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Logique et théorie des ensembles 1 / 8 A Chevalley 
Logique et théorie des ensembles 
Rappels : 
ℕ : ensemble des en...
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Logique et théorie des ensembles 2 / 8 A Chevalley 
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P Q ∧ 
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Logique et théorie des ensembles 3 / 8 A Chevalley 
ATTENTION : P ⇒ Q n’est pas équivalent à Q P ⇒ 
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Un ensemble est une collection d’objets qui présentent une ou pl...
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3.3.3. Complémentaire 
Définition : Soient A et E deux e...
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Commutativité 
A ∪ = ∅ A = A A A = A A ∪ E = E A B = B A B ∅∪∪∪⇔...
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Propositions 
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  1. 1. MT18 Logique et théorie des ensembles 1 / 8 A Chevalley Logique et théorie des ensembles Rappels : ℕ : ensemble des entiers naturels = { 0 , 1 , 2 , … } A part 0, un nombre n’a pas d’opposé dans ℕ *{0}=−`` ] : ensemble des entiers relatifs = { …, – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , … } = { n, -n ; n ∈ ℕ } A part -1, 1, un entier relatif n’a pas d’inverse dans ] *{0}=−]] _ : ensemble des nombres rationnels = *{;(,)}ppqq∈×]]avec 12122112..pppqpqqq=⇔= } *{0}=−__ Mais π , 2, e ∉ _ : ensemble des nombres réels *{0}=− * + : ensemble des réels strictement positifs Mais les racine i et –i de x²+1 ne sont pas dans ^: ensemble des nombres complexes = { a+ib ;(a,b)2∈} *{0}=−^^ 1. Logique 1.1. Propositions logiques Définition : On appelle proposition, un énoncé qui ne prend que 2 valeurs : vrai (V) ou faux (F). Exemple : « 3 < 4 » est une proposition de valeur vraie. « 2 est un rationnel » est une proposition de valeur fausse. 1.2. Négation d’une proposition Soit P une proposition, on note P ou non P sa négation. ¬ La table de vérité résume la négation : P ¬P V F F V Exemple : P : 3 < 4 est vraie P : 3 . 4 est fausse ¬ 1.3. Connecteurs logiques 2 propositions P et Q peuvent être connectées pour obtenir une troisième proposition R. Le connecteur est défini par la valeur de la proposition R en fonction des valeurs de P et Q. 1.3.1. Connecteur « et » La conjonction de P et Q est P et Q ou P∧ Q ou PQ⎧⎨⎩ P Q est vraie si et seulement si P est vraie et Q est vraie. ∧
  2. 2. MT18 Logique et théorie des ensembles 2 / 8 A Chevalley P Q P Q ∧ V V V V F F F V F F F F Exemple : P P est toujours fausse. ∧¬ 1.3.2. Connecteur « ou » La disjonction de P et Q est P ou Q ou P Q (« ou » inclusif). ∨ P Q est fausse si et seulement si P est fausse et Q est fausse. ∨ P Q P ∨ Q V V V V F V F V V F F F Exemple : P P est toujours vraie. ∨¬ 1.3.3. Connecteur « implique » L’implication de P vers Q est P Q : P est l’hypothèse, Q est la conclusion ⇒ P ⇒ Q est fausse si et seulement si P est vraie et Q est fausse. - si P est vraie alors Q est vraie - il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie - il est nécessaire (il faut) que Q soit vraie pour que P soit vraie P ⇒ Q est équivalent à ¬P ∨ Q P Q P ⇒ Q ¬P ¬P ∨ Q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V Exemple : P ⇒ P est toujours vraie. P ⇒ Q : si ABCD est un carré alors ABCD est un parallélogramme P : ABCD est un carré Q : ABCD est un parallélogramme il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie Il suffit que ABCD soit un carré pour que ABCD soit un parallélogramme il est nécessaire (il faut) que Q soit vraie pour que P soit vraie il est nécessaire (il faut) que ABCD soit un parallélogramme pour que ABCD soit un carré mais ce n’est pas suffisant. Réciproque La réciproque de P ⇒ Q est Q ⇒ P
