Este documento explica tres métodos de conteo: diagrama de árbol, permutaciones y combinaciones. El diagrama de árbol se usa para relacionar todos los resultados posibles de una serie de ensayos. Las permutaciones cuentan arreglos ordenados donde el orden importa. Las combinaciones cuentan conjuntos no ordenados donde el orden no importa.
1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN
PROCESOS INDUSTRIALES
ÁREA MANUFACTURA
Métodos de conteo
Leonardo García Lamas
2. Introducción
Enseguida se explicarán los diferentes tipos de
conteos que se usan para calcular sin necesidad de
contar en forma directa, el número de posibles
arreglos u ordenaciones de un conjunto
determinado de elementos. Para solucionar un
problema de probabilidad en muchas ocasiones es
fundamental llevar acabo algún tipo de conteo.
3. Métodos de conteo:
Se les denomina técnicas de conteo a: las
combinaciones, permutaciones y diagrama de
árbol, las que a continuación se explicarán y hay
que destacar que éstas nos proporcionan la
información de todas las maneras posibles en que
ocurre un evento determinado.
4. Diagrama de árbol :
Es un dibujo que se utiliza para relacionar todos y
cada uno de los resultados de una serie de ensayos,
de tal manera que cada ensayo puede ocurrir en un
número finito de veces.
A continuación se presentara un ejemplo para
explicar como se hace un diagrama de árbol como
este.
5. Diagrama de árbol:
Lolita tiene un solo sombrero, pero tiene tres
faldas, cuatro blusas y dos mantas.
Ella quisiera salir vestida cada día de manera
diferente, entonces su problema es saber en
cuantos días puede salir a la calle vestida de
manera diferente.
Vamos a resolverlo primero con:
6. Diagrama de árbol:
PRINCIPIOS DE LA MULTIPLICACION
Si lolita elije una de sus faldas puede combinarla
con cada una de sus cuatro blusas, teniendo
entonces cuatro alternativas posibles:
7. Diagrama de árbol:
Como eso puede ocurrir con cada una de sus tres faldas,
tendrá entonces doce alternativas para ponerse falda y
blusa.
Cuando ya tiene puesta una de sus doce combinaciones,
ocurre que puede combinarse con cada una de sus dos
mantas, teniendo entonces 24 posibilidades en total.
En resumen se pueden ver las 24 combinaciones de la
siguiente manera:
mantas
blusa
Falda
8. Diagrama de árbol:
En resumen se pueden ver las 24 combinaciones de
la siguiente manera:
9. A estas figuras se les llama diagrama de árbol.
En resumen, se tiene 3 faldas, 4 blusas y 2 mantas,
Lolita tiene:
3x4x2=24 alternativa para cambiarse de ropa.
Puede salir durante 24 días vestida de manera
diferente.
10. Permutación:
Les comentare sobre algunos ejemplos de
permutaciones como los siguientes:
La combinación de la cerradura es 472, en la
permutación el orden si importa. Por que 724 no
funcionaría, ni 247. Tiene que ser exactamente
4-7-2.
Si el orden sí importa, es una permutación.
Con otras palabras: Una permutación es una
combinación ordenada.
11. Permutación:
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de
billar?
Después de elegir por ejemplo la 14 no puedes
elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades,
y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades,
después 14, 13, hasta llegar al 1. Y el total de
permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 x 12 x 11 ... = 20,922,789,888,000
12. Permutación:
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de
ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3
bolas de billar de entre 16.
Enseguida comentare sobre el tema de
combinaciones.
13. Combinación:
Normalmente usamos la palabra "combinación"
descuidadamente, sin pensar en si el orden de las
cosas es importante. En otras palabras por
ejemplo:
Mi ensalada de frutas es una combinación de
manzanas, uvas y bananas: no importa en qué
orden pusimos las frutas, podría ser bananas, uvas
y manzanas o uvas, manzanas y bananas, es la
misma ensalada.
Si el orden no importa, es una combinación.
