1. UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Área Departamental de Engenharia Civil
ANÁLISE DE ESTRUTURAS I
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS
JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO
FARO
2005/06
2. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 2 -
1. Conceitos básicos
Estrutura - Corpo ou conjunto de corpos adequados a resistir a acções.
Estrutura reticulada - Estrutura constituída por peças lineares.
Peça linear - Corpo gerado por uma figura plana, de forma e dimensões não
necessariamente constantes, durante o deslocamento do seu centro de
gravidade ao longo de uma linha de grande raio de curvatura, à qual a figura se
mantém perpendicular. O deslocamento é largamente superior às dimensões da
figura.
Acção - Causa exterior capaz de produzir ou de alterar o estado de tensão ou de
deformação de um corpo.
Deformação - Transformação que se traduz por uma variação da distância entre
pontos de um corpo.
2. Ligações
2.1. Ligações exteriores (apoios)
Designação
usual
Representação
esquemática
Reacções
associadas
Deslocamentos
permitidos
Apoio simples
Apoio fixo
Encastramento
deslizante
Encastramento Nenhum
3. Diagramas de esforços
- 3 -
2.2. Ligações interiores
Designação
usual
Representação
esquemática
Esforços
transmitidos
Deslocamentos
permitidos
Rótula N e V
Encastramento
deslizante
N e M
Pistão V e M
Continuidade N, V e M Nenhum
3. Equações de equilíbrio estático
ΣMomentos = 0 (qualquer ponto)
ΣForças = 0 (resultante nula)
4. Diagramas de esforços
Esforço numa secção - Conjunto de forças estaticamente equivalentes às
acções exercidas por uma parte dum corpo sobre a outra parte, através da
secção que os separa.
Esforço axial (N) Esforço transverso (V) Momento flector (M)
NN
x
VV
x MM
x
V = -∫p ×dx M= ∫ V × dx
4. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
Diagramas de esforços para cargas usuais
- 4 -
Tipo de carga
(p)
Esforço Transverso
(V)
Momento Flector
(M)
p = 0
V = constante
Linear
V > 0
V = 0
V < 0
Linear Parábola
Parábola Eq. do 3º grau
Parábola Eq. do 3º grau
Linear Parábola
Parábola Eq. do 3º grau
Parábola Eq. do 3º grau
Casos particulares:
- O diagrama de esforços transversos apresenta uma descontinuidade quando existe uma força concentrada.
- O diagrama de esforços transversos tem um extremo quando o carregamento p(x) se anula.
- O diagrama de momentos flectores tem uma descontinuidade quando existe um momento concentrado.
- O diagrama de momentos flectores tem um extremo quando o esforço transverso V(x) se anula.
5. Diagramas de esforços
Equilíbrio de uma barra uniformemente carregada
x1 Mmax
- 5 -
MA
VB
p
VA
MB
A B
x
L
V(x) = VA - p × x
M M V x
p x
(x) = A + A × -
× 2
2
M M L V p L
L
B A A MB Σ = 0 ® + × = × × +
2
V
L
×
M M
p L
A = B - A +
1
2
2
FV VA p L VB Σ = 0 ® = × + VB = VA - p ×L
M = max.® V(x) = 0 = VA - p × x M x
V
p
= max.® = A max
= = + × - ×
M M( ) M V
V
p
p
V
A A
max max
x A A p
2
2
max = +
M M
V
2
A
2
A p
×
M M V x
p x
(x) = A + A × -
×
=
2
2
0
x
x
1
2
x
V V p M
A A A
p
1
2 2
=
- + × ×
, 0 £ x1 £ L
x
V V p M
A A A
p
2
2 2
=
+ + × ×
, 0 £ x2 £ L
2
se V p M x x
x x
A A
1 2
1 2
2
0
0
0
+ × ×
< ®
= ® =
> ® ¹
sem zeros
M(x)
xmax
x2
V(x)
6. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
50 kNm
40 kN/m 50 kN
- 6 -
PROBLEMAS PROPOSTOS
Considerando as estruturas seguintes, calcule as reacções de apoio e desenhe
os diagramas de esforços.