  3. 3. MT18 Logique et théorie des ensembles 3 / 8 A Chevalley ATTENTION : P ⇒ Q n’est pas équivalent à Q P ⇒ Contraposée La contraposée de P Q est : ⇒¬Q ⇒ ¬P P ⇒ Q est équivalent à ¬Q ⇒ ¬P P Q P ⇒ Q ¬P ¬Q ¬Q ⇒¬P V V V F F V V F F F V F F V V V F V F F V V V V Négation La négation d’une implication n’est pas une implication ¬ (P ⇒ Q) (¬P Q) ⇔¬∨⇔ ( P ∧ ¬Q ) 1.3.4. Connecteur « équivalent » Si P Q et Q P, on dit que P est équivalente à Q et on note P ⇒⇒⇔Q P Q est vraie si et seulement si P et Q sont vraies ou fausses, simultanément. ⇔ - P est vraie si et seulement si (ssi) Q est vraie - il faut et il suffit que Q soit vraie pour que P soit vraie - P est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour que Q soit vraie P ⇒ Q et Q ⇒ P est équivalent à P ⇔Q P Q P ⇒ Q Q ⇒ P P ⇔ Q V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Exemple : P P est toujours vraie. ⇔ 1.3.5. Théorème On appelle théorème une proposition logique toujours vraie. 1.3.6. Propriétés Négation (¬¬ P) P non (non P) ⇔⇔P ¬( P Q) (P ∧ ∨⇔¬¬Q) non (P ou Q) ⇔ (non P et non Q)
  4. 4. MT18 Logique et théorie des ensembles 4 / 8 A Chevalley ¬( P ∧ Q) ⇔ (¬P ∨ ¬Q) non ( P et Q) ⇔(non P ou non Q) Associativité ( P ∨ Q) ∨ R ⇔ (P (Q R)) (P ou Q) ou R ∨∨⇔ (P ou (Q ou R) ( P Q) R (P (Q R)) (P et Q) et R ∧∧⇔∧∧⇔ (P et (Q et R) Distributivité ( P Q) R (P R) (Q R) (P ou Q) et R ∨∧⇔∧∨∧⇔ (P et R) ou (Q et R) ( P Q) R (P R) ∧ (Q ∨ R) (P et Q) ou R ∧∨⇔∨⇔ (P ou R) et (Q ou R) Transitivité ((P ⇒ Q) (Q ⇒ R)) ⇒ (P R) (P Q) et (Q R) ⇒ (P ⇒ R) ∧⇒⇒⇒ 2. Quantificateurs 2.1. Deux quantificateurs Une proposition logique peut dépendre d’une variable appartenant à un ensemble donné. Par exemple, signifie « pour tout *311xx+∈⇒+>*x+∈, on a 311x+> ». On introduit le quantificateur ∀ qui signifie « pour tout » ou « quel que soit ». L’exemple précédent devient : ∀*311xx+∈⇒+> A l’inverse, une proposition peut être vraie que pour certains éléments d’un ensemble. On introduit le quantificateur qui signifie « il existe ». ∃ Le symbole / signifie « tel que ». / se place après ∃. S’il y a plusieurs dans une proposition, / se place après le dernier . ∃∃ Remarque : signifie « il existe un unique élément » !∃ Exemples : signifie « il existe au moins un réel tel 3x+2 > 1 » x=0 Vrai /321xx∃∈+> ∀x∈/ 3x + 2 >1 signifie « tous les réels vérifient 3x+2 > 1 » x = – 1 Faux 2.2. Négation d’une phrase quantifiée La négation de ∀ est (∀x, P(x) ) ∃¬⇔ (∃ x / ¬ P(x) ) La négation de ∃ est ( x, P(x) ) ∀¬∃⇔ (∀x / ¬ P(x) ) 2.3. Propriété On ne peut pas modifier l’ordre des quantificateurs sans changer le sens de la proposition. Exemple : ,/xyxy∀∈∃∈≤`` signifie « tout entier est majoré par un autre entier » VRAI car ℕ est infini. On modifie l’ordre des quantificateurs : /,yxxy∃∈∀∈≤`` signifie « il existe un entier supérieur ou égal à tous les autres » FAUX (il n’y a pas de borne supérieure). 2.4. Exemples Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Quelle est la négation de celles qui sont fausses ? a) , 1 xx∀∈≥ b) /xx∃∈∈` c) *,ln()1xx+∀∈= d) ,/ 1 xnnxn∀∈∃∈≤<+] e) /,nxnxn∃∈∀∈≤<+] 1 3. Théorie des ensembles 3.1. Définitions
  5. 5. MT18 Logique et théorie des ensembles 5 / 8 A Chevalley Un ensemble est une collection d’objets qui présentent une ou plusieurs propriétés communes. Exemple : l’ensemble des étudiants de MT18. _ est l’ensemble des nombres rationnels. Les éléments d’un ensemble sont écrits entre accolades, les uns derrière les autres séparés par des virgules. Ensemble des nombres pairs {0 , 2 , 4 , … } Soient E, A des ensembles xA∈ signifie « x est un élément de A » ou « x appartient à A ». On désigne par ∅ l’ensemble vide qui n’a aucun élément. DESSIN Si A est fini le cardinal de A, Card(A) ou #A, désigne le nombre d’éléments de A. Exemple : A = { 1, 2, 5, 10} Card (A) = 4 E = { n ∈ N ⇔ n² < 0 } donc E = ∅ 