e um ru´ıdo gaussiano branco que satisfaz
ηOU(t) = 0 ,
ηOU(t)ηOU(t ) = δ(t − t ) , (7)

∂2
t + m2
R +
λ
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt DOU(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
↓
˙φ = y
˙y = −V (φ) + ξOU(t) + WOU
˙WOU (t) = −γWOU − DOU (0) y (t)
˙ξOU(t) = −γ ξOU(t) − 2TQ ηOU (8)

∂2
t + m2
R +
λ
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt DOU(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
↓
˙φ = y
˙y = −V (φ) + ξOU(t) + WOU
˙WOU (t) = −γWOU − DOU (0) y (t)
˙ξOU(t) = −γ ξOU(t) − 2TQ ηOU (8)
Reescrevemos a equa¸c˜ao n˜ao-Markoviana original em termos de
um sistema local!!

Ru´ıdo harmônico
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt DH(t, t ) ˙φc(t ) = ξH(t) ,
(9)
onde o kernel não-local DH (t − t ) é dado por
DH(t−t ) = e−γ(t−t )
Qm2
χ
2γ
cos[Ω1(t − t )] +
γ
Ω1
sin[Ω1(t − t )] ,
(10)
e ξH(t) é um ru´ıdo gaussiano colorido que satisfaz
ξH(t) = 0 ,
ξH(t)ξH(t ) = TDH(t − t ) . (11)

Harmonic Noise
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt DH(t, t ) ˙φc(t ) = ξH(t) ,
⇓
˙φ = y ,
˙y = −V (φ) + WH + ξH ,
˙WH = −uH − 2γWH − DH(0)y ,
˙u = −m2
χWH + ˙DH(0)y − 2γDH(0)y ,
˙ξH = z ,
˙z = −2γz − m2
χξH + m2
χ 2TQ ηH . (12)

Ru´ıdo OU: (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0

Ru´ıdo Harmˆonico: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5

Teﬀ - caso OU
Tef(t) = ˙φ2
(t) .

Teﬀ - caso harmˆonico

Comentários Finais
Estudamos ainda:
EdM com Ru´ıdo Multiplicativo
Aplica¸cão ao universo inflacionário
Passos futuros:
Caso quântico
Inclusão da parte espacial

Obrigado pela aten¸c˜ao!!

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