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1. ¸˜
2a LISTA DE MEDIDA E INTEGRACAO(PARTE 1)
(1) Seja µ uma medida com valores em [0, +∞] e f uma fun¸˜o mensur´vel. Ent˜o, f ∈ L1 (µ) se,
ca a a
e somente se, a fun¸˜o t → µ (x : |f (x)| > t) sobre (0, +∞) ´ integr´vel com rela¸˜o a medida de
ca e a ca
Lebesgue. Al´m disso, vale que
e
∞
|f (x)| dµ(x) = µ (x : |f (x)| > t) dm(t).
X 0
(2) Seja A ⊂ Rn um conjunto de medida de Lebesgue maior que 1. Prove que existe dois pontos distintos
x, y ∈ A tais que o vetor x − y tem coordenadas inteiras.
(3) Prove que todo conjunto convexo em Rn ´ Lebesgue mensur´vel.
e a
(4) Seja F uma classe de fun¸˜es reais sobre um conjunto X. A menor σ-´lgebra com rela¸˜o a qual
co a ca
todas fun¸˜es em F s˜o mensur´veis ´ chamada de σ-´lgebra gerada pela classe F e ´ denotada por
co a a e a e
σ(F). Seja F uma classe finita de fun¸˜es sobre um conjunto n˜o vazio X. Mostre que toda fun¸˜o
co a ca
g mensur´vel com rela¸˜o a σ(F) ´ da forma:
a ca e
g(x) = ψ(f1 (x), · · · , fn (x)),
onde fi ∈ F e ψ ´ uma fun¸˜o boreliana sobre Rn .
e ca
(5) Seja f : Rn → Rm uma fun¸˜o boreliana. Prove que seu gr´fico ´ um boreliano de Rn+m .
ca a e
(6) Seja 0 ≤ f ∈ L1 (µ). Prove que
∞
f dµ = lim rn µ x : rn ≤ f (x) < rn+1 .
r→1
n=−∞
(7) Seja (X, M, µ) um espa¸o de probabilidade e fn fun¸˜es mensur´veis. Prove que as seguintes
c co a
condi¸˜es s˜o equivalentes:
co a
(a) Existe uma subsequˆncia fnk convergindo para 0 µ-q.t.p.
e
(b) Existe uma sequˆncia de numeros tn tais que
e
∞
lim sup |tn | > 0 e tn fn (x) converge q.t.p.
n→∞
n=1
(c) Existe uma sequˆncia de numeros tn tais que
e
∞ ∞
|tn | = ∞, |tn fn (x)| < ∞,
n=1 n=1
para q.t.p. x ∈ X.
(8) Seja f ∈ L1 (0, 1) e α ∈ (0, 1). Suponha que a integral de f sobre qualquer conjunto de medida α ´e
zero. Prove que f = 0 q.t.p.
(9) Construa um conjunto compacto totalmente desconexo K ⊂ R tal que m(K) > 0.
(10) Mostre que todo compacto de R ´ o suporte de uma medida boreliana.
e
(11) Seja f uma fun¸˜o real Lebesgue mensur´vel sobre Rk . Prove que existe fun¸˜es borelianas g e h
ca a co
tais g(x) = h(x) para m-q.t.p. x e g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x ∈ Rk .
(12) Suponha que V ⊂ Rk ´ um aberto e que µ ´ uma medida boreliana positiva sobre Rk . A fun¸˜o
e e ca
x → µ(V + x) ´ cont´
e ınua? Semicont´ınua inferiormente? Semicont´ınua superiormente?
1

2. 2 ¸˜
2A LISTA DE MEDIDA E INTEGRACAO(PARTE 1)
(13) Uma fun¸˜o degrau ´, por defini¸˜o, uma combina¸˜o linear finita de fun¸˜es caracter´
ca e ca ca co ısticas de
intervalos limitados. Prove que as fun¸˜es degrau s˜o densas em L1 (R). Prove tamb´m que para
co a e
toda f ∈ L1 (R) vale que
lim f (x) cos(nx) dm(x) = 0.
n→∞ R
(14) Prove a seguinte vers˜o do teorema de Lusin: Seja f : Rn → R uma fun¸˜o Lebesgue mensur´vel.
a ca a
Ent˜o, ∀ > 0, ∃ fechado F ⊂ Rn tal que f ´ cont´
a e ınua em F e m(Rn − F ) < , onde m ´ a medida
e
de Lebesgue em Rn .
(15) Seja µ uma medida de probabilidade sobre R. Prove que se para alguma fun¸˜o estritamente convexa
ca
f : R → R vale que
f (x) dµ(x) = f (x0 ),
R
para algum x0 ∈ R, ent˜o, µ = δx0 .
a
(16) Seja µ uma medida positiva finita sobre um espa¸o mensur´vel X. Uma sequˆncia de fun¸˜es
c a e co
mensuraveis fn : X → Rm ´ dita convergir em medida para uma fun¸˜o mensur´vel f : X → Rm se
e ca a
dado > 0 vale que
lim µ ({x : |fn (x) − f (x)| > }) = 0.
n→∞
Prove que:
(a) Se fn (x) → f (x) q.t.p. x, ent˜o fn → f em medida.
a
(b) Se fn ∈ Lp (X) para algum 1 ≤ p ≤ ∞ e fn − f p → 0, ent˜o fn → f em medida.
a
(c) Se fn → f em medida, ent˜o {fn } tem uma subsequˆncia que converge para f q.t.p.
a e
(17) Uma fun¸˜o f ∈ L1 (Rm ) se f ∈ L1 (K) para todo compacto K ⊂ Rm . Seja f ∈ L1 (Rm ). Defina
ca loc loc
1
M (f ) := lim f (x) dm(x),
r→∞ (2r)m [−r,r]m
se o limite existe. Seja µ uma medida boreliana finita sobre Rm . Fa¸a os seguintes itens:
c
(a) Se f ∈ Lp (Rm ) ou lim|x|→∞ f (x) = 0, ent˜o, M (f ) = 0. A rec´
a ıproca vale? Aqui, 1 ≤ p < ∞.
1
(b) Se f ∈ L1 (R) ´ tal que f (x + 1) = f (x) para q.t.p. x, ent˜o M (f ) = 0 f (x) dm(x).
loc e a
(c) Se f (x) = Rm eix·y dµ(y), ent˜o f ´ uniformemente cont´
a e ınua e M (f ) = µ({0}).
(18) Seja f ∈ Lp (Rm ) para algum 1 ≤ p < ∞. Defina a fun¸˜o g : Rm → Lp (Rm ) por g(y) := f (· + y).
ca
Prove que g ´ uniformemente cont´
e ınua.
(19) Seja µ uma medida positiva sobre um espa¸o mensur´vel X e fn , f ∈ L1 (X) para todo n. Se
c a µ
lim inf n→∞ fn ≥ f, para µ-q.t.p. e lim supn→∞ X fn (x) dµ(x) ≤ X f dµ, ent˜o, fn → f em L1 (X).
a µ