3.2. Inclusion Définition : On dit que A est inclus dans B, noté A B si la proposition suivante est vraie : ⊂ ( x∈ A ) ⇒ ( x ∈ B ) A est alors un sous ensemble ou une partie de B. DESSIN On dit que A = B ssi A B et B A ⊂⊂ Exemple : ⊂⊂⊂⊂`]_^ 3.3. Opération sur les ensembles 3.3.1. Réunion Définition : Soient A et B deux ensembles. La réunion de A et B, noté A B, est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B : ∪ ( x∈ A ∪B) ⇔( x ∈ A) ou ( x ∈ B) Exemple : {,}nn=∪−∈]`` DESSIN 3.3.2. Intersection Définition : Soient A et B deux ensembles. L’intersection de A et B, noté A ∩ B, est l’ensemble des éléments appartenant à A et à B : ( x∈ A B) ∩⇔( x ∈ A) et ( x ∈ B) Exemple : {/()0}xImx+ ∩= ∩= ∩∈≠=∅ ]_]_]`^
  6. 6. MT18 Logique et théorie des ensembles 6 / 8 A Chevalley DESSIN 3.3.3. Complémentaire Définition : Soient A et E deux ensembles avec A E. Le complémentaire de A dans E, noté A ou ou ⊂E‰cA A ( s’il n’y a pas de risque de confusion au niveau de l’ensemble E), est l’ensemble des éléments de E n’appartenant pas à A : ( x∈ A ) E‰⇔( x ∈ E) et ( x ∉ A) ( x∈ A ) ⇔ ( x ∉ A) Exemple : = {-n,n} ]`‰*∈` DESSIN 3.3.4. Différence Définition : Soient A et B deux ensembles. La différence de A moins B, noté A – B ou A B , est l’ensemble des éléments appartenant à A et n’appartenant pas à B : ( x∈ A B ) ⇔( x ∈ A) et ( x ∉ B) A B = A B∩ DESSIN 3.3.5. Différence symétrique Définition : Soient A et B deux ensembles. La différence symétrique de A et B, noté A B , est l’ensemble des éléments appartenant à A et n’appartenant pas à B ou appartenant à B et pas à A : Δ ( x∈ A B ) Δ⇔( x ∈ A B) ou ( x ∈ B A) A B = (A ΔB∩) (B ∪A∩) DESSIN Exemple : Démontrer que ()( ) ABABABΔ=∪∩ A B = (A ΔB∩) (B ∪A∩) et ( A ∪ B) ( A ∩ B) = ( A ∪ B) ∩ ( ) AB∩= ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ B) =( ( A ∪ B) ∩ A ) ∪ ( ( A ∪ B ) ∩ B) = ( ( A ∩ A ) ∪ ( B ∩ A ) ) ∪ ( ( A ∩ B) ∪ ( B ∩ B ) ) = ( ∪ ( B ∩ ∅A ) ) ∪ ( ( A ∩ B) ∪ ∅ ) = ( B ∩ A ) ∪ ( A ∩ B) = A B Δ 3.4. Propriétés Négation eE∅=‰ EE=∅‰()EEAA=‰‰ AA=
  7. 7. MT18 Logique et théorie des ensembles 7 / 8 A Chevalley Commutativité A ∪ = ∅ A = A A A = A A ∪ E = E A B = B A B ∅∪∪∪⇔⊂ A ∪ B = B ∪ A (A ∪ B) C = A ∪ (B C) ∪∪ A ∩ = ∅ A = ∅ A ∩A = A A ∅∩∩ E = A A ∩ B = A A B ⇔⊂ A ∩ B = B ∩ A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Lois de Morgan ABAB∪=∩ ABAB∩=∪ Distributivité A ∩(B C) = (A ∩ B) (A ∩C) ∪∪ A ∪(B C) = (A ∪ B) ∩∩(A ∪C) A ∩(B A) = A (A B) = A ∪∪∩ Différence A=E A A ∅ = A A B = ∅ ⇔A B ⊂ A B = A ∩B = A (A ∩B) Différence symétrique A B = B A A = A A ΔΔΔ∅Δ A = ∅ A B = ( A B) (A ∩ B) Δ∪ Cardinaux Card (A ∪B) = Card (A) + Card (B) – Card ( A ∩B) Card ( A) = Card (E) – Card (A) Card (A B) = Card (A) – Card ( A B) ∩ 3.5. Ensemble des parties d’un ensemble Soit E un ensemble. Les sous ensembles ou parties de E constituent un ensemble que l’on note P ( E ). A ∈ P ( E ) ⇔ A ⊂ E Remarque : Les éléments de P ( E ) sont des ensembles et en particulier ∅ ∈ P ( E ) et E ∈ P ( E ) Si Card (A) = n alors Card (P (A)) = 2 n Exemple : A = { 1, 2, 3 } Les différentes parties de A sont : ∅ , { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 } = A Card (A) = 3 et Card (P (A)) = 2 3 = 8 3.6. Produit cartésien (d’ensembles) Définition : Soient A et B deux ensembles. On appelle produit de A par B l’ensemble : A x B = { ( a , b ) , a ∈ A , b ∈ B } Souvent A x B ≠ B x A Exemple : 2{(,),,}uvuv=∈∈ { 1 , 2 , 3 } x { i, - i } = { ( 1 , i ) , ( 2 , i ) , ( 3 , i ) , ( 1 , - i ) , ( 2 , - i ) , ( 3 , - i ) } Remarque : Si les ensembles A et B sont finis alors card ( A x B ) = card (A) . card ( B)
  8. 8. MT18 Logique et théorie des ensembles 8 / 8 A Chevalley 4. Récapitulatif Propositions Ensembles et ∧ ∩ ou ∨ ∪ ou exclusif Δ négation non A, ¬A E‰A ou A ⇔ = ⇒ ⊂

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