1)
30 kN/m C
D
A B
20 kN
2.50 m 2.50
0.50
1.50
2)
4.00 m 2.00 2.00
1.00
3.00
1.00 1.00
A
B C
D
E
F
20 kN
60 kN/m
3)
A
10 kNm
B C D E
50 kN
F
40 kN/m
3.00 m 1.00 2.00 1.50 1.50
7. Diagramas de esforços
- 7 -
4)
A
B
36 kN/m
C D
E
F
50 kN
23 kN
1.00 1.00 2.00 m 2.00 1.00 1.00 2.00
1.00
1.00
60 kN/m
G H
5)
A
B
C
D
E
F
90 kN
125 kN
50 kN/m
G
H
1.00 3.00 m 2.00 2.00 1.00 1.00 1.00 1.00
1.50
1.50
80 kN
30 kNm
6)
B
A
C
D E
F
60 kN
10 kN/m
70 kN
G
1.50 2.00 2.00 1.00 3.00 m 1.50
2.00
2.00
30 kN/m
8. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 8 -
7)
A B
D E
C
F
94 kN
G
10 kN/m
2.00 2.00 2.00 m 2.00 2.00
1.50
1.50
40 kN
8)
A
B
C
100 kN
D E
F
140 kN
G
23 kN/m
2.00 1.50 1.50 2.00 m 1.50 1.50 2.00
2.00
2.00
H
I J
15 kN/m
20 kN/m
35 kN
30 kN
50 kNm
9. Diagramas de esforços
- 9 -
9)
A
E
B C D
5 kN
48 kN/m
4.00 m 3.00
3.00
3.00
250 kN
10)
E
C
D
A B
F
60 kN/m
4.00 m
3.00
2.00
6 kN/m
30 kN/m
10. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
B C D E
4.00 30 kN/m
- 10 -
11)
A
F
63 kN
50.2 kN/m
1.50 3.00 4.00 m 1.50 3.00
12)
60 kN
A
C D
B
20 kN/m
E F
2.00 4.00 m 3.00
3.00
3.00
14 kN/m
30 kN/m
132 kN
11. Diagramas de esforços
- 11 -
13)
70 kN
40 kN/m
A B
C
D E F
50 kN
1.50 1.50 3.00 m 3.00
2.00
2.00
30 kN/m
14)
A
B
C
D
E
F
40 kN
G
10 kN/m
H I
35 kN
2.00 m 2.00 2.00 2.00
1.00
2.00
3.00
40 kN/m
12. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 12 -
15)
A
B
C
D
E
F
10 kN
G
20 kN/m
3.00 4.00 m 3.00 2.00
4.00
2.00
30 kN/m
16)
A
B
G
C D E
F
60 kN
H I
J
100 kN
2.00 2.00 2.00 3.00 m
3.00
4.00
2.00
L
60 kN
75 kN
13. Diagramas de esforços
- 13 -
17)
A
B
C
D
G
E F
25 kN/m
H
I
40 kNm
4.00 m 2.00 2.00
1.50
1.50
1.50
40 kN/m
18)
A
B
C
D
E
F
40 kN
G
14 kN/m
H I
25 kNm
2.00 1.50 1.50 4.00 m
1.00
2.00
2.00
5 kN/m
20 kN/m
90 kN
14. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
C D E
- 14 -
19)
30 kN 63 kN
A
B
C D
E F
119 kN
G
30 kN/m
H I
J
2.00 4.00 m 2.25 1.75
3.00
2.00
2.00
10 kN/m
18 kN/m
20)
42 kNm 8 kN/m
A B
1.50 m 1.50 1.50 1.50
2.00
72 kN/m
15. Diagramas de esforços
A VB VB Σ = ⇒ ´ + ´ = + ´ ⇒ = 0
C D
- 15 -
Soluções dos problemas propostos
1)
Em primeiro lugar vamos calcular as reacções de apoio, pois só existem três
ligações ao exterior.
F R R H HA HA Σ = 0⇒ + 20 = 30 ´ 2⇒ = 40 kN
30 2
M R R
2
5 50 15 20 4
2
. kN
F R R V VA VB Σ = 0⇒ = = 4 kN
Reacções de apoio e orientação das barras
A B
4 kN 4 kN
40 kN
Conhecidas as reacções de apoio podemos desenhar os diagramas de
esforços. Dado que a estrutura contém uma malha, o conhecimento das
reacções de apoio não possibilita, com facilidade, o traçado dos diagramas de
esforços. Desta forma vamos separar a estrutura em quatro corpos (AC, BD, AB
e CD) e isolar os nós com forças concentradas (nós “A” e “B”), representando
todas as forças internas e externas (reacções de apoio) em jogo.
16. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
BD Σ = 0⇒ 2 ´ = 15´ 20⇒ = 15
- 16 -
A
B
30 kN/m C
20 kN
D
C
R
VA
R
VB
50 kNm
D
R
HA
F
1
F
1
F
2
F
2
F
F 3
5
F
F 6
4
F
7
F
8
F
9
M
1
M
1
M
2
A
A
F
9
F
10
F
10
F
11
F
11
F
12
F
12
M
2
F
5
F
3
F
4
F
6
B
B
Dado que todos os corpos estão em equilíbrio estático, podemos estabelecer
um conjunto de equações de equilíbrio que nos permitem obter as forças
internas.
Σ M CD = 0⇒5´ F = 50⇒ F
= 10
D
1 1
kN
Σ CD = 0⇒ = = 10
F F F V
2 1
kN
Σ BD = 0⇒ = = 10
F F F V
3 2
kN
Σ AC = 0⇒ = = 10
F F F V
4 1
kN
nó B Σ = 0⇒ 4 + = 10⇒ = 6 kN
F F F V
5 5
Σ AB = 0⇒ = = 6
F F F V
6 5
kN
M F F
B
7 7 . kN
Σ CD = 0⇒ = = 15
F F F H
8 7
kN
17. Diagramas de esforços
Σ AC = 0⇒15+ = 30 ´ 2⇒ = 45
AC Σ = ⇒ + ´ = ´ 0 2 15 ⇒ =
50
- 17 -
Σ BD = 0⇒15+ = 20⇒ = 5
F F F H
9 9
kN
nó B Σ = 0⇒ = = 5 kN
F F F H
10 9
Σ AB = 0⇒ = = 5
F F F H
11 10
kN
F F F H
12 12
kN
Σ M AB = 0⇒ M = 5´ F
= 5´ 6 = 30
A
1 5
kNm
M M M
A
30 2
2
30
2
2
2
kNm
Valores finais:
A
B
C
30
20
D
C
4 4
D
10
10
10
10
10
6 6
10
15 15
5
30
30
30
30
A
A
5
5
5
5
5
45
45
6 10
10 6
B
B
40
Com os valores das forças internas conhecidos torna-se imediato o traçado dos
diagramas de esforços.
18. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 18 -
· Esforços axiais
AB = - = - = - 10 11
N F F
5 kN
BC = - = - = - 7 8
N F F
15 kN
AC = - = - = - 1 4
N F F
10 kN
BD = = = 2 3
N F F
10 kN
· Esforços transversos
AB
= - = AB = - = - 6 5
V F V F A
B
6 kN
CD
= = CD = = 1 2
V F V F C
D
10 kN
AC = = 12
V F A
45 kN
AC = - = - ´ = - 8
V F C
45 2 30 15 kN
BD = - = - 9
V F B
5 kN
BD = = - + = 7
V F D
5 20 15 kN
AC
( ) = 45- 30×
V x x
0 = 45- 30× x ⇒ x = 1.5 m
· Momentos flectores
AB = = 1
M M A
30 kNm
CD
a . .
= 2 5´ = 25 kNm
M F m x esq
1 .
CD
max. . = -2.5 ´ = 2.5´ - 50 = -25
M F F dir
2 1
kNm
AC = - = ´ - ´ = - 2
M M A
2
2 15
30 2
2
30 kNm
M AB
= - + ´ - . ´ = 30 15 45
max. .
30 15
.
2
375
2
kNm
max. = -1.5´ = -0.5 ´ = -7.5
M F F BD
9 7
kNm
19. Diagramas de esforços
-25
- 19 -
Diagrama de esforços axiais (kN)
-15
-10 10
-5
Diagrama de esforços transversos (kN)
45
-15
10
-6
-5
15
Diagrama de momentos flectores (kNm)
30
25
-30
3.75 -7.5
20. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
40 kN/m 50 kN
Σ ED = 0⇒4 ´ + 20 ´ 3 = 0⇒ = -15
- 20 -
2)
Neste problema o número de reacções é superior a três, logo será necessário
estabelecer equações de equilíbrio interno de modo a que seja possível
determinarmos o valor das reacções. Desta forma vamos dividir a estrutura em
quatro corpos distintos (ABC, CD, DE e EF). Sobre esses corpos actuam um
conjunto de forças internas que correspondem às acções que uns corpos
exercem sobre os outros, de forma a que se mantenha o equilíbrio estável.
A
B C
D
C
R
VA
F
1
F
1
F
2
F
3
R
HB
R
VB
D
E
E
F
20 kN
60 kN/m
F
4
F
3
F
5
F
F
5
6
R
HF
R
VF
R
MF
Atendendo a que cada corpo está em equilíbrio estático, podemos estabelecer
as seguintes equações:
M F F E
4 4
kN (mudar o sentido do vector)
Σ ED = 0⇒ + 20 - 15 = 0⇒ = -5
F F F H
5 5
kN (mudar o sentido do vector)
Σ F EF
= 0⇒ R = 5 kN
H
HF
21. Diagramas de esforços
HB Σ = 0⇒ = -15 kN (mudar o sentido do vector)
Σ CD = 0⇒2 ´ - 1´ 50 = 0⇒ = 25
MF Σ = 0⇒ = 2 ´ 25 + ´ ´ ´ =
6
2
VB VB Σ = 0⇒4 ´ - 40 ´ 6 ´ - ´ = ⇒ =
6 25 0 217 5 . kN
VA Σ = 0⇒ = 6 ´ 40 + 25 - 217.5 = 47.5 kN
40 50
- 21 -
Σ CD = 0⇒ = -15
F F H
2
kN (mudar o sentido do vector)
ABC
F R H
M F F C
3 3
kN
Σ CD = 0⇒ = 50 - 25 = 25
F F V
1
kN
Σ ED = 0⇒ = = 25
F F F V
6 3
kN
Σ = = + 60 ´ 2
F EF
0⇒ R 25 =
V
VF 2
85 kN
EF
M R F
60 2
2
2
3
2 130 kNm
ABC
M R R A
ABC
F R V
Valores finais:
A
B C
D
C
47.5
25
25
15
15 25
217.5
D
E
F
20
60
E
15
25
5
5
25
5
85
130
22. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
Reacções de apoio e orientação das barras
- 22 -
A
B C
D
E
F
47.5 kN 217.5 kN
85 kN
5 kN
130 kNm
15 kN
Cálculo dos esforços:
· Esforços axiais
N
AB = 0 kN
BC HB = = = 2
N R F
15 kN
CD = = = 4 2
N F F
15 kN
DE = - = - = - 3 6
N F F
25 kN
EF HF = - = - = - 5
N R F
5 kN
· Esforços transversos
dir
. = = 47.5 kN
V R A
VA
esq. = 47.5 - 40 ´ 4 = -112.5 kN
VB
dir . = -112.5 + 217.5 = 105 kN
VB
esq. = = - ´ = 1
V F C
105 2 40 25 kN
dir. = = 1
V F C
25 kN
CD = - = - = - 3
V F D
25 50 25 kN
ED = = 5
V F E
5 kN
23. Diagramas de esforços
- 23 -
ED = - = - = - 4
V F D
5 20 15 kN
EF = - = - 6
V F E
25 kN
esq. = -25 - ´ = -
VF
60 2
2
85 kN
AB
( ) = 47.5 - 40 ×
V x x
0 = 47.5 - 40 × x ⇒ x = 1.1875 m
· Momentos flectores
M AB
= ´ - . ´ = 11875 47 5
max. . .
40 11875
.
2
28 2
2
kNm
40 ´ 4
M= 4 ´ 47 5- = -
B 2
130
2
. kNm
max. = 1´ = 25
M F CD
1
kNm
max. = 1´ = 15
M F ED
4
kNm
M R F MF = - = -130 kNm
Diagrama de esforços axiais (kN)
15
-25
-5
24. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
Diagrama de esforços transversos (kN)
- 24 -
47.5
105
-112.5
25
-25
-15
5
-25
-85
Diagrama de momentos flectores (kNm)
28.2
-130
25
15
-130
25. Diagramas de esforços
10 40
Σ CD = 0⇒ + 40 = 40 ´ 2⇒ = 40
VB VB Σ = 0⇒10 + 3 ´ = 40 ´ 4⇒ = 50 kN
VA VA Σ = 0⇒ + 40 = 50⇒ = 10 kN
MF MF Σ = ⇒ ´ + ´ + = ´ ⇒ = 0
- 25 -
3)
D
E
50
F
40
A
B
C
150
30
10 50
40 40 40 40
Equações de equilíbrio:
F R H HF Σ = 0⇒ = 0
Σ = ´ = 40 ´ 2
CD 0 ⇒ 2 ⇒ =
M F F C
2
40
1
2
1
kN
F F F V
2 2
kN
ABC
M R R A
ABC
F R R V
F R R V VE VE Σ = 0⇒40 ´ 3.5+ 50 +10 = 50 + ⇒ = 150 kN
DEF
40 15
M R R D
2
50 3 150 15 30
2 .
. kNm
max. = ´ = 40 2
MCD
8
20
2
kNm
Reacções de apoio e orientação das barras
A
B C D E
F
150 kN
30 kNm
10 kN 50 kN
26. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 26 -
Diagrama de esforços axiais (kN)
Diagrama de esforços transversos (kN)
-10
-100
40
50
-40
Diagrama de momentos flectores (kNm)
-30
-105
-40
20
-30
27. Diagramas de esforços
Σ = ´ = 60 ´ 2
⇒ ´ + ´ VG VG ⇒ = 0 1
Σ FGH = 0⇒ + ´ = ⇒ =
VD VD Σ = ⇒ ´ + ´ = ´ 0 2 3 40 ⇒ =
Σ CDE = 0⇒ 36 ´ 3 = 40 + 21+ ⇒ = 47
- 27 -
4)
C
E
F
50
36
23
60
161
25
70
21
25
100
A
B
C
D E
F
G
H
33.23
33.23 17.68
C
40
40
25
47
25
25
25
25
25
40
47
40
25
47
17.68
Equações de equilíbrio:
FGH
M R R F
2
1
1
3
2 100 kN
60 2
F F F V
2
100 40
1 1
kN
Σ EF = 0⇒ = = 40
F F F V
3 1
kN
Σ EF = 0⇒2 ´ = 1´ 50⇒ = 25
M F F E
2 2
kN
Σ EF = 0⇒ = = 25
F F F H
4 2
kN
CDE
36 3
M R R C
2
21
2
kN
F F F V
5 5
kN
28. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
MA MA Σ = 0⇒ + 2 ´ 25 = 1´ 23+ 4 ´ 47⇒ = 161 kNm
= ´ - . ´ = 130556 47
- 28 -
Σ CDE = 0⇒ = = 25
F F F H
6 4
kN
Σ F ABC
= 0⇒ R = F = 25
H
HA 6
kN
Σ F ABC
= 0⇒ R = 23+ 47 = 70 kN
V
VA ABC
M R R A
F R R H HG HG Σ = 0⇒ + 25 = 50⇒ = 25 kN
CD
( ) = 47 - 36×
V x x
0 = 47 - 36× x ⇒ x = 1.30556 m
MCD
max. .
36 130556
.
2
30 68
2
kNm
Corpo ABC, ponto C:
47 ´ cos45º = 47 ´ sen45º = 33.23 kN
25´ cos45º = 25´ sen45º = 17.68 kN
Reacções de apoio e orientação das barras
161 kNm
25 kN
70 kN
21 kN
25 kN
100 kN
A B
C D
E
F G H
29. Diagramas de esforços
- 29 -
Diagrama de esforços axiais (kN)
-50.91
-25
-40
-25
25
Diagrama de esforços transversos (kN)
-40
-25
60
-40
-4
-25
25
47
15.56
47
70
Diagrama de momentos flectores (kNm)
-161
-44
-91
22
-40
25
30.68
30. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
VA VA Σ = ⇒ ´ = +
1
2
5
2
0 8 7 ´ 1 ´ 50 + 4 ´ 125
+ ´ ⇒ =
Σ = ´ + ´ ´
+
⇒ HA HA 1
2
0 3 50 1 3 = ´ ⇒ =
4 137.5 125 kN
- 30 -
5)
E
F
22.5 30
125
125 125
50
137.5
D
G
H
87.5
61.87
61.87 88.39
C
125
87.5
88.39
125
137.5
A
B
C
125
87.5
C
C
125
37.5
151
247
30
80
90
72 90
54
37.5
37.5
125
75
100
C
71
109.5
71
109.5
D
4 3 5 2 2 + = m
a =
arctan = .
3
4
36 869898o
90 ´ cos a = 72 kN
90 ´ sen a = 54 kN
Equações de equilíbrio:
ABCD
90 137 5. kN
M R R D
ABC
M R R C
Σ F ABC
= 0⇒ F = R = 125
H
1
HA kN
31. Diagramas de esforços
Σ ABC = 0⇒ + 50 ´1 = 137 5⇒ = 87 5
. . kN
Σ nó C = 0⇒ + 87 . 5 = 125⇒ = 37 .
5 kN
VH VH Σ = 0⇒ 3´ +1.5´ 80 + 30 = 3´151+1´109.5⇒ = 137.5 kN
- 31 -
F F F V
2 2
nó C Σ = 0⇒ = = 125 kN
F F F H
3 1
F F F V
4 4
Σ F CD = 0⇒ F + 54 = 125⇒ F
= 71
H
5 5
kN
Σ CD = 0⇒ = 72 + 37 5 = 109 5
F F V
6
. . kN
Σ F DFGH
= 0⇒ R = 71+ 80 = 151 kN
H
HH DFGH
M R R E
F R R V VE VE Σ = 0⇒ + 137.5 = 137.5 + 72 + 125+ 50 ´ 1⇒ = 247 kN
Corpo ABC, ponto C:
87.5 ´ cos45º = 87.5 ´ sen 45º = 61.87 kN
125 ´ cos45º = 125 ´ sen 45º = 88.39 kN
Corpo CD, ponto C:
37.5´ cos a = 30 kN e 37.5´ sen a = 22.5 kN
125´ cos a = 100 kN e 125´ s en a = 75 kN
Reacções de apoio e orientação das barras
A
B
C
D
E
F
G
H
125 kN
137.5 kN 247 kN
151 kN
137.5 kN
32. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
137.5 137.5
- 32 -
Diagrama de esforços axiais (kN)
-150.26
-125
-71
-122.5
-151
-137.5
Diagrama de esforços transversos (kN)
-45
87.5 -26.52
-71
-151
-109.5
45
137.5
Diagrama de momentos flectores (kNm)
-305
112.5
-78.5
-137.5
-109.5
28
-167.5
112.5
112.5
28
-305
33. Diagramas de esforços
Σ CD = 0⇒4 ´ + 2 ´ 60 = 4 ´ 120⇒ = 90
MA MA Σ = ⇒ = ´ + ´ 0 15 90 ⇒ =
- 33 -
6)
E F
30
G
C
120
90
42.43
60
B
A
90
D
90
120
60
42.43
C C
90
120
120
150
150
375
63.64
63.64
84.85
84.85
D
10
120
180 70
70
120
60 ´ cos45º = 60 ´ sen 45º = 42.43 kN
Equações de equilíbrio:
Σ ABC = 0⇒ = 30 ´ 4 = 120
F F H
1
kN
Σ CD = 0⇒ = = 120
F F F H
3 1
kN
M F F D
2 2
kN
Σ F ABC
= 0⇒ R = F = 90
V
VA 2
kN
ABC
30 4
M R R C
2
375
2
. kNm
34. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
VE VE Σ = ⇒ ´ + ´ = ´ + ´ 0 3 1 150 4 5 70 ⇒ =
- 34 -
Σ CD = 0⇒ = 90 + 60 = 150
F F V
4
kN
DEFG
10 3
M R R D
2
70
2
. kN
F R R V VE VE Σ = 0⇒ + 70 = 90 + 60 + 10 ´ 3+ 70⇒ = 180 kN
Corpo CD, ponto C:
90 ´ cos45º = 90 ´ sen 45º = 63.64 kN
120 ´ cos45º = 120 ´ sen 45º = 84.85 kN
Reacções de apoio e orientação das barras
B
A
C
D
E
G
375 kNm
90 kN
70 kN
120 kN
180 kN
F
35. Diagramas de esforços
- 35 -
Diagrama de esforços axiais (kN)
-120
90
-190.92
-120
-148.49
Diagrama de esforços transversos (kN)
21.21
-150
30
-21.21
-120
70
-90
Diagrama de momentos flectores (kNm)
375
-150
-105
135
135
60
36. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
7)
Reacções de apoio e orientação das barras
- 36 -
114 kNm
15 kN
151 kN
24 kN
A B
C
D
E
F
G
Diagrama de esforços axiais (kN)
-60
36
-60
-24
-20
-5
Diagrama de esforços transversos (kN)
60
-20
20
36
-52
-15
99
20
-20
5
37. Diagramas de esforços
Diagrama de momentos flectores (kNm)
- 37 -
-208
114
20
54
-10
50
-90
144
8)
Reacções de apoio e orientação das barras
46 kNm
400 kN 70 kN
194.5 kN
47.5 kN
A
B
C
D E
F
G
H
I J
Diagrama de esforços axiais (kN)
-194.5
-153.5
200 100
-70
-82.5
38. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
Diagrama de esforços transversos (kN)
- 38 -
-200
-46
10
138
200
-82.5
110
-12
70
-47.5
-130
-160
Diagrama de momentos flectores (kNm)
-300
65
290
15
80
46
260
320
290
260
95
39. Diagramas de esforços
- 39 -
9)
Reacções de apoio e orientação das barras
C
A
D
E
336 kN
B
309 kNm
245 kN
Diagrama de esforços axiais (kN)
490
-392
-294
-336
40. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
Diagrama de esforços transversos (kN)
- 40 -
-150
142
-245
144
42
Diagrama de momentos flectores (kNm)
-216
309
-426
18.375
41. Diagramas de esforços
F
C D
- 41 -
10)
E
A B
120 kN
195 kN 45 kN
Diagrama de esforços axiais (kN)
75
-120
-125 -45
-195
-125
42. João M. C. Estêvão - EST - UAlg
Diagrama de esforços transversos (kN)
- 42 -
60
-120
-65
-132
25
120
-120
75
93
Diagrama de momentos flectores (kNm)
120
-10.42
-252 60
11)
RVA = 434 kN ; RHF = 60 kN ® ; RVF = 25.4 kN ; RMF = 66.2 kNm
