1. Funzioni continue su intervalliFunzioni continue su intervalli
Teoremi fondamentali del calcolo differenzialeTeoremi fondamentali del calcolo differenziale

2. Teorema
Se f(x) è una funzione continua in un intervallo I , allora f(I) è un intervallo.
xy =
I
f(I)
21
2
2
2






>+
≤
=
x
x
x
x
y
I
f(I)

3. Teorema di Weierstrass
Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora è
dotata in I di massimo e minimo.
M
m
I
1)6(
8
1 2
+−= xxy )(xtgy =
I

4. Teorema di Weierstrass
Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora è
dotata in I di massimo e minimo.





=
<<
=
=
5per x2
51per
1per3
)( xx
x
xf
I

5. Teorema di Weierstrass
Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora è
dotata in I di massimo e minimo.
1−= xy
{ }1≥= xI
I

6. Teorema dei valori intermedi
Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , essa
assume almeno una volta qualunque valore compreso tra il suo minimo
assoluto e il suo massimo assoluto
m
M
k
xo x1 x2
∀k / m ≤ k ≤ M
∃ xo / f(xo)=k

7. Teorema dell’esistenza degli zeri
Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I=[a,b] , e se
agli estremi dell’intervallo assume valori di segno opposto , essa si annulla in
almeno un punto interno dell’intervallo
a b
f(a)
f(b)
c
se f(a)*f(b)< 0
∃ c / f(c)=0 a < c < b
1)2( 3
2
1
−−= xy
Esempio:
f(1)=-1,5 f(4)=3 ( ) 022 3
=+f
f(c)=0

8. Teorema di Rolle
Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ e tale che f(a)=f(b)
allora esiste almeno un punto c ∈ [a,b] tale che f′(c)=0.
Per il teorema di Weierstrass f(x) ha un massimi M e un minimo m
1° caso m=M
m=M
a b
∀x∈[a,b] f′(x)=0
⇒ f(x) è costante ⇒ f′(x)=0

9. f(c)=M
f(a)=f(b)
a c b
f′(c)=0
10
21 3
xx
y
−
=
2° caso m<M
f(c+h)-f(c)≤0
dividiamo per h
0
)()(
≤
−+
h
cfhcf
se h<0
0
)()(
≥
−+
h
cfhcf
se facciamo tendere h a zero:
( ) 0'
≤+ cf ( ) 0'
≥− cf
poiché f(x) è derivabile in ]ab[
ff′′(c)=0(c)=0
Esempio
in [1,4] si ha f(1)=f(4)=2 ( ) 07'
=f
sia c il punto interno ad [a,b] tale che f(c)=M
scegliamo h tale che c+h ∈[a,b].
se h>0
c+h
f(c+h)

10. Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ e tale che f(a)=f(b)
allora esiste almeno un punto c ∈ [a,b] tale che f′(c)=0.
f(a)=f(b)
a bc
∀x ∈ [a,b] f′(x)≠0.
Esempio:



≤<+−
≤≤
=
53se122
31se2
xx
xx
y
non è derivabile in x=3

11. Teorema di Lagrange o del valor medio
Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ allora esiste almeno un punto
c ∈ [a,b] tale che : )(
)()( '
cf
ab
afbf
=
−
−
a b
f(a)
f(b)
c
Si considera x
ab
afbf
xfxg
−
−
−=
)()(
)()(
g(a)=g(b)
per il teorema di Rolle
∃c ∈ [a,b] tale che g′(c)=0
ab
afbf
xfxg
−
−
−=
)()(
)(')('
0
)()(
)(')('
=
−
−
−=
ab
afbf
cfcg
)(
)()( '
cf
ab
afbf
=
−